Előadás a témában: "Egy komplex szám trigonometrikus alakja." Komplex számok trigonometrikus formában Trigonometrikus formában megadott komplex szám

Ebben a részben részletesebben a komplex szám trigonometrikus alakjáról fogunk beszélni. A gyakorlati feladatokban sokkal ritkábban fordul elő a demonstratív forma. Javaslom a letöltést és a nyomtatást, ha lehetséges. trigonometrikus táblázatok, módszertani anyaga a Matematikai képletek és táblázatok oldalon található. Asztalok nélkül nem mehetsz messzire.

Bármely komplex szám (nulla kivételével) felírható trigonometrikus formában:

Hol van komplex szám modulusa, A - komplex szám argumentum.

Ábrázoljuk a számot a komplex síkon. A határozottság és a magyarázat egyszerűsége érdekében az első koordinátanegyedbe helyezzük, azaz. Úgy hisszük:

Komplex szám modulusa az origó és a komplex sík megfelelő pontja közötti távolság. Egyszerűen fogalmazva, modul a hossza sugárvektor, amely a rajzon pirossal van jelölve.

Egy komplex szám modulusát általában a következővel jelöljük: vagy

A Pitagorasz-tétel segítségével könnyen levezethető egy képlet a komplex szám modulusának meghatározására: . Ez a képlet helyes bármilyen jelentése "a" és "legyen".

jegyzet : A komplex szám modulusa a fogalom általánosítása valós szám modulusa, mint egy pont és az origó távolsága.

Komplex szám argumentuma hívott sarok között pozitív féltengely a valós tengely és az origótól a megfelelő pontig húzott sugárvektor. Az argumentum nincs definiálva az egyes számban:.

A vizsgált elv tulajdonképpen hasonló a poláris koordinátákhoz, ahol a poláris sugár és a polárszög egyedileg határoz meg egy pontot.

Egy komplex szám argumentumát szabványosan jelöljük: vagy

Geometriai megfontolások alapján a következő képletet kapjuk az argumentum megtalálásához:

. Figyelem! Ez a képlet csak a jobb oldali félsíkban működik! Ha a komplex szám nem az 1. vagy 4. koordinátanegyedben található, akkor a képlet kissé eltér. Ezeket az eseteket is elemezzük.

De először nézzük meg a legegyszerűbb példákat, amikor a komplex számok koordinátatengelyeken helyezkednek el.

7. példa

A komplex számok ábrázolása trigonometrikus formában: ,,,. Készítsük el a rajzot:

Valójában a feladat szóbeli. Az érthetőség kedvéért átírom egy komplex szám trigonometrikus alakját:

Emlékezzünk határozottan, a modul – hossz(ami mindig nem negatív), érv – sarok

1) Ábrázoljuk a számot trigonometrikus formában. Keressük a modulusát és az argumentumát. Ez nyilvánvaló. Formális számítás a következő képlettel:. Nyilvánvaló, hogy (a szám közvetlenül a valódi pozitív féltengelyen fekszik). Így a szám trigonometrikus formában:.

A fordított ellenőrzési művelet olyan egyértelmű, mint a nap:

2) Ábrázoljuk a számot trigonometrikus formában. Keressük a modulusát és az argumentumát. Ez nyilvánvaló. Formális számítás a következő képlettel:. Nyilvánvalóan (vagy 90 fokban). A rajzon a sarok piros színnel van jelölve. Tehát a szám trigonometrikus formában: .

Használata , könnyen visszaadható a szám algebrai alakja (egyidejűleg ellenőrzéssel):

3) Ábrázoljuk a számot trigonometrikus formában. Keressük meg a modulját és

érv. Nyilvánvaló, hogy. Formális számítás a képlet segítségével:

Nyilvánvalóan (vagy 180 fokban). A rajzon a sarok kék színnel van jelölve. Így a szám trigonometrikus formában:.

Vizsgálat:

4) És a negyedik érdekes eset. Ez nyilvánvaló. Formális számítás a következő képlettel:.

Az argumentum kétféleképpen írható fel: Első mód: (270 fok), és ennek megfelelően: . Vizsgálat:

A következő szabály azonban szabványosabb: Ha a szög nagyobb 180 foknál, akkor mínuszjellel és a szög ellentétes irányával („görgetéssel”) írjuk: (mínusz 90 fok), a rajzon a szöget zölddel jelöljük. Könnyű észrevenni

amely ugyanaz a szög.

Így a bejegyzés a következő formában jelenik meg:

Figyelem! Semmi esetre sem szabad a koszinusz paritását, a szinusz páratlanságát használni, és tovább „egyszerűsíteni” a jelölést:

Egyébként hasznos megjegyezni a trigonometrikus és inverz trigonometrikus függvények megjelenését és tulajdonságait, a referenciaanyagok az oldal utolsó bekezdéseiben találhatók. Az alapvető elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai. És a komplex számok sokkal könnyebben megtanulhatók!

A legegyszerűbb példák kialakításánál a következőképpen kell írni: : "nyilvánvaló, hogy a modulus... nyilvánvaló, hogy az érv...". Ez valóban nyilvánvaló és szóban is könnyen megoldható.

Térjünk át a gyakoribb esetekre. A modullal nincs probléma, mindig a képletet kell használni. De az argumentum megtalálásának képlete más lesz, attól függ, hogy melyik koordinátanegyedben található a szám. Ebben az esetben három lehetőség lehetséges (célszerű átírni):

1) Ha (1. és 4. koordinátanegyed, vagy jobb oldali félsík), akkor az argumentumot a képlet segítségével kell megtalálni.

2) Ha (2. koordinátanegyed), akkor az argumentumot a képlet segítségével kell megtalálni .

3) Ha (3. koordinátanegyed), akkor az argumentumot a képlet segítségével kell megtalálni .

8. példa

A komplex számok ábrázolása trigonometrikus formában: ,,,.

Mivel vannak kész képletek, nem szükséges a rajzot befejezni. De van egy pont: amikor megkérik, hogy egy számot trigonometrikus formában ábrázoljon, akkor Mindenesetre jobb a rajz elkészítése. Az a helyzet, hogy a rajz nélküli megoldást a tanárok gyakran elutasítják, a rajz hiánya komoly oka a mínusznak és a kudarcnak.

A számokat összetett formában mutatjuk be, az első és harmadik szám pedig önálló megoldást jelent.

A számot ábrázoljuk trigonometrikus formában. Keressük a modulusát és az argumentumát.

Mivel (2. eset), akkor

– itt kell kihasználni az arctangens furcsaságát. Sajnos a táblázat nem tartalmazza az értéket, így ilyen esetekben az argumentumot nehézkes formában kell hagyni: – számok trigonometrikus formában.

A számot ábrázoljuk trigonometrikus formában. Keressük a modulusát és az argumentumát.

Mivel (1. eset), akkor (mínusz 60 fok).

És így:

– egy szám trigonometrikus formában.

De itt vannak a hátrányok, mint már említettük ne érjen hozzá.

A szórakoztató grafikus ellenőrzési módszer mellett van egy analitikus ellenőrzés is, amelyet a 7. példában már elvégeztünk. trigonometrikus függvények értéktáblázata, miközben figyelembe kell venni, hogy a szög pontosan a táblázat szöge (vagy 300 fok): – számok az eredeti algebrai formában.

Mutassa be a számokat trigonometrikus formában! Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

A rész végén röviden a komplex számok exponenciális alakjáról.

Bármely komplex szám (nulla kivételével) felírható exponenciális formában:

Hol van egy komplex szám modulusa, és hol van a komplex szám argumentuma.

Mit kell tennie egy komplex szám exponenciális ábrázolásához? Majdnem ugyanaz: rajz végrehajtása, modul és argumentum keresése. És írja be a számot az űrlapba.

Például az előző példában szereplő számhoz megtaláltuk a modult és az argumentumot:,. Ekkor ez a szám exponenciális formában a következőképpen lesz írva:.

A szám exponenciális formában így fog kinézni:

Szám - Így:

Az egyetlen tanács az ne érintse meg a jelzőt kitevők, nem kell átrendezni a faktorokat, nyitni a zárójeleket stb. Egy komplex számot exponenciális formában írunk fel szigorúan forma szerint.

Algebrai formában írt komplex számok műveletei

Komplex szám algebrai alakja z =(a,b).az alak algebrai kifejezésének nevezzük

z = a + kettős.

Aritmetikai műveletek komplex számokkal z 1 = a 1 +b 1 énÉs z 2 = a 2 +b 2 én, amelyeket algebrai formában írunk, a következőképpen hajtjuk végre.

1. Komplex számok összege (különbsége).

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

azok. Az összeadás (kivonás) a hasonló tagok redukciójával járó polinomok összeadási szabálya szerint történik.

2. Komplex számok szorzata

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

azok. a szorzás a polinomok szorzására vonatkozó szokásos szabály szerint történik, figyelembe véve azt a tényt, hogy én 2 = 1.

3. Két komplex szám felosztása a következő szabály szerint történik:

, (z 2 ≠ 0),

azok. az osztást úgy hajtjuk végre, hogy az osztót és az osztót megszorozzuk az osztó konjugált számával.

A komplex számok hatványozását a következőképpen határozzuk meg:

Ezt könnyű megmutatni

Példák.

1. Keresse meg a komplex számok összegét! z 1 = 2 – énÉs z 2 = – 4 + 3én.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3én) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) én = –2+2én.

2. Keresse meg a komplex számok szorzatát! z 1 = 2 – 3énÉs z 2 = –4 + 5én.

= (2 – 3én) ∙ (–4 + 5én) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3én)+ 2∙5én– 3i∙ 5i = 7+22én.

3. Keresse meg a hányadost! z felosztásból z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – én.

z = .

4. Oldja meg az egyenletet: , xÉs y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3én.

A komplex számok egyenlősége miatt a következőket kapjuk:

ahol x =–1 , y= 4.

5. Számolja ki: én 2 ,én 3 ,én 4 ,én 5 ,én 6 ,én -1 ,én -2 .

6. Számítsa ki, ha .

.

7. Számítsa ki egy szám reciprokát! z=3-én.

Komplex számok trigonometrikus formában

Komplex sík síknak nevezzük derékszögű koordinátákkal ( x, y), ha minden pont koordinátákkal ( a, b) komplex számhoz van társítva z = a + bi. Ebben az esetben az abszcissza tengelyt ún valódi tengely, és az ordináta tengelye az képzeletbeli. Aztán minden komplex szám a+bi geometriailag síkon pontként ábrázolva A (a, b) vagy vektor.

Ezért a pont helyzete A(és ezért egy komplex szám z) megadható a | vektor hosszával | = rés szög j, amelyet a | vektor alkot | a valós tengely pozitív irányával. A vektor hosszát ún komplex szám modulusaés |-vel jelöljük z |=r, és a szög j hívott komplex szám argumentumés ki van jelölve j = arg z.

Egyértelmű, hogy | z| ³ 0 és | z | = 0 Û z = 0.

ábrából 2 egyértelmű, hogy .

Egy komplex szám argumentumát kétértelműen, de 2-es pontossággal határozzuk meg pk, kÎ Z.

ábrából 2 az is világos, hogy ha z=a+biÉs j=arg z, Hogy

kötözősaláta j =,bűn j =, tg j = .

Ha zÎRÉs z> 0, akkor arg z = 0 +2pk;

Ha z ОRÉs z< 0, akkor arg z = p + 2pk;

Ha z = 0,arg z meghatározatlan.

Az argumentum fő értékét a 0 intervallum határozza meg £ arg z 2 GBP p,

vagy -o£ arg z £ p.

Példák:

1. Határozza meg a komplex számok modulusát! z 1 = 4 – 3énÉs z 2 = –2–2én.

2. Határozzon meg területeket a feltételek által meghatározott komplex síkon:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+én) | 3 GBP; 4) £6 | z – én| 7 GBP.

Megoldások és válaszok:

1) | z| = 5 Û Û - egy 5-ös sugarú kör egyenlete, amelynek középpontja az origóban van.

2) 6 sugarú kör, amelynek középpontja az origóban van.

3) 3. sugarú kör középpontjával z 0 = 2 + én.

4) 6 és 7 sugarú körök által határolt gyűrű, amelynek középpontja egy pontban van z 0 = én.

3. Határozza meg a következő számok modulusát és argumentumát: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2én; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Tipp: A fő argumentum meghatározásakor használja a komplex síkot.

És így: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

KOMPLEX SZÁMOK XI

256. § Komplex számok trigonometrikus alakja

Legyen egy komplex szám a + bi vektornak felel meg O.A.> koordinátákkal ( a, b ) (lásd 332. ábra).

Jelöljük ennek a vektornak a hosszát r és a tengellyel bezárt szöget x , keresztül φ . A szinusz és koszinusz meghatározása szerint:

a / r =cos φ , b / r = bűn φ .

Ezért A = r kötözősaláta φ , b = r bűn φ . De ebben az esetben a komplex szám a + bi így írható:

a + bi = r kötözősaláta φ + ir bűn φ = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ).

Mint tudják, bármely vektor hosszának négyzete egyenlő a koordinátáinak négyzetösszegével. Ezért r 2 = a 2 + b 2, honnan r = √a 2 + b 2

Így, bármilyen komplex szám a + bi formában ábrázolható :

a + bi = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ), (1)

ahol r = √a 2 + b 2 és a szög φ a következő feltételből határozzák meg:

A komplex számok írásának ezt a formáját ún trigonometrikus.

Szám r az (1) képletben ún modult, és a szög φ - érv, összetett szám a + bi .

Ha komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor a modulusa pozitív; ha a + bi = 0, akkor a = b = 0, majd r = 0.

Bármely komplex szám modulusa egyedileg meghatározott.

Ha komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor argumentumát a (2) képletek határozzák meg egyértelműen 2-vel osztható szög pontossággal π . Ha a + bi = 0, akkor a = b = 0. Ebben az esetben r = 0. Az (1) képletből könnyen megérthető, hogy érvként φ ebben az esetben bármilyen szöget választhat: végül is bármelyikhez φ

0 (cos φ + én bűn φ ) = 0.

Ezért a null argumentum definiálatlan.

Komplex szám modulusa r néha | z |, és az arg z . Nézzünk néhány példát a komplex számok trigonometrikus formában való ábrázolására.

Példa. 1. 1 + én .

Keressük meg a modult r és érvelés φ ez a szám.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Ezért a bűn φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, honnan φ = π / 4 + 2nπ .

És így,

1 + én = √ 2 ,

Ahol P - tetszőleges egész szám. Általában egy komplex szám argumentumának végtelen értékkészletéből egyet választanak ki, amely 0 és 2 között van. π . Ebben az esetben ez az érték π / 4. Ezért

1 + én = √ 2 (cos π / 4 + én bűn π / 4)

2. példaÍrj fel egy komplex számot trigonometrikus formában! √ 3 - én . Nekünk van:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Ezért 2-vel osztható szögig π , φ = 11 / 6 π ; ennélfogva,

√ 3 - én = 2 (cos 11/6 π + én bűn 11/6 π ).

3. példaÍrj fel egy komplex számot trigonometrikus formában! én.

Összetett szám én vektornak felel meg O.A.> , amely a tengely A pontjában végződik nál nél 1. ordinátával (333. ábra). Egy ilyen vektor hossza 1, és az x tengellyel bezárt szög egyenlő π / 2. Ezért

én =cos π / 2 + én bűn π / 2 .

4. példaÍrd fel trigonometrikus alakban a 3-as komplex számot!

A 3-as komplex szám a vektornak felel meg O.A. > x abszcissza 3 (334. ábra).

Egy ilyen vektor hossza 3, és az x tengellyel bezárt szöge 0. Ezért

3 = 3 (cos 0 + én bűn 0),

5. példaÍrja fel trigonometrikus alakban a -5 komplex számot!

A -5 komplex szám egy vektornak felel meg O.A.> egy tengelypontban végződik x abszcisszával -5 (335. ábra). Egy ilyen vektor hossza 5, és az x tengellyel bezárt szög egyenlő π . Ezért

5 = 5 (cos π + én bűn π ).

Feladatok

2047. Írja be ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában, megadva moduljaikat és argumentumaikat:

1) 2 + 2√3 én , 4) 12én - 5; 7).3én ;

2) √3 + én ; 5) 25; 8) -2én ;

3) 6 - 6én ; 6) - 4; 9) 3én - 4.

2048. Jelölje meg a síkon azon komplex számokat reprezentáló pontok halmazát, amelyek modulja és φ argumentumai kielégítik a feltételeket:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Lehetnek-e számok egyidejűleg egy komplex szám modulusa? r És - r ?

2050. Lehet-e egy komplex szám argumentuma egyidejűleg szög? φ És - φ ?

Mutassa be ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában, definiálja moduljaikat és argumentumaikat:

2051*. 1 + cos α + én bűn α . 2054*. 2 (cos 20° - én sin 20°).

2052*. bűn φ + én kötözősaláta φ . 2055*. 3 (- cos 15°- én sin 15°).

2.3. Komplex számok trigonometrikus alakja

Adjuk meg a vektort a komplex síkon a számmal.

Jelöljük φ-vel az Ox pozitív féltengely és a vektor közötti szöget (a φ szöget pozitívnak tekintjük, ha az óramutató járásával ellentétes irányban mérjük, ellenkező esetben negatívnak).

Jelöljük a vektor hosszát r-vel. Akkor . Azt is jelöljük

Nem nulla z komplex szám írása a formába

a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Az r számot a z komplex szám modulusának, a φ számot pedig ennek a komplex számnak az argumentumának nevezzük, és Arg z-vel jelöljük.

Komplex szám írásának trigonometrikus formája - (Euler-képlet) - komplex szám írásának exponenciális formája:

A z komplex számnak végtelen sok argumentuma van: ha φ0 a z szám bármely argumentuma, akkor az összes többi megtalálható a képlet segítségével.

Komplex szám esetén az argumentum és a trigonometrikus forma nincs megadva.

Így egy nem nulla komplex szám argumentuma az egyenletrendszer tetszőleges megoldása:

(3)

Egy z komplex szám argumentumának φ értékét, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket, főértéknek nevezzük, és arg z-vel jelöljük.

Az Arg z és arg z argumentumokat a következőképpen kapcsolja össze

, (4)

Az (5) képlet a (3) rendszer következménye, ezért egy komplex szám minden argumentuma kielégíti az (5) egyenlőséget, de nem minden φ megoldása az (5) egyenletnek a z szám argumentuma.

A nullától eltérő komplex szám argumentumának fő értékét a következő képletek szerint találjuk meg:

A komplex számok trigonometrikus formában történő szorzására és osztására szolgáló képletek a következők:

. (7)

Amikor egy komplex számot természetes hatványra emelünk, a Moivre-képletet használjuk:

A komplex szám gyökének kinyerésekor a következő képletet kell használni:

, (9)

ahol k=0, 1, 2, …, n-1.

54. feladat Számítsa ki, hol .

Mutassuk be ennek a kifejezésnek a megoldását egy komplex szám exponenciális felírásával: .

Ha akkor.

Akkor , . Ezért aztán És , Ahol .

Válasz: , nál nél .

55. feladat Írjon fel komplex számokat trigonometrikus formában:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; és) .

Mivel egy komplex szám trigonometrikus alakja , akkor:

a) Komplex számban: .

,

Ezért

b) , Ahol ,

G) , Ahol ,

e) .

és) , A , Azt .

Ezért

Válasz: ; 4; ; ; ; ; .

56. feladat Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!

.

hagyd, .

Akkor , , .

Mivel és , , majd , és

Ezért, ezért

Válasz: , Ahol .

57. feladat Egy komplex szám trigonometrikus alakjának felhasználásával hajtsa végre a következő műveleteket: .

Képzeljük el a számokat és trigonometrikus formában.

1), hol Akkor

Keresse meg a fő argumentum értékét:

Helyettesítsük be az értékeket és a kifejezésbe, megkapjuk

2) , ahol aztán

Akkor

3) Keressük meg a hányadost

Ha k=0, 1, 2, akkor a kívánt gyökér három különböző értékét kapjuk:

Ha akkor

ha akkor

ha akkor .

Válasz: :

:

: .

58. feladat Legyenek , , , különböző komplex számok és . Bizonyítsd

egy szám valódi pozitív szám;

b) az egyenlőség érvényesül:

a) ábrázoljuk ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában:

Mert .

Tegyünk úgy, mintha. Akkor

.

Az utolsó kifejezés egy pozitív szám, mivel a szinuszjelek az intervallumból származó számokat tartalmaznak.

szám óta valódi és pozitív. Valóban, ha a és b komplex számok, és valósak és nagyobbak nullánál, akkor .

Kívül,

tehát a megkívánt egyenlőség bebizonyosodott.

59. feladat Írja fel a számot algebrai formában! .

Ábrázoljuk a számot trigonometrikus formában, majd keressük meg algebrai alakját. Nekünk van . Mert megkapjuk a rendszert:

Ez egyenlőséget jelent: .

Moivre képletét alkalmazva: ,

kapunk

Megtaláljuk az adott szám trigonometrikus alakját.

Írjuk fel ezt a számot algebrai formában:

.

Válasz: .

60. feladat. Keresse meg a , , összeget

Nézzük az összeget

Moivre képletét alkalmazva azt találjuk

Ez az összeg a nevezővel rendelkező geometriai sorozat n tagjának összege és az első tag .

Egy ilyen progresszió tagösszegének képletét alkalmazva megkapjuk

Az utolsó kifejezésben a képzeletbeli részt elkülönítve azt találjuk

A valós részt elkülönítve a következő képletet is megkapjuk: , , .

61. feladat Keresse meg az összeget:

A) ; b) .

A Newton-féle hatványozási képlet szerint megvan

Moivre képletével a következőket kapjuk:

Az eredményül kapott kifejezések valós és képzetes részeit egyenlővé téve a következővel:

És .

Ezeket a képleteket a következőképpen írhatjuk fel kompakt formában:

,

, ahol az a szám egész része.

62. feladat Keresse meg mindazt, amelyre .

Mert a , majd a képlet segítségével

, A gyökerek kinyeréséhez kapunk ,

Ennélfogva, , ,

, .

A számoknak megfelelő pontok egy 2 sugarú körbe írt négyzet csúcsaiban helyezkednek el, amelynek középpontja a (0;0) pontban van (30. ábra).

Válasz: , ,

, .

63. feladat Oldja meg az egyenletet! , .

Feltétel szerint ; ezért ennek az egyenletnek nincs gyöke, ezért ekvivalens az egyenlettel.

Ahhoz, hogy a z szám legyen ennek az egyenletnek a gyöke, a számnak az 1 szám n-edik gyökének kell lennie.

Ebből arra következtethetünk, hogy az eredeti egyenletnek az egyenlőségekből meghatározott gyökei vannak

,

És így,

,

azaz ,

Válasz: .

64. feladat Oldja meg az egyenletet a komplex számok halmazában!

Mivel a szám nem a gyöke ennek az egyenletnek, ezért ez az egyenlet ekvivalens az egyenlettel

Vagyis az egyenlet.

Ennek az egyenletnek az összes gyöke a képletből adódik (lásd a 62. feladatot):

; ; ; ; .

65. feladat Rajzoljunk a komplex síkra egy olyan ponthalmazt, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket: . (A 45. feladat megoldásának második módja)

Hadd .

Az azonos modulú komplex számok az origó középpontú körön fekvő sík pontjainak felelnek meg, ezért az egyenlőtlenség kielégíti az origóban közös középpontú körök által határolt nyitott gyűrű minden pontját és sugarát és (31. ábra). A komplex sík valamely pontja feleljen meg a w0 számnak. Szám , egy modulja többszörösen kisebb, mint a w0 modul, és egy argumentuma nagyobb, mint a w0. Geometriai szempontból a w1-nek megfelelő pont az origó középpontjával és az együtthatóval rendelkező homotétiával, valamint az origóhoz képest az óramutató járásával ellentétes szöggel történő elforgatással érhető el. Ha ezt a két transzformációt alkalmazzuk a gyűrű pontjaira (31. ábra), az utóbbi egy azonos középpontú, 1 és 2 sugarú körök által határolt gyűrűvé alakul (32. ábra).

Átalakítás vektorba történő párhuzamos átvitellel valósítják meg. A pontban lévő középpontú gyűrűt áthelyezve a jelzett vektorba, akkora gyűrűt kapunk a pont középpontjával (22. ábra).

A javasolt módszer, amely egy sík geometriai transzformációinak ötletét használja, valószínűleg kevésbé kényelmes leírni, de nagyon elegáns és hatékony.

66. feladat Keresse meg, ha .

Hagyjuk , majd és . A kezdeti egyenlőség formát ölt . Két komplex szám egyenlőségének feltételéből kapjuk, , amelyből , . És így, .

Írjuk fel a z számot trigonometrikus alakban:

, Ahol , . Moivre képlete szerint azt találjuk, hogy .

Válasz: 64.

67. feladat. Egy komplex számhoz keresse meg az összes olyan komplex számot, amelyre , és .

A számot ábrázoljuk trigonometrikus formában:

. Innen, . A kapott számhoz egyenlő lehet vagy .

Az első esetben , a másodikban

.

Válasz: , .

68. feladat Keresse meg az olyan számok összegét, amelyek . Kérjük, adja meg az egyik számot.

Megjegyzendő, hogy már a probléma megfogalmazásából is érthető, hogy az egyenlet gyökeinek összege a gyökök kiszámítása nélkül is megtalálható. Valóban, az egyenlet gyökeinek összege az együttható -re, ellentétes előjellel (általánosított Vieta tétele), azaz.

A diákok, az iskolai dokumentáció, következtetéseket von le a fogalom elsajátításának mértékéről. Foglalja össze a matematikai gondolkodás sajátosságainak vizsgálatát és a komplex szám fogalmának kialakulásának folyamatát! A módszerek leírása. Diagnosztika: I. szakasz. A beszélgetést matematikatanárral folytattuk, aki 10. osztályban algebrát és geometriát tanít. A beszélgetés az elejétől egy kis idő elteltével zajlott...

Rezonancia" (!)), amely magában foglalja a saját viselkedés értékelését is. 4. A helyzet megértésének kritikai értékelése (kétségek). 5. Végül a jogpszichológiai ajánlások felhasználása (az ügyvéd figyelembe veszi a pszichológiai az elvégzett szakmai cselekvések szempontjai - szakmai pszichológiai felkészültség). Tekintsük most a jogi tények pszichológiai elemzését...

A trigonometrikus helyettesítés matematikája és a kidolgozott tanítási módszertan hatékonyságának tesztelése. A munka szakaszai: 1. Fakultatív tantárgy kidolgozása a következő témában: „Trigonometrikus helyettesítés alkalmazása algebrai feladatok megoldására” emelt szintű matematika osztályos tanulókkal. 2. A kidolgozott szabadon választható tantárgy lebonyolítása. 3. Diagnosztikai vizsgálat elvégzése...

A kognitív feladatok csak a meglévő oktatási segédanyagok kiegészítésére szolgálnak, és megfelelő kombinációban kell lenniük az oktatási folyamat minden hagyományos eszközével és elemével. A bölcsészettudományi oktatás oktatási és az egzakt, a matematikai feladatok között mindössze annyi a különbség, hogy a történeti feladatokban nincsenek képletek, szigorú algoritmusok stb., ami megnehezíti a megoldást. ...