Pour obtenir l’équation générale d’un plan, analysons le plan passant par un point donné.

Soit trois axes de coordonnées déjà connus dans l'espace - Bœuf, Oy Et Oz. Tenez la feuille de papier pour qu'elle reste plate. L'avion sera la feuille elle-même et sa continuation dans toutes les directions.

Laisser P. plan arbitraire dans l’espace. Tout vecteur qui lui est perpendiculaire est appelé vecteur normal à cet avion. Naturellement, nous parlons d'un vecteur non nul.

Si un point de l'avion est connu P. et un vecteur normal, alors par ces deux conditions le plan dans l'espace est complètement défini(passant par un point donné, vous pouvez tracer un seul plan perpendiculaire au vecteur donné). L'équation générale du plan sera :

Ainsi, les conditions qui définissent l'équation du plan sont les suivantes. Pour vous procurer équation plane, ayant le formulaire ci-dessus, prenez l'avion P. arbitraire indiquer M à coordonnées variables X, oui, z. Ce point n'appartient à l'avion que si vecteur perpendiculaire au vecteur(Fig. 1). Pour cela, selon la condition de circularité des vecteurs, il faut et suffisant que le produit scalaire de ces vecteurs soit égal à zéro, c'est-à-dire

Le vecteur est spécifié par condition. On trouve les coordonnées du vecteur à l'aide de la formule :

.

Maintenant, en utilisant la formule du produit scalaire des vecteurs , on exprime le produit scalaire sous forme de coordonnées :

Depuis le point M(x; y; z) est choisi arbitrairement sur le plan, alors la dernière équation est satisfaite par les coordonnées de tout point situé sur le plan P.. Pour un point N, ne se trouvant pas sur un plan donné, c'est-à-dire l’égalité (1) est violée.

Exemple 1.Écrivez une équation pour un plan passant par un point et perpendiculaire au vecteur.

Solution. Utilisons la formule (1) et regardons-la à nouveau :

Dans cette formule les nombres UN , B Et C coordonnées vectorielles et nombres X0 , oui0 Et z0 - les coordonnées du point.

Les calculs sont très simples : on substitue ces nombres dans la formule et on obtient

Nous multiplions tout ce qui doit être multiplié et ajoutons simplement des nombres (qui n'ont pas de lettres). Résultat:

.

L'équation recherchée du plan dans cet exemple s'est avérée être exprimée par une équation générale du premier degré par rapport aux coordonnées variables x, y, z point arbitraire du plan.

Donc une équation de la forme

appelé équation générale du plan .

Exemple 2. Construire dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires un plan donné par l'équation .

Solution. Pour construire un plan, il est nécessaire et suffisant de connaître trois de ses points qui ne se trouvent pas sur la même droite, par exemple les points d'intersection du plan avec les axes de coordonnées.

Comment trouver ces points ? Pour trouver le point d'intersection avec l'axe Oz, vous devez remplacer X et Y par des zéros dans l'équation donnée dans l'énoncé du problème : X = oui= 0 . On obtient donc z= 6. Ainsi, le plan donné coupe l'axe Ozà ce point UN(0; 0; 6) .

De la même manière on trouve le point d'intersection du plan avec l'axe Oy. À X = z= 0 on obtient oui= −3, c'est-à-dire le point B(0; −3; 0) .

Et enfin, on trouve le point d'intersection de notre plan avec l'axe Bœuf. À oui = z= 0 on obtient X= 2 , soit un point C(2 ; 0 ; 0) . D'après les trois points obtenus dans notre solution UN(0; 0; 6) , B(0 ; −3 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0) nous construisons le plan donné.

Considérez maintenant cas particuliers de l'équation générale du plan. Ce sont des cas où certains coefficients de l’équation (2) disparaissent.

1. Quand D= 0 équation définit un plan passant par l'origine, puisque les coordonnées du point 0 (0 ; 0 ; 0) satisfont cette équation.

2. Quand UNE= 0 équation définit un plan parallèle à l'axe Bœuf, puisque le vecteur normal de ce plan est perpendiculaire à l'axe Bœuf(sa projection sur l'axe Bœufégal à zéro). De même, lorsque B= 0 avion parallèle à l'axe Oy, et quand C= 0 avion parallèle à l'axe Oz.

3. Quand A=D= 0 équation définit un plan passant par l'axe Bœuf, puisqu'il est parallèle à l'axe Bœuf (UNE=D= 0). De même, le plan passe par l'axe Oy, et le plan passant par l'axe Oz.

4. Quand A=B= 0 équation définit un plan parallèle au plan de coordonnées xOy, puisqu'il est parallèle aux axes Bœuf (UN= 0) et Oy (B= 0). De même, le plan est parallèle au plan yOz, et l'avion - l'avion xOz.

5. Quand A=B=D= 0 équation (ou z = 0) définit le plan de coordonnées xOy, puisqu'il est parallèle au plan xOy (A=B= 0) et passe par l’origine ( D= 0). De même, l’équation. y = 0 dans l'espace définit le plan de coordonnées xOz, et l'équation x= 0 - plan de coordonnées yOz.

Exemple 3. Créer une équation du plan P., passant par l'axe Oy et période.

Solution. Donc l'avion passe par l'axe Oy. Par conséquent, dans son équation oui= 0 et cette équation a la forme . Pour déterminer les coefficients UN Et C profitons du fait que le point appartient à l'avion P. .

Par conséquent, parmi ses coordonnées, il y a celles qui peuvent être substituées dans l'équation plane que nous avons déjà dérivée (). Regardons à nouveau les coordonnées du point :

M0 (2; −4; 3) .

Parmi eux X = 2 , z= 3 . Nous les substituons dans l'équation générale et obtenons l'équation pour notre cas particulier :

2UN + 3C = 0 .

Laisser 2 UN sur le côté gauche de l'équation, déplacez 3 C vers la droite et nous obtenons

UN = −1,5C .

Remplacement de la valeur trouvée UN dans l'équation, on obtient

ou .

Il s’agit de l’équation requise dans l’exemple de condition.

Résolvez vous-même le problème de l'équation plane, puis examinez la solution

Exemple 4. Définissez un plan (ou des plans, s'il y en a plusieurs) par rapport aux axes de coordonnées ou aux plans de coordonnées si le ou les plans sont donnés par l'équation.

Les solutions aux problèmes typiques qui surviennent lors des tests se trouvent dans le manuel « Problèmes sur un plan : parallélisme, perpendiculaire, intersection de trois plans en un point ».

Équation d'un plan passant par trois points

Comme déjà mentionné, une condition nécessaire et suffisante pour construire un plan, en plus d'un point et du vecteur normal, sont également trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne.

Soit trois points différents , et , ne se trouvant pas sur la même ligne droite. Puisque les trois points indiqués ne se trouvent pas sur la même ligne, les vecteurs ne sont pas colinéaires, et donc tout point du plan se trouve dans le même plan que les points, et si et seulement si les vecteurs , et coplanaire, c'est-à-dire si et seulement si le produit mixte de ces vecteurs est égal à zéro.

En utilisant l'expression du produit mixte en coordonnées, on obtient l'équation du plan

(3)

Après avoir développé le déterminant, cette équation devient une équation de la forme (2), c'est-à-dire l'équation générale du plan.

Exemple 5.Écrivez une équation pour un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur la même droite :

et pour déterminer un cas particulier de l'équation générale de la droite, le cas échéant.

Solution. D'après la formule (3) on a :

Équation normale du plan. Distance du point au plan

L'équation normale d'un plan est son équation, écrite sous la forme

Si tous les nombres A, B, C et D sont différents de zéro, alors l'équation générale du plan s'appelle complet. Sinon, l'équation générale du plan s'appelle incomplet.

Considérons toutes les équations générales incomplètes possibles du plan dans le système de coordonnées rectangulaires Oxyz dans l'espace tridimensionnel.

Soit D = 0, alors nous avons une équation plane générale incomplète de la forme . Ce plan dans le système de coordonnées rectangulaires Oxyz passe par l'origine. En effet, en substituant les coordonnées d'un point dans l'équation incomplète du plan résultante, on arrive à l'identité .

Pour , ou , ou nous avons des équations générales incomplètes des plans , ou , ou , respectivement. Ces équations définissent des plans parallèles aux plans de coordonnées Oxy, Oxz et Oyz respectivement (voir l'article pour la condition des plans parallèles) et passant par les points et en conséquence. À. Depuis le point appartient au plan par condition, alors les coordonnées de ce point doivent satisfaire l'équation du plan, c'est-à-dire que l'égalité doit être vraie. De là, nous trouvons. Ainsi, l'équation recherchée a la forme .

Présentons la deuxième façon de résoudre ce problème.

Puisque le plan dont nous devons composer l'équation générale est parallèle au plan Oyz, alors comme vecteur normal nous pouvons prendre le vecteur normal du plan Oyz. Le vecteur normal du plan de coordonnées Oyz est le vecteur de coordonnées. Maintenant que nous connaissons le vecteur normal du plan et le point du plan, nous pouvons donc écrire son équation générale (nous avons résolu un problème similaire dans le paragraphe précédent de cet article) :
, alors ses coordonnées doivent satisfaire l'équation du plan. L'égalité est donc vraie d'où nous le trouvons. Nous pouvons maintenant écrire l’équation générale souhaitée du plan, elle a la forme .

Répondre:

Bibliographie.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mathématiques supérieures. Tome un : éléments d'algèbre linéaire et de géométrie analytique.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Géométrie analytique.

Peut être spécifié de différentes manières (un point et un vecteur, deux points et un vecteur, trois points, etc.). C'est dans cette optique que l'équation plane peut prendre différentes formes. Aussi, sous certaines conditions, les plans peuvent être parallèles, perpendiculaires, sécants, etc. Nous en parlerons dans cet article. Nous apprendrons comment créer une équation générale d'un plan et plus encore.

Forme normale de l'équation

Disons qu'il existe un espace R 3 qui a un système de coordonnées XYZ rectangulaire. Définissons le vecteur α, qui sera relâché à partir du point initial O. Par l'extrémité du vecteur α on trace un plan P, qui lui sera perpendiculaire.

Notons un point arbitraire sur P comme Q = (x, y, z). Signons le rayon vecteur du point Q avec la lettre p. Dans ce cas, la longueur du vecteur α est égale à р=IαI et Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Il s’agit d’un vecteur unitaire dirigé vers le côté, comme le vecteur α. α, β et γ sont les angles formés respectivement entre le vecteur Ʋ et les directions positives des axes spatiaux x, y, z. La projection de tout point QϵП sur le vecteur Ʋ est une valeur constante égale à p : (p,Ʋ) = p(p≥0).

L’équation ci-dessus a du sens lorsque p=0. La seule chose est que le plan P dans ce cas coupera le point O (α=0), qui est l'origine des coordonnées, et le vecteur unitaire Ʋ issu du point O sera perpendiculaire à P, malgré sa direction, ce qui signifie que le vecteur Ʋ est déterminé au signe près. L'équation précédente est l'équation de notre plan P, exprimée sous forme vectorielle. Mais en coordonnées, cela ressemblera à ceci :

P est ici supérieur ou égal à 0. Nous avons trouvé l'équation du plan dans l'espace sous forme normale.

Équation générale

Si nous multiplions l’équation en coordonnées par n’importe quel nombre différent de zéro, nous obtenons une équation équivalente à celle-ci, définissant ce même plan. Il ressemblera à ceci:

Ici, A, B, C sont des nombres simultanément différents de zéro. Cette équation est appelée équation générale du plan.

Équations d'avions. Cas spéciaux

L'équation sous forme générale peut être modifiée en présence de conditions supplémentaires. Examinons quelques-uns d'entre eux.

Supposons que le coefficient A soit égal à 0. Cela signifie que ce plan est parallèle à l'axe Ox donné. Dans ce cas, la forme de l’équation changera : Ву+Cz+D=0.

De même, la forme de l’équation changera dans les conditions suivantes :

• Premièrement, si B = 0, alors l'équation deviendra Ax + Cz + D = 0, ce qui indiquera le parallélisme avec l'axe Oy.
• Deuxièmement, si C=0, alors l'équation sera transformée en Ax+By+D=0, ce qui indiquera le parallélisme avec l'axe Oz donné.
• Troisièmement, si D=0, l’équation ressemblera à Ax+By+Cz=0, ce qui signifie que le plan coupe O (l’origine).
• Quatrièmement, si A=B=0, alors l’équation deviendra Cz+D=0, ce qui se révélera parallèle à Oxy.
• Cinquièmement, si B=C=0, alors l'équation devient Ax+D=0, ce qui signifie que le plan à Oyz est parallèle.
• Sixièmement, si A=C=0, alors l’équation prendra la forme Ву+D=0, c’est-à-dire qu’elle rapportera le parallélisme à Oxz.

Type d'équation en segments

Dans le cas où les nombres A, B, C, D sont différents de zéro, la forme de l'équation (0) peut être la suivante :

x/a + y/b + z/c = 1,

dans laquelle a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Nous obtenons le résultat. Il convient de noter que ce plan coupera l'axe Ox en un point de coordonnées (a,0,0), Oy - (0,b,0) et Oz - (0,0,c ).

Compte tenu de l'équation x/a + y/b + z/c = 1, il n'est pas difficile d'imaginer visuellement le placement du plan par rapport à un système de coordonnées donné.

Coordonnées vectorielles normales

Le vecteur normal n au plan P a des coordonnées qui sont des coefficients de l'équation générale de ce plan, c'est-à-dire n (A, B, C).

Pour déterminer les coordonnées de la normale n, il suffit de connaître l'équation générale d'un plan donné.

Lorsque vous utilisez une équation en segments, qui a la forme x/a + y/b + z/c = 1, ainsi que lorsque vous utilisez une équation générale, vous pouvez écrire les coordonnées de n'importe quel vecteur normal d'un plan donné : (1 /a + 1/b + 1/ Avec).

Il convient de noter que le vecteur normal aide à résoudre divers problèmes. Les plus courants incluent les problèmes qui consistent à prouver la perpendiculaire ou le parallélisme des plans, les problèmes de recherche d'angles entre plans ou d'angles entre plans et lignes droites.

Type d'équation plane selon les coordonnées du point et du vecteur normal

Un vecteur n non nul perpendiculaire à un plan donné est appelé normal pour un plan donné.

Supposons que dans l'espace de coordonnées (système de coordonnées rectangulaires) Oxyz soient donnés :

• point Mₒ de coordonnées (xₒ,yₒ,zₒ) ;
• vecteur zéro n=A*i+B*j+C*k.

Il faut créer une équation pour un plan qui passera par le point Mₒ perpendiculaire à la normale n.

Nous choisissons n'importe quel point arbitraire dans l'espace et le notons M (x y, z). Soit le rayon vecteur de n'importe quel point M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, et le rayon vecteur du point Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* je+yₒ *j+zₒ*k. Le point M appartiendra à un plan donné si le vecteur MₒM est perpendiculaire au vecteur n. Écrivons la condition d'orthogonalité en utilisant le produit scalaire :

[MₒM, n] = 0.

Puisque MₒM = r-rₒ, l'équation vectorielle du plan ressemblera à ceci :

Cette équation peut avoir une autre forme. Pour ce faire, les propriétés du produit scalaire sont utilisées et le côté gauche de l'équation est transformé. = - . Si on le note c, on obtient l'équation suivante : - c = 0 ou = c, qui exprime la constance des projections sur le vecteur normal des rayons vecteurs de points donnés appartenant au plan.

Nous pouvons maintenant obtenir la forme de coordonnées pour écrire l'équation vectorielle de notre plan = 0. Puisque r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, et n = A*i+B *j+С*k, on a :

Il s'avère que nous avons une équation pour un plan passant par un point perpendiculaire à la normale n :

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Type d'équation plane selon les coordonnées de deux points et d'un vecteur colinéaire au plan

Définissons deux points arbitraires M′ (x′,y′,z′) et M″ (x″,y″,z″), ainsi qu'un vecteur a (a′,a″,a‴).

Nous pouvons maintenant créer une équation pour un plan donné qui passera par les points existants M′ et M″, ainsi que par tout point M avec des coordonnées (x, y, z) parallèles au vecteur donné a.

Dans ce cas, les vecteurs M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) et M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) doivent être coplanaires avec le vecteur a=(a′,a″,a‴), ce qui signifie que (M′M, M″M, a)=0.

Ainsi, notre équation plane dans l’espace ressemblera à ceci :

Type d'équation d'un plan coupant trois points

Disons que nous avons trois points : (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), qui n'appartiennent pas à la même droite. Il faut écrire l’équation d’un plan passant par trois points donnés. La théorie de la géométrie prétend que ce type de plan existe réellement, mais qu’il est le seul et unique. Puisque ce plan coupe le point (x′,y′,z′), la forme de son équation sera la suivante :

Ici A, B, C sont différents de zéro en même temps. De plus, le plan donné coupe deux autres points : (x″,y″,z″) et (x‴,y‴,z‴). À cet égard, les conditions suivantes doivent être remplies :

Nous pouvons maintenant créer un système homogène à inconnues u, v, w :

Dans notre cas, x, y ou z est un point arbitraire qui satisfait l'équation (1). Étant donné l'équation (1) et le système d'équations (2) et (3), le système d'équations indiqué dans la figure ci-dessus est satisfait par le vecteur N (A,B,C), qui est non trivial. C'est pourquoi le déterminant de ce système est égal à zéro.

L'équation (1) que nous avons obtenue est l'équation du plan. Il passe par 3 points exactement, et cela est facile à vérifier. Pour ce faire, nous devons étendre notre déterminant aux éléments de la première ligne. Des propriétés existantes du déterminant, il s'ensuit que notre plan coupe simultanément trois points initialement donnés (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Autrement dit, nous avons résolu la tâche qui nous était assignée.

Angle dièdre entre les plans

Un angle dièdre est une figure géométrique spatiale formée de deux demi-plans issus d’une même ligne droite. Autrement dit, c’est la partie de l’espace qui est limitée par ces demi-plans.

Disons que nous avons deux plans avec les équations suivantes :

On sait que les vecteurs N=(A,B,C) et N¹=(A¹,B¹,C¹) sont perpendiculaires selon les plans donnés. A cet égard, l'angle φ entre les vecteurs N et N¹ est égal à l'angle (dièdre) qui se situe entre ces plans. Le produit scalaire a la forme :

NN¹=|N||N¹|cosφ,

précisément parce que

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Il suffit de prendre en compte que 0≤φ≤π.

En fait, deux plans qui se coupent forment deux angles (dièdres) : φ 1 et φ 2. Leur somme est égale à π (φ 1 + φ 2 = π). Quant à leurs cosinus, leurs valeurs absolues sont égales, mais elles diffèrent par leur signe, c'est-à-dire cos φ 1 = -cos φ 2. Si dans l'équation (0) nous remplaçons A, B et C par les nombres -A, -B et -C, respectivement, alors l'équation que nous obtiendrons déterminera le même plan, le seul, l'angle φ dans l'équation cos = NN 1 /|N||N 1 | sera remplacé par π-φ.

Équation d'un plan perpendiculaire

Les plans entre lesquels l'angle est de 90 degrés sont appelés perpendiculaires. En utilisant le matériel présenté ci-dessus, nous pouvons trouver l’équation d’un plan perpendiculaire à un autre. Disons que nous avons deux plans : Ax+By+Cz+D=0 et A¹x+B¹y+C¹z+D=0. On peut dire qu'ils seront perpendiculaires si cosφ=0. Cela signifie que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Équation du plan parallèle

Deux plans qui ne contiennent pas de points communs sont dits parallèles.

La condition (leurs équations sont les mêmes que dans le paragraphe précédent) est que les vecteurs N et N¹, qui leur sont perpendiculaires, soient colinéaires. Cela signifie que les conditions de proportionnalité suivantes sont remplies :

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Si les conditions de proportionnalité sont étendues - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

cela indique que ces plans coïncident. Cela signifie que les équations Ax+By+Cz+D=0 et A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 décrivent un plan.

Distance au plan depuis le point

Disons que nous avons un plan P, donné par l'équation (0). Il est nécessaire de trouver la distance à partir d'un point de coordonnées (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Pour ce faire, il faut mettre l'équation du plan P sous forme normale :

(ρ,v)=р (р≥0).

Dans ce cas, ρ (x,y,z) est le rayon vecteur de notre point Q situé sur P, p est la longueur de la perpendiculaire P qui a été dégagée à partir du point zéro, v est le vecteur unitaire, qui est situé dans la direction A.

La différence ρ-ρº rayon vecteur d'un point Q = (x, y, z), appartenant à P, ainsi que le rayon vecteur d'un point donné Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) est un tel vecteur, le valeur absolue de la projection sur v est égale à la distance d qu'il faut trouver de Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) à P :

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, mais

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Il s'avère donc

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Ainsi, nous trouverons la valeur absolue de l'expression résultante, c'est-à-dire le d souhaité.

En utilisant le langage des paramètres, nous obtenons l’évidence :

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Si un point donné Q 0 est de l'autre côté du plan P, comme l'origine des coordonnées, alors entre le vecteur ρ-ρ 0 et v il y a donc :

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Dans le cas où le point Q 0, ainsi que l'origine des coordonnées, sont situés du même côté de P, alors l'angle créé est aigu, c'est-à-dire :

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

En conséquence, il s'avère que dans le premier cas (ρ 0 ,v)>р, dans le second (ρ 0 ,v)<р.

Plan tangent et son équation

Le plan tangent à la surface au point de contact Mº est un plan contenant toutes les tangentes possibles aux courbes passant par ce point de la surface.

Avec ce type d'équation de surface F(x,y,z)=0, l'équation du plan tangent au point tangent Mº(xº,yº,zº) ressemblera à ceci :

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Si vous spécifiez la surface sous forme explicite z=f (x,y), alors le plan tangent sera décrit par l'équation :

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Intersection de deux plans

Dans le système de coordonnées (rectangulaire) Oxyz se trouve, deux plans П′ et П″ sont donnés, qui se coupent et ne coïncident pas. Puisque tout plan situé dans un repère rectangulaire est déterminé par une équation générale, nous supposerons que P′ et P″ sont donnés par les équations A′x+B′y+C′z+D′=0 et A″x +B″y+ С″z+D″=0. Dans ce cas, on a la normale n′ (A′,B′,C′) du plan P′ et la normale n″ (A″,B″,C″) du plan P″. Puisque nos plans ne sont pas parallèles et ne coïncident pas, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. En utilisant le langage mathématique, nous pouvons écrire cette condition comme suit : n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Soit la ligne droite qui se trouve à l'intersection de P′ et P″ soit désignée par la lettre a, dans ce cas a = P′ ∩ P″.

a est une droite constituée de l’ensemble de tous les points des plans (communs) P′ et P″. Cela signifie que les coordonnées de tout point appartenant à la droite a doivent simultanément satisfaire les équations A′x+B′y+C′z+D′=0 et A″x+B″y+C″z+D″=0 . Cela signifie que les coordonnées du point seront une solution partielle du système d’équations suivant :

De ce fait, il s’avère que la solution (générale) de ce système d’équations déterminera les coordonnées de chacun des points de la droite, qui fera office de point d’intersection de P′ et P″, et déterminera la droite a dans le système de coordonnées Oxyz (rectangulaire) dans l'espace.

Pour qu’un seul plan passe par trois points quelconques de l’espace, il est nécessaire que ces points ne se trouvent pas sur la même ligne droite.

Considérons les points M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) dans le système de coordonnées cartésien général.

Pour qu'un point arbitraire M(x, y, z) se trouve dans le même plan que les points M 1, M 2, M 3, il faut que les vecteurs soient coplanaires.

(
) = 0

Ainsi,

Équation d'un plan passant par trois points :

Équation d'un plan étant donné deux points et un vecteur colinéaire au plan.

Soit les points M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) et le vecteur
.

Créons une équation pour un plan passant par les points donnés M 1 et M 2 et un point arbitraire M (x, y, z) parallèle au vecteur .

Vecteurs
et vecteur
doit être coplanaire, c'est-à-dire

(
) = 0

Équation plane :

Équation d'un plan utilisant un point et deux vecteurs,

colinéaire au plan.

Soit deux vecteurs
Et
, plans colinéaires. Alors pour un point arbitraire M(x, y, z) appartenant au plan, les vecteurs
doit être coplanaire.

Équation plane :

Équation d'un plan par point et vecteur normal .

Théorème. Si un point M est donné dans l'espace 0 (X 0 , oui 0 , z 0 ), puis l'équation du plan passant par le point M 0 perpendiculaire au vecteur normal (UN, B, C) a la forme :

UN(X – X 0 ) + B(oui – oui 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Preuve. Pour un point arbitraire M(x, y, z) appartenant au plan, on compose un vecteur. Parce que vecteur est le vecteur normal, alors il est perpendiculaire au plan, et donc perpendiculaire au vecteur
. Alors le produit scalaire

= 0

Ainsi, on obtient l'équation du plan

Le théorème a été prouvé.

Équation d'un plan en segments.

Si dans l'équation générale Ax + Bi + Cz + D = 0 on divise les deux côtés par (-D)

,

remplacer
, on obtient l'équation du plan en segments :

Les nombres a, b, c sont respectivement les points d'intersection du plan avec les axes x, y et z.

Équation d'un plan sous forme vectorielle.

Où

- rayon-vecteur du point courant M(x, y, z),

Un vecteur unitaire ayant la direction d'une perpendiculaire tombée sur un plan à partir de l'origine.

,  et  sont les angles formés par ce vecteur avec les axes x, y, z.

p est la longueur de cette perpendiculaire.

En coordonnées, cette équation a la forme :

xcos + ycos + zcos - p = 0.

La distance d'un point à un plan.

La distance d'un point arbitraire M 0 (x 0, y 0, z 0) au plan Ax + Vu + Cz + D = 0 est :

Exemple. Trouvez l'équation du plan, sachant que le point P(4; -3; 12) est la base de la perpendiculaire tombée de l'origine à ce plan.

Donc A = 4/13 ; B = -3/13 ; C = 12/13, on utilise la formule :

UNE(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'un plan passant par deux points P(2; 0; -1) et

Q(1; -1; 3) perpendiculaire au plan 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vecteur normal au plan 3x + 2y – z + 5 = 0
parallèle au plan souhaité.

On a:

Exemple. Trouver l'équation du plan passant par les points A(2, -1, 4) et

B(3, 2, -1) perpendiculaire au plan X + à + 2z – 3 = 0.

L'équation recherchée du plan a la forme : A X+B oui+C z+ D = 0, vecteur normal à ce plan (A, B, C). Vecteur
(1, 3, -5) appartient au plan. Le plan qui nous est donné, perpendiculaire à celui souhaité, a un vecteur normal (1, 1, 2). Parce que les points A et B appartiennent aux deux plans, et les plans sont perpendiculaires entre eux, alors

Donc le vecteur normal (11, -7, -2). Parce que le point A appartient au plan souhaité, alors ses coordonnées doivent satisfaire l'équation de ce plan, c'est-à-dire 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Au total, on obtient l'équation du plan : 11 X - 7oui – 2z – 21 = 0.

Exemple. Trouvez l'équation du plan, sachant que le point P(4, -3, 12) est la base de la perpendiculaire tombée de l'origine à ce plan.

Trouver les coordonnées du vecteur normal
= (4, -3, 12). L'équation recherchée du plan a la forme : 4 X – 3oui + 12z+ D = 0. Pour trouver le coefficient D, on substitue les coordonnées du point P dans l'équation :

16 + 9 + 144 + D = 0

Au total, on obtient l'équation recherchée : 4 X – 3oui + 12z – 169 = 0

Exemple. Données sont les coordonnées des sommets de la pyramide A 1 (1 ; 0 ; 3), A 2 (2 ; -1 ; 3), A 3 (2 ; 1 ; 1),

Trouvez la longueur du bord A 1 A 2.

Trouvez l'angle entre les arêtes A 1 A 2 et A 1 A 4.

Trouvez l'angle entre le bord A 1 A 4 et la face A 1 A 2 A 3.

Nous trouvons d’abord le vecteur normal à la face A 1 A 2 A 3 comme produit vectoriel de vecteurs
Et
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Trouvons l'angle entre le vecteur normal et le vecteur
.

-4 – 4 = -8.

L'angle souhaité  entre le vecteur et le plan sera égal à  = 90 0 - .

Trouvez l'aire de la face A 1 A 2 A 3.

Trouvez le volume de la pyramide.

Trouvez l'équation du plan A 1 A 2 A 3.

Utilisons la formule de l'équation d'un plan passant par trois points.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0 ;

Lors de l'utilisation de la version informatique " Cours supérieur de mathématiques" Vous pouvez exécuter un programme qui résoudra l'exemple ci-dessus pour n'importe quelle coordonnée des sommets de la pyramide.

Double-cliquez sur l'icône pour lancer le programme :

Dans la fenêtre du programme qui s'ouvre, entrez les coordonnées des sommets de la pyramide et appuyez sur Entrée. Ainsi, tous les points de décision peuvent être obtenus un par un.

Remarque : Pour exécuter le programme, le programme Maple ( Waterloo Maple Inc.) de n'importe quelle version, à partir de MapleV Release 4, doit être installé sur votre ordinateur.

Équation d'un avion. Comment écrire une équation pour un avion ?
Disposition mutuelle des avions. Tâches

La géométrie spatiale n’est pas beaucoup plus compliquée que la géométrie « plate », et nos vols dans l’espace commencent par cet article. Pour comprendre le sujet, il faut avoir une bonne compréhension de vecteurs, de plus, il est conseillé de se familiariser avec la géométrie de l'avion - il y aura de nombreuses similitudes, de nombreuses analogies, donc les informations seront bien mieux digérées. Dans une série de mes cours, le monde 2D s'ouvre sur un article Équation d'une droite sur un plan. Mais maintenant, Batman a quitté l'écran plat du téléviseur et s'envole depuis le cosmodrome de Baïkonour.

Commençons par les dessins et les symboles. Schématiquement, le plan peut être dessiné sous la forme d'un parallélogramme, ce qui crée une impression d'espace :

Le plan est infini, mais nous avons la possibilité d’en représenter seulement une partie. En pratique, en plus du parallélogramme, on dessine également un ovale voire un nuage. Pour des raisons techniques, il est plus pratique pour moi de représenter l’avion exactement de cette manière et exactement dans cette position. Les avions réels, que nous considérerons dans des exemples pratiques, peuvent être localisés de n'importe quelle manière - prenez mentalement le dessin entre vos mains et faites-le pivoter dans l'espace, donnant au plan n'importe quelle pente, n'importe quel angle.

Notation: les avions sont généralement désignés par de petites lettres grecques, apparemment pour ne pas les confondre avec ligne droite dans un avion ou avec ligne droite dans l'espace. J'ai l'habitude d'utiliser la lettre . Sur le dessin, c'est la lettre « sigma », et pas du tout un trou. Bien que l’avion troué soit certainement assez drôle.

Dans certains cas, il est pratique d'utiliser les mêmes lettres grecques avec des indices inférieurs pour désigner des avions, par exemple .

Il est évident que le plan est défini de manière unique par trois points différents qui ne se trouvent pas sur la même ligne. Par conséquent, les désignations d'avions à trois lettres sont très populaires - par les points qui leur appartiennent, par exemple, etc. Les lettres sont souvent mises entre parenthèses : , pour ne pas confondre le plan avec une autre figure géométrique.

Pour les lecteurs expérimentés, je donnerai menu d'accès rapide:

• Comment créer une équation d’un plan à l’aide d’un point et de deux vecteurs ?
• Comment créer une équation d'un plan à l'aide d'un point et d'un vecteur normal ?

et nous ne languirons pas dans de longues attentes :

Équation générale du plan

L'équation générale du plan a la forme , où les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps.

Un certain nombre de calculs théoriques et de problèmes pratiques sont valables aussi bien pour la base orthonormée usuelle que pour la base affine de l'espace (si l'huile est de l'huile, retour à la leçon Dépendance linéaire (non) des vecteurs. Base des vecteurs). Pour plus de simplicité, nous supposerons que tous les événements se produisent sur une base orthonormée et dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes.

Et maintenant, entraînons un peu d'imagination spatiale. Ce n'est pas grave si vous l'avez mal, maintenant nous allons le développer un peu. Même jouer sur les nerfs demande de la pratique.

Dans le cas le plus général, lorsque les nombres ne sont pas égaux à zéro, le plan coupe les trois axes de coordonnées. Par exemple, comme ceci :

Je répète encore une fois que l'avion continue indéfiniment dans toutes les directions, et que nous avons la possibilité d'en représenter seulement une partie.

Considérez les équations de plans les plus simples :

Comment comprendre cette équation ? Pensez-y : « Z » TOUJOURS, pour toutes les valeurs de « X » et « Y » est égal à zéro. C'est l'équation du plan de coordonnées "natif". En effet, formellement l’équation peut être réécrite comme suit : , d'où vous pouvez clairement voir que nous ne nous soucions pas des valeurs que prennent "x" et "y", il est important que "z" soit égal à zéro.

De même:
est l'équation du plan de coordonnées ;
est l'équation du plan de coordonnées.

Compliquons un peu le problème, considérons un plan (ici et plus loin dans le paragraphe nous supposons que les coefficients numériques ne sont pas égaux à zéro). Réécrivons l'équation sous la forme : . Comment le comprendre ? "X" est TOUJOURS, car toute valeur de "y" et "z" est égale à un certain nombre. Ce plan est parallèle au plan de coordonnées. Par exemple, un plan est parallèle à un plan et passe par un point.

De même:
- l'équation du plan parallèle au plan de coordonnées ;
- l'équation d'un plan parallèle au plan de coordonnées.

Ajoutons des membres : . L'équation peut être réécrite comme ceci : , c'est-à-dire que "Z" peut être n'importe quoi. Qu'est-ce que ça veut dire? "X" et "Y" sont reliés par la relation qui trace une certaine ligne droite dans le plan (vous découvrirez équation d'une droite dans un plan?). Puisque « z » peut représenter n’importe quoi, cette ligne droite est « répliquée » à n’importe quelle hauteur. Ainsi, l'équation définit un plan parallèle à l'axe de coordonnées

De même:
- l'équation du plan parallèle à l'axe des coordonnées ;
- l'équation du plan parallèle à l'axe des coordonnées.

Si les termes libres sont nuls, alors les plans passeront directement par les axes correspondants. Par exemple, la classique « proportionnalité directe » :. Tracez une ligne droite dans le plan et multipliez-la mentalement de haut en bas (puisque « Z » est quelconque). Conclusion : le plan donné par l'équation passe par l'axe des coordonnées.

Nous concluons la revue : l'équation du plan passe par l'origine. Eh bien, ici, il est tout à fait évident que ce point satisfait à cette équation.

Et enfin, le cas représenté sur le dessin : – le plan est ami avec tous les axes de coordonnées, alors qu'il « coupe » toujours un triangle, qui peut être situé dans l'un des huit octants.

Inégalités linéaires dans l'espace

Pour comprendre les informations dont vous avez besoin pour bien étudier inégalités linéaires dans le plan, car beaucoup de choses seront similaires. Le paragraphe sera un bref aperçu avec plusieurs exemples, car le matériel est assez rare dans la pratique.

Si l'équation définit un plan, alors les inégalités
demander demi-espaces. Si l'inégalité n'est pas stricte (les deux dernières de la liste), alors la solution de l'inégalité, en plus du demi-espace, inclut également le plan lui-même.

Exemple 5

Trouver le vecteur normal unitaire du plan .

Solution: Un vecteur unitaire est un vecteur dont la longueur est un. Notons ce vecteur par . Il est bien clair que les vecteurs sont colinéaires :

Tout d’abord, nous supprimons le vecteur normal de l’équation du plan : .

Comment trouver le vecteur unitaire ? Pour trouver le vecteur unitaire, il vous faut chaque coordonnée vectorielle divisée par la longueur du vecteur.

Réécrivons le vecteur normal sous la forme et trouvons sa longueur :

D'après ce qui précède :

Répondre:

Chèque : , qui était nécessaire pour vérifier.

Les lecteurs qui ont étudié attentivement le dernier paragraphe de la leçon ont probablement remarqué que les coordonnées du vecteur unitaire sont exactement les cosinus directeurs du vecteur:

Faisons une pause avec le problème actuel : quand on vous donne un vecteur arbitraire non nul, et selon la condition il faut trouver ses cosinus directeurs (voir les derniers problèmes de la leçon Produit scalaire des vecteurs), alors vous trouvez en fait un vecteur unitaire colinéaire à celui-ci. En fait, deux tâches dans une seule bouteille.

La nécessité de trouver le vecteur normal unitaire se pose dans certains problèmes d’analyse mathématique.

Nous avons compris comment pêcher un vecteur normal, répondons maintenant à la question inverse :

Comment créer une équation d'un plan à l'aide d'un point et d'un vecteur normal ?

Cette construction rigide d'un vecteur normal et d'un point est bien connue du jeu de fléchettes. Veuillez tendre votre main vers l'avant et sélectionner mentalement un point arbitraire dans l'espace, par exemple un petit chat dans le buffet. Évidemment, à travers ce point, vous pouvez tracer un seul plan perpendiculaire à votre main.

L'équation d'un plan passant par un point perpendiculaire au vecteur s'exprime par la formule :