Přednáška na téma: "Trigonometrický tvar komplexního čísla." Komplexní čísla v goniometrickém tvaru Komplexní číslo zadané v goniometrickém tvaru

V této části si povíme více o goniometrickém tvaru komplexního čísla. U praktických úloh je demonstrativní forma mnohem méně obvyklá. Pokud je to možné, doporučuji stáhnout a vytisknout. trigonometrické tabulky, metodický materiál naleznete na stránce Matematické vzorce a tabulky. Bez stolů se daleko nedostanete.

Jakékoli komplexní číslo (kromě nuly) lze zapsat v trigonometrickém tvaru:

Kde to je modul komplexního čísla, A - argument komplexního čísla.

Představme číslo v komplexní rovině. Pro jednoznačnost a jednoduchost vysvětlení jej umístíme do prvního souřadnicového kvadrantu, tzn. Věříme tomu:

Modul komplexního čísla je vzdálenost od počátku k odpovídajícímu bodu v komplexní rovině. Jednoduše řečeno, modul je délka rádiusový vektor, který je na výkrese vyznačen červeně.

Modul komplexního čísla se obvykle označuje: nebo

Pomocí Pythagorovy věty lze snadno odvodit vzorec pro nalezení modulu komplexního čísla: . Tento vzorec je správný pro jakékoli významy „a“ ​​a „být“.

Poznámka : Modul komplexního čísla je zobecněním pojmu modul reálného čísla, jako vzdálenost od bodu k počátku.

Argument komplexního čísla volal roh mezi kladná poloosa skutečná osa a vektor poloměru nakreslený z počátku do odpovídajícího bodu. Argument není definován pro jednotné číslo:.

Uvažovaný princip je ve skutečnosti podobný polárním souřadnicím, kde polární poloměr a polární úhel jednoznačně definují bod.

Argument komplexního čísla se standardně označuje: nebo

Z geometrických úvah získáme následující vzorec pro nalezení argumentu:

. Pozornost! Tento vzorec funguje pouze ve správné polorovině! Pokud se komplexní číslo nenachází v 1. nebo 4. souřadnicovém kvadrantu, bude vzorec mírně odlišný. Budeme analyzovat i tyto případy.

Nejprve se však podívejme na nejjednodušší příklady, kdy jsou komplexní čísla umístěna na souřadnicových osách.

Příklad 7

Reprezentují komplexní čísla v goniometrickém tvaru: ,,,. Udělejme nákres:

Ve skutečnosti je úkol ústní. Pro přehlednost přepíšu trigonometrický tvar komplexního čísla:

Pamatujme si pevně, modul – délka(což je vždy nezáporné), argument - roh

1) Představme si číslo v trigonometrickém tvaru. Pojďme najít jeho modul a argument. To je zřejmé. Formální výpočet pomocí vzorce:. Je zřejmé, že (číslo leží přímo na skutečné kladné poloose). Tedy číslo v goniometrickém tvaru:.

Akce zpětné kontroly je jasná jako den:

2) Představme číslo v goniometrickém tvaru. Pojďme najít jeho modul a argument. To je zřejmé. Formální výpočet pomocí vzorce:. Samozřejmě (nebo 90 stupňů). Na výkresu je roh označen červeně. Takže číslo v trigonometrickém tvaru je: .

Použitím , je snadné získat zpět algebraický tvar čísla (současně provést kontrolu):

3) Představme číslo v goniometrickém tvaru. Pojďme najít jeho modul a

argument. To je zřejmé. Formální výpočet pomocí vzorce:

Samozřejmě (nebo 180 stupňů). Na výkresu je roh označen modře. Tedy číslo v goniometrickém tvaru:.

Zkouška:

4) A čtvrtý zajímavý případ. To je zřejmé. Formální výpočet pomocí vzorce:.

Argument lze zapsat dvěma způsoby: První způsob: (270 stupňů) a podle toho: . Zkouška:

Následující pravidlo je však standardnější: Pokud je úhel větší než 180 stupňů, pak se píše se znaménkem mínus a opačnou orientací („rolování“) úhlu: (mínus 90 stupňů), na výkrese je úhel označen zeleně. Je snadné si toho všimnout

což je stejný úhel.

Zápis má tedy podobu:

Pozornost! V žádném případě byste neměli používat paritu kosinu, lichost sinu a dále „zjednodušovat“ zápis:

Mimochodem, je užitečné si připomenout vzhled a vlastnosti goniometrických a inverzních goniometrických funkcí, referenční materiály jsou umístěny v posledních odstavcích stránky Grafy a vlastnosti základních elementárních funkcí. A komplexní čísla se budou učit mnohem snadněji!

V návrhu nejjednodušších příkladů byste to měli napsat takto: : "je zřejmé, že modul je... je zřejmé, že argument je...". To je opravdu zřejmé a snadno ústně řešitelné.

Pojďme k častějším případům. S modulem nejsou žádné problémy, vždy byste měli použít vzorec. Ale vzorce pro nalezení argumentu se budou lišit, záleží na tom, ve které souřadnicové čtvrti číslo leží. V tomto případě jsou možné tři možnosti (je užitečné je přepsat):

1) Jestliže (1. a 4. souřadnicová čtvrtina, nebo pravá polorovina), pak je třeba argument najít pomocí vzorce.

2) Jestliže (2. souřadnicová čtvrtina), pak je třeba argument najít pomocí vzorce .

3) Jestliže (3. souřadnicová čtvrtina), pak je třeba argument najít pomocí vzorce .

Příklad 8

Reprezentují komplexní čísla v goniometrickém tvaru: ,,,.

Vzhledem k tomu, že existují hotové vzorce, není nutné dokreslovat. Ale je tu jeden bod: když jste požádáni, abyste reprezentovali číslo v trigonometrickém tvaru, pak Stejně je lepší udělat kresbu. Faktem je, že řešení bez kresby učitelé často odmítají, absence kresby je vážným důvodem k mínusu a neúspěchu.

Čísla uvádíme ve složitém tvaru a první a třetí číslo bude pro samostatné řešení.

Představme si číslo v goniometrickém tvaru. Pojďme najít jeho modul a argument.

Od (případ 2), tedy

– zde musíte využít zvláštnosti arkustangenu. Tabulka bohužel neobsahuje hodnotu , takže v takových případech je třeba argument ponechat v těžkopádné podobě: – čísla v trigonometrickém tvaru.

Představme si číslo v goniometrickém tvaru. Pojďme najít jeho modul a argument.

Od (případ 1), tedy (mínus 60 stupňů).

Tím pádem:

– číslo v trigonometrickém tvaru.

Ale zde, jak již bylo uvedeno, jsou nevýhody nedotýkejte se.

Kromě zábavné grafické verifikační metody existuje i analytická verifikace, která již byla provedena v příkladu 7. Používáme tabulka hodnot goniometrických funkcí, přičemž se bere v úvahu, že úhel je přesně tabulkový úhel (neboli 300 stupňů): – čísla v původním algebraickém tvaru.

Sami předložte čísla v trigonometrickém tvaru. Krátké řešení a odpověď na konci lekce.

Na konci oddílu krátce o exponenciálním tvaru komplexního čísla.

Jakékoli komplexní číslo (kromě nuly) lze zapsat v exponenciální podobě:

Kde je modul komplexního čísla a je argument komplexního čísla.

Co musíte udělat, abyste reprezentovali komplexní číslo v exponenciální formě? Téměř totéž: spustit výkres, najít modul a argument. A číslo napište do formuláře .

Například pro číslo v předchozím příkladu jsme našli modul a argument:,. Potom bude toto číslo zapsáno v exponenciálním tvaru takto:.

Číslo v exponenciální podobě bude vypadat takto:

Číslo - Tak:

Jediná rada je nedotýkejte se indikátoru exponenty, není třeba přeskupovat faktory, otevírat závorky atd. Komplexní číslo se zapisuje v exponenciálním tvaru přísně podle formy.

Operace s komplexními čísly zapsanými v algebraické formě

Algebraický tvar komplexního čísla z =(A,b).se nazývá algebraické vyjádření tvaru

z = A + bi.

Aritmetické operace s komplexními čísly z 1 = a 1 +b 1 i A z 2 = a 2 +b 2 i, zapsané v algebraické formě, se provádějí následovně.

1. Součet (rozdíl) komplexních čísel

z 1 ±z 2 = (A 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

těch. sčítání (odčítání) se provádí podle pravidla pro sčítání polynomů s redukcí podobných členů.

2. Součin komplexních čísel

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

těch. násobení se provádí podle obvyklého pravidla pro násobení polynomů s přihlédnutím k tomu, že i 2 = 1.

3. Dělení dvou komplexních čísel se provádí podle následujícího pravidla:

, (z 2 ≠ 0),

těch. dělení se provádí vynásobením dělence a dělitele sdruženým číslem dělitele.

Umocňování komplexních čísel je definováno takto:

Je snadné to ukázat

Příklady.

1. Najděte součet komplexních čísel z 1 = 2 – i A z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Najděte součin komplexních čísel z 1 = 2 – 3i A z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3já∙ 5i = 7+22i.

3. Najděte podíl z z divize z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Řešte rovnici: , X A y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Vzhledem k rovnosti komplexních čísel máme:

kde x =–1 , y= 4.

5. Vypočítejte: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Vypočítejte, zda .

.

7. Vypočítejte převrácenou hodnotu čísla z=3-i.

Komplexní čísla v goniometrickém tvaru

Komplexní rovina nazývá se rovina s kartézskými souřadnicemi ( x, y), pokud každý bod se souřadnicemi ( a, b) je spojen s komplexním číslem z = a + bi. V tomto případě se nazývá osa úsečky reálná osa, a pořadnicová osa je imaginární. Potom každé komplexní číslo a+bi geometricky znázorněn na rovině jako bod A (a, b) nebo vektor.

Proto poloha bodu A(a tedy komplexní číslo z) lze specifikovat délkou vektoru | | = r a úhel j, tvořený vektorem | | s kladným směrem reálné osy. Délka vektoru se nazývá modul komplexního čísla a označuje se | z |=r a úhel j volal argument komplexního čísla a je určeno j = arg z.

Je jasné, že | z| ³ 0 a | z | = 0 Û z = 0.

Z Obr. 2 je jasné, že .

Argument komplexního čísla je určen nejednoznačně, ale s přesností 2 pk,kÎ Z.

Z Obr. 2 je také zřejmé, že pokud z=a+bi A j=arg z,Že

cos j =,hřích j =, tg j =.

Li zÎR A z> 0, pak arg z = 0 +2pk;

Li z ОR A z< 0, pak arg z = p + 2pk;

Li z = 0,arg z neurčitý.

Hlavní hodnota argumentu je určena na intervalu 0 £ arg z 2 £ p,

nebo -p£ arg z £ p.

Příklady:

1. Najděte modul komplexních čísel z 1 = 4 – 3i A z 2 = –2–2i.

2. Definujte oblasti na komplexní rovině definované podmínkami:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+i) | 3 £; 4) 6 liber | z – i| 7 liber.

Řešení a odpovědi:

1) | z| = 5 Û Û - rovnice kružnice s poloměrem 5 a středem v počátku.

2) Kružnice o poloměru 6 se středem v počátku.

3) Kružnice s poloměrem 3 se středem v bodě z 0 = 2 + i.

4) Prstenec ohraničený kružnicemi o poloměrech 6 a 7 se středem v bodě z 0 = i.

3. Najděte modul a argument čísel: 1) ; 2).

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Tip: Při určování hlavního argumentu použijte komplexní rovinu.

Tím pádem: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

KOMPLEXNÍ ČÍSLA XI

§ 256. Trigonometrický tvar komplexních čísel

Nechť komplexní číslo a + bi odpovídá vektoru O.A.> se souřadnicemi ( a, b ) (viz obr. 332).

Délku tohoto vektoru označme r a úhel, který svírá s osou X , přes φ . Podle definice sinus a kosinus:

A / r = cos φ , b / r = hřích φ .

Proto A = r cos φ , b = r hřích φ . Ale v tomto případě komplexní číslo a + bi lze napsat jako:

a + bi = r cos φ + ir hřích φ = r (cos φ + i hřích φ ).

Jak víte, druhá mocnina délky libovolného vektoru se rovná součtu čtverců jeho souřadnic. Proto r 2 = A 2 + b 2, odkud r = √a 2 + b 2

Tak, libovolné komplexní číslo a + bi mohou být zastoupeny ve formě :

a + bi = r (cos φ + i hřích φ ), (1)

kde r = √a 2 + b 2 a úhel φ se určuje z podmínky:

Tato forma zápisu komplexních čísel se nazývá trigonometrický.

Číslo r ve vzorci (1) se nazývá modul a úhel φ - argument, komplexní číslo a + bi .

Pokud jde o komplexní číslo a + bi není roven nule, pak je jeho modul kladný; -li a + bi = 0, tedy a = b = 0 a pak r = 0.

Modul jakéhokoli komplexního čísla je jednoznačně určen.

Pokud jde o komplexní číslo a + bi se nerovná nule, pak je jeho argument určen vzorcem (2) rozhodně s přesností na úhel dělitelný 2 π . Li a + bi = 0, tedy a = b = 0. V tomto případě r = 0. Ze vzorce (1) je snadné to pochopit jako argument φ v tomto případě si můžete vybrat jakýkoli úhel: koneckonců pro jakýkoli φ

0 (cos φ + i hřích φ ) = 0.

Proto argument null není definován.

Modul komplexního čísla r někdy se označuje | z |, a argument arg z . Podívejme se na několik příkladů reprezentace komplexních čísel v goniometrickém tvaru.

Příklad. 1. 1 + i .

Pojďme najít modul r a argument φ Tohle číslo.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Proto hřích φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, odkud φ = π / 4 + 2nπ .

Tím pádem,

1 + i = √ 2 ,

Kde P - libovolné celé číslo. Obvykle se z nekonečné množiny hodnot argumentu komplexního čísla vybere jedna, která je mezi 0 a 2 π . V tomto případě je tato hodnota π / 4. Proto

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i hřích π / 4)

Příklad 2 Napište komplexní číslo v goniometrickém tvaru √ 3 - i . My máme:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, hřích φ = - 1 / 2

Tedy až do úhlu dělitelného 2 π , φ = 11 / 6 π ; proto,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i hřích 11/6 π ).

Příklad 3 Napište komplexní číslo v goniometrickém tvaru i.

Komplexní číslo i odpovídá vektoru O.A.> , končící v bodě A osy na s pořadnicí 1 (obr. 333). Délka takového vektoru je 1 a úhel, který svírá s osou x, je roven π / 2. Proto

i = cos π / 2 + i hřích π / 2 .

Příklad 4. Napište komplexní číslo 3 v goniometrickém tvaru.

Komplexní číslo 3 odpovídá vektoru O.A. > X úsečka 3 (obr. 334).

Délka takového vektoru je 3 a úhel, který svírá s osou x, je 0. Proto

3 = 3 (cos 0 + i hřích 0),

Příklad 5. Napište komplexní číslo -5 v goniometrickém tvaru.

Komplexní číslo -5 odpovídá vektoru O.A.> končící v bodě osy X s úsečkou -5 (obr. 335). Délka takového vektoru je 5 a úhel, který svírá s osou x, je roven π . Proto

5 = 5 (cos π + i hřích π ).

Cvičení

2047. Napište tato komplexní čísla v trigonometrickém tvaru a definujte jejich moduly a argumenty:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Označte v rovině množinu bodů představujících komplexní čísla, jejichž moduli r a argumenty φ splňují podmínky:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Mohou být čísla současně modulem komplexního čísla? r A - r ?

2050. Může být argumentem komplexního čísla současně úhly? φ A - φ ?

Prezentujte tato komplexní čísla v trigonometrickém tvaru a definujte jejich moduly a argumenty:

2051*. 1 + cos α + i hřích α . 2054*. 2 (cos 20° - i hřích 20°).

2052*. hřích φ + i cos φ . 2055*. 3 (- cos 15° - i hřích 15°).

2.3. Trigonometrický tvar komplexních čísel

Nechť vektor je určen na komplexní rovině číslem .

Označme φ úhel mezi kladnou poloosou Ox a vektorem (úhel φ je považován za kladný, pokud je měřen proti směru hodinových ručiček, a záporný v opačném případě).

Označme délku vektoru r. Pak . Označujeme také

Zápis nenulového komplexního čísla z ve tvaru

se nazývá trigonometrický tvar komplexního čísla z. Číslo r se nazývá modul komplexního čísla z a číslo φ se nazývá argument tohoto komplexního čísla a značí se Arg z.

Trigonometrická forma zápisu komplexního čísla - (Eulerův vzorec) - exponenciální forma zápisu komplexního čísla:

Komplexní číslo z má nekonečně mnoho argumentů: pokud φ0 je libovolný argument čísla z, pak všechny ostatní lze najít pomocí vzorce

Pro komplexní číslo není argument ani goniometrický tvar definován.

Argumentem nenulového komplexního čísla je tedy jakékoli řešení soustavy rovnic:

(3)

Hodnota φ argumentu komplexního čísla z, splňující nerovnosti, se nazývá hlavní hodnota a značí se arg z.

Argumenty Arg z a arg z spolu souvisí

, (4)

Vzorec (5) je důsledkem soustavy (3), proto všechny argumenty komplexního čísla splňují rovnost (5), ale ne všechna řešení φ rovnice (5) jsou argumenty čísla z.

Hlavní hodnotu argumentu nenulového komplexního čísla najdeme podle vzorců:

Vzorce pro násobení a dělení komplexních čísel v trigonometrickém tvaru jsou následující:

. (7)

Při zvýšení komplexního čísla na přirozenou mocninu se používá vzorec Moivre:

Při extrakci odmocniny komplexního čísla se používá vzorec:

, (9)

kde k=0, 1, 2, …, n-1.

Úloha 54. Vypočítejte kde .

Uveďme řešení tohoto výrazu v exponenciální formě zápisu komplexního čísla: .

Pokud, tak.

Pak , . Proto tedy A , Kde .

Odpovědět: , na .

Úloha 55. Napište komplexní čísla v goniometrickém tvaru:

A); b) ; V); G); d) ; E) ; a) .

Protože trigonometrický tvar komplexního čísla je , pak:

a) V komplexním čísle: .

,

Proto

b) , kde ,

G) , kde ,

E) .

a) , A , Že .

Proto

Odpovědět: ; 4; ; ; ; ; .

Úloha 56. Najděte goniometrický tvar komplexního čísla

.

nech, .

Pak , , .

Od a , , pak , a

Proto, tedy

Odpovědět: , Kde .

Úloha 57. Pomocí goniometrického tvaru komplexního čísla proveďte následující akce: .

Představme si čísla a v trigonometrickém tvaru.

1), kde Pak

Najděte hodnotu hlavního argumentu:

Dosadíme hodnoty a do výrazu dostaneme

2) , kde tedy

Pak

3) Pojďme najít kvocient

Za předpokladu k=0, 1, 2 dostaneme tři různé hodnoty požadovaného kořene:

Pokud, pak

pokud, tak

pokud, tak .

Odpovědět: :

:

: .

Úloha 58. Nechť , , , jsou různá komplexní čísla a . Dokázat to

číslo je skutečné kladné číslo;

b) platí rovnost:

a) Představme tato komplexní čísla v goniometrickém tvaru:

Protože .

Předstírejme to. Pak

.

Poslední výraz je kladné číslo, protože sinusová znaménka obsahují čísla z intervalu.

od čísla skutečné a pozitivní. Pokud jsou a a b komplexní čísla a jsou reálné a větší než nula, pak .

Kromě,

je tedy prokázána požadovaná rovnost.

Úloha 59. Napište číslo v algebraickém tvaru .

Představme si číslo v goniometrickém tvaru a pak najdeme jeho algebraický tvar. My máme . Pro dostaneme systém:

To znamená rovnost: .

Použití Moivreova vzorce: ,

dostaneme

Je nalezen trigonometrický tvar daného čísla.

Zapišme nyní toto číslo v algebraickém tvaru:

.

Odpovědět: .

Úloha 60. Najděte součet , ,

Zvažme částku

Aplikováním Moivreova vzorce zjistíme

Tento součet je součtem n členů geometrické posloupnosti se jmenovatelem a první člen .

Aplikováním vzorce pro součet členů takové progrese máme

Izolujeme imaginární část v posledním výrazu, zjistíme

Izolováním reálné části získáme také následující vzorec: , , .

Úloha 61. Najděte součet:

A) ; b) .

Podle Newtonova vzorce pro umocňování máme

Pomocí Moivreova vzorce zjistíme:

Porovnáním skutečných a imaginárních částí výsledných výrazů pro , máme:

A .

Tyto vzorce lze zapsat v kompaktní formě takto:

,

, kde je celá část čísla a.

Úloha 62. Najděte všechny , pro které .

Protože , pak pomocí vzorce

, Abychom extrahovali kořeny, dostaneme ,

Proto, , ,

, .

Body odpovídající číslům jsou umístěny ve vrcholech čtverce vepsaného do kružnice o poloměru 2 se středem v bodě (0;0) (obr. 30).

Odpovědět: , ,

, .

Úloha 63. Vyřešte rovnici , .

Podle podmínky; proto tato rovnice nemá kořen, a proto je ekvivalentní rovnici.

Aby číslo z bylo kořenem této rovnice, musí být číslo n-tou odmocninou čísla 1.

Odtud usuzujeme, že původní rovnice má kořeny určené z rovností

,

Tím pádem,

,

tj. ,

Odpovědět: .

Úloha 64. Vyřešte rovnici v množině komplexních čísel.

Protože číslo není kořenem této rovnice, pak je tato rovnice ekvivalentní rovnici

Tedy rovnice.

Všechny kořeny této rovnice jsou získány ze vzorce (viz úloha 62):

; ; ; ; .

Úloha 65. Nakreslete na komplexní rovinu množinu bodů, které splňují nerovnosti: . (2. způsob, jak vyřešit problém 45)

Nechat .

Komplexní čísla se shodnými moduly odpovídají bodům v rovině ležícím na kružnici se středem v počátku, proto nerovnost splnit všechny body otevřeného prstence ohraničeného kružnicemi se společným středem v počátku a poloměry a (obr. 31). Nechť nějaký bod komplexní roviny odpovídá číslu w0. Číslo , má modul několikrát menší než modul w0 a argument větší než argument w0. Z geometrického hlediska lze bod odpovídající w1 získat pomocí stejnoměrnosti se středem v počátku a koeficientem, stejně jako rotací vzhledem k počátku o úhel proti směru hodinových ručiček. V důsledku aplikace těchto dvou transformací na body prstence (obr. 31) se prstenec přemění na prstenec ohraničený kružnicemi se stejným středem a poloměry 1 a 2 (obr. 32).

Konverze realizované pomocí paralelního přenosu do vektoru. Přenesením prstence se středem v bodě do naznačeného vektoru získáme prstenec stejné velikosti se středem v bodě (obr. 22).

Navrhovaná metoda, která využívá myšlenku geometrických transformací roviny, je pravděpodobně méně vhodná na popis, ale je velmi elegantní a efektivní.

Úloha 66. Zjistěte, zda .

Nechte , pak a . Počáteční rovnost bude mít formu . Z podmínky rovnosti dvou komplexních čísel získáme , , z nichž , . Tím pádem, .

Zapišme číslo z v goniometrickém tvaru:

, Kde , . Podle Moivreova vzorce najdeme .

Odpověď: - 64.

Úloha 67. Pro komplexní číslo najděte všechna komplexní čísla taková, že , a .

Představme si číslo v trigonometrickém tvaru:

. Odtud, . Pro číslo, které dostaneme, může být rovno nebo .

V prvním případě , ve druhém

.

Odpovědět: , .

Úloha 68. Najděte součet takových čísel, že . Uveďte prosím jedno z těchto čísel.

Všimněte si, že ze samotné formulace problému lze pochopit, že součet kořenů rovnice lze nalézt bez výpočtu samotných kořenů. Opravdu, součet kořenů rovnice je koeficient pro , braný s opačným znaménkem (zobecněný Vietův teorém), tj.

Studenti, školní dokumentace, vyvozují závěry o míře zvládnutí tohoto pojmu. Shrňte studium rysů matematického myšlení a procesu tvorby pojmu komplexního čísla. Popis metod. Diagnostika: Fáze I. Rozhovor byl veden s učitelkou matematiky, která v 10. třídě vyučuje algebru a geometrii. Rozhovor se odehrál po nějaké době od začátku...

Resonance" (!)), jehož součástí je i posouzení vlastního chování. 4. Kritické posouzení vlastního chápání situace (pochybnosti). 5. Konečně využití doporučení z právní psychologie (právník bere v úvahu psychologické aspekty provedených odborných úkonů - odborná psychologická připravenost). Podívejme se nyní na psychologický rozbor právních skutečností...

Matematika trigonometrické substituce a testování účinnosti vypracované metodiky výuky. Etapy práce: 1. Vypracování volitelného předmětu na téma: „Aplikace goniometrické substituce při řešení algebraických úloh“ se studenty v hodinách pokročilé matematiky. 2. Vedení vypracovaného volitelného předmětu. 3. Provedení diagnostického testu...

Kognitivní úkoly jsou určeny pouze k doplnění stávajících učebních pomůcek a musí být ve vhodné kombinaci se všemi tradičními prostředky a prvky vzdělávacího procesu. Rozdíl mezi výchovnými problémy ve výuce humanitních věd a exaktními, od matematických problémů, je pouze v tom, že v historických úlohách nejsou žádné vzorce, striktní algoritmy atd., což komplikuje jejich řešení. ...