Conférence sur le thème : "Forme trigonométrique d'un nombre complexe". Nombres complexes sous forme trigonométrique Un nombre complexe donné sous forme trigonométrique

Dans cette section, nous parlerons davantage de la forme trigonométrique d'un nombre complexe. La forme démonstrative est beaucoup moins courante dans les tâches pratiques. Je recommande de télécharger et d'imprimer si possible. tables trigonométriques, le matériel méthodologique est disponible sur la page Formules et tableaux mathématiques. Vous ne pouvez pas aller loin sans tables.

Tout nombre complexe (sauf zéro) peut s'écrire sous forme trigonométrique :

Où est-il module d'un nombre complexe, UN - argument de nombre complexe.

Représentons le nombre sur le plan complexe. Pour plus de précision et de simplicité de l'explication, nous le placerons dans le premier quadrant de coordonnées, c'est-à-dire Nous croyons cela:

Module d'un nombre complexe est la distance entre l'origine et le point correspondant dans le plan complexe. Tout simplement, le module est la longueur vecteur de rayon, qui est indiqué en rouge sur le dessin.

Le module d'un nombre complexe est généralement noté : ou

En utilisant le théorème de Pythagore, il est facile de dériver une formule pour trouver le module d'un nombre complexe : . Cette formule est correcte pour toute signifiant « un » et « être ».

Note : Le module d'un nombre complexe est une généralisation du concept module d'un nombre réel, comme la distance d'un point à l'origine.

Argument d'un nombre complexe appelé coin entre demi-axe positif l'axe réel et le rayon vecteur tracé de l'origine au point correspondant. L'argument n'est pas défini pour le singulier :.

Le principe considéré est en fait similaire aux coordonnées polaires, où le rayon polaire et l'angle polaire définissent de manière unique un point.

L'argument d'un nombre complexe est généralement noté : ou

A partir de considérations géométriques, nous obtenons la formule suivante pour trouver l'argument :

. Attention! Cette formule ne fonctionne que dans le demi-plan droit ! Si le nombre complexe n'est pas situé dans le 1er ou le 4ème quadrant de coordonnées, alors la formule sera légèrement différente. Nous analyserons également ces cas.

Mais d'abord, examinons les exemples les plus simples où des nombres complexes sont situés sur des axes de coordonnées.

Exemple 7

Représenter des nombres complexes sous forme trigonométrique : ,,,. Faisons le dessin :

En fait, la tâche est orale. Pour plus de clarté, je vais réécrire la forme trigonométrique d'un nombre complexe :

Rappelons-le bien, le module – longueur(ce qui est toujours non négatif), argument - coin

1) Représentons le nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument. Il est évident que. Calcul formel à l'aide de la formule :. Il est évident que (le nombre se situe directement sur le demi-axe positif réel). Ainsi, le nombre sous forme trigonométrique :.

L’action de contre-vérification est aussi claire que le jour :

2) Représentons le nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument. Il est évident que. Calcul formel à l'aide de la formule :. Évidemment (ou 90 degrés). Sur le dessin, le coin est indiqué en rouge. Le nombre sous forme trigonométrique est donc : .

En utilisant , il est facile de récupérer la forme algébrique du nombre (en effectuant en même temps une vérification) :

3) Représentons le nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et

argument. Il est évident que . Calcul formel à l'aide de la formule :

Évidemment (ou 180 degrés). Sur le dessin, le coin est indiqué en bleu. Ainsi, le nombre sous forme trigonométrique :.

Examen:

4) Et le quatrième cas intéressant. Il est évident que. Calcul formel à l'aide de la formule :.

L’argument peut s’écrire de deux manières : Première manière : (270 degrés), et, par conséquent : . Examen:

Cependant, la règle suivante est plus standard : Si l'angle est supérieur à 180 degrés, alors il est écrit avec un signe moins et l'orientation opposée (« défilement ») de l'angle : (moins 90 degrés), dans le dessin l'angle est marqué en vert. C'est facile à remarquer

ce qui est le même angle.

Ainsi, l'entrée prend la forme :

Attention! En aucun cas il ne faut utiliser la parité du cosinus, l'impair du sinus, et « simplifier » encore la notation :

D'ailleurs, il est utile de rappeler l'apparence et les propriétés des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses ; les documents de référence se trouvent dans les derniers paragraphes de la page Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires de base. Et les nombres complexes s’apprendront beaucoup plus facilement !

Dans la conception des exemples les plus simples, voici comment vous devez l'écrire : : "il est évident que le module est... il est évident que l'argument est...". C’est vraiment évident et facile à résoudre verbalement.

Passons à l'examen de cas plus courants. Il n'y a aucun problème avec le module, vous devez toujours utiliser la formule. Mais les formules pour trouver l'argument seront différentes, cela dépend du quartier de coordonnées dans lequel se trouve le nombre. Dans ce cas, trois options sont possibles (il est utile de les réécrire) :

1) Si (1er et 4ème quarts de coordonnées, ou demi-plan droit), alors l'argument doit être trouvé à l'aide de la formule.

2) Si (2ème quart de coordonnées), alors l'argument doit être trouvé à l'aide de la formule .

3) Si (3ème quart de coordonnées), alors l'argument doit être trouvé à l'aide de la formule .

Exemple 8

Représenter des nombres complexes sous forme trigonométrique : ,,,.

Puisqu’il existe des formules toutes faites, il n’est pas nécessaire de compléter le dessin. Mais il y a un point : lorsqu'on vous demande de représenter un nombre sous forme trigonométrique, alors C'est quand même mieux de faire le dessin. Le fait est qu'une solution sans dessin est souvent rejetée par les enseignants, l'absence de dessin est une raison sérieuse d'échec et d'échec.

Nous présentons les nombres sous forme complexe, et les premier et troisième nombres serviront à une solution indépendante.

Représentons le nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument.

Puisque (cas 2), alors

– c’est là que vous devez profiter de la bizarrerie de l’arctangente. Malheureusement, le tableau ne contient pas la valeur , donc dans de tels cas, l'argument doit être laissé sous une forme lourde : – des nombres sous forme trigonométrique.

Représentons le nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument.

Depuis (cas 1), alors (moins 60 degrés).

Ainsi:

– un nombre sous forme trigonométrique.

Mais voici, comme déjà noté, les inconvénients ne touche pas.

En plus de la méthode de vérification graphique ludique, il existe également une vérification analytique, qui a déjà été réalisée dans l'exemple 7. Nous utilisons tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, en tenant compte du fait que l'angle est exactement l'angle de la table (soit 300 degrés) : – des nombres sous la forme algébrique originale.

Présentez vous-même les nombres sous forme trigonométrique. Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon.

À la fin de la section, brièvement sur la forme exponentielle d'un nombre complexe.

Tout nombre complexe (sauf zéro) peut s'écrire sous forme exponentielle :

Où est le module d'un nombre complexe et est l'argument du nombre complexe.

Que faut-il faire pour représenter un nombre complexe sous forme exponentielle ? Presque pareil : exécuter un dessin, trouver un module et un argument. Et écrivez le numéro sous la forme .

Par exemple, pour le numéro de l'exemple précédent, nous avons trouvé le module et l'argument :,. Alors ce nombre s'écrira sous forme exponentielle comme suit :.

Le nombre sous forme exponentielle ressemblera à ceci :

Nombre - Donc:

Le seul conseil est ne touche pas l'indicateur exposants, il n'est pas nécessaire de réorganiser les facteurs, d'ouvrir les parenthèses, etc. Un nombre complexe s'écrit sous forme exponentielle strictement selon la forme.

Opérations sur des nombres complexes écrits sous forme algébrique

Forme algébrique d'un nombre complexe z =(un,b).est appelée une expression algébrique de la forme

z = un + bi.

Opérations arithmétiques sur des nombres complexes z 1 = un 1 +b 1 je Et z 2 = un 2 +b 2 je, écrits sous forme algébrique, s'effectuent comme suit.

1. Somme (différence) de nombres complexes

z 1 ±z 2 = (un 1 ± un 2) + (b 1 ±b 2)∙je,

ceux. l'addition (soustraction) est effectuée selon la règle d'addition de polynômes avec réduction de termes similaires.

2. Produit de nombres complexes

z 1 ∙z 2 = (un 1 ∙une 2 -b 1 ∙b 2) + (un 1 ∙b 2 + un 2 ∙b 1)∙je,

ceux. la multiplication s'effectue selon la règle habituelle de multiplication des polynômes, en tenant compte du fait que je 2 = 1.

3. La division de deux nombres complexes s'effectue selon la règle suivante :

, (z 2 ≠ 0),

ceux. la division s'effectue en multipliant le dividende et le diviseur par le nombre conjugué du diviseur.

L'exponentiation des nombres complexes est définie comme suit :

Il est facile de montrer que

Exemples.

1. Trouvez la somme des nombres complexes z 1 = 2 – je Et z 2 = – 4 + 3je.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙je)+ (–4 + 3je) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) je = –2+2je.

2. Trouver le produit de nombres complexes z 1 = 2 – 3je Et z 2 = –4 + 5je.

= (2 – 3je) ∙ (–4 + 5je) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3je)+ 2∙5je– 3je∙ 5je = 7+22je.

3. Trouvez le quotient z de la division z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – je.

z = .

4. Résolvez l'équation : , X Et oui Î R..

(2x+y) + (x+y)je = 2 + 3je.

Grâce à l'égalité des nombres complexes, nous avons :

où X =–1 , oui= 4.

5. Calculez : je 2 ,je 3 ,je 4 ,je 5 ,je 6 ,je -1 , je -2 .

6. Calculez si .

7. Calculer l'inverse d'un nombre z=3-je.

Nombres complexes sous forme trigonométrique

Plan complexe appelé plan de coordonnées cartésiennes ( x, y), si chaque point de coordonnées ( un B) est associé à un nombre complexe z = a + bi. Dans ce cas, l’axe des abscisses est appelé axe réel, et l'axe des ordonnées est imaginaire. Alors tout nombre complexe a+bi représenté géométriquement sur un plan comme un point UNE (une, b) ou vecteur.

Par conséquent, la position du point UN(et donc un nombre complexe z) peut être spécifié par la longueur du vecteur | | = r et angle j, formé par le vecteur | | avec la direction positive de l’axe réel. La longueur du vecteur s'appelle module d'un nombre complexe et est noté | z |=r, et l'angle j appelé argument de nombre complexe et est désigné j = argument z.

Il est clair que | z| ³ 0 et | z | = 0 Û z = 0.

De la fig. 2 il est clair que .

L'argument d'un nombre complexe est déterminé de manière ambiguë, mais avec une précision de 2 pk, kÎ Z.

De la fig. 2, il est également clair que si z=a+bi Et j = argument z, Que

parce que j =,péché j =, tg j = .

Si zÎR. Et z> 0, alors argument z = 0 +2pk;

Si z ОR. Et z< 0, alors argument z = p + 2pk;

Si z = 0,argument z indéfini.

La valeur principale de l'argument est déterminée sur l'intervalle 0 £ arg z 2 £ p,

ou -p£ arg z £ p.

Exemples:

1. Trouver le module des nombres complexes z 1 = 4 – 3je Et z 2 = –2–2je.

2. Définir des zones sur le plan complexe défini par les conditions :

1) | z | = 5; 2) | z| 6 £ ; 3) | z – (2+je) | 3 £ ; 4) 6 £ | z – je| 7 £.

Solutions et réponses :

1) | z| = 5 Û Û - équation d'un cercle de rayon 5 et de centre à l'origine.

2) Un cercle de rayon 6 et de centre à l'origine.

3) Cercle de rayon 3 avec centre au point z 0 = 2 + je.

4) Un anneau délimité par des cercles de rayons 6 et 7 avec un centre en un point z 0 = je.

3. Trouvez le module et l'argument des nombres : 1) ; 2) .

1) ; UN = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2je; une =–2, b =-2Þ ,

Astuce : Lorsque vous déterminez l'argument principal, utilisez le plan complexe.

Ainsi: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

NUMÉROS COMPLEXES XI

§ 256. Forme trigonométrique des nombres complexes

Soit un nombre complexe a + bi correspond au vecteur O.A.> avec les coordonnées ( un B ) (voir fig. 332).

Notons la longueur de ce vecteur par r , et l'angle qu'il fait avec l'axe X , à travers φ . Par définition du sinus et du cosinus :

un / r =cos φ , b / r = péché φ .

C'est pourquoi UN = r parce que φ , b = r péché φ . Mais dans ce cas le nombre complexe a + bi peut s'écrire sous la forme :

a + bi = r parce que φ + ir péché φ = r (parce que φ + je péché φ ).

Comme vous le savez, le carré de la longueur de tout vecteur est égal à la somme des carrés de ses coordonnées. C'est pourquoi r 2 = un 2 + b 2, d'où r = √un 2 + b 2

Donc, n'importe quel nombre complexe a + bi peut être représenté sous la forme :

a + bi = r (parce que φ + je péché φ ), (1)

où r = √un 2 + b 2 et l'angle φ est déterminé à partir de la condition :

Cette forme d'écriture des nombres complexes s'appelle trigonométrique.

Nombre r dans la formule (1) est appelé module, et l'angle φ - argument, nombre complexe a + bi .

Si un nombre complexe a + bi n'est pas égal à zéro, alors son module est positif ; si a + bi = 0, alors une = b = 0 et alors r = 0.

Le module de tout nombre complexe est déterminé de manière unique.

Si un nombre complexe a + bi n'est pas égal à zéro, alors son argument est déterminé par les formules (2) certainement précis à un angle divisible par 2 π . Si a + bi = 0, alors une = b = 0. Dans ce cas r = 0. À partir de la formule (1), il est facile de comprendre que comme argument φ dans ce cas, vous pouvez choisir n'importe quel angle : après tout, pour n'importe quel φ

0 (cos φ + je péché φ ) = 0.

Par conséquent, l’argument nul n’est pas défini.

Module d'un nombre complexe r parfois noté | z |, et l'argument argument z . Examinons quelques exemples de représentation de nombres complexes sous forme trigonométrique.

Exemple. 1. 1 + je .

Trouvons le module r et argumentation φ Ce nombre.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Donc le péché φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, d'où φ = π / 4 + 2nπ .

Ainsi,

1 + je = √ 2 ,

Où P. - n'importe quel entier. Habituellement, parmi l'ensemble infini de valeurs de l'argument d'un nombre complexe, on en choisit une qui est comprise entre 0 et 2. π . Dans ce cas, cette valeur est π / 4 . C'est pourquoi

1 + je = √ 2 (car π / 4 + je péché π / 4)

Exemple 2.Écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique √ 3 - je . Nous avons:

r = √ 3+1 = 2, car φ = √ 3 / 2, péché φ = - 1 / 2

Donc, jusqu'à un angle divisible par 2 π , φ = 11 / 6 π ; ainsi,

√ 3 - je = 2(cos 11 / 6 π + je péché 11 / 6 π ).

Exemple 3Écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique je.

Nombre complexe je correspond au vecteur O.A.> , se terminant au point A de l'axe à d'ordonnée 1 (Fig. 333). La longueur d'un tel vecteur est 1 et l'angle qu'il fait avec l'axe des x est égal à π / 2. C'est pourquoi

je =cos π / 2 + je péché π / 2 .

Exemple 4.Écrivez le nombre complexe 3 sous forme trigonométrique.

Le nombre complexe 3 correspond au vecteur O.A. > X abscisse 3 (Fig. 334).

La longueur d'un tel vecteur est 3 et l'angle qu'il fait avec l'axe des x est 0. Par conséquent

3 = 3 (cos 0 + je péché 0),

Exemple 5.Écrivez le nombre complexe -5 sous forme trigonométrique.

Le nombre complexe -5 correspond à un vecteur O.A.> se terminant à un point de l'axe X en abscisse -5 (Fig. 335). La longueur d'un tel vecteur est 5 et l'angle qu'il forme avec l'axe des x est égal à π . C'est pourquoi

5 = 5(cos π + je péché π ).

Des exercices

2047. Écrivez ces nombres complexes sous forme trigonométrique, en définissant leurs modules et arguments :

1) 2 + 2√3 je , 4) 12je - 5; 7).3je ;

2) √3 + je ; 5) 25; 8) -2je ;

3) 6 - 6je ; 6) - 4; 9) 3je - 4.

2048. Indiquer sur le plan un ensemble de points représentant des nombres complexes dont les modules r et les arguments φ satisfont aux conditions :

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Les nombres peuvent-ils être simultanément le module d'un nombre complexe ? r Et - r ?

2050. L'argument d'un nombre complexe peut-il être simultanément des angles ? φ Et - φ ?

Présentez ces nombres complexes sous forme trigonométrique, en définissant leurs modules et arguments :

2051*. 1 + parce que α + je péché α . 2054*. 2(cos 20° - je péché 20°).

2052*. péché φ + je parce que φ . 2055*. 3(- cos 15° - je péché 15°).

2.3. Forme trigonométrique des nombres complexes

Soit le vecteur spécifié sur le plan complexe par le nombre .

Notons φ l'angle entre le demi-axe positif Ox et le vecteur (l'angle φ est considéré comme positif s'il est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et négatif sinon).

Notons la longueur du vecteur par r. Alors . On note également

Écrire un nombre complexe z non nul sous la forme

est appelé la forme trigonométrique du nombre complexe z. Le nombre r est appelé module du nombre complexe z, et le nombre φ est appelé argument de ce nombre complexe et est noté Arg z.

Forme trigonométrique d'écriture d'un nombre complexe - (formule d'Euler) - forme exponentielle d'écriture d'un nombre complexe :

Le nombre complexe z a une infinité d'arguments : si φ0 est un argument du nombre z, alors tous les autres peuvent être trouvés à l'aide de la formule

Pour un nombre complexe, l'argument et la forme trigonométrique ne sont pas définis.

Ainsi, l'argument d'un nombre complexe non nul est toute solution du système d'équations :

(3)

La valeur φ de l'argument d'un nombre complexe z, satisfaisant les inégalités, est appelée valeur principale et est notée arg z.

Les arguments Arg z et arg z sont liés par

, (4)

La formule (5) est une conséquence du système (3), donc tous les arguments d'un nombre complexe satisfont à l'égalité (5), mais toutes les solutions φ de l'équation (5) ne sont pas des arguments du nombre z.

La valeur principale de l'argument d'un nombre complexe non nul se trouve selon les formules :

Les formules pour multiplier et diviser des nombres complexes sous forme trigonométrique sont les suivantes :

. (7)

Lors de l'élévation d'un nombre complexe à une puissance naturelle, la formule Moivre est utilisée :

Lors de l'extraction de la racine d'un nombre complexe, la formule est utilisée :

, (9)

où k=0, 1, 2, …, n-1.

Problème 54. Calculez où .

Présentons la solution de cette expression sous forme exponentielle d'écriture d'un nombre complexe : .

Si donc.

Alors , . Par conséquent, alors Et , Où .

Répondre: , à .

Problème 55. Écrivez des nombres complexes sous forme trigonométrique :

UN) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; et) .

Puisque la forme trigonométrique d’un nombre complexe est , alors :

a) Dans un nombre complexe : .

C'est pourquoi

b) , Où ,

G) , Où ,

e) .

et) , UN , Que .

C'est pourquoi

Répondre: ; 4; ; ; ; ; .

Problème 56. Trouver la forme trigonométrique d'un nombre complexe

Laisser , .

Alors , , .

Depuis et , , alors , et

Par conséquent, donc

Répondre: , Où .

Problème 57. En utilisant la forme trigonométrique d'un nombre complexe, effectuez les actions suivantes : .

Imaginons les chiffres et sous forme trigonométrique.

1) , où Alors

Trouvez la valeur de l'argument principal :

Remplaçons les valeurs et dans l'expression, on obtient

2) , Où alors

Alors

3) Trouvons le quotient

En supposant k=0, 1, 2, nous obtenons trois valeurs différentes de la racine souhaitée :

Si donc

si donc

si donc .

Répondre: :

: .

Problème 58. Soient , , , des nombres complexes différents et . Prouve-le

un numéro est un nombre réel positif ;

b) l'égalité est vraie :

a) Représentons ces nombres complexes sous forme trigonométrique :

Parce que .

Faisons semblant. Alors

La dernière expression est un nombre positif, puisque les signes sinusoïdaux contiennent des nombres de l'intervalle.

depuis le numéro réel et positif. En effet, si a et b sont des nombres complexes, réels et supérieurs à zéro, alors .

En plus,

par conséquent, l’égalité requise est prouvée.

Problème 59. Écrivez le nombre sous forme algébrique .

Représentons le nombre sous forme trigonométrique puis trouvons sa forme algébrique. Nous avons . Pour on obtient le système :

Cela implique l'égalité : .

Application de la formule de Moivre : ,

on a

La forme trigonométrique du nombre donné est trouvée.

Écrivons maintenant ce nombre sous forme algébrique :

Répondre: .

Problème 60. Trouver la somme , ,

Considérons le montant

En appliquant la formule de Moivre, on trouve

Cette somme est la somme de n termes d'une progression géométrique de dénominateur et le premier membre .

En appliquant la formule de la somme des termes d'une telle progression, on a

En isolant la partie imaginaire dans la dernière expression, on trouve

En isolant la partie réelle, on obtient également la formule suivante : , , .

Problème 61. Trouvez la somme :

UN) ; b) .

D’après la formule d’exponentiation de Newton, nous avons

En utilisant la formule de Moivre on trouve :

En égalisant les parties réelles et imaginaires des expressions résultantes pour , nous avons :

Et .

Ces formules peuvent être écrites sous forme compacte comme suit :

, où est la partie entière du nombre a.

Problème 62. Trouver tout , pour lequel .

Parce que le , alors, en utilisant la formule

, Pour extraire les racines, on obtient ,

Ainsi, , ,

, .

Les points correspondant aux nombres sont situés aux sommets d'un carré inscrit dans un cercle de rayon 2 dont le centre est le point (0;0) (Fig. 30).

Répondre: , ,

, .

Problème 63. Résoudre l'équation , .

Par état ; par conséquent, cette équation n’a pas de racine et est donc équivalente à l’équation.

Pour que le nombre z soit la racine de cette équation, ce nombre doit être la nième racine du nombre 1.

De là, nous concluons que l'équation originale a des racines déterminées à partir des égalités

Ainsi,

c'est à dire. ,

Répondre: .

Problème 64. Résolvez l'équation dans l'ensemble des nombres complexes.

Puisque le nombre n'est pas la racine de cette équation, alors pour cette équation est équivalent à l'équation

Autrement dit, l'équation.

Toutes les racines de cette équation sont obtenues à partir de la formule (voir problème 62) :

; ; ; ; .

Problème 65. Dessinez sur le plan complexe un ensemble de points qui satisfont aux inégalités : . (2ème façon de résoudre le problème 45)

Laisser .

Les nombres complexes ayant des modules identiques correspondent à des points du plan situés sur un cercle centré à l'origine, donc l'inégalité satisfaire tous les points d'un anneau ouvert délimité par des cercles avec un centre commun à l'origine et aux rayons et (Fig. 31). Soit un point du plan complexe correspondant au nombre w0. Nombre , a un module plusieurs fois plus petit que le module w0, et un argument supérieur à l'argument w0. D'un point de vue géométrique, le point correspondant à w1 peut être obtenu à l'aide d'une homothétie avec un centre à l'origine et un coefficient, ainsi qu'une rotation par rapport à l'origine d'un angle dans le sens antihoraire. Suite à l'application de ces deux transformations aux pointes de l'anneau (Fig. 31), celui-ci se transformera en un anneau délimité par des cercles de même centre et de mêmes rayons 1 et 2 (Fig. 32).

Conversion implémenté en utilisant un transfert parallèle vers un vecteur. En transférant l'anneau avec le centre au point sur le vecteur indiqué, on obtient un anneau de même taille avec le centre au point (Fig. 22).

La méthode proposée, qui utilise l'idée de transformations géométriques d'un plan, est sans doute moins commode à décrire, mais est très élégante et efficace.

Problème 66. Trouver si .

Soit , alors et . L'égalité initiale prendra la forme . De la condition d'égalité de deux nombres complexes on obtient , , d'où , . Ainsi, .

Écrivons le nombre z sous forme trigonométrique :

, Où , . D'après la formule de Moivre, on trouve .

Réponse : – 64.

Problème 67. Pour un nombre complexe, trouvez tous les nombres complexes tels que , et .

Représentons le nombre sous forme trigonométrique :

. D'ici, . Pour le nombre que nous obtenons , peut être égal à ou .

Dans le premier cas , dans la seconde

Répondre: , .

Problème 68. Trouvez la somme de nombres tels que . Veuillez indiquer l'un de ces numéros.

Notez qu'à partir de la formulation même du problème, on peut comprendre que la somme des racines de l'équation peut être trouvée sans calculer les racines elles-mêmes. En effet, la somme des racines de l'équation est le coefficient pour , pris avec le signe opposé (théorème de Vieta généralisé), c'est-à-dire

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