За да получим общото уравнение на равнина, нека анализираме равнината, минаваща през дадена точка.

Нека има три координатни оси, които вече са ни известни в пространството - вол, ОйИ Оз. Дръжте листа хартия така, че да остане плосък. Самолетът ще бъде самият лист и неговото продължение във всички посоки.

Позволявам Ппроизволна равнина в пространството. Всеки вектор, перпендикулярен на него, се нарича нормален вектор към този самолет. Естествено, говорим за ненулев вектор.

Ако някоя точка от равнината е известна Пи някакъв нормален вектор към него, тогава от тези две условия равнината в пространството е напълно дефинирана(през дадена точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на дадения вектор). Общото уравнение на равнината ще бъде:

И така, условията, които определят уравнението на равнината, са. За да получите себе си уравнение на равнината, имайки горната форма, вземете в самолета Ппроизволен точка М с променливи координати х, г, z. Тази точка принадлежи на равнината само ако вектор перпендикулярен на вектора(Фиг. 1). За това, съгласно условието за перпендикулярност на векторите, е необходимо и достатъчно скаларното произведение на тези вектори да бъде равно на нула, т.е.

Векторът се определя от условие. Намираме координатите на вектора с помощта на формулата :

.

Сега използваме формулата за скаларно произведение на вектори , изразяваме скаларното произведение в координатна форма:

Тъй като точката M(x; y; z)се избира произволно в равнината, тогава последното уравнение е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща в равнината П. За точка н, нележаща на дадена равнина, т.е. равенството (1) е нарушено.

Пример 1.Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка и перпендикулярна на вектора.

Решение. Нека използваме формула (1) и я погледнем отново:

В тази формула числата А , бИ ° Свекторни координати и числа х0 , г0 И z0 - координати на точката.

Изчисленията са много прости: заместваме тези числа във формулата и получаваме

Умножаваме всичко, което трябва да се умножи и добавяме само числа (които нямат букви). Резултат:

.

Търсеното уравнение на равнината в този пример се оказа изразено чрез общо уравнение от първа степен по отношение на променливи координати x, y, zпроизволна точка от равнината.

И така, уравнение от формата

Наречен общо уравнение на равнината .

Пример 2.Построете в правоъгълна декартова координатна система равнина, дадена от уравнението .

Решение. За да се построи равнина, е необходимо и достатъчно да се знаят три нейни точки, които не лежат на една права линия, например точките на пресичане на равнината с координатните оси.

Как да намерите тези точки? За намиране на пресечната точка с оста Оз, трябва да замените нули за X и Y в уравнението, дадено в описанието на проблема: х = г= 0 . Следователно получаваме z= 6. Така дадената равнина пресича оста Озв точката А(0; 0; 6) .

По същия начин намираме пресечната точка на равнината с оста Ой. При х = z= 0 получаваме г= −3, тоест точката б(0; −3; 0) .

И накрая намираме пресечната точка на нашата равнина с оста вол. При г = z= 0 получаваме х= 2, тоест точка ° С(2; 0; 0) . Въз основа на трите точки, получени в нашето решение А(0; 0; 6) , б(0; −3; 0) и ° С(2; 0; 0) построи дадената равнина.

Нека сега да разгледаме специални случаи на общото уравнение на равнината. Това са случаи, когато определени коефициенти на уравнение (2) стават нула.

1. Кога D= 0 уравнение определя равнина, минаваща през началото, тъй като координатите на точката 0 (0; 0; 0) удовлетворяват това уравнение.

2. Кога А= 0 уравнение определя равнина, успоредна на оста вол, тъй като нормалният вектор на тази равнина е перпендикулярен на оста вол(неговата проекция върху оста волравно на нула). По същия начин, когато B= 0 самолет успоредна на оста Ой, и когато C= 0 самолет успоредна на оста Оз.

3. Кога A=D= 0 уравнение дефинира равнина, минаваща през оста вол, тъй като е успореден на оста вол (А=D= 0). По същия начин равнината минава през оста Ой, а равнината през оста Оз.

4. Кога A=B= 0 уравнение определя равнина, успоредна на координатната равнина xOy, тъй като е успореден на осите вол (А= 0) и Ой (б= 0). По същия начин равнината е успоредна на равнината yOz, а самолетът си е самолет xOz.

5. Кога A=B=D= 0 уравнение (или z = 0) определя координатната равнина xOy, тъй като е успореден на равнината xOy (A=B= 0) и минава през началото ( D= 0). По същия начин, ур. y = 0 в пространството определя координатната равнина xOz, и уравнението x = 0 - координатна равнина yOz.

Пример 3.Създайте уравнение на равнината П, минаваща през оста Ойи точка.

Решение. Така че равнината минава през оста Ой. Следователно в нейното уравнение г= 0 и това уравнение има формата . За определяне на коефициентите АИ ° Снека се възползваме от факта, че точката принадлежи на равнината П .

Следователно сред неговите координати има такива, които могат да бъдат заменени в уравнението на равнината, което вече сме извели (). Нека погледнем отново координатите на точката:

М0 (2; −4; 3) .

Между тях х = 2 , z= 3 . Заместваме ги в общото уравнение и получаваме уравнението за нашия конкретен случай:

2А + 3° С = 0 .

Оставете 2 Аот лявата страна на уравнението, преместете 3 ° Сот дясната страна и получаваме

А = −1,5° С .

Заместване на намерената стойност Ав уравнението, получаваме

или .

Това е уравнението, изисквано в примерното условие.

Решете сами проблема с уравнението на равнината и след това вижте решението

Пример 4.Дефинирайте равнина (или равнини, ако са повече от една) по отношение на координатните оси или координатните равнини, ако равнината(ите) е дадена от уравнението.

Решенията на типичните задачи, които възникват по време на тестове, са в учебника „Задачи на равнина: успоредност, перпендикулярност, пресичане на три равнини в една точка“.

Уравнение на равнина, минаваща през три точки

Както вече споменахме, необходимо и достатъчно условие за построяване на равнина, освен една точка и нормалния вектор, са и три точки, които не лежат на една права.

Нека са дадени три различни точки , и , които не лежат на една и съща линия. Тъй като посочените три точки не лежат на една и съща права, векторите не са колинеарни и следователно всяка точка в равнината лежи в същата равнина с точките и тогава и само ако векторите , и копланарен, т.е. тогава и само когато смесен продукт на тези векторие равно на нула.

Използвайки израза за смесеното произведение в координати, получаваме уравнението на равнината

(3)

След разкриване на детерминантата това уравнение става уравнение от вида (2), т.е. общо уравнение на равнината.

Пример 5.Напишете уравнение за равнина, минаваща през дадени три точки, които не лежат на една и съща права линия:

и определяне на специален случай на общото уравнение на линия, ако има такъв.

Решение. Съгласно формула (3) имаме:

Уравнение на нормална равнина. Разстояние от точка до равнина

Нормалното уравнение на равнина е нейното уравнение, записано във формата

Ако всички числа A, B, C и D са различни от нула, тогава общото уравнение на равнината се нарича пълен. В противен случай се нарича общото уравнение на равнината непълна.

Нека разгледаме всички възможни общи непълни уравнения на равнината в правоъгълната координатна система Oxyz в тримерното пространство.

Нека D = 0, тогава имаме общо непълно уравнение на равнината от вида . Тази равнина в правоъгълната координатна система Oxyz минава през началото. Наистина, когато заместваме координатите на точка в полученото непълно уравнение на равнината, стигаме до тъждеството .

За , или , или имаме общи непълни уравнения на равнините съответно , или , или . Тези уравнения определят равнини, успоредни съответно на координатните равнини Oxy, Oxz и Oyz (вижте статията за условието за успоредни равнини) и минаващи през точките и съответно. При. Тъй като точката принадлежи на равнината по условие, то координатите на тази точка трябва да удовлетворяват уравнението на равнината, тоест равенството трябва да е вярно. От тук намираме. Така търсеното уравнение има формата .

Нека представим втория начин за решаване на този проблем.

Тъй като равнината, чието общо уравнение трябва да съставим, е успоредна на равнината Oyz, тогава като неин нормален вектор можем да вземем нормалния вектор на равнината Oyz. Нормалният вектор на координатната равнина Oyz е координатният вектор. Сега знаем нормалния вектор на равнината и точката на равнината, следователно можем да напишем нейното общо уравнение (решихме подобен проблем в предишния параграф на тази статия):
, то нейните координати трябва да удовлетворяват уравнението на равнината. Следователно равенството е вярно откъдето го намираме. Сега можем да напишем желаното общо уравнение на равнината, то има формата .

Отговор:

Библиография.

• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Може да се задава по различни начини (една точка и вектор, две точки и вектор, три точки и т.н.). Имайки предвид това, уравнението на равнината може да има различни форми. Освен това, при определени условия, равнините могат да бъдат успоредни, перпендикулярни, пресичащи се и т.н. Ще говорим за това в тази статия. Ще научим как да създадем общо уравнение на равнина и много повече.

Нормална форма на уравнение

Да кажем, че има пространство R 3, което има правоъгълна XYZ координатна система. Нека дефинираме вектора α, който ще се освободи от началната точка O. През края на вектора α прекарваме равнина P, която ще бъде перпендикулярна на него.

Нека означим произволна точка на P като Q = (x, y, z). Нека подпишем радиус вектора на точка Q с буквата p. В този случай дължината на вектора α е равна на р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Това е единичен вектор, който е насочен настрани, като вектора α. α, β и γ са ъглите, които се образуват съответно между вектора Ʋ и положителните посоки на пространствените оси x, y, z. Проекцията на всяка точка QϵП върху вектора Ʋ е постоянна стойност, равна на p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Горното уравнение има смисъл, когато p=0. Единственото нещо е, че равнината P в този случай ще пресича точката O (α=0), която е началото на координатите, а единичният вектор Ʋ, освободен от точката O, ще бъде перпендикулярен на P, независимо от посоката си, което означава, че векторът Ʋ е определен с точност до знака. Предишното уравнение е уравнението на нашата равнина P, изразено във векторна форма. Но в координати ще изглежда така:

P тук е по-голямо или равно на 0. Намерихме уравнението на равнината в пространството в нормална форма.

Общо уравнение

Ако умножим уравнението в координати по произволно число, което не е равно на нула, получаваме уравнение, еквивалентно на това, определящо същата тази равнина. Ще изглежда така:

Тук A, B, C са числа, които едновременно са различни от нула. Това уравнение се нарича общо уравнение на равнината.

Уравнения на равнини. Особени случаи

Уравнението в общ вид може да бъде модифицирано при наличие на допълнителни условия. Нека разгледаме някои от тях.

Да приемем, че коефициентът A е 0. Това означава, че тази равнина е успоредна на дадената ос Ox. В този случай формата на уравнението ще се промени: Ву+Cz+D=0.

По същия начин формата на уравнението ще се промени при следните условия:

• Първо, ако B = 0, тогава уравнението ще се промени на Ax + Cz + D = 0, което ще покаже успоредност на оста Oy.
• Второ, ако C=0, тогава уравнението ще се трансформира в Ax+By+D=0, което ще покаже успоредност на дадената ос Oz.
• Трето, ако D=0, уравнението ще изглежда като Ax+By+Cz=0, което ще означава, че равнината пресича O (началото).
• Четвърто, ако A=B=0, тогава уравнението ще се промени на Cz+D=0, което ще се окаже успоредно на Oxy.
• Пето, ако B=C=0, тогава уравнението става Ax+D=0, което означава, че равнината на Oyz е успоредна.
• Шесто, ако A=C=0, тогава уравнението ще приеме формата Ву+D=0, тоест ще отчете паралелност на Oxz.

Вид уравнение в сегменти

В случай, че числата A, B, C, D са различни от нула, формата на уравнение (0) може да бъде както следва:

x/a + y/b + z/c = 1,

в която a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Получаваме като резултат Струва си да се отбележи, че тази равнина ще пресича оста Ox в точка с координати (a,0,0), Oy - (0,b,0) и Oz - (0,0,c ).

Като вземем предвид уравнението x/a + y/b + z/c = 1, не е трудно визуално да си представим разположението на равнината спрямо дадена координатна система.

Нормални векторни координати

Нормалният вектор n към равнината P има координати, които са коефициенти на общото уравнение на тази равнина, тоест n (A, B, C).

За да се определят координатите на нормалата n, е достатъчно да се знае общото уравнение на дадена равнина.

Когато използвате уравнение в сегменти, което има формата x/a + y/b + z/c = 1, както и когато използвате общо уравнение, можете да запишете координатите на всеки нормален вектор на дадена равнина: (1 /a + 1/b + 1/ С).

Струва си да се отбележи, че нормалният вектор помага за решаването на различни проблеми. Най-често срещаните включват задачи, които включват доказване на перпендикулярността или успоредността на равнините, задачи за намиране на ъгли между равнини или ъгли между равнини и прави.

Вид уравнение на равнината според координатите на точката и нормален вектор

Ненулев вектор n, перпендикулярен на дадена равнина, се нарича нормален за дадена равнина.

Да приемем, че в координатното пространство (правоъгълна координатна система) са дадени Oxyz:

• точка Mₒ с координати (xₒ,yₒ,zₒ);
• нулев вектор n=A*i+B*j+C*k.

Необходимо е да се създаде уравнение за равнина, която ще минава през точката Mₒ перпендикулярно на нормалата n.

Избираме произволна точка в пространството и я обозначаваме с M (x y, z). Нека радиус векторът на всяка точка M (x,y,z) е r=x*i+y*j+z*k, а радиус векторът на точката Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Точка M ще принадлежи на дадена равнина, ако векторът MₒM е перпендикулярен на вектор n. Нека напишем условието за ортогоналност, като използваме скаларното произведение:

[MₒM, n] = 0.

Тъй като MₒM = r-rₒ, векторното уравнение на равнината ще изглежда така:

Това уравнение може да има друга форма. За да направите това, се използват свойствата на скаларното произведение и лявата страна на уравнението се трансформира. = - . Ако го означим като c, получаваме следното уравнение: - c = 0 или = c, което изразява постоянството на проекциите върху нормалния вектор на радиус-векторите на дадени точки, които принадлежат на равнината.

Сега можем да получим координатната форма на запис на векторното уравнение на нашата равнина = 0. Тъй като r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k и n = A*i+B *j+С*k, имаме:

Оказва се, че имаме уравнение за равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на нормалата n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Вид уравнение на равнината според координатите на две точки и вектор, колинеарен на равнината

Нека дефинираме две произволни точки M′ (x′,y′,z′) и M″ (x″,y″,z″), както и вектор a (a′,a″,a‴).

Сега можем да създадем уравнение за дадена равнина, която ще минава през съществуващите точки M′ и M″, както и всяка точка M с координати (x, y, z), успоредни на дадения вектор a.

В този случай векторите M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) и M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) трябва да са копланарни с вектора a=(a′,a″,a‴), което означава, че (M′M, M″M, a)=0.

И така, нашето уравнение на равнината в пространството ще изглежда така:

Вид уравнение на равнина, пресичаща три точки

Да кажем, че имаме три точки: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), които не принадлежат на една и съща права. Необходимо е да се напише уравнението на равнина, минаваща през дадени три точки. Теорията на геометрията твърди, че този вид равнина наистина съществува, но е единствената и уникална. Тъй като тази равнина пресича точката (x′,y′,z′), формата на нейното уравнение ще бъде както следва:

Тук A, B, C са различни от нула едновременно. Освен това дадената равнина пресича още две точки: (x″,y″,z″) и (x‴,y‴,z‴). В тази връзка трябва да бъдат изпълнени следните условия:

Сега можем да създадем хомогенна система с неизвестни u, v, w:

В нашия случай x, y или z е произволна точка, която удовлетворява уравнение (1). Като се има предвид уравнение (1) и системата от уравнения (2) и (3), системата от уравнения, посочена на фигурата по-горе, се удовлетворява от вектора N (A,B,C), който е нетривиален. Ето защо детерминантата на тази система е равна на нула.

Уравнение (1), което получихме, е уравнението на равнината. Минава точно през 3 точки и това лесно се проверява. За да направим това, трябва да разширим нашата детерминанта в елементите в първия ред. От съществуващите свойства на детерминантата следва, че нашата равнина пресича едновременно три първоначално дадени точки (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Тоест, ние сме решили поставената ни задача.

Двустенен ъгъл между равнините

Двустенният ъгъл е пространствена геометрична фигура, образувана от две полуравнини, които излизат от една права линия. С други думи, това е частта от пространството, която е ограничена от тези полуравнини.

Да кажем, че имаме две равнини със следните уравнения:

Знаем, че векторите N=(A,B¹,C) и N¹=(A¹,B¹,C¹) са перпендикулярни спрямо дадените равнини. В тази връзка ъгълът φ между векторите N и N¹ е равен на ъгъла (двустен), който се намира между тези равнини. Точковият продукт има формата:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

именно защото

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Достатъчно е да се вземе предвид, че 0≤φ≤π.

Всъщност две равнини, които се пресичат, образуват два ъгъла (двустен): φ 1 и φ 2. Тяхната сума е равна на π (φ 1 + φ 2 = π). Що се отнася до техните косинуси, техните абсолютни стойности са равни, но се различават по знак, т.е. cos φ 1 = -cos φ 2. Ако в уравнение (0) заместим A, B и C съответно с числата -A, -B и -C, тогава уравнението, което получаваме, ще определи същата равнина, единствената, ъгълът φ в уравнението cos φ= NN 1 /|N||N 1 | ще бъде заменен с π-φ.

Уравнение на перпендикулярна равнина

Равнините, между които ъгълът е 90 градуса, се наричат ​​перпендикулярни. Използвайки материала, представен по-горе, можем да намерим уравнението на равнина, перпендикулярна на друга. Да кажем, че имаме две равнини: Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Можем да кажем, че те ще бъдат перпендикулярни, ако cosφ=0. Това означава, че NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Уравнение на паралелна равнина

Две равнини, които нямат общи точки, се наричат ​​успоредни.

Условието (техните уравнения са същите като в предходния параграф) е векторите N и N¹, които са перпендикулярни на тях, да са колинеарни. Това означава, че са изпълнени следните условия за пропорционалност:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ако условията за пропорционалност са разширени - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

това показва, че тези равнини съвпадат. Това означава, че уравненията Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 описват една равнина.

Разстояние до равнина от точка

Да кажем, че имаме равнина P, която е дадена от уравнение (0). Необходимо е да се намери разстоянието до него от точка с координати (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. За да направите това, трябва да приведете уравнението на равнината P в нормална форма:

(ρ,v)=р (р≥0).

В този случай ρ (x,y,z) е радиус векторът на нашата точка Q, разположена върху P, p е дължината на перпендикуляра P, който е освободен от нулевата точка, v е единичният вектор, който се намира в посоката а.

Разликата ρ-ρº радиус вектор на някаква точка Q = (x, y, z), принадлежаща на P, както и радиус векторът на дадена точка Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) е такъв вектор, абсолютната стойност на чиято проекция върху v е равна на разстоянието d, което трябва да се намери от Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) до P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Така се оказва

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Така ще намерим абсолютната стойност на получения израз, тоест желаното d.

Използвайки езика на параметрите, получаваме очевидното:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Ако дадена точка Q 0 е от другата страна на равнината P, като началото на координатите, тогава между вектора ρ-ρ 0 и v има следователно:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

В случай, че точката Q 0, заедно с началото на координатите, се намира от една и съща страна на P, тогава създаденият ъгъл е остър, т.е.

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

В резултат на това се оказва, че в първия случай (ρ 0 ,v)>р, във втория (ρ 0 ,v)<р.

Допирателна равнина и нейното уравнение

Допирателната равнина към повърхността в точката на контакт Mº е равнина, съдържаща всички възможни допирателни към кривите, начертани през тази точка на повърхността.

С този тип повърхностно уравнение F(x,y,z)=0, уравнението на допирателната равнина в допирателната точка Mº(xº,yº,zº) ще изглежда така:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ако посочите повърхността в ясна форма z=f (x,y), тогава допирателната равнина ще бъде описана от уравнението:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Пресечна точка на две равнини

В координатната система (правоъгълна) се намира Oxyz, дадени са две равнини П′ и П″, които се пресичат и не съвпадат. Тъй като всяка равнина, разположена в правоъгълна координатна система, се определя от общо уравнение, ще приемем, че P′ и P″ са дадени от уравненията A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x +B″y+ С″z+D″=0. В този случай имаме нормалата n′ (A′,B′,C′) на равнината P′ и нормалата n″ (A″,B″,C″) на равнината P″. Тъй като нашите равнини не са успоредни и не съвпадат, тези вектори не са колинеарни. Използвайки езика на математиката, можем да запишем това условие по следния начин: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Нека правата линия, която лежи в пресечната точка на P′ и P″, бъде означена с буквата a, в този случай a = P′ ∩ P″.

a е права линия, състояща се от набор от всички точки на (общите) равнини P′ и P″. Това означава, че координатите на всяка точка, принадлежаща на права a, трябва едновременно да отговарят на уравненията A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x+B″y+C″z+D″=0 . Това означава, че координатите на точката ще бъдат частично решение на следната система от уравнения:

В резултат на това се оказва, че (общото) решение на тази система от уравнения ще определи координатите на всяка от точките на правата, която ще действа като пресечна точка на P′ и P″, и ще определи правата линия a в Oxyz (правоъгълна) координатна система в пространството.

За да бъде начертана една равнина през всякакви три точки в пространството, е необходимо тези точки да не лежат на една и съща права линия.

Разгледайте точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) в общата декартова координатна система.

За да може произволна точка M(x, y, z) да лежи в една равнина с точките M 1, M 2, M 3, е необходимо векторите да са копланарни.

(
) = 0

По този начин,

Уравнение на равнина, минаваща през три точки:

Уравнение на равнина, дадени две точки и вектор, колинеарен на равнината.

Нека са дадени точките M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) и векторът
.

Нека създадем уравнение за равнина, минаваща през дадените точки M 1 и M 2 и произволна точка M (x, y, z), успоредна на вектора .

Вектори
и вектор
трябва да е копланарна, т.е.

(
) = 0

Уравнение на равнината:

Уравнение на равнина, използващо една точка и два вектора,

колинеарна на равнината.

Нека са дадени два вектора
И
, колинеарни равнини. Тогава за произволна точка M(x, y, z), принадлежаща на равнината, векторите
трябва да е копланарна.

Уравнение на равнината:

Уравнение на равнина чрез точка и нормален вектор .

Теорема. Ако в пространството е дадена точка M 0 (Х 0 , г 0 , z 0 ), тогава уравнението на равнината, минаваща през точка М 0 перпендикулярно на нормалния вектор (А, б, ° С) има формата:

А(х – х 0 ) + б(г – г 0 ) + ° С(z – z 0 ) = 0.

Доказателство. За произволна точка M(x, y, z), принадлежаща на равнината, съставяме вектор. защото вектор е нормалният вектор, тогава той е перпендикулярен на равнината и, следователно, перпендикулярен на вектора
. След това скаларното произведение

= 0

Така получаваме уравнението на равнината

Теоремата е доказана.

Уравнение на равнина в отсечки.

Ако в общото уравнение Ax + Bi + Cz + D = 0 разделим двете страни на (-D)

,

заместване
, получаваме уравнението на равнината в сегменти:

Числата a, b, c са пресечните точки на равнината съответно с осите x, y, z.

Уравнение на равнина във векторна форма.

Където

- радиус вектор на текущата точка M(x, y, z),

Единичен вектор с посока на перпендикуляр, пуснат върху равнина от началото.

,  и  са ъглите, образувани от този вектор с осите x, y, z.

p е дължината на този перпендикуляр.

В координати това уравнение изглежда така:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Разстояние от точка до равнина.

Разстоянието от произволна точка M 0 (x 0, y 0, z 0) до равнината Ax+By+Cz+D=0 е:

Пример.Намерете уравнението на равнината, като знаете, че точка P(4; -3; 12) е основата на перпендикуляра, пуснат от началото към тази равнина.

Така че A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, използваме формулата:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Пример.Намерете уравнението на равнина, минаваща през две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) перпендикулярно на равнината 3x + 2y – z + 5 = 0.

Нормален вектор към равнината 3x + 2y – z + 5 = 0
успоредна на желаната равнина.

Получаваме:

Пример.Намерете уравнението на равнината, минаваща през точки A(2, -1, 4) и

B(3, 2, -1) перпендикулярна на равнината х + при + 2z – 3 = 0.

Търсеното уравнение на равнината има вида: А х+Б г+C z+ D = 0, нормален вектор към тази равнина (A, B, C). вектор
(1, 3, -5) принадлежи на равнината. Дадената ни равнина, перпендикулярна на желаната, има нормален вектор (1, 1, 2). защото точки A и B принадлежат на двете равнини и равнините са взаимно перпендикулярни, тогава

И така, нормалният вектор (11, -7, -2). защото точка А принадлежи на желаната равнина, тогава нейните координати трябва да удовлетворяват уравнението на тази равнина, т.е. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Като цяло получаваме уравнението на равнината: 11 х - 7г – 2z – 21 = 0.

Пример.Намерете уравнението на равнината, като знаете, че точка P(4, -3, 12) е основата на перпендикуляра, пуснат от началото към тази равнина.

Намиране на координатите на нормалния вектор
= (4, -3, 12). Търсеното уравнение на равнината има вида: 4 х – 3г + 12z+ D = 0. За да намерим коефициента D, заместваме координатите на точка P в уравнението:

16 + 9 + 144 + D = 0

Като цяло получаваме необходимото уравнение: 4 х – 3г + 12z – 169 = 0

Пример.Дадени са координатите на върховете на пирамидата A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Намерете дължината на ръба A 1 A 2.

Намерете ъгъла между ръбовете A 1 A 2 и A 1 A 4.

Намерете ъгъла между ръба A 1 A 4 и лицето A 1 A 2 A 3.

Първо намираме нормалния вектор към лицето A 1 A 2 A 3 като кръстосано произведение на вектори
И
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Нека намерим ъгъла между нормалния вектор и вектора
.

-4 – 4 = -8.

Желаният ъгъл  между вектора и равнината ще бъде равен на  = 90 0 - .

Намерете площта на лицето A 1 A 2 A 3.

Намерете обема на пирамидата.

Намерете уравнението на равнината A 1 A 2 A 3.

Нека използваме формулата за уравнението на равнина, минаваща през три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Когато използвате компютърната версия “ Курс по висша математика” можете да стартирате програма, която ще реши горния пример за всякакви координати на върховете на пирамидата.

За да стартирате програмата, щракнете двукратно върху иконата:

В прозореца на програмата, който се отваря, въведете координатите на върховете на пирамидата и натиснете Enter. По този начин всички точки за решение могат да бъдат получени една по една.

Забележка: За да стартирате програмата, програмата Maple ( Waterloo Maple Inc.) от всяка версия, започваща с MapleV Release 4, трябва да бъде инсталирана на вашия компютър.

Уравнение на равнина. Как да напиша уравнение на равнина?
Взаимно разположение на равнините. Задачи

Пространствената геометрия не е много по-сложна от „плоската“ геометрия и нашите полети в космоса започват с тази статия. За да овладеете темата, трябва да имате добро разбиране на вектори, освен това е препоръчително да сте запознати с геометрията на равнината - ще има много прилики, много аналогии, така че информацията ще се усвоява много по-добре. В поредица от мои уроци 2D светът започва със статия Уравнение на права на равнина. Но сега Батман напусна плоския телевизионен екран и се изстрелва от космодрума Байконур.

Да започнем с чертежи и символи. Схематично равнината може да бъде начертана под формата на успоредник, което създава впечатление за пространство:

Самолетът е безкраен, но имаме възможност да изобразим само парче от него. На практика освен успоредника се рисува и овал или дори облак. По технически причини ми е по-удобно да изобразя самолета точно по този начин и точно в тази позиция. Реалните равнини, които ще разгледаме в практически примери, могат да бъдат разположени по всякакъв начин - мислено вземете чертежа в ръцете си и го завъртете в пространството, като придадете на равнината всякакъв наклон, всякакъв ъгъл.

Наименования: самолетите обикновено се обозначават с малки гръцки букви, очевидно за да не се бъркат с права линия в равнинаили със права линия в пространството. Свикнал съм да използвам писмото. На чертежа това е буквата "сигма", а не дупка изобщо. Въпреки че, дупчестият самолет със сигурност е доста забавен.

В някои случаи е удобно да се използват едни и същи гръцки букви с долни индекси за обозначаване на равнини, например .

Очевидно е, че равнината е еднозначно определена от три различни точки, които не лежат на една права. Следователно трибуквените обозначения на равнините са доста популярни - чрез принадлежащите им точки, например и т.н. Често буквите са оградени в скоби: , за да не объркате равнината с друга геометрична фигура.

За опитни читатели ще дам меню за бърз достъп:

• Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и два вектора?
• Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и нормален вектор?

и няма да изнемогваме в дълго чакане:

Общо уравнение на равнината

Общото уравнение на равнината има формата , където коефициентите не са равни на нула едновременно.

Редица теоретични изчисления и практически задачи са валидни както за обичайната ортонормална база, така и за афинната основа на пространството (ако маслото е масло, върнете се към урока Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите). За простота ще приемем, че всички събития се случват в ортонормална основа и декартова правоъгълна координатна система.

Сега нека упражним малко нашето пространствено въображение. Добре е, ако вашият е лош, сега ще го развием малко. Дори играта на нерви изисква обучение.

В най-общия случай, когато числата не са равни на нула, равнината пресича и трите координатни оси. Например така:

Още веднъж повтарям, че равнината продължава безкрайно във всички посоки и имаме възможност да изобразим само част от нея.

Нека разгледаме най-простите уравнения на равнините:

Как да разберем това уравнение? Помислете за това: "Z" ВИНАГИ е равно на нула за всякакви стойности на "X" и "Y". Това е уравнението на "родната" координатна равнина. Всъщност, формално уравнението може да бъде пренаписано, както следва: , откъдето можете ясно да видите, че не ни интересува какви стойности приемат „x“ и „y“, важно е „z“ да е равно на нула.

По същия начин:
– уравнение на координатната равнина;
– уравнение на координатната равнина.

Нека усложним малко задачата, помислете за равнина (тук и по-нататък в параграфа приемаме, че числовите коефициенти не са равни на нула). Нека пренапишем уравнението във формата: . Как да го разбираме? „X“ е ВИНАГИ, за всякакви стойности на „Y“ и „Z“, равни на определено число. Тази равнина е успоредна на координатната равнина. Например една равнина е успоредна на равнина и минава през точка.

По същия начин:
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната равнина;
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната равнина.

Нека добавим членове: . Уравнението може да бъде пренаписано по следния начин: , тоест „zet“ може да бъде всичко. Какво означава? “X” и “Y” са свързани с релацията, която чертае определена права линия в равнината (ще разберете уравнение на права в равнина?). Тъй като „z“ може да бъде всичко, тази права линия се „копира“ на всяка височина. По този начин уравнението определя равнина, успоредна на координатната ос

По същия начин:
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната ос;
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната ос.

Ако свободните членове са нула, тогава равнините ще минават директно през съответните оси. Например класическата „пряка пропорционалност“: . Начертайте права линия в равнината и мислено я умножете нагоре и надолу (тъй като "Z" е всяко). Извод: равнината, определена от уравнението, минава през координатната ос.

Завършваме прегледа: уравнението на равнината преминава през произхода. Е, тук е съвсем очевидно, че точката удовлетворява това уравнение.

И накрая, случаят, показан на чертежа: – равнината е приятелска с всички координатни оси, докато винаги „отрязва“ триъгълник, който може да бъде разположен във всеки от осемте октанта.

Линейни неравенства в пространството

За да разберете информацията, трябва да проучите добре линейни неравенства в равнината, защото много неща ще си приличат. Параграфът ще има кратък обзорен характер с няколко примера, тъй като материалът е доста рядък на практика.

Ако уравнението определя равнина, тогава неравенствата
питам полупространства. Ако неравенството не е строго (последните две в списъка), тогава решението на неравенството, освен полупространството, включва и самата равнина.

Пример 5

Намерете единичния нормален вектор на равнината .

Решение: Единичен вектор е вектор, чиято дължина е единица. Нека означим този вектор с . Абсолютно ясно е, че векторите са колинеарни:

Първо премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината: .

Как да намерим единичен вектор? За да намерите единичния вектор, трябва всекиразделете векторната координата на дължината на вектора.

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

Отговор:

Проверка: какво се изисква да бъде проверено.

Читателите, които внимателно са проучили последния параграф от урока, вероятно са забелязали това координатите на единичния вектор са точно насочващите косинуси на вектора:

Нека си дадем почивка от проблема: когато ви е даден произволен ненулев вектор, а според условието се изисква да се намерят неговите насочващи косинуси (вижте последните задачи от урока Точково произведение на вектори), тогава вие всъщност намирате единичен вектор, колинеарен на този. Всъщност две задачи в една бутилка.

Необходимостта да се намери единичният нормален вектор възниква в някои проблеми на математическия анализ.

Разбрахме как да намерим нормален вектор, сега нека отговорим на обратния въпрос:

Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и нормален вектор?

Тази твърда конструкция от нормален вектор и точка е добре позната на дъската за дартс. Моля, протегнете ръка напред и мислено изберете произволна точка в пространството, например малка котка в бюфета. Очевидно през тази точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на ръката ви.

Уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора, се изразява с формулата: