Abychom získali obecnou rovnici roviny, analyzujme rovinu procházející daným bodem.

Nechť jsou ve vesmíru tři souřadné osy, které už známe - Vůl, Oj A Oz. Držte list papíru tak, aby zůstal rovný. Rovina bude samotný list a jeho pokračování ve všech směrech.

Nechat P libovolná rovina ve vesmíru. Každý vektor, který je na něj kolmý, se nazývá normální vektor do této roviny. Přirozeně mluvíme o nenulovém vektoru.

Pokud je znám nějaký bod na rovině P a nějaký normálový vektor k tomu, pak těmito dvěma podmínkami je rovina v prostoru zcela definována(přes daný bod můžete nakreslit jednu rovinu kolmou na daný vektor). Obecná rovnice roviny bude:

Takže podmínky, které definují rovnici roviny, jsou. Získat sebe rovinná rovnice, mající výše uvedenou formu, nastupte do letadla P libovolný směřovat M s proměnnými souřadnicemi X, y, z. Tento bod patří do roviny pouze tehdy, pokud vektor kolmo k vektoru(Obr. 1). K tomu je podle podmínky kolmosti vektorů nutné a postačující, aby skalární součin těchto vektorů byl roven nule, tzn.

Vektor je určen podmínkou. Souřadnice vektoru zjistíme pomocí vzorce :

.

Nyní pomocí vzorce skalárního součinu vektorů , skalární součin vyjadřujeme v souřadnicovém tvaru:

Od věci M(x; y; z) je zvolena libovolně na rovině, pak poslední rovnici vyhovují souřadnice libovolného bodu ležícího v rovině P. Za bod N, neležící na dané rovině, tzn. rovnost (1) je porušena.

Příklad 1 Napište rovnici pro rovinu procházející bodem a kolmou na vektor.

Řešení. Použijme vzorec (1) a podívejme se na něj znovu:

V tomto vzorci čísla A , B A C vektorové souřadnice a čísla X0 , y0 A z0 - souřadnice bodu.

Výpočty jsou velmi jednoduché: tato čísla dosadíme do vzorce a dostaneme

Vše, co je třeba vynásobit, vynásobíme a sečteme jen čísla (která nemají písmena). Výsledek:

.

Požadovaná rovnice roviny v tomto příkladu se ukázala být vyjádřena obecnou rovnicí prvního stupně vzhledem k proměnným souřadnicím x, y, z libovolný bod roviny.

Takže rovnice tvaru

volal obecná rovinná rovnice .

Příklad 2 Sestrojte v pravoúhlém kartézském souřadnicovém systému rovinu danou rovnicí .

Řešení. Pro sestrojení roviny je nutné a postačující znát libovolné tři její body, které neleží na stejné přímce, například průsečíky roviny se souřadnicovými osami.

Jak tyto body najít? Chcete-li najít průsečík s osou Oz, musíte nahradit nuly za X a Y v rovnici uvedené v problému: X = y= 0. Proto dostáváme z= 6. Daná rovina tedy protíná osu Oz na místě A(0; 0; 6) .

Stejným způsobem najdeme průsečík roviny s osou Oj. Na X = z= 0 dostaneme y= −3, tedy bod B(0; −3; 0) .

A nakonec najdeme průsečík naší roviny s osou Vůl. Na y = z= 0 dostaneme X= 2, tedy bod C(2; 0; 0). Na základě tří bodů získaných v našem řešení A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) a C(2; 0; 0) sestrojte danou rovinu.

Podívejme se nyní speciální případy obecné rovinné rovnice. To jsou případy, kdy se určité koeficienty rovnice (2) stanou nulovými.

1. Kdy D= 0 rovnice definuje rovinu procházející počátkem, protože souřadnice bodu 0 (0; 0; 0) splňují tuto rovnici.

2. Kdy A= 0 rovnice definuje rovinu rovnoběžnou s osou Vůl, protože normálový vektor této roviny je kolmý k ose Vůl(jeho průmět na osu Vůl rovna nule). Podobně, když B= 0 letadlo rovnoběžně s osou Oj, a kdy C= 0 letadlo rovnoběžně s osou Oz.

3. Kdy A=D= Rovnice 0 definuje rovinu procházející osou Vůl, protože je rovnoběžná s osou Vůl (A=D= 0). Podobně rovina prochází osou Oj a rovinou procházející osou Oz.

4. Kdy A=B= Rovnice 0 definuje rovinu rovnoběžnou s rovinou souřadnic xOy, protože je rovnoběžná s osami Vůl (A= 0) a Oj (B= 0). Podobně je rovina rovnoběžná s rovinou yOz a letadlo je letadlo xOz.

5. Kdy A=B=D= 0 rovnice (nebo z = 0) definuje souřadnicovou rovinu xOy, protože je rovnoběžná s rovinou xOy (A=B= 0) a prochází počátkem ( D= 0). Stejně tak Eq. y = 0 v prostoru definuje souřadnicovou rovinu xOz a rovnice x = 0 - rovina souřadnic yOz.

Příklad 3 Vytvořte rovnici roviny P, procházející osou Oj a tečka.

Řešení. Rovina tedy prochází osou Oj. Proto v její rovnici y= 0 a tato rovnice má tvar . K určení koeficientů A A C využijme toho, že bod patří rovině P .

Mezi jeho souřadnicemi jsou proto ty, které lze dosadit do rovinné rovnice, kterou jsme již odvodili (). Podívejme se znovu na souřadnice bodu:

M0 (2; −4; 3) .

Mezi nimi X = 2 , z= 3. Dosadíme je do obecné rovnice a dostaneme rovnici pro náš konkrétní případ:

2A + 3C = 0 .

Opustit 2 A na levé straně rovnice posuňte 3 C na pravou stranu a dostaneme se

A = −1,5C .

Nahrazení nalezené hodnoty A do rovnice, dostaneme

nebo .

Toto je rovnice požadovaná v příkladu podmínky.

Vyřešte problém rovinné rovnice sami a pak se podívejte na řešení

Příklad 4. Definujte rovinu (nebo roviny, je-li jich více) s ohledem na souřadnicové osy nebo souřadnicové roviny, je-li rovina(y) dána rovnicí.

Řešení typických problémů, které se vyskytují při testech, jsou v učebnici „Problémy na rovině: rovnoběžnost, kolmost, průnik tří rovin v jednom bodě“.

Rovnice roviny procházející třemi body

Jak již bylo řečeno, nezbytnou a postačující podmínkou pro sestrojení roviny jsou kromě jednoho bodu a normálového vektoru také tři body, které neleží na stejné přímce.

Nechť jsou uvedeny tři různé body , a , které neleží na stejné čáře. Protože naznačené tři body neleží na stejné přímce, vektory nejsou kolineární, a proto jakýkoli bod v rovině leží ve stejné rovině s body, a právě tehdy, když vektory , a koplanární, tzn. tehdy a jen kdy smíšený produkt těchto vektorů rovná se nule.

Pomocí výrazu pro smíšený produkt v souřadnicích získáme rovnici roviny

(3)

Po odhalení determinantu se tato rovnice stává rovnicí tvaru (2), tzn. obecná rovnice roviny.

Příklad 5. Napište rovnici pro rovinu procházející třemi danými body, které neleží na stejné přímce:

a určit speciální případ obecné rovnice přímky, pokud nějaký nastane.

Řešení. Podle vzorce (3) máme:

Rovnice normální roviny. Vzdálenost od bodu k rovině

Normální rovnice roviny je její rovnice, zapsaná ve tvaru

Pokud jsou všechna čísla A, B, C a D různá od nuly, pak se nazývá obecná rovnice roviny kompletní. Jinak se nazývá obecná rovnice roviny neúplný.

Uvažujme všechny možné obecné neúplné rovnice roviny v pravoúhlém souřadnicovém systému Oxyz v trojrozměrném prostoru.

Nechť D = 0, pak máme obecnou neúplnou rovinnou rovnici tvaru . Tato rovina v pravoúhlém souřadnicovém systému Oxyz prochází počátkem. Při dosazení souřadnic bodu do výsledné neúplné rovnice roviny totiž dojdeme k identitě .

Pro , nebo , nebo máme obecné neúplné rovnice rovin , nebo , nebo , resp. Tyto rovnice definují roviny rovnoběžné s rovinami souřadnic Oxy, Oxz a Oyz (podmínku rovnoběžných rovin viz článek) a procházející body a odpovídajícím způsobem. Na. Od věci patří do roviny podle podmínky, pak souřadnice tohoto bodu musí splňovat rovnici roviny, to znamená, že rovnost musí platit. Odtud najdeme. Požadovaná rovnice má tedy tvar .

Představme si druhý způsob řešení tohoto problému.

Protože rovina, jejíž obecnou rovnici potřebujeme sestavit, je rovnoběžná s rovinou Oyz, můžeme jako její normálový vektor vzít normálový vektor roviny Oyz. Normálový vektor souřadnicové roviny Oyz je souřadnicový vektor. Nyní známe normálový vektor roviny a bod roviny, proto můžeme napsat jeho obecnou rovnici (podobný problém jsme řešili v předchozím odstavci tohoto článku):
, pak jeho souřadnice musí splňovat rovnici roviny. Rovnost je tedy pravdivá odkud to najdeme. Nyní můžeme napsat požadovanou obecnou rovnici roviny, má tvar .

Odpovědět:

Bibliografie.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Algebra pro pokročilé. První díl: prvky lineární algebry a analytické geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytická geometrie.

Lze zadat různými způsoby (jeden bod a vektor, dva body a vektor, tři body atd.). S ohledem na to může mít rovinná rovnice různé formy. Také za určitých podmínek mohou být roviny rovnoběžné, kolmé, protínající se atd. Budeme o tom mluvit v tomto článku. Naučíme se, jak vytvořit obecnou rovnici roviny a další.

Normální tvar rovnice

Řekněme, že existuje prostor R 3, který má pravoúhlý systém souřadnic XYZ. Definujme vektor α, který se uvolní z počátečního bodu O. Koncem vektoru α vedeme rovinu P, která k němu bude kolmá.

Označme libovolný bod na P jako Q = (x, y, z). Označme poloměrový vektor bodu Q písmenem p. V tomto případě je délka vektoru α rovna р=IαI a Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Toto je jednotkový vektor, který je nasměrován do strany, jako vektor α. α, β a γ jsou úhly, které jsou vytvořeny mezi vektorem Ʋ a kladnými směry prostorových os x, y, z. Průmět libovolného bodu QϵП do vektoru Ʋ je konstantní hodnota, která se rovná p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Výše uvedená rovnice dává smysl, když p=0. Jedině, že rovina P v tomto případě protne bod O (α=0), který je počátkem souřadnic, a jednotkový vektor Ʋ uvolněný z bodu O bude kolmý na P, navzdory svému směru, který znamená, že vektor Ʋ je určen přesně na znaménko. Předchozí rovnice je rovnice naší roviny P, vyjádřená ve vektorovém tvaru. Ale v souřadnicích to bude vypadat takto:

P je zde větší nebo rovno 0. Našli jsme rovnici roviny v prostoru v normálním tvaru.

Obecná rovnice

Vynásobíme-li rovnici v souřadnicích libovolným číslem, které se nerovná nule, dostaneme rovnici ekvivalentní této rovnici, která definuje právě tuto rovinu. Bude to vypadat takto:

Zde A, B, C jsou čísla, která se současně liší od nuly. Tato rovnice se nazývá obecná rovinná rovnice.

Rovnice rovin. Speciální případy

Rovnici v obecném tvaru lze upravit za přítomnosti dalších podmínek. Podívejme se na některé z nich.

Předpokládejme, že koeficient A je 0. To znamená, že tato rovina je rovnoběžná s danou osou Ox. V tomto případě se tvar rovnice změní: Ву+Cz+D=0.

Podobně se tvar rovnice změní za následujících podmínek:

• Za prvé, pokud B = 0, pak se rovnice změní na Ax + Cz + D = 0, což bude indikovat rovnoběžnost s osou Oy.
• Za druhé, pokud C=0, pak se rovnice převede na Ax+By+D=0, což bude indikovat rovnoběžnost s danou osou Oz.
• Za třetí, pokud D=0, rovnice bude vypadat jako Ax+By+Cz=0, což bude znamenat, že rovina protíná O (počátek).
• Za čtvrté, pokud A=B=0, pak se rovnice změní na Cz+D=0, což bude paralelní s Oxy.
• Za páté, pokud B=C=0, pak rovnice bude Ax+D=0, což znamená, že rovina k Oyz je rovnoběžná.
• Za šesté, pokud A=C=0, pak rovnice bude mít tvar Ву+D=0, to znamená, že bude hlásit rovnoběžnost s Oxz.

Typ rovnice v segmentech

V případě, že se čísla A, B, C, D liší od nuly, tvar rovnice (0) může být následující:

x/a + y/b + z/c = 1,

kde a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Dostaneme výsledek. Stojí za zmínku, že tato rovina bude protínat osu Ox v bodě se souřadnicemi (a,0,0), Oy - (0,b,0) a Oz - (0,0,c ).

Vezmeme-li v úvahu rovnici x/a + y/b + z/c = 1, není těžké si vizuálně představit umístění roviny vzhledem k danému souřadnému systému.

Normální vektorové souřadnice

Normálový vektor n k rovině P má souřadnice, které jsou koeficienty obecné rovnice této roviny, tedy n (A, B, C).

K určení souřadnic normály n stačí znát obecnou rovnici dané roviny.

Při použití rovnice v úsecích, která má tvar x/a + y/b + z/c = 1, stejně jako při použití obecné rovnice, můžete zapsat souřadnice libovolného normálového vektoru dané roviny: (1 /a + 1/b + 1/ S).

Stojí za zmínku, že normální vektor pomáhá řešit různé problémy. Mezi nejčastější patří problémy, které zahrnují dokazování kolmosti nebo rovnoběžnosti rovin, problémy hledání úhlů mezi rovinami nebo úhlů mezi rovinami a přímkami.

Typ rovinné rovnice podle souřadnic bodového a normálového vektoru

Nenulový vektor n kolmý k dané rovině se nazývá normální pro danou rovinu.

Předpokládejme, že v souřadnicovém prostoru (pravoúhlém souřadném systému) jsou Oxyz uvedeny:

• bod Mₒ se souřadnicemi (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulový vektor n=A*i+B*j+C*k.

Je nutné vytvořit rovnici pro rovinu, která bude procházet bodem Mₒ kolmým na normálu n.

Zvolíme libovolný bod v prostoru a označíme jej M (x y, z). Nechť je vektor poloměru libovolného bodu M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k a vektor poloměru bodu Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Bod M bude patřit dané rovině, pokud je vektor MₒM kolmý na vektor n. Zapišme podmínku ortogonality pomocí skalárního součinu:

[M2M, n] = 0.

Protože MₒM = r-rₒ, vektorová rovnice roviny bude vypadat takto:

Tato rovnice může mít i jiný tvar. K tomu se použijí vlastnosti skalárního součinu a levá strana rovnice se transformuje. = - . Označíme-li c, dostaneme rovnici: - c = 0 nebo = c, která vyjadřuje stálost průmětů na normálový vektor poloměrových vektorů daných bodů, které patří do roviny.

Nyní můžeme získat souřadnicový tvar zápisu vektorové rovnice naší roviny = 0. Protože r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, a n = A*i+B *j+С*k, máme:

Ukazuje se, že máme rovnici pro rovinu procházející bodem kolmým k normále n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Typ rovinné rovnice podle souřadnic dvou bodů a vektoru kolineárního k rovině

Definujme dva libovolné body M′ (x′,y′,z′) a M″ (x″,y″,z″) a také vektor a (a′,a″,a‴).

Nyní můžeme vytvořit rovnici pro danou rovinu, která bude procházet jak existujícími body M′ a M″, tak libovolným bodem M se souřadnicemi (x, y, z) rovnoběžnými s daným vektorem a.

V tomto případě musí být vektory M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) a M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) v jedné rovině s vektorem a=(a′,a″,a‴), což znamená, že (M′M, M″M, a)=0.

Takže naše rovinná rovnice ve vesmíru bude vypadat takto:

Typ rovnice roviny protínající tři body

Řekněme, že máme tři body: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), které nepatří do stejné přímky. Je třeba napsat rovnici roviny procházející danými třemi body. Teorie geometrie tvrdí, že tento druh roviny skutečně existuje, ale je jediný a jedinečný. Protože tato rovina protíná bod (x′,y′,z′), tvar její rovnice bude následující:

Zde se A, B, C zároveň liší od nuly. Daná rovina také protíná další dva body: (x″,y″,z″) a (x‴,y‴,z‴). V tomto ohledu musí být splněny následující podmínky:

Nyní můžeme vytvořit homogenní systém s neznámými u, v, w:

V našem případě je x, y nebo z libovolný bod, který splňuje rovnici (1). Vzhledem k rovnici (1) a soustavě rovnic (2) a (3) je soustava rovnic naznačená na obrázku výše splněna vektorem N (A,B,C), což je netriviální. Proto je determinant tohoto systému roven nule.

Rovnice (1), kterou jsme získali, je rovnicí roviny. Prochází přesně 3 body, což lze snadno zkontrolovat. K tomu potřebujeme rozšířit náš determinant na prvky v prvním řádku. Z existujících vlastností determinantu vyplývá, že naše rovina současně protíná tři původně dané body (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . To znamená, že jsme vyřešili zadaný úkol.

Dihedrální úhel mezi rovinami

Dihedrální úhel je prostorový geometrický útvar tvořený dvěma polorovinami, které vycházejí z jedné přímky. Jinými slovy, toto je část prostoru, která je omezena těmito polorovinami.

Řekněme, že máme dvě roviny s následujícími rovnicemi:

Víme, že vektory N=(A,B,C) a N¹=(A¹,B¹,C¹) jsou kolmé podle daných rovin. V tomto ohledu je úhel φ mezi vektory N a N¹ roven úhlu (dihedrálnímu), který je umístěn mezi těmito rovinami. Bodový produkt má tvar:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

právě proto

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Stačí vzít v úvahu, že 0≤φ≤π.

Ve skutečnosti dvě roviny, které se protínají, svírají dva úhly (dihedrální): φ 1 a φ 2. Jejich součet je roven π (φ 1 + φ 2 = π). Pokud jde o jejich kosinus, jejich absolutní hodnoty jsou stejné, ale liší se znaménkem, to znamená cos φ 1 = -cos φ 2. Pokud v rovnici (0) nahradíme A, B a C čísly -A, -B a -C, pak rovnice, kterou dostaneme, určí stejnou rovinu, jedinou, úhel φ v rovnici cos φ= NN 1 /| N||N 1 | bude nahrazeno π-φ.

Rovnice kolmé roviny

Roviny, mezi nimiž je úhel 90 stupňů, se nazývají kolmé. Pomocí výše uvedeného materiálu můžeme najít rovnici roviny kolmé na druhou. Řekněme, že máme dvě roviny: Ax+By+Cz+D=0 a A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Můžeme říci, že budou kolmé, pokud cosφ=0. To znamená, že NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Rovnice rovnoběžné roviny

Dvě roviny, které neobsahují společné body, se nazývají rovnoběžné.

Podmínkou (jejich rovnice jsou stejné jako v předchozím odstavci) je, že vektory N a N¹, které jsou na ně kolmé, jsou kolineární. To znamená, že jsou splněny následující podmínky proporcionality:

A/A1=B/B1=C/C1.

Pokud jsou podmínky proporcionality rozšířeny - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

to naznačuje, že tyto roviny se shodují. To znamená, že rovnice Ax+By+Cz+D=0 a A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 popisují jednu rovinu.

Vzdálenost k rovině od bodu

Řekněme, že máme rovinu P, která je dána rovnicí (0). Je nutné zjistit vzdálenost k němu z bodu se souřadnicemi (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Chcete-li to provést, musíte převést rovnici roviny P do normálního tvaru:

(ρ,v)=R (R≥0).

V tomto případě je ρ (x,y,z) vektor poloměru našeho bodu Q umístěného na P, p je délka kolmice P, která se uvolnila z nulového bodu, v je jednotkový vektor, který se nachází v směr a.

Rozdíl ρ-ρº vektoru poloměru nějakého bodu Q = (x, y, z), náležejícího k P, stejně jako vektor poloměru daného bodu Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) je takový vektor, absolutní hodnota průmětu na v se rovná vzdálenosti d, kterou je třeba najít od Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ale

(ρ-ρo,v)= (ρ,v)-(ρo,v) =R-(ρo,v).

Tak to dopadá

d=|(ρ 0 ,v)-R|.

Najdeme tedy absolutní hodnotu výsledného výrazu, tedy požadovanou d.

Pomocí jazyka parametrů dostaneme zřejmé:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Pokud je daný bod Q 0 na druhé straně roviny P, stejně jako počátek souřadnic, pak mezi vektorem ρ-ρ 0 a v je tedy:

d=-(ρ-ρo,v)=(ρo,v)-R>0.

V případě, že se bod Q 0 spolu s počátkem souřadnic nachází na stejné straně P, pak je vytvořený úhel ostrý, tedy:

d=(ρ-ρ0,v)=R - (ρ0, v)>0.

V důsledku toho se ukazuje, že v prvním případě (ρ 0 ,v)>р, ve druhém (ρ 0 ,v)<р.

Tečná rovina a její rovnice

Tečná rovina k povrchu v bodě dotyku Mº je rovina obsahující všechny možné tečny ke křivkám nakresleným tímto bodem na povrchu.

S tímto typem povrchové rovnice F(x,y,z)=0 bude rovnice tečné roviny v tečném bodě Mº(xº,yº,zº) vypadat takto:

Fx(xº,yº,zº)(x-xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y- yº)+ Fx(xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Pokud zadáte povrch v explicitním tvaru z=f (x,y), pak bude tečná rovina popsána rovnicí:

z-z° = f(x°, y°) (x- x°) + f(x°, y°) (y- y°).

Průsečík dvou rovin

V souřadnicovém systému (pravoúhlém) se nachází Oxyz, jsou dány dvě roviny П′ a П″, které se protínají a nesplývají. Protože každá rovina nacházející se v pravoúhlém souřadnicovém systému je určena obecnou rovnicí, budeme předpokládat, že P′ a P″ jsou dány rovnicemi A′x+B′y+C′z+D′=0 a A″x +B″y+ С″z+D″=0. V tomto případě máme normálu n′ (A′,B′,C′) roviny P′ a normálu n″ (A″,B″,C″) roviny P″. Protože naše roviny nejsou rovnoběžné a neshodují se, nejsou tyto vektory kolineární. Pomocí jazyka matematiky můžeme tuto podmínku zapsat takto: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Přímku, která leží v průsečíku P′ a P″, označme písmenem a, v tomto případě a = P′ ∩ P″.

a je přímka sestávající z množiny všech bodů (společných) rovin P′ a P″. To znamená, že souřadnice libovolného bodu náležejícího k přímce a musí současně splňovat rovnice A′x+B′y+C′z+D′=0 a A″x+B″y+C″z+D″=0 . To znamená, že souřadnice bodu budou částečným řešením následující soustavy rovnic:

V důsledku toho se ukazuje, že (obecné) řešení tohoto systému rovnic určí souřadnice každého z bodů přímky, které budou fungovat jako průsečík P′ a P″, a určí přímku. a v Oxyz (pravoúhlém) souřadnicovém systému v prostoru.

Aby mohla být jedna rovina vedena libovolnými třemi body v prostoru, je nutné, aby tyto body neležely na stejné přímce.

Uvažujme body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v obecné kartézské soustavě souřadnic.

Aby libovolný bod M(x, y, z) ležel ve stejné rovině s body M 1, M 2, M 3, je nutné, aby vektory byly koplanární.

(
) = 0

Tím pádem,

Rovnice roviny procházející třemi body:

Rovnice roviny dané dvěma body a vektorem kolineárním k rovině.

Nechť jsou dány body M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) a vektor
.

Vytvořme rovnici pro rovinu procházející danými body M 1 a M 2 a libovolným bodem M (x, y, z) rovnoběžným s vektorem .

vektory
a vektor
musí být koplanární, tzn.

(
) = 0

Rovinná rovnice:

Rovnice roviny pomocí jednoho bodu a dvou vektorů,

kolineární k rovině.

Nechť jsou dány dva vektory
A
, kolineární roviny. Potom pro libovolný bod M(x, y, z) patřící do roviny, vektory
musí být koplanární.

Rovinná rovnice:

Rovnice roviny bodem a normálovým vektorem .

Teorém. Je-li bod M dán v prostoru 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), pak rovnice roviny procházející bodem M 0 kolmo na normálový vektor (A, B, C) má tvar:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Důkaz. Pro libovolný bod M(x, y, z) patřící do roviny sestavíme vektor. Protože vektor je normálový vektor, pak je kolmý k rovině, a tedy kolmý k vektoru
. Pak skalární součin

= 0

Získáme tak rovnici roviny

Věta byla prokázána.

Rovnice roviny v úsecích.

Pokud v obecné rovnici Ax + Bi + Cz + D = 0 dělíme obě strany (-D)

,

nahrazovat
, získáme rovnici roviny v úsecích:

Čísla a, b, c jsou průsečíky roviny s osami x, y, z.

Rovnice roviny ve vektorovém tvaru.

Kde

- vektor poloměru aktuálního bodu M(x, y, z),

Jednotkový vektor mající směr kolmice svržené do roviny z počátku.

,  a  jsou úhly, které svírá tento vektor s osami x, y, z.

p je délka této kolmice.

V souřadnicích tato rovnice vypadá takto:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Vzdálenost od bodu k rovině.

Vzdálenost od libovolného bodu M 0 (x 0, y 0, z 0) k rovině Ax+By+Cz+D=0 je:

Příklad. Najděte rovnici roviny s vědomím, že bod P(4; -3; 12) je základna kolmice svržené z počátku do této roviny.

Takže A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, použijeme vzorec:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Příklad. Najděte rovnici roviny procházející dvěma body P(2; 0; -1) a

Q(1; -1; 3) kolmá k rovině 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normálový vektor k rovině 3x + 2y – z + 5 = 0
rovnoběžně s požadovanou rovinou.

Dostaneme:

Příklad. Najděte rovnici roviny procházející body A(2, -1, 4) a

B(3, 2, -1) kolmo k rovině X + na + 2z – 3 = 0.

Požadovaná rovnice roviny má tvar: A X+B y+C z+ D = 0, normálový vektor k této rovině (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) patří do roviny. Rovina, která je nám dána, kolmá k požadované rovině, má normálový vektor (1, 1, 2). Protože body A a B patří oběma rovinám a roviny jsou tedy vzájemně kolmé

Takže normální vektor (11, -7, -2). Protože bod A patří do požadované roviny, pak jeho souřadnice musí splňovat rovnici této roviny, tzn. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Celkem dostaneme rovnici roviny: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Příklad. Najděte rovnici roviny s vědomím, že bod P(4, -3, 12) je základna kolmice pokleslé z počátku do této roviny.

Zjištění souřadnic normálového vektoru
= (4, -3, 12). Požadovaná rovnice roviny má tvar: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Abychom našli koeficient D, dosadíme souřadnice bodu P do rovnice:

16 + 9 + 144 + D = 0

Celkem dostaneme požadovanou rovnici: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Příklad. Jsou uvedeny souřadnice vrcholů jehlanu A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Najděte délku hrany A 1 A 2.

Najděte úhel mezi hranami A 1 A 2 a A 1 A 4.

Najděte úhel mezi hranou A 1 A 4 a plochou A 1 A 2 A 3.

Nejprve najdeme normálový vektor k ploše A 1 A 2 A 3 jako křížový produkt vektorů
A
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Pojďme najít úhel mezi normálovým vektorem a vektorem
.

-4 – 4 = -8.

Požadovaný úhel  mezi vektorem a rovinou bude roven  = 90 0 - .

Najděte oblast obličeje A 1 A 2 A 3.

Najděte objem pyramidy.

Najděte rovnici roviny A 1 A 2 A 3.

Použijme vzorec pro rovnici roviny procházející třemi body.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Při použití počítačové verze „ Vyšší kurz matematiky” můžete spustit program, který vyřeší výše uvedený příklad pro libovolné souřadnice vrcholů jehlanu.

Pro spuštění programu dvakrát klikněte na ikonu:

V okně programu, které se otevře, zadejte souřadnice vrcholů jehlanu a stiskněte Enter. Tímto způsobem lze postupně získat všechny rozhodovací body.

Poznámka: Pro spuštění programu musí být na vašem počítači nainstalován program Maple ( Waterloo Maple Inc.) jakékoli verze, počínaje MapleV Release 4.

Rovnice roviny. Jak napsat rovnici roviny?
Vzájemné uspořádání rovin. Úkoly

Prostorová geometrie není o mnoho složitější než „plochá“ geometrie a naše lety ve vesmíru začínají tímto článkem. Pro zvládnutí tématu je třeba dobře rozumět vektory, navíc je vhodné se orientovat v geometrii roviny - bude zde mnoho podobností, mnoho analogií, takže informace budou mnohem lépe stráveny. V sérii mých lekcí se 2D svět otevírá článkem Rovnice přímky na rovině. Nyní ale Batman opustil plochou televizní obrazovku a startuje z kosmodromu Bajkonur.

Začněme kresbami a symboly. Schématicky lze rovinu nakreslit ve formě rovnoběžníku, který vytváří dojem prostoru:

Rovina je nekonečná, ale my máme možnost ztvárnit jen její kousek. V praxi se kromě rovnoběžníku kreslí i ovál nebo dokonce oblak. Z technických důvodů je pro mě pohodlnější znázornit letadlo přesně takto a přesně v této poloze. Skutečné roviny, které budeme uvažovat v praktických příkladech, mohou být umístěny jakýmkoli způsobem - mentálně vezměte kresbu do rukou a otočte ji v prostoru, čímž rovině poskytnete jakýkoli sklon, jakýkoli úhel.

Označení: letadla se obvykle označují malými řeckými písmeny, zřejmě aby nedošlo k jejich záměně přímka v rovině nebo s přímka v prostoru. Jsem zvyklý používat písmeno . Na výkresu je to písmeno „sigma“ a vůbec ne díra. I když, děravé letadlo je určitě docela vtipné.

V některých případech je vhodné použít stejná řecká písmena s nižšími indexy pro označení rovin, například .

Je zřejmé, že rovina je jednoznačně definována třemi různými body, které neleží na stejné přímce. Proto jsou velmi oblíbená třípísmenná označení letadel - například podle bodů, které k nim patří atd. Písmena jsou často uzavřena v závorkách: , aby nedošlo k záměně roviny s jiným geometrickým obrazcem.

Pro zkušené čtenáře dám menu rychlého přístupu:

• Jak vytvořit rovnici roviny pomocí bodu a dvou vektorů?
• Jak vytvořit rovnici roviny pomocí bodu a normálového vektoru?

a nebudeme dlouho čekat:

Obecná rovinná rovnice

Obecná rovnice roviny má tvar , kde koeficienty se zároveň nerovnají nule.

Řada teoretických výpočtů a praktických problémů platí jak pro obvyklou ortonormální bázi, tak pro afinní bázi prostoru (pokud je olej olej, vraťte se k lekci Lineární (ne)závislost vektorů. Základy vektorů). Pro jednoduchost budeme předpokládat, že všechny události probíhají v ortonormální bázi a kartézském pravoúhlém systému souřadnic.

Nyní si trochu procvičíme prostorovou představivost. Nevadí, pokud je ten váš špatný, teď ho trochu rozvineme. I hraní na nervy vyžaduje trénink.

V nejobecnějším případě, kdy čísla nejsou rovna nule, rovina protíná všechny tři souřadnicové osy. Například takto:

Ještě jednou opakuji, že rovina pokračuje donekonečna všemi směry a my máme možnost znázornit jen její část.

Podívejme se na nejjednodušší rovnice rovin:

Jak této rovnici rozumět? Přemýšlejte o tom: „Z“ se VŽDY rovná nule pro jakékoli hodnoty „X“ a „Y“. Toto je rovnice "nativní" souřadnicové roviny. Formálně lze rovnici přepsat takto: , odkud jasně vidíte, že je nám jedno, jaké hodnoty „x“ a „y“ nabývají, je důležité, aby se „z“ rovnalo nule.

Rovněž:
– rovnice souřadnicové roviny;
– rovnice souřadnicové roviny.

Pojďme si problém trochu zkomplikovat, uvažujme rovinu (zde i dále v odstavci předpokládáme, že číselné koeficienty se nerovnají nule). Přepišme rovnici ve tvaru: . Jak tomu rozumět? „X“ se VŽDY pro jakékoli hodnoty „Y“ a „Z“ rovná určitému číslu. Tato rovina je rovnoběžná s rovinou souřadnic. Například rovina je rovnoběžná s rovinou a prochází bodem.

Rovněž:
– rovnice roviny, která je rovnoběžná s rovinou souřadnic;
– rovnice roviny, která je rovnoběžná s rovinou souřadnic.

Přidejme členy: . Rovnici lze přepsat následovně: , to znamená, že „zet“ může být cokoliv. Co to znamená? „X“ a „Y“ jsou spojeny vztahem, který kreslí určitou přímku v rovině (zjistíte rovnice přímky v rovině?). Protože „z“ může být cokoliv, tato přímka se „replikuje“ v jakékoli výšce. Rovnice tedy definuje rovinu rovnoběžnou se souřadnicovou osou

Rovněž:
– rovnice roviny, která je rovnoběžná se souřadnicovou osou;
– rovnice roviny, která je rovnoběžná se souřadnicovou osou.

Pokud jsou volné členy nula, pak budou roviny přímo procházet odpovídajícími osami. Například klasická „přímá úměrnost“: . Nakreslete přímku v rovině a v duchu ji vynásobte nahoru a dolů (protože „Z“ je libovolné). Závěr: rovina definovaná rovnicí prochází souřadnicovou osou.

Dokončujeme přehled: rovnice roviny prochází počátkem. Zde je zcela zřejmé, že bod splňuje tuto rovnici.

A nakonec případ znázorněný na obrázku: – rovina je přátelská ke všem souřadnicovým osám, přičemž vždy „odřízne“ trojúhelník, který se může nacházet v libovolném z osmi oktantů.

Lineární nerovnosti v prostoru

Abyste porozuměli informacím, musíte je dobře studovat lineární nerovnosti v rovině, protože mnoho věcí bude podobných. Odstavec bude mít stručný přehled s několika příklady, protože tento materiál je v praxi poměrně vzácný.

Pokud rovnice definuje rovinu, pak nerovnosti
dotázat se poloprostory. Pokud není nerovnost striktní (poslední dvě v seznamu), pak řešení nerovnosti kromě poloprostoru zahrnuje i samotnou rovinu.

Příklad 5

Najděte jednotkový normálový vektor roviny .

Řešení: Jednotkový vektor je vektor, jehož délka je jedna. Označme tento vektor . Je naprosto jasné, že vektory jsou kolineární:

Nejprve odstraníme normálový vektor z rovnice roviny: .

Jak najít jednotkový vektor? Abyste našli jednotkový vektor, potřebujete každý vydělte vektorovou souřadnici délkou vektoru.

Přepišme normální vektor do formuláře a najdeme jeho délku:

Podle výše uvedeného:

Odpovědět:

Verifikace: co bylo požadováno k ověření.

Čtenáři, kteří pozorně studovali poslední odstavec lekce, si toho pravděpodobně všimli souřadnice jednotkového vektoru jsou přesně směrové kosiny vektoru:

Pojďme si odpočinout od aktuálního problému: když dostanete libovolný nenulový vektor, a podle podmínky je potřeba najít její směrové kosiny (viz poslední úlohy lekce Bodový součin vektorů), pak ve skutečnosti najdete jednotkový vektor kolineární s tímto. Vlastně dva úkoly v jedné lahvičce.

Potřeba najít jednotkový normálový vektor vyvstává v některých problémech matematické analýzy.

Přišli jsme na to, jak vylovit normální vektor, nyní odpovězme na opačnou otázku:

Jak vytvořit rovnici roviny pomocí bodu a normálového vektoru?

Tato tuhá konstrukce normálního vektoru a bodu je terčům dobře známá. Natáhněte prosím ruku dopředu a v duchu vyberte libovolný bod v prostoru, například malou kočku v příborníku. Je zřejmé, že tímto bodem můžete nakreslit jednu rovinu kolmou k vaší ruce.

Rovnice roviny procházející bodem kolmým k vektoru je vyjádřena vzorcem: