Egy sík általános egyenletének megszerzéséhez elemezzük az adott ponton áthaladó síkot.

Legyen három számunkra már ismert koordinátatengely a térben - Ökör, OyÉs Oz. Tartsa a papírlapot úgy, hogy az sima maradjon. A sík maga lesz a lap és annak folytatása minden irányban.

Hadd P tetszőleges sík a térben. Minden rá merőleges vektort nevezünk normál vektor erre a síkra. Természetesen nem nulla vektorról beszélünk.

Ha a síkon bármely pont ismert Pés valamilyen normálvektor hozzá, akkor ezzel a két feltétellel a térbeli sík teljesen meghatározott(egy adott ponton keresztül egyetlen, az adott vektorra merőleges síkot rajzolhatunk). A sík általános egyenlete a következő lesz:

Tehát a sík egyenletét meghatározó feltételek a következők. Hogy megszerezd magad sík egyenlet, amelynek a fenti formája, vegye fel a repülőt P tetszőleges pont M változó koordinátákkal x, y, z. Ez a pont csak akkor tartozik a síkhoz vektor merőleges a vektorra(1. ábra). Ehhez a vektorok merőlegességének feltétele szerint szükséges és elegendő, hogy ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata nulla legyen, azaz

A vektort feltétel határozza meg. A képlet segítségével megtaláljuk a vektor koordinátáit :

.

Most a vektorok képletének skaláris szorzatával , a skaláris szorzatot koordináta formában fejezzük ki:

A lényeg óta M(x; y; z) tetszőlegesen van kiválasztva a síkon, akkor az utolsó egyenlet teljesül a síkon lévő bármely pont koordinátáival P. Egy pontért N, nem egy adott síkon fekve, azaz. egyenlőség (1) sérül.

1. példaÍrjon egyenletet egy ponton átmenő és a vektorra merőleges síkra!

Megoldás. Használjuk az (1) képletet, és nézzük meg újra:

Ebben a képletben a számok A , BÉs C vektor koordináták és számok x0 , y0 És z0 - a pont koordinátái.

A számítások nagyon egyszerűek: behelyettesítjük ezeket a számokat a képletbe, és megkapjuk

Mindent megszorozunk, amit szorozni kell, és csak számokat adunk hozzá (amelyek nem tartalmaznak betűket). Eredmény:

.

Ebben a példában a sík szükséges egyenlete egy elsőfokú általános egyenlettel van kifejezve a változó koordinátákhoz képest x, y, z a sík tetszőleges pontja.

Tehát a forma egyenlete

hívott általános síkegyenlet .

2. példa Szerkesszünk meg egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben az egyenlet által megadott síkot .

Megoldás. Egy sík megszerkesztéséhez szükséges és elegendő ismerni bármely három olyan pontját, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen, például a sík és a koordinátatengelyek metszéspontjait.

Hogyan lehet megtalálni ezeket a pontokat? A tengellyel való metszéspont megtalálása Oz, akkor X-et és Y-t nullákkal kell helyettesíteni a problémafelvetésben megadott egyenletben: x = y= 0. Ezért kapunk z= 6. Így az adott sík metszi a tengelyt Oz azon a ponton A(0; 0; 6) .

Ugyanígy megtaláljuk a sík metszéspontját a tengellyel Oy. Nál nél x = z= 0 kapunk y= −3, vagyis a pont B(0; −3; 0) .

És végül megtaláljuk síkunk metszéspontját a tengellyel Ökör. Nál nél y = z= 0 kapunk x= 2, azaz egy pont C(2; 0; 0) . A megoldásunkban kapott három pont alapján A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) és C(2; 0; 0) megszerkeszti az adott síkot.

Most fontoljuk meg az általános síkegyenlet speciális esetei. Ezek olyan esetek, amikor a (2) egyenlet bizonyos együtthatói nullává válnak.

1. Mikor D= 0 egyenlet egy origón áthaladó síkot határoz meg, mivel a pont koordinátái 0 (0; 0; 0) teljesíti ezt az egyenletet.

2. Mikor A= 0 egyenlet tengellyel párhuzamos síkot határoz meg Ökör, mivel ennek a síknak a normálvektora merőleges a tengelyre Ökör(a tengelyre vetítése Ökör egyenlő nullával). Hasonlóképpen, amikor B= 0 sík a tengellyel párhuzamos Oy, és mikor C= 0 sík a tengellyel párhuzamos Oz.

3. Mikor A=D= A 0 egyenlet a tengelyen átmenő síkot határoz meg Ökör, mivel párhuzamos a tengellyel Ökör (A=D= 0). Hasonlóképpen, a sík áthalad a tengelyen Oy, és a tengelyen átmenő sík Oz.

4. Mikor A=B= A 0 egyenlet a koordinátasíkkal párhuzamos síkot határoz meg xOy, mivel párhuzamos a tengelyekkel Ökör (A= 0) és Oy (B= 0). Hasonlóképpen a sík párhuzamos a síkkal yOz, és a repülőgép az a repülőgép xOz.

5. Mikor A=B=D= 0 egyenlet (vagy z = 0) határozza meg a koordinátasíkot xOy, mivel párhuzamos a síkkal xOy (A=B= 0) és áthalad az origón ( D= 0). Hasonlóképpen, Eq. y = A térben lévő 0 a koordinátasíkot határozza meg xOz, és az egyenlet x = 0 - koordinátasík yOz.

3. példa Hozd létre a sík egyenletét P, áthalad a tengelyen Oyés időszak.

Megoldás. Tehát a sík átmegy a tengelyen Oy. Ezért az ő egyenletében y= 0 és ennek az egyenletnek az alakja . Az együtthatók meghatározására AÉs C használjuk ki, hogy a pont a síkhoz tartozik P .

Ezért a koordinátái között vannak olyanok, amelyek behelyettesíthetők az általunk már levezetett síkegyenletbe (). Nézzük újra a pont koordinátáit:

M0 (2; −4; 3) .

Közöttük x = 2 , z= 3. Behelyettesítjük őket az általános egyenletbe, és megkapjuk az egyenletet a konkrét esetünkre:

2A + 3C = 0 .

Hagyd el a 2 A az egyenlet bal oldalán mozgassa a 3-at C a jobb oldalra és megkapjuk

A = −1,5C .

A talált érték behelyettesítése A az egyenletbe, megkapjuk

vagy .

Ez a példafeltételben megkövetelt egyenlet.

Oldja meg saját maga a síkegyenlet feladatát, majd nézze meg a megoldást

4. példa Határozzon meg egy síkot (vagy síkokat, ha egynél több) a koordinátatengelyekhez vagy a koordinátasíkhoz képest, ha a sík(oka)t az egyenlet adja meg.

A tesztek során fellépő tipikus problémák megoldása a „Sík problémák: párhuzamosság, merőlegesség, három sík egy pontban történő metszéspontja” című tankönyvben található.

Három ponton áthaladó sík egyenlete

Mint már említettük, a sík megalkotásának szükséges és elégséges feltétele egy ponton és a normálvektoron kívül három olyan pont is, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el.

Legyen megadva három különböző pont , és , amelyek nem ugyanazon a vonalon fekszenek. Mivel a jelzett három pont nem ugyanazon az egyenesen fekszik, a vektorok nem kollineárisak, ezért a sík bármely pontja egy síkban van a pontokkal, és csak akkor, ha a vektorok , és egysíkú, azaz akkor és csak akkor ezeknek a vektoroknak a vegyes szorzata egyenlő nullával.

A vegyes szorzat kifejezését koordinátákban felhasználva megkapjuk a sík egyenletét

(3)

A determináns feltárása után ez az egyenlet (2) alakú egyenletté válik, azaz. a sík általános egyenlete.

5. példa.Írjon egyenletet egy olyan síkra, amely három olyan ponton halad át, amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek:

és határozzuk meg az egyenes általános egyenletének egy speciális esetét, ha előfordul.

Megoldás. A (3) képlet szerint a következőket kapjuk:

Normál sík egyenlet. Távolság ponttól síkig

Egy sík normálegyenlete az egyenlete, alakba írva

Ha minden A, B, C és D szám különbözik nullától, akkor a sík általános egyenletét ún. teljes. Ellenkező esetben a sík általános egyenletét nevezzük befejezetlen.

Tekintsük az Oxyz derékszögű koordinátarendszer síkjának összes lehetséges általános hiányos egyenletét háromdimenziós térben.

Legyen D = 0, akkor van egy általános hiányos síkegyenletünk, amelynek alakja . Ez a sík az Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerben áthalad az origón. Valóban, ha egy pont koordinátáit behelyettesítjük a sík eredményül kapott hiányos egyenletébe, akkor az azonossághoz jutunk.

A , vagy , vagy esetében általános hiányos egyenleteink vannak a , vagy , vagy síkokra. Ezek az egyenletek az Oxy, Oxz és Oyz koordinátasíkkal párhuzamos és a pontokon átmenő síkokat határoznak meg (lásd a cikket a párhuzamos síkok állapotáról). és ennek megfelelően. Nál nél. A lényeg óta feltétel szerint a síkhoz tartozik, akkor ennek a pontnak a koordinátáinak ki kell elégíteniük a sík egyenletét, vagyis az egyenlőségnek igaznak kell lennie. Innen találjuk. Így a szükséges egyenlet alakja .

Mutatjuk a probléma megoldásának második módját.

Mivel a sík, melynek általános egyenletét meg kell alkotnunk, párhuzamos az Oyz síkkal, ezért normálvektorának az Oyz sík normálvektorát vehetjük fel. Az Oyz koordinátasík normálvektora a koordinátavektor. Most már ismerjük a sík normálvektorát és a sík pontját, ezért felírhatjuk az általános egyenletét (hasonló problémát oldottunk meg a cikk előző bekezdésében):
, akkor a koordinátáinak ki kell elégíteniük a sík egyenletét. Ezért az egyenlőség igaz honnan találjuk. Most felírhatjuk a sík kívánt általános egyenletét, amelynek alakja .

Válasz:

Bibliográfia.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Felső matematika. Első kötet: a lineáris algebra és az analitikus geometria elemei.
• Iljin V.A., Poznyak E.G. Analitikus geometria.

Különféle módon megadható (egy pont és egy vektor, két pont és egy vektor, három pont stb.). Ezt szem előtt tartva a síkegyenletnek különböző formái lehetnek. Ezenkívül bizonyos feltételek mellett a síkok lehetnek párhuzamosak, merőlegesek, metszőek stb. Ebben a cikkben erről fogunk beszélni. Megtanuljuk, hogyan kell létrehozni egy sík általános egyenletét és így tovább.

Az egyenlet normál alakja

Tegyük fel, hogy van egy R 3 tér, amelynek téglalap alakú XYZ koordinátarendszere van. Határozzuk meg az α vektort, amely felszabadul az O kezdőpontból. Az α vektor végén át rajzolunk egy P síkot, amely merőleges lesz rá.

Jelöljünk egy tetszőleges pontot P-n Q = (x, y, z) alakban. Jelöljük a Q pont sugárvektorát p betűvel. Ebben az esetben az α vektor hossza egyenlő р=IαI és Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ez egy oldalra irányított egységvektor, mint az α vektor. α, β és γ azok a szögek, amelyek az Ʋ vektor és az x, y, z tértengelyek pozitív irányai között alakulnak ki. Bármely QϵП pont vetülete az Ʋ vektorra egy állandó érték, amely egyenlő p-vel: (p,Ʋ) = p(p≥0).

A fenti egyenletnek akkor van értelme, ha p=0. Csak az a helyzet, hogy a P sík ebben az esetben metszi a koordináták origójának számító O pontot (α=0), és az O pontból felszabaduló Ʋ egységvektor iránya ellenére merőleges lesz P-re, ami azt jelenti, hogy az Ʋ vektor előjel pontossággal van meghatározva. Az előző egyenlet a P sík egyenlete, vektor alakban kifejezve. De koordinátákban ez így fog kinézni:

P itt nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Megtaláltuk a térbeli sík egyenletét normál alakban.

Általános egyenlet

Ha a koordinátákban megadott egyenletet megszorozzuk bármely olyan számmal, amely nem egyenlő nullával, akkor ezzel egyenértékű egyenletet kapunk, amely pontosan azt a síkot határozza meg. Így fog kinézni:

Itt A, B, C olyan számok, amelyek egyszerre különböznek a nullától. Ezt az egyenletet általános síkegyenletnek nevezzük.

Síkok egyenletei. Különleges esetek

Az egyenlet általános formában módosítható további feltételek fennállása esetén. Nézzünk meg néhányat közülük.

Tegyük fel, hogy az A együttható 0. Ez azt jelenti, hogy ez a sík párhuzamos az adott Ox tengellyel. Ebben az esetben az egyenlet alakja megváltozik: Ву+Cz+D=0.

Hasonlóképpen, az egyenlet alakja megváltozik a következő feltételek mellett:

• Először is, ha B = 0, akkor az egyenlet Ax + Cz + D = 0-ra változik, ami az Oy tengellyel való párhuzamosságot jelzi.
• Másodszor, ha C=0, akkor az egyenletet Ax+By+D=0-ra transzformáljuk, ami az adott Oz tengellyel való párhuzamosságot jelzi.
• Harmadszor, ha D=0, az egyenlet így fog kinézni: Ax+By+Cz=0, ami azt jelenti, hogy a sík metszi az O-t (az origót).
• Negyedszer, ha A=B=0, akkor az egyenlet Cz+D=0-ra változik, ami párhuzamosnak bizonyul Oxy-val.
• Ötödször, ha B=C=0, akkor az egyenlet Ax+D=0 lesz, ami azt jelenti, hogy az Oyz síkja párhuzamos.
• Hatodszor, ha A=C=0, akkor az egyenlet Ву+D=0 alakot vesz fel, azaz párhuzamosságot jelent Oxz-nek.

Az egyenlet típusa szegmensekben

Abban az esetben, ha az A, B, C, D számok különböznek nullától, a (0) egyenlet alakja a következő lehet:

x/a + y/b + z/c = 1,

amelyben a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Eredményként azt kapjuk, hogy érdemes megjegyezni, hogy ez a sík egy olyan pontban metszi az Ox tengelyt, amelynek koordinátái (a,0,0), Oy - (0,b,0) és Oz - (0,0,c) ).

Az x/a + y/b + z/c = 1 egyenletet figyelembe véve nem nehéz vizuálisan elképzelni a sík adott koordinátarendszerhez viszonyított elhelyezkedését.

Normál vektor koordináták

A P síkra vonatkozó n normálvektornak olyan koordinátái vannak, amelyek ennek a síknak az általános egyenletének együtthatói, azaz n (A, B, C).

A normál n koordinátáinak meghatározásához elegendő egy adott sík általános egyenletének ismerete.

Az x/a + y/b + z/c = 1 formájú egyenlet szegmensekben, valamint általános egyenlet alkalmazásakor egy adott sík bármely normálvektorának koordinátáit felírhatjuk: (1 /a + 1/b + 1/ -val).

Érdemes megjegyezni, hogy a normálvektor számos probléma megoldásában segít. A leggyakoribbak a síkok merőlegességének vagy párhuzamosságának bizonyításával kapcsolatos problémák, a síkok közötti szögek vagy a síkok és egyenesek közötti szögek megállapításának problémái.

A síkegyenlet típusa a pont és a normálvektor koordinátái szerint

Egy adott síkra merőleges, nullától eltérő n vektort egy adott síkra normálisnak nevezzük.

Tegyük fel, hogy a koordinátatérben (téglalap koordinátarendszerben) az Oxyz adottak:

• Mₒ pont koordinátákkal (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulla vektor n=A*i+B*j+C*k.

Létre kell hozni egy egyenletet egy síkra, amely átmegy az Mₒ ponton, amely merőleges az n-re.

Kiválasztjuk a tér tetszőleges pontját és jelöljük M (x y, z). Legyen bármely M (x,y,z) pont sugárvektora r=x*i+y*j+z*k, az Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) pont sugárvektora pedig - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Az M pont egy adott síkhoz fog tartozni, ha az MₒM vektor merőleges az n vektorra. Írjuk fel az ortogonalitási feltételt a skalárszorzat segítségével:

[MₒM, n] = 0.

Mivel MₒM = r-rₒ, a sík vektoregyenlete így fog kinézni:

Ennek az egyenletnek más alakja is lehet. Ehhez a skaláris szorzat tulajdonságait használjuk, és az egyenlet bal oldalát transzformáljuk. = - . Ha c-vel jelöljük, a következő egyenletet kapjuk: - c = 0 vagy = c, amely a síkhoz tartozó adott pontok sugárvektorainak normálvektorára való vetületek állandóságát fejezi ki.

Most megkaphatjuk a sík = 0 vektoregyenletének koordinátaformáját. Mivel r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, és n = A*i+B *j+С*k:

Kiderült, hogy van egy egyenletünk a normál n-re merőleges ponton átmenő síkra:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

A síkegyenlet típusa két pont koordinátái szerint és egy, a síkkal kollineáris vektor

Határozzuk meg két tetszőleges M′ (x′,y′,z′) és M″ (x″,y″,z″) pontot, valamint egy a (a′,a″,a‴) vektort.

Most létrehozhatunk egy egyenletet egy adott síkra, amely átmegy a meglévő M′ és M″ pontokon, valamint bármely olyan M ponton, amelynek koordinátái (x, y, z) párhuzamosak az adott a vektorral.

Ebben az esetben az M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) és M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektoroknak egy síkban kell lenniük a vektorral a=(a′,a″,a‴), ami azt jelenti, hogy (M′M, M″M, a)=0.

Tehát a térbeli síkegyenletünk így fog kinézni:

Három pontot metsző sík egyenletének típusa

Tegyük fel, hogy három pontunk van: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), amelyek nem tartoznak ugyanabba az egyenesbe. Fel kell írni egy adott három ponton áthaladó sík egyenletét. A geometria elmélete azt állítja, hogy ez a fajta sík valóban létezik, de ez az egyetlen és egyedülálló. Mivel ez a sík metszi az (x′,y′,z′ pontot), az egyenlet alakja a következő lesz:

Itt A, B, C egyszerre különbözik a nullától. Ezenkívül az adott sík további két pontot metsz: (x″,y″,z″) és (x‴,y‴,z‴). E tekintetben a következő feltételeknek kell teljesülniük:

Most létrehozhatunk egy homogén rendszert u, v, w ismeretlenekkel:

Esetünkben x, y vagy z tetszőleges pont, amely kielégíti az (1) egyenletet. Adott az (1) egyenlet és a (2) és (3) egyenletrendszer, a fenti ábrán látható egyenletrendszert az N (A,B,C) vektor teljesíti, amely nem triviális. Ezért ennek a rendszernek a determinánsa nulla.

Az általunk kapott (1) egyenlet a sík egyenlete. Pontosan 3 ponton megy át, és ez könnyen ellenőrizhető. Ehhez ki kell terjesztenünk a determinánsunkat az első sor elemeire. A determináns meglévő tulajdonságaiból az következik, hogy síkunk egyszerre metszi három kezdetben megadott pontot (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Azaz megoldottuk a ránk bízott feladatot.

Kétszögű síkok közötti szög

A diéderszög egy térbeli geometriai alakzat, amelyet két félsík alkot, amelyek egy egyenesből erednek. Más szóval, ez az a térrész, amelyet ezek a félsíkok korlátoznak.

Tegyük fel, hogy van két síkunk a következő egyenletekkel:

Tudjuk, hogy az N=(A,B,C) és N¹=(A¹,B1,C1) vektorok merőlegesek az adott síkra. Ebben a tekintetben az N és N¹ vektorok közötti φ szög egyenlő azzal a szöggel (diéder), amely e síkok között helyezkedik el. A pontterméknek a következő formája van:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

pontosan azért

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Elég figyelembe venni, hogy 0≤φ≤π.

Valójában két metsző sík két szöget (diédert) alkot: φ 1 és φ 2. Összegük egyenlő π-vel (φ 1 + φ 2 = π). A koszinuszukat illetően abszolút értékük egyenlő, de előjelben különböznek, azaz cos φ 1 = -cos φ 2. Ha a (0) egyenletben A, B és C helyére -A, -B és -C számokat cserélünk, akkor a kapott egyenlet ugyanazt a síkot fogja meghatározni, az egyetlen, a cos egyenletben a φ szöget. φ= NN 1 /|N||N 1 | helyébe π-φ kerül.

Egy merőleges sík egyenlete

Azokat a síkokat, amelyek között a szög 90 fokos, merőlegesnek nevezzük. A fent bemutatott anyagot felhasználva megtalálhatjuk egy másikra merőleges sík egyenletét. Tegyük fel, hogy két síkunk van: Ax+By+Cz+D=0 és A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Azt mondhatjuk, hogy merőlegesek lesznek, ha cosφ=0. Ez azt jelenti, hogy NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Párhuzamos sík egyenlet

Két olyan síkot, amelyek nem tartalmaznak közös pontokat, párhuzamosnak nevezzük.

A feltétel (egyenleteik megegyeznek az előző bekezdésben leírtakkal), hogy a rájuk merőleges N és N¹ vektorok kollineárisak. Ez azt jelenti, hogy az alábbi arányossági feltételek teljesülnek:

A/A1=B/B1=C/C1.

Ha az arányossági feltételeket kiterjesztjük - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ez azt jelzi, hogy ezek a síkok egybeesnek. Ez azt jelenti, hogy az Ax+By+Cz+D=0 és az A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 egyenletek egy síkot írnak le.

Távolság a síktól a ponttól

Tegyük fel, hogy van egy P sík, amelyet a (0) egyenlet ad meg. Meg kell találni a távolságot egy ponttól, melynek koordinátái (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Ehhez normál alakba kell hoznia a P sík egyenletét:

(ρ,v)=р (р≥0).

Ebben az esetben ρ (x,y,z) a P-n elhelyezkedő Q pontunk sugárvektora, p a nullapontból kioldott P merőleges hossza, v az egységvektor, amely az irány a.

Valamely P-hez tartozó Q = (x, y, z) pont ρ-ρº sugárvektora, valamint egy adott Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) pont sugárvektora olyan vektor, amelynek v-re vetületének abszolút értéke egyenlő azzal a d távolsággal, amelyet Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) és P között meg kell találni:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, de

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Szóval kiderül

d=|(ρ 0,v)-р|.

Így meg fogjuk találni az eredményül kapott kifejezés abszolút értékét, vagyis a kívánt d-t.

A paraméternyelv használatával a következőt kapjuk:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Ha egy adott Q 0 pont a P sík másik oldalán van, mint a koordináták origója, akkor a ρ-ρ 0 és v vektor között tehát van:

d=-(ρ-ρ 0,v)=(ρ 0,v)-р>0.

Abban az esetben, ha a Q 0 pont a koordináták origójával együtt P ugyanazon az oldalán található, akkor a létrehozott szög hegyes, azaz:

d=(ρ-ρ 0,v)=р - (ρ 0, v)>0.

Ennek eredményeként kiderül, hogy az első esetben (ρ 0 ,v)>р, a másodikban (ρ 0 ,v)<р.

Érintősík és egyenlete

A felület érintési síkja az Mº érintkezési pontban egy olyan sík, amely tartalmazza a felület ezen pontján keresztül rajzolt görbék összes lehetséges érintőjét.

Az ilyen típusú F(x,y,z)=0 felületi egyenletnél az érintősík egyenlete az Mº(xº,yº,zº) érintőpontban így fog kinézni:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ha a felületet explicit formában z=f (x,y) adjuk meg, akkor az érintősíkot a következő egyenlet írja le:

z-zº =f(xº,yº)(x-xº)+f(xº,yº)(y-yº).

Két sík metszéspontja

A koordinátarendszerben (téglalap alakú) Oxyz található, két П′ és П″ sík adott, amelyek metszik egymást és nem esnek egybe. Mivel a téglalap alakú koordinátarendszerben található bármely síkot egy általános egyenlet határozza meg, feltételezzük, hogy P′ és P″ az A′x+B′y+C′z+D′=0 és A″x egyenletek alapján. +B″y+ С″z+D″=0. Ebben az esetben a P′ sík normál n′ (A′,B′,C′), a P″ sík normál n″ (A″,B″,C″) értéke van. Mivel síkjaink nem párhuzamosak és nem esnek egybe, ezek a vektorok nem kollineárisak. Ezt a feltételt a matematika nyelvén a következőképpen írhatjuk fel: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. A P′ és P″ metszéspontjában lévő egyenest jelöljük a betűvel, ebben az esetben a = P′ ∩ P″.

a egy egyenes, amely a (közös) P′ és P″ síkok összes pontjának halmazából áll. Ez azt jelenti, hogy az a egyeneshez tartozó bármely pont koordinátáinak egyidejűleg teljesíteniük kell az A′x+B′y+C′z+D′=0 és az A″x+B″y+C″z+D″=0 egyenletet. . Ez azt jelenti, hogy a pont koordinátái a következő egyenletrendszer részmegoldásai lesznek:

Ennek eredményeként kiderül, hogy ennek az egyenletrendszernek az (általános) megoldása meghatározza a P′ és P″ metszéspontjaként működő egyenes minden pontjának koordinátáit, és meghatározza az egyenest. a az Oxyz (téglalap alakú) koordinátarendszerben a térben.

Ahhoz, hogy egyetlen síkot át lehessen húzni a tér bármely három pontján, szükséges, hogy ezek a pontok ne legyenek ugyanazon az egyenesen.

Tekintsük az M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) pontokat az általános derékszögű koordinátarendszerben.

Ahhoz, hogy egy tetszőleges M(x, y, z) pont egy síkban feküdjön az M 1, M 2, M 3 pontokkal, szükséges, hogy a vektorok egysíkúak legyenek.

(
) = 0

És így,

Három ponton áthaladó sík egyenlete:

Két pont adott sík és a síkkal kollineáris vektor egyenlete.

Legyen adott az M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) pont és a vektor
.

Készítsünk egyenletet az adott M 1 és M 2 pontokon átmenő síkra és a vektorral párhuzamos tetszőleges M (x, y, z) pontra .

Vektorok
és vektor
koplanárisnak kell lennie, azaz.

(
) = 0

Sík egyenlet:

Egy sík egyenlete egy pont és két vektor felhasználásával,

kollineáris a síkhoz.

Legyen két vektor adott
És
, kollineáris síkok. Ekkor a síkhoz tartozó tetszőleges M(x, y, z) pontra a vektorok
egy síkban kell lennie.

Sík egyenlet:

Sík egyenlete pontonként és normálvektoronként .

Tétel. Ha adott egy M pont a térben 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), akkor az M ponton átmenő sík egyenlete 0 merőleges a normálvektorra (A, B, C) alakja:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bizonyíték. A síkhoz tartozó tetszőleges M(x, y, z) ponthoz vektort alkotunk. Mert vektor a normálvektor, akkor merőleges a síkra, és ezért merőleges a vektorra
. Aztán a skalárszorzat

= 0

Így megkapjuk a sík egyenletét

A tétel bizonyítást nyert.

Sík egyenlete szegmensekben.

Ha az Ax + Bi + Cz + D = 0 általános egyenletben mindkét oldalt elosztjuk (-D)

,

cseréje
, megkapjuk a sík egyenletét szegmensekben:

Az a, b, c számok a sík metszéspontjai az x, y, z tengelyekkel, ill.

Sík egyenlete vektor formában.

Ahol

- az aktuális pont sugárvektora M(x, y, z),

Egységvektor, amelynek az origóból egy síkra ejtett merőleges iránya.

,  és  a vektor által az x, y, z tengellyel alkotott szögek.

p ennek a merőlegesnek a hossza.

Koordinátákban ez az egyenlet így néz ki:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Egy pont és egy sík távolsága.

Egy tetszőleges M 0 (x 0, y 0, z 0) pont és az Ax+By+Cz+D=0 sík távolsága:

Példa. Határozzuk meg a sík egyenletét, tudva, hogy a P(4; -3; 12) pont az origóból erre a síkra ejtett merőleges alapja.

Tehát A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, a következő képletet használjuk:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Példa. Határozzuk meg egy P(2; 0; -1) ponton átmenő sík egyenletét és!

Q(1; -1; 3) merőleges a 3x + 2y – z + 5 = 0 síkra.

Normálvektor a 3x + 2y – z + 5 = 0 síkra
párhuzamos a kívánt síkkal.

Kapunk:

Példa. Határozzuk meg az A(2, -1, 4) pontokon áthaladó sík egyenletét és!

B(3, 2, -1) merőleges a síkra x + nál nél + 2z – 3 = 0.

A sík szükséges egyenlete a következő alakú: A x+B y+C z+ D = 0, normálvektor erre a síkra (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) a síkhoz tartozik. A nekünk adott sík, a kívántra merőleges, normálvektorral rendelkezik (1, 1, 2). Mert Az A és B pont mindkét síkhoz tartozik, és a síkok egymásra merőlegesek, akkor

Tehát a normálvektor (11, -7, -2). Mert az A pont a kívánt síkhoz tartozik, akkor a koordinátáinak ki kell elégíteniük ennek a síknak az egyenletét, azaz. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Összességében megkapjuk a sík egyenletét: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Példa. Határozzuk meg a sík egyenletét, tudva, hogy a P(4, -3, 12) pont az origóból erre a síkra ejtett merőleges alapja.

A normálvektor koordinátáinak megtalálása
= (4, -3, 12). A sík szükséges egyenlete a következő: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. A D együttható megkereséséhez behelyettesítjük a P pont koordinátáit az egyenletbe:

16 + 9 + 144 + D = 0

Összességében megkapjuk a szükséges egyenletet: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Példa. Adottak a piramis A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1) csúcsainak koordinátái,

Határozzuk meg az A 1 A 2 él hosszát.

Határozza meg az A 1 A 2 és A 1 A 4 élek közötti szöget.

Keresse meg az A 1 A 4 él és az A 1 A 2 A 3 lap közötti szöget.

Először keressük meg az A 1 A 2 A 3 arc normálvektorát vektorok keresztszorzataként
És
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Határozzuk meg a normálvektor és a vektor közötti szöget
.

-4 – 4 = -8.

A vektor és a sík közötti kívánt szög  egyenlő lesz:  = 90 0 - .

Keresse meg az arc területét A 1 A 2 A 3.

Keresse meg a piramis térfogatát!

Határozzuk meg az A 1 A 2 A 3 sík egyenletét!

Használjuk a képletet a három ponton átmenő sík egyenletére.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

A számítógépes verzió használatakor Felsőfokú matematika szak” futtathat egy programot, amely a piramis csúcsainak tetszőleges koordinátáira megoldja a fenti példát.

A program elindításához kattintson duplán az ikonra:

A megnyíló programablakba írja be a piramis csúcsainak koordinátáit, majd nyomja meg az Enter billentyűt. Így az összes döntési pontot egyenként lehet megszerezni.

Megjegyzés: A program futtatásához a Maple programot ( Waterloo Maple Inc.) a MapleV Release 4-től kezdve telepíteni kell a számítógépére.

Egy sík egyenlete. Hogyan írjunk fel egy sík egyenletet?
A síkok kölcsönös elrendezése. Feladatok

A térgeometria nem sokkal bonyolultabb, mint a „lapos” geometria, és ezzel a cikkel kezdődnek az űrbeli repüléseink. A téma elsajátításához jól kell értened vektorok, ezen kívül célszerű tisztában lenni a sík geometriájával - sok hasonlóság, sok analógia lesz, így sokkal jobban megemészthető az információ. Leckeim sorozatában a 2D-s világ egy cikkel nyit Egy síkon lévő egyenes egyenlete. De most Batman elhagyta a lapos TV képernyőjét, és a Bajkonuri kozmodromról indul.

Kezdjük rajzokkal és szimbólumokkal. Sematikusan a síkot paralelogramma formájában is megrajzolhatjuk, ami a tér benyomását kelti:

A sík végtelen, de csak egy darabját van lehetőségünk ábrázolni. A gyakorlatban a paralelogramma mellett egy ovális vagy akár egy felhő is rajzolódik. Technikai okokból számomra kényelmesebb pontosan így és pontosan ebben a helyzetben ábrázolni a gépet. A valódi síkok, amelyeket a gyakorlati példákban figyelembe veszünk, bármilyen módon elhelyezhetők - gondolatban vegye a rajzot a kezébe, és forgassa el a térben, így a sík bármilyen dőlést, bármilyen szöget biztosít.

Megnevezések: a síkokat általában kis görög betűkkel jelölik, látszólag azért, hogy ne tévessze össze őket egyenes vonal egy síkon vagy azzal egyenes vonal a térben. Megszoktam a betű használatát. A rajzon a „szigma” betű látható, és egyáltalán nem lyuk. Bár a lyukas repülőgép minden bizonnyal elég vicces.

Egyes esetekben célszerű ugyanazokat a görög betűket alsó indexekkel használni a síkok megjelölésére, például .

Nyilvánvaló, hogy a síkot három különböző pont határozza meg egyértelműen, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ezért a repülőgépek hárombetűs jelölései meglehetősen népszerűek - például a hozzájuk tartozó pontok szerint stb. A betűk gyakran zárójelben vannak: , hogy ne keverjük össze a síkot egy másik geometriai alakzattal.

Gyakorlott olvasóknak ajánlom gyors hozzáférésű menü:

• Hogyan készítsünk sík egyenletét egy pont és két vektor felhasználásával?
• Hogyan készítsünk sík egyenletét egy pont és egy normálvektor segítségével?

és nem fogunk sokáig várni:

Általános sík egyenlet

A sík általános egyenlete alakja , ahol az együtthatók egyszerre nem egyenlők nullával.

Számos elméleti számítás és gyakorlati probléma érvényes mind a szokásos ortonormális, mind a tér affin bázisára (ha az olaj olaj, térjünk vissza a leckéhez A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja). Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy minden esemény ortonormális alapon és derékszögű derékszögű koordinátarendszerben történik.

Most gyakoroljuk egy kicsit a térbeli képzeletünket. Nem baj, ha a tied rossz, most fejlesztjük egy kicsit. Még az idegeken való játék is edzést igényel.

A legáltalánosabb esetben, amikor a számok nem egyenlőek nullával, a sík mindhárom koordinátatengelyt metszi. Például így:

Még egyszer megismétlem, hogy a sík minden irányban a végtelenségig folytatódik, és ennek csak egy részét van lehetőségünk ábrázolni.

Tekintsük a síkok legegyszerűbb egyenleteit:

Hogyan kell megérteni ezt az egyenletet? Gondoljon bele: „Z” MINDIG nulla, „X” és „Y” bármely értéke esetén. Ez a "natív" koordinátasík egyenlete. Valójában formálisan az egyenlet a következőképpen írható át: , ahonnan jól látható, hogy nekünk nem mindegy, hogy „x” és „y” milyen értékeket vesz fel, fontos, hogy „z” egyenlő legyen nullával.

Hasonlóképpen:
– a koordinátasík egyenlete;
– a koordinátasík egyenlete.

Bonyolítsuk egy kicsit a problémát, tekintsünk egy síkot (itt és a továbbiakban a bekezdésben feltételezzük, hogy a numerikus együtthatók nem egyenlők nullával). Írjuk át az egyenletet a következő alakba: . Hogyan kell megérteni? Az „X” MINDIG, „Y” és „Z” bármely értéke esetén egy bizonyos számmal egyenlő. Ez a sík párhuzamos a koordinátasíkkal. Például egy sík párhuzamos egy síkkal, és áthalad egy ponton.

Hasonlóképpen:
– a koordinátasíkkal párhuzamos sík egyenlete;
– a koordinátasíkkal párhuzamos sík egyenlete.

Adjunk hozzá tagokat: . Az egyenlet a következőképpen írható át: , vagyis a „zet” bármi lehet. Mit jelent? Az „X” és az „Y” összefüggést köti össze, amely egy bizonyos egyenest húz a síkban (megtudhatja síkban lévő egyenes egyenlete?). Mivel a „z” bármi lehet, ez az egyenes bármely magasságban „megismétlődik”. Így az egyenlet a koordinátatengellyel párhuzamos síkot határoz meg

Hasonlóképpen:
– a koordinátatengellyel párhuzamos sík egyenlete;
– a koordinátatengellyel párhuzamos sík egyenlete.

Ha a szabad tagok nullák, akkor a síkok közvetlenül áthaladnak a megfelelő tengelyeken. Például a klasszikus „egyenes arányosság”: . Rajzolj egy egyenest a síkban, és gondolatban szorozd fel és le (mivel a „Z” tetszőleges). Következtetés: az egyenlet által meghatározott sík átmegy a koordinátatengelyen.

Befejezzük az áttekintést: a sík egyenlete áthalad az origón. Nos, itt teljesen nyilvánvaló, hogy a pont kielégíti ezt az egyenletet.

És végül a rajzon látható eset: – a sík minden koordinátatengellyel barátkozik, miközben mindig „levág” egy háromszöget, amely a nyolc oktáns bármelyikében elhelyezhető.

Lineáris egyenlőtlenségek a térben

Az információk megértéséhez jól kell tanulnia lineáris egyenlőtlenségek a síkban, mert sok minden hasonló lesz. A bekezdés rövid áttekintő jellegű lesz, számos példával, mivel az anyag a gyakorlatban meglehetősen ritka.

Ha az egyenlet síkot határoz meg, akkor az egyenlőtlenségeket
kérdez félszóközök. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú (a lista utolsó kettője), akkor az egyenlőtlenség megoldása a féltér mellett magában foglalja magát a síkot is.

5. példa

Keresse meg a sík egységnyi normálvektorát! .

Megoldás: Az egységvektor olyan vektor, amelynek hossza egy. Jelöljük ezt a vektort . Teljesen világos, hogy a vektorok kollineárisak:

Először eltávolítjuk a normálvektort a sík egyenletéből: .

Hogyan találhatunk egységvektort? Az egységvektor megtalálásához szüksége van minden osztjuk a vektor koordinátáját a vektor hosszával.

Írjuk át a normálvektort a formába, és keressük meg a hosszát:

A fentiek szerint:

Válasz:

Ellenőrzés: amit ellenőrizni kellett.

Azok az olvasók, akik figyelmesen tanulmányozták a lecke utolsó bekezdését, valószínűleg észrevették ezt az egységvektor koordinátái pontosan a vektor iránykoszinuszai:

Tartsunk egy kis szünetet az aktuális problémától: amikor megadunk egy tetszőleges nem nulla vektort, és a feltételnek megfelelően meg kell találni az iránykoszinuszait (lásd a lecke utolsó feladatait Vektorok pontszorzata), akkor valójában talál egy ehhez kollineáris egységvektort. Tulajdonképpen két feladat egy üvegben.

A matematikai elemzés egyes problémáinál felmerül az egységnyi normálvektor megtalálásának szükségessége.

Kitaláltuk, hogyan lehet kihalászni egy normál vektort, most válaszoljunk az ellenkező kérdésre:

Hogyan készítsünk sík egyenletét egy pont és egy normálvektor segítségével?

A normálvektor és egy pont merev konstrukciója jól ismert a darts számára. Kérjük, nyújtsa előre a kezét, és válasszon ki egy tetszőleges pontot a térben, például egy kis macskát a kredencben. Nyilvánvaló, hogy ezen a ponton keresztül egyetlen, a kezére merőleges síkot rajzolhat.

A vektorra merőleges ponton átmenő sík egyenletét a következő képlet fejezi ki: