Как да определим периодичността на функция. Периодични функции Периодична функция на времето

Цел: обобщете и систематизирайте знанията на учениците по темата „Периодичност на функциите“; развиват умения за прилагане на свойствата на периодична функция, намиране на най-малкия положителен период на функция, конструиране на графики на периодични функции; насърчаване на интереса към изучаването на математика; култивирайте наблюдателност и точност.

Оборудване: компютър, мултимедиен проектор, карти със задачи, диапозитиви, часовници, таблици с орнаменти, елементи от народните занаяти

„Математиката е това, което хората използват, за да контролират природата и себе си.“
А.Н. Колмогоров

По време на часовете

I. Организационен етап.

Проверка на готовността на учениците за урока. Докладвайте темата и целите на урока.

II. Проверка на домашните.

Проверяваме домашните с помощта на проби и обсъждаме най-трудните точки.

III. Обобщаване и систематизиране на знанията.

1. Устна фронтална работа.

Теоретични въпроси.

1) Формирайте дефиниция на периода на функцията
2) Назовете най-малкия положителен период на функциите y=sin(x), y=cos(x)
3). Какъв е най-малкият положителен период на функциите y=tg(x), y=ctg(x)
4) С помощта на кръг докажете правилността на отношенията:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Как да начертая периодична функция?

Устни упражнения.

1) Докажете следните отношения

а) sin(740º) = sin(20º)
б) cos(54º) = cos(-1026º)
° С) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Докажете, че ъгъл от 540º е един от периодите на функцията y= cos(2x)

3. Докажете, че ъгъл от 360º е един от периодите на функцията y=tg(x)

4. Трансформирайте тези изрази така, че ъглите, включени в тях, да не надвишават 90º по абсолютна стойност.

а) tg375º
б) ctg530º
° С) sin1268º
д) cos(-7363º)

5. Къде срещнахте думите ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТ?

Отговори на учениците: Периодът в музиката е структура, в която е представена повече или по-малко завършена музикална мисъл. Геоложкият период е част от ера и е разделен на епохи с период от 35 до 90 милиона години.

Време на полуразпад на радиоактивно вещество. Периодична дроб. Периодичните издания са печатни издания, които излизат в строго определени срокове. Периодичната система на Менделеев.

6. Фигурите показват части от графиките на периодични функции. Определете периода на функцията. Определете периода на функцията.

Отговор: Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.

7. Къде в живота си сте срещали изграждането на повтарящи се елементи?

Отговор на ученик: Елементи на орнаменти, народно изкуство.

IV. Колективно решаване на проблеми.

(Решаване на задачи на слайдове.)

Нека разгледаме един от начините за изследване на функция за периодичност.

Този метод избягва трудностите, свързани с доказването, че даден период е най-малък, и също така елиминира необходимостта да се засягат въпроси за аритметични операции върху периодични функции и периодичността на сложна функция. Разсъждението се основава само на дефиницията на периодична функция и на следния факт: ако T е периодът на функцията, тогава nT(n?0) е нейният период.

Задача 1. Намерете най-малкия положителен период на функцията f(x)=1+3(x+q>5)

Решение: Да приемем, че T-периодът на тази функция. Тогава f(x+T)=f(x) за всички x € D(f), т.е.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Нека сложим х=-0,25, получаваме

(T)=0<=>T=n, n € Z

Получихме, че всички периоди на въпросната функция (ако съществуват) са сред целите числа. Нека изберем най-малкото положително число сред тези числа. Това 1 . Да проверим дали наистина ще е период 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Тъй като (T+1)=(T) за всяко T, тогава f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), т.е. 1 – период f. Тъй като 1 е най-малкото от всички положителни числа, тогава T=1.

Задача 2. Покажете, че функцията f(x)=cos 2 (x) е периодична и намерете нейния главен период.

Задача 3. Намерете главния период на функцията

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Нека приемем T-периода на функцията, тогава за всеки хсъотношението е валидно

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ако x=0, тогава

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Ако x=-T, тогава

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

– sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Събирайки го, получаваме:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Нека изберем най-малкото положително число от всички „подозрителни” числа за периода и проверим дали то е период за f. Този номер

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Това означава, че това е основният период на функцията f.

Задача 4. Да проверим дали функцията f(x)=sin(x) е периодична

Нека T е периодът на функцията f. Тогава за всяко x

sin|x+Т|=sin|x|

Ако x=0, тогава sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Да предположим. Че за някое n числото π n е периодът

разглежданата функция π n>0. Тогава sin|π n+x|=sin|x|

Това означава, че n трябва да е както четно, така и нечетно число, но това е невъзможно. Следователно тази функция не е периодична.

Задача 5. Проверете дали функцията е периодична

f(x)=

Тогава нека T е периодът на f

, следователно sinT=0, Т=π n, n € Z. Да приемем, че за някое n числото π n наистина е периодът на тази функция. Тогава числото 2π n ще бъде периодът

Тъй като числителите са равни, следователно знаменателите им са равни

Това означава, че функцията f не е периодична.

Работа в групи.

Задачи за 1 група.

Задачи за 2 група.

Проверете дали функцията f е периодична и намерете нейния основен период (ако съществува).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Задачи за 3 група.

В края на работата си групите представят своите решения.

VI. Обобщаване на урока.

Отражение.

Учителят дава на учениците карти с рисунки и ги кара да оцветят част от първия чертеж в съответствие със степента, в която смятат, че са усвоили методите за изучаване на функция за периодичност, а част от втория чертеж - в съответствие с техните принос към работата в урока.

VII. Домашна работа

1). Проверете дали функцията f е периодична и намерете нейния основен период (ако съществува)

б). f(x)=x 2 -2x+4

° С). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функцията y=f(x) има период T=2 и f(x)=x 2 +2x за x € [-2; 0]. Намерете стойността на израза -2f(-3)-4f(3,5)

Литература/

Мордкович А.Г.Алгебра и начало на анализа със задълбочено изучаване.
Математика. Подготовка за Единния държавен изпит. Изд. Лисенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А.Алгебра и начален анализ за 10-11 клас.

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Алгебра и начало на анализа, 10 клас (ниво на профил) А. Г. Мордкович, П. Е. Семенов Учител Волкова С. Е.

Определение 1 За функция y = f (x), x ∈ X се казва, че има период T, ако за всеки x ∈ X е изпълнено равенството f (x – T) = f (x) = f (x + T). Ако функция с период T е дефинирана в точка x, тогава тя също е дефинирана в точки x + T, x – T. Всяка функция има период равен на нула при T = 0, получаваме f(x – 0) = f (x) = f( x + 0) .

Определение 2 Функция, която има ненулев период T, се нарича периодична. Ако функция y = f (x), x ∈ X има период T, тогава всяко число, което е кратно на T (т.е. число от вида kT, k ∈ Z), също е нейният период.

Доказателство Нека 2T е периодът на функцията. Тогава f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). По същия начин се доказва, че f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) и т.н. Така че f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Най-малкият период сред положителните периоди на една периодична функция се нарича главен период на тази функция.

Характеристики на графиката на периодична функция Ако T е основният период на функцията y = f(x), тогава е достатъчно да: конструирате клон на графиката на един от интервалите с дължина T, да извършите паралелна транслация на този клон по оста x с ±T, ±2T, ±3T и т.н. Обикновено се избира празнина с краища в точки

Свойства на периодичните функции 1. Ако f(x) е периодична функция с период T, тогава функцията g(x) = A f(kx + b), където k > 0, също е периодична с период T 1 = T/ к. 2. Нека функцията f 1 (x) и f 2 (x) е определена върху цялата числена ос и е периодична с периоди T 1 > 0 и T 2 > 0. Тогава за T 1 /T 2 ∈ Q функцията f(x) = f(x) + f 2 (x) е периодична функция с период T, равен на най-малкото общо кратно на числата T 1 и T 2.

Примери 1. Периодичната функция y = f(x) е дефинирана за всички реални числа. Неговият период е 3 и f(0) =4. Намерете стойността на израза 2f(3) – f(-3). Решение. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Заместване на получените стойности в израза 2f (3) - f(-3) , получаваме 8 - 4 =4 . Отговор: 4.

Примери 2. Периодичната функция y = f(x) е дефинирана за всички реални числа. Неговият период е 5 и f(-1) = 1. Намерете f(-12), ако 2f(3) – 5f(9) = 9. Решение T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Отговор:7.

Използвана литература А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начало на анализа (ниво на профил), 10 клас А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начало на анализа (профилно ниво), 10. клас. Методическо ръководство за учители

По темата: методически разработки, презентации и бележки

Периодичен закон и периодична система D.I. Менделеев.

Изчерпателният урок по тази тема се провежда под формата на игра, като се използват елементи на технологията от педагогически работилници....

Извънкласно събитие "Периодичен закон и периодична система на химичните елементи на Д. И. Менделеев"

Извънкласна дейност разкрива историята на създаването на периодичния закон и периодичната система от Д.И. Менделеев. Информацията е поднесена в поетична форма, което улеснява бързото запомняне...

Приложение към извънкласната дейност "Периодичен закон и периодичната система на химичните елементи на Д. И. Менделеев"

Откриването на закона е предшествано от дълга и интензивна научна работа на D.I. Менделеев за 15 години, а за по-нататъшното му задълбочаване бяха дадени още 25 години....

„Математиката е това, което хората използват, за да контролират природата и себе си.“
А.Н. Колмогоров

По време на часовете

I. Организационен етап.

Проверка на готовността на учениците за урока. Докладвайте темата и целите на урока.

II. Проверка на домашните.

Проверяваме домашните с помощта на проби и обсъждаме най-трудните точки.

III. Обобщаване и систематизиране на знанията.

1. Устна фронтална работа.

Теоретични въпроси.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Как да начертая периодична функция?

Устни упражнения.

1) Докажете следните отношения

а) sin(740º) = sin(20º)
б) cos(54º) = cos(-1026º)
° С) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Докажете, че ъгъл от 540º е един от периодите на функцията y= cos(2x)

3. Докажете, че ъгъл от 360º е един от периодите на функцията y=tg(x)

4. Трансформирайте тези изрази така, че ъглите, включени в тях, да не надвишават 90º по абсолютна стойност.

а) tg375º
б) ctg530º
° С) sin1268º
д) cos(-7363º)

5. Къде срещнахте думите ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТ?

Отговор: Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.

7. Къде в живота си сте срещали изграждането на повтарящи се елементи?

Отговор на ученик: Елементи на орнаменти, народно изкуство.

IV. Колективно решаване на проблеми.

(Решаване на задачи на слайдове.)

Нека разгледаме един от начините за изследване на функция за периодичност.

Задача 1. Намерете най-малкия положителен период на функцията f(x)=1+3(x+q>5)

Решение: Да приемем, че T-периодът на тази функция. Тогава f(x+T)=f(x) за всички x € D(f), т.е.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Нека сложим х=-0,25, получаваме

(T)=0<=>T=n, n € Z

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Задача 2. Покажете, че функцията f(x)=cos 2 (x) е периодична и намерете нейния главен период.

Задача 3. Намерете главния период на функцията

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Нека приемем T-периода на функцията, тогава за всеки хсъотношението е валидно

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ако x=0, тогава

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Ако x=-T, тогава

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

– sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Събирайки го, получаваме:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Това означава, че това е основният период на функцията f.

Задача 4. Да проверим дали функцията f(x)=sin(x) е периодична

Нека T е периодът на функцията f. Тогава за всяко x

sin|x+Т|=sin|x|

Ако x=0, тогава sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Да предположим. Че за някое n числото π n е периодът

разглежданата функция π n>0. Тогава sin|π n+x|=sin|x|

Задача 5. Проверете дали функцията е периодична

f(x)=

Тогава нека T е периодът на f

Тъй като числителите са равни, следователно знаменателите им са равни

Това означава, че функцията f не е периодична.

Работа в групи.

Задачи за 1 група.

Задачи за 2 група.

Проверете дали функцията f е периодична и намерете нейния основен период (ако съществува).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Задачи за 3 група.

В края на работата си групите представят своите решения.

VI. Обобщаване на урока.

Отражение.

VII. Домашна работа

1). Проверете дали функцията f е периодична и намерете нейния основен период (ако съществува)

б). f(x)=x 2 -2x+4

° С). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функцията y=f(x) има период T=2 и f(x)=x 2 +2x за x € [-2; 0]. Намерете стойността на израза -2f(-3)-4f(3,5)

Литература/

Мордкович А.Г.Алгебра и начало на анализа със задълбочено изучаване.
Математика. Подготовка за Единния държавен изпит. Изд. Лисенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А.Алгебра и начален анализ за 10-11 клас.

Повтаряне на стойностите му в някакъв редовен интервал на аргумент, тоест не променяне на стойността му при добавяне на някакво фиксирано ненулево число към аргумента ( Периодфункции) в цялата област на дефиниция.

По-формално казано, функцията се нарича периодична с период T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), ако за всяка точка x (\displaystyle x)от неговата област на дефиниране на точката x + T (\displaystyle x+T)И x − T (\displaystyle x-T)също принадлежат към неговата област на дефиниция и за тях равенството е в сила f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Въз основа на определението, равенството е вярно и за периодична функция f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Където n (\displaystyle n)- произволно цяло число.

Въпреки това, ако набор от периоди ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle $T,T>0,T\in \mathbb (R) $)има най-малка стойност, тогава тя се извиква основен (или основен) периодфункции.

Примери

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x, cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

Функцията на Дирихле е периодична; нейният период е всяко ненулево рационално число. Освен това няма основен период.

Някои характеристики на периодичните функции

И T 2 (\displaystyle T_(2))(това число обаче ще бъде просто точка). Например функцията f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x))основният период е 2 π (\displaystyle 2\pi ), на функцията g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x))периодът е равен на 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), и тяхната сума f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x))основният период очевидно е равен на π (\displaystyle \pi ).

Сумата от две функции с несъизмерими периоди не винаги е непериодична функция.

UDC 517.17+517.51

ПЕРИОД НА СУМАТА ОТ ДВЕ ПЕРИОДИЧНИ ФУНКЦИИ

A/O. Евнин

Работата напълно решава въпроса какъв може да бъде главният период на една периодична функция, която е сбор от две периодични функции с известни главни периоди. Изследван е и случаят на липса на главен период за периодична сума от периодични функции.

Разглеждаме функции с реални стойности на реална променлива. В енциклопедичното издание, в статията „Периодични функции“, можете да прочетете: „Сумата от периодични функции с различни периоди е периодична само ако техните периоди са съизмерими.“ Това твърдение е вярно за непрекъснати функции1, но не е валидно в общия случай. Контрапример от много обща форма е конструиран в . В тази статия откриваме какъв може да бъде основният период на периодична функция, който е сумата от две периодични функции с известни основни периоди.

Предварителна информация

Припомнете си, че функция / се нарича периодична, ако за определено число T F O за всяко x от областта на дефиницията D(f) числата x + T и x - T принадлежат на D(f) и равенствата f(x + T) = f( x) =f(x ~ T). В този случай числото Г се нарича период на функцията.

Най-малкият положителен период на функцията (ако, разбира се, съществува) ще наричаме основен период. Известен е следният факт.

Теорема 1. Ако една функция има главен период To, то всеки период на функцията има формата nTo, където n Ф 0 е цяло число.

Казват, че числата T\ и T2 са съизмерими, ако има число T0, което се вписва както в T\, така и в T2 цял брой пъти: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. В противен случай числата T\ и T2 са наречени несъизмерими. Следователно съизмеримостта (несъизмеримостта) на периодите означава, че тяхното отношение е рационално (ирационално) число.

От теорема 1 следва, че за функция, която има основен период, всеки два периода са съизмерими.

Класически пример за функция, която няма най-малък период, е функцията на Дирихле, която е равна на 1 в рационални точки и нула в ирационални точки. Всяко рационално число, различно от нула, е периодът на функцията на Дирихле, а всяко ирационално число не е нейният период. Както виждаме, и тук всеки два периода са сравними.

Нека дадем пример за непостоянна периодична функция, която има несъизмерими периоди.

Нека функцията /(x) е равна на 1 в точки от формата /u + la/2, m, n e Z и равна на

нула. Сред периодите на тази функция има 1 и l

Период на сума от функции със съизмерими периоди

Теорема 2. Нека fug са периодични функции с главни периоди mT0 и „Това, където типът

Взаимно прости числа. Тогава основният период на тяхната сума (ако съществува) е равен на -

където k е естествено число, взаимно просто на числото mn.

Доказателство. Нека h = / + g. Очевидно числото mnT0 е периодът на h. Посредством

от теорема 1 главният период h има формата където k е някакво естествено число. Предполага се

Да приемем, че k не е относително просто с числото m, т.е. k - dku m = dm\, където d> 1 е най-много

1 Красиво доказателство, че сумата от всеки краен брой непрекъснати функции с по двойки несъизмерими периоди е непериодична, се съдържа в статията Вижте също.

по-голям общ делител на числата m и k.Тогава периодът на функцията k е равен на

и функцията f=h-g

има период mxnTo, който не е кратен на неговия основен период mTQ. Получава се противоречие с теорема 1. Това означава, че k е взаимно просто с m. По същия начин числата k и n са взаимно прости. Следователно A: е взаимно просто с m. □

Теорема 3. Нека m, n и k са двойки взаимно прости числа и T0 е положително число. Тогава съществуват периодични функции fug, така че главните периоди f, g и (f + g) са

ние сме съответно tT$, nTQ и -

Доказателство. Доказателството на теоремата ще бъде конструктивно: просто ще изградим съответен пример. Нека първо формулираме следния резултат. Изявление. Нека m са относително прости числа. След това функциите

fx - cos- + cos--- и f2= cos- m n m

cos- имат основен период от 2ktp. П

Доказателство за твърдението. Очевидно числото 2ptn е периодът на двете функции. Лесно можете да проверите, че този период е основният за функцията.Нека намерим неговите максимални точки.

x = 2lM, te Z.

Имаме = n!. От взаимната простота на типа следва, че 5 е кратно на /r, т.е. i = I e b. Това означава, че /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2 и разстоянието между съседните точки на максимума на функцията /\ е равно на 2ktp, а положителният период /1 не може да бъде по-малък от числото 2 spp .

За функцията прилагаме разсъждение от различен вид (което също е подходящо за функцията но

по-малко елементарно). Както показва теорема 1, главният период Г на функция/2 има формата -,

където k е някакво естествено число, взаимно просто с типа. Числото G също ще бъде периодът на функцията

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 cos

всички периоди от които имат формата 2pp1. Така,

2nnl, т.е. t = kl. Тъй като t и k са взаимно

sty, следва, че k = 1.

Сега, за да докажем теорема 3, можем да конструираме необходимия пример. Пример. Нека m, n и k са по двойки относително прости числа и поне едно от числата n или k е различно от 1. Тогава pf k и по силата на доказаното твърдение на функцията

/ (x) = cos--- + cos- t до

И g(x) = cos-cos - p до

имат основни периоди от съответно 2 ltk и 2 tk и тяхната сума

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

основният период е 2 ttp.

Ако n = k = 1, тогава двойка функции ще свършат работа

f(x)-2 cos- + COS X и g(x) - COS X. m

Основните им периоди, както и периодът на функцията k(x) - 2, са равни съответно на 2lm, 2/gi 2тип.

колко лесно се проверява.

Математика

Нека означим T = 2lx. За произволни двойки взаимно прости числа mn, n и k, функциите f и £ са посочени така, че главните периоди на функциите f, g и f + g са равни на mT, nT и

Условията на теоремата се изпълняват от функциите / - п;

Период на сума от функции с несъизмерими периоди

Следващото твърдение е почти очевидно.

Теорема 4. Нека fug са периодични функции с несъизмерими главни периоди Т) и Т2 и сумата от тези функции h = f + g е периодична и има главен период Т. Тогава числото Т е несъизмеримо нито с Т], нито с Т2.

Доказателство. От една страна, ако числата TnT) са съизмерими, то функцията g = h-f има период, съизмерим с Г]. От друга страна, по силата на теорема 1 всеки период на функцията g е кратен на числото T2. Получаваме противоречие с несъизмеримостта на числата Т\ и Т2. По подобен начин се доказва несъизмеримостта на числата T и T2, d

Забележителен и дори донякъде изненадващ факт е, че е вярно и обратното на теорема 4. Има широко разпространено погрешно схващане, че сумата от две периодични функции с несъизмерими периоди не може да бъде периодична функция. Всъщност това не е така. Освен това периодът на сумата може да бъде всяко положително число, което удовлетворява твърдението на теорема 4.

Теорема 5. Нека Т\, Т2 и Т~ са по двойки несъизмерими положителни числа. Тогава съществуват периодични функции fug, така че тяхната сума h =/+ g е периодична, а главните периоди на функцията f guh са равни на Th T2 и T, съответно.

Доказателство. Доказателството отново ще бъде градивно. Нашите конструкции ще зависят значително от това дали числото T е представимо или не под формата на рационална комбинация T = aT\ + pT2 (a и P са рационални числа) на периодите T\ и T2.

I. T не е рационална комбинация от Tg и J2-

Нека A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) е множеството от целочислени линейни комбинации на числата T1 T2 и T. Незабавно отбелязваме, че ако дадено число е представимо във формата mT\ + nT2 + kT, тогава такова представяне е уникално. Наистина, ако mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9 тогава

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Тъ и за k\ * k2 получаваме, че T се изразява рационално чрез T] и T2. Това означава k\ = k2. Сега от несъизмеримостта на числата T\ и T2 веднага се получават равенствата m\ = m2 и u = n2.

Важен факт е, че множествата A и неговото допълнение A са затворени спрямо събирането на числа от A: ако x e A и y e A, то x + y e A; ако x e A и y e A, тогава x + y e A.

Да приемем, че във всички точки на множеството A функциите / и g са равни на нула, а върху множеството A дефинираме тези функции, както следва:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.

Тъй като, както беше показано, от числото x e A коефициентите m, пик на линейната комбинация от периодите T1 T2 и T се възстановяват еднозначно, посочените назначения на функциите / и g са правилни.

Функцията h =/ + g на множество A е равна на нула, а в точките на множество A е равна на

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Чрез директно заместване е лесно да се провери, че числото T\ е периодът на функцията f, числото T2 е периодът на g, а T~ е периодът на h. Нека покажем, че тези периоди са основните.

Първо, отбелязваме, че всеки период на функцията / принадлежи на множеството A. Наистина,

ако 0 fx в A,y e A, тогава ox + y e A и f(x + y) = 0 *f(x). Това означава, че y e A не е периодът на функцията /

Нека сега x2 са неравни числа и f(x 1) ~f(x2). От дефиницията на функцията / оттук получаваме, че x\ - x2 = 1ТБ където I е някакво ненулево цяло число. Следователно всеки период на функцията е кратен на T\. Така Tx наистина е основният период/

Твърденията относно Т2 и Т се проверяват по същия начин.

Коментирайте. В книгата на стр. 172-173 е дадена друга обща конструкция за случай I.

II. Т е рационална комбинация от Т\ и Т2.

Нека представим рационална комбинация от периоди T\ и T2 във формата Г = - (кхТх + к2Т2), където кх и

k2™ взаимнопрости цели числа, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? и d са естествени числа. Нека въведем leZ>.

рени комплект Б----

Да приемем, че във всички точки на множество B функциите f и g са равни на нула, а върху множество B дефинираме тези функции, както следва:

^ mT\ + nT2 L I

^ mTx + nT2 L

Тук, както обикновено, [x] и (x) означават съответно целите и дробните части на числата. Функцията k =/+ d на множество B е равна на нула, а в точките на множество B е равна на

fmTx +pT: l H

Чрез директно заместване е лесно да се провери, че числото Tx е периодът на функцията /, числото T2 е периодът g, а T е периодът h. Нека покажем, че тези периоди са основните.

Всеки период на функцията / принадлежи на множеството B. Действително, ако 0 * x e B, y e B, тогава f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Следователно, y e B _ Нефункционален период/

И така, всеки период на функцията / има формата Тy =

Където 5i и 52 са цели числа. Позволявам

x = -7] 4- -Г2, x e 5. Ако i = 0, тогава f(i) е рационално число. Сега от рационалността на числото /(x + 7)) следва равенството -I - I - 0. Това означава, че имаме равенството 52 = Xp, където X е някакво цяло число

номер. Отношението /(x + 7)) = /(x) приема формата

^P + I + I w +

Това равенство трябва да е валидно за всички цели числа. При t-n~ 0 дясната страна на (1) е равна на

до нула. Тъй като дробните части са неотрицателни, от това получаваме, че -<0, а при

m = n = d - ] сборът от дробните части от дясната страна на равенство (1) не е по-малък от сбора от дробните части h-X

tey отляво. Това означава - >0. Така X = 0 и 52 = 0. Следователно периодът на функцията / има формата

и равенството (1) става

n\ | и 52 са цели числа. От отношенията

th(0) = 0 = th(GA) =

намираме, че числата 51 и ^ трябва да са кратни на p, т.е. за някои цели числа Ax и A2 имаме 51 = A\p, E2 = A2p. Тогава връзката (3) може да бъде пренаписана като

От равенството A2kx = k2A\ и взаимната простота на числата k\ и k2 следва, че A2 се дели на k2. Оттук

за някакво цяло число t са валидни равенствата A2 = k2t и Ax ~ kxt, т.е. Th ~-(kxTx + k2T2).

Показано е, че всеки период на функцията h е кратен на периода T = - (k(Gx + k2T2)9, което по този начин

zom, е основният. □

Няма основен период

Теорема 6. Нека Тх и Т2~ са произволни положителни числа. Тогава съществуват периодични функции fug такива, че главните им периоди са равни съответно на Т\ и Т2, а сумата им h=f+g е периодична, но няма главен период.

Доказателство. Нека разгледаме два възможни случая.

I. Периодите Tx и T2 са несъизмерими.

Нека A = + nT2 +kT\ . Както по-горе, лесно е да се покаже, че ако числото

може да се представи във формата mTx + nT2 + kT, тогава такова представяне е уникално.

/от; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Лесно е да се провери, че числото Tx е основният период на функцията /, числото T2 е главният период g, а за всяко рационално k числото kT е периодът на функцията h - f + g, което, следователно няма най-малък период.

II. Периодите Tx и T2 са сравними.

Нека Tx = mT0, T2 = nT0, където T0 > O, m и n са естествени числа. Нека въведем под внимание множеството I = +.

Да приемем, че във всички точки на множество B функциите fug са равни на нула, а върху множество B дефинираме тези функции, както следва:

/((/ + ShT0) = Shch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.

Функцията h ~ / + g на множество B е равна на нула, а в точките на множество B е равна на

Лесно се проверява, че числото 7j = mTQ е главният период на функцията /, числото T2 ~ nT0 е главният период на g, докато сред периодите на функцията h~ f + g има всички числа на форма l/2kT0, където k е произволно рационално число. □

Конструкциите, доказващи теорема 6, се основават на несъизмеримостта на периодите на функцията h~ / + g с периодите на функциите / и g. В заключение, нека дадем пример за функции fug, така че всички периоди на функциите /, g и / + g са съизмерими помежду си, но / и g имат основни периоди, докато f + g не.

Нека m е някакво фиксирано естествено число, M множеството от несъкратими нецели дроби, чиито числители са кратни на m. Да сложим

1 ако heM; 1

ifhe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O в други случаи; 1 ако xeMU

~, ifhe2 2

[О, иначе.

Лесно се вижда, че главните периоди на функциите fug са равни съответно на m и 1, докато сумата / + g има период от произволно число от вида m/n, където n е произволно естествено число, взаимно просто с м.

Литература

1. Математически енциклопедичен речник/гл. изд. Ю.В. Прохоров - М.: Сов. енциклопедия, 1988г.

2. Микаелян Л.В., Седракян Н.М. За периодичността на сумата от периодични функции // Математическо образование. - 2000. - № 2(13). - стр. 29-33.

3. Геренштейн А.Б., Евнин А.Ю. За сумата от периодични функции // Математика в училище. -2002. - № 1. - С. 68-72.

4. Ивлев Б.М. и др.Сборник задачи по алгебра и принципи на анализа за 9 и 10 клас. - М.: Образование, 1978.