Հարթության ընդհանուր հավասարումը ստանալու համար վերլուծում ենք տվյալ կետով անցնող հարթությունը։

Թող տիեզերքում մեզ արդեն հայտնի լինեն երեք կոորդինատային առանցքներ. Եզ, ՕյԵվ Օզ. Թղթի թերթիկը պահեք այնպես, որ այն հարթ մնա: Ինքնաթիռը լինելու է հենց թերթիկը և դրա շարունակությունը բոլոր ուղղություններով։

Թող Պկամայական ինքնաթիռ տիեզերքում. Նրան ուղղահայաց ցանկացած վեկտոր կոչվում է նորմալ վեկտոր այս ինքնաթիռին: Բնականաբար, խոսքը ոչ զրոյական վեկտորի մասին է։

Եթե ​​ինքնաթիռի որևէ կետ հայտնի է Պև նրա նկատմամբ նորմալի ինչ-որ վեկտոր, ապա այս երկու պայմաններով տիեզերքում հարթությունը լիովին որոշվում է(Տրված կետի միջով կա միայն մեկ հարթություն, որն ուղղահայաց է տրված վեկտորին): Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Այսպիսով, կան պայմաններ, որոնք սահմանում են հարթության հավասարումը։ Այն ինքնուրույն ստանալու համար հարթության հավասարումը, որն ունի վերը նշված ձևը, մենք վերցնում ենք ինքնաթիռը Պկամայական կետ Մ փոփոխական կոորդինատներով x, y, զ. Այս կետը պատկանում է ինքնաթիռին միայն այն դեպքում, եթե վեկտոր ուղղահայաց վեկտորին(նկ. 1): Դրա համար, ըստ վեկտորների ուղղահայացության պայմանի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այդ վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար լինի զրոյի, այսինքն.

Վեկտորը տրվում է պայմանով. Բանաձևով գտնում ենք վեկտորի կոորդինատները :

.

Այժմ, օգտագործելով վեկտորների կետային արտադրանքի բանաձևը , մենք արտահայտում ենք սկալյար արտադրյալը կոորդինատային ձևով.

Քանի որ կետը M(x; y; z)կամայականորեն ընտրվում է հարթության վրա, այնուհետև վերջին հավասարումը բավարարվում է հարթության վրա գտնվող ցանկացած կետի կոորդինատներով Պ. Կետի համար Ն, տրված հարթության վրա չպառկած, ի. խախտված է հավասարությունը (1).

Օրինակ 1Գրի՛ր կետով անցնող և վեկտորին ուղղահայաց հարթության հավասարումը:

Լուծում. Մենք օգտագործում ենք բանաձևը (1), նորից նայեք դրան.

Այս բանաձեւում թվերը Ա , ԲԵվ Գվեկտորային կոորդինատներ և թվեր x0 , y0 Եվ զ0 - կետի կոորդինատները.

Հաշվարկները շատ պարզ են. մենք այս թվերը փոխարինում ենք բանաձևով և ստանում

Մենք բազմապատկում ենք այն ամենը, ինչ պետք է բազմապատկվի և գումարում ենք միայն թվեր (որոնք առանց տառերի են): Արդյունք:

.

Այս օրինակում հարթության պահանջվող հավասարումը պարզվեց, որ արտահայտված է փոփոխական կոորդինատների նկատմամբ առաջին աստիճանի ընդհանուր հավասարմամբ. x, y, zինքնաթիռի կամայական կետ.

Այսպիսով, ձևի հավասարում

կանչեց ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը .

Օրինակ 2Կառուցեք ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում հավասարմամբ տրված հարթությունը .

Լուծում. Հարթությունը կառուցելու համար անհրաժեշտ և բավարար է իմանալ դրա ցանկացած երեք կետերը, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա, օրինակ՝ հարթության հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։

Ինչպե՞ս գտնել այս կետերը: Գտնել առանցքի հետ հատման կետը Օզ, դուք պետք է փոխարինեք զրոները x-ի և y-ի փոխարեն խնդրի դրույթում տրված հավասարման մեջ. x = y= 0. Հետեւաբար, մենք ստանում ենք զ= 6. Այսպիսով, տրված հարթությունը հատում է առանցքը Օզկետում Ա(0; 0; 6) .

Նույն կերպ մենք գտնում ենք հարթության առանցքի հետ հատման կետը Օյ. ժամը x = զ= 0 մենք ստանում ենք y= −3, այսինքն՝ կետ Բ(0; −3; 0) .

Եվ վերջապես մենք գտնում ենք մեր հարթության առանցքի հատման կետը Եզ. ժամը y = զ= 0 մենք ստանում ենք x= 2, այսինքն՝ կետ Գ(2; 0; 0) . Մեր լուծման մեջ ստացված երեք կետերի համաձայն Ա(0; 0; 6) , Բ(0; −3; 0) և Գ(2; 0; 0) կառուցում ենք տրված հարթությունը։

Հաշվի առեք հիմա ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարման հատուկ դեպքեր. Սրանք այն դեպքերն են, երբ անհետանում են (2) հավասարման որոշ գործակիցներ։

1. Երբ D= 0 հավասարումը սահմանում է ծագման միջով անցնող հարթությունը, քանի որ կետի կոորդինատները 0 (0; 0; 0) բավարարում է այս հավասարումը:

2. Երբ A= 0 հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ հարթություն Եզ, քանի որ այս հարթության նորմալ վեկտորը ուղղահայաց է առանցքին Եզ(դրա պրոյեկցիան առանցքի վրա Եզհավասար է զրոյի): Նմանապես, երբ B= 0 ինքնաթիռ առանցք զուգահեռ Օյ, եւ երբ C= 0 ինքնաթիռ առանցքին զուգահեռ Օզ.

3. Երբ A=D= 0 հավասարումը սահմանում է առանցքի միջով անցնող հարթություն Եզքանի որ այն զուգահեռ է առանցքին Եզ (A=D= 0): Նմանապես, ինքնաթիռն անցնում է առանցքի միջով Օյ, և հարթությունը առանցքի միջով Օզ.

4. Երբ A=B= 0 հավասարումը սահմանում է կոորդինատային հարթությանը զուգահեռ հարթություն xOyքանի որ այն զուգահեռ է առանցքներին Եզ (Ա= 0) և Օյ (Բ= 0): Նմանապես, ինքնաթիռը զուգահեռ է հարթությանը յՕզ, իսկ ինքնաթիռը՝ ինքնաթիռը xOz.

5. Երբ A=B=D= 0 հավասարումը (կամ z= 0) սահմանում է կոորդինատային հարթությունը xOy, քանի որ այն զուգահեռ է հարթությանը xOy (A=B= 0) և անցնում է ծագման միջով ( D= 0): Նմանապես, հավասարումը y=Տիեզերքում 0-ը սահմանում է կոորդինատային հարթությունը xOz, և հավասարումը x= 0 - կոորդինատային հարթություն յՕզ.

Օրինակ 3Կազմե՛ք հարթության հավասարումը Պառանցքի միջով անցնելը Օյև կետ.

Լուծում. Այսպիսով, ինքնաթիռն անցնում է առանցքի միջով Օյ. Այսպիսով, նրա հավասարման մեջ y= 0 և այս հավասարումն ունի ձև. Գործակիցները որոշելու համար ԱԵվ Գմենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ կետը պատկանում է հարթությանը Պ .

Հետևաբար, նրա կոորդինատների շարքում կան այնպիսիք, որոնք կարող են փոխարինվել հարթության հավասարման մեջ, որը մենք արդեն ստացել ենք (): Կրկին նայենք կետի կոորդինատներին.

Մ0 (2; −4; 3) .

Նրանց մեջ x = 2 , զ= 3. Մենք դրանք փոխարինում ենք ընդհանուր հավասարման մեջ և ստանում մեր կոնկրետ դեպքի հավասարումը.

2Ա + 3Գ = 0 .

Մենք թողնում ենք 2 Ահավասարման ձախ կողմում մենք փոխանցում ենք 3 Գդեպի աջ կողմը և ստացիր

Ա = −1,5Գ .

Գտնված արժեքի փոխարինում Ահավասարման մեջ, մենք ստանում ենք

կամ .

Սա օրինակի պայմանում պահանջվող հավասարումն է:

Ինքներդ լուծեք խնդիրը հարթության հավասարումների վրա, այնուհետև նայեք լուծմանը

Օրինակ 4Որոշեք հարթությունը (կամ հարթությունները, եթե մեկից ավելին է) կոորդինատային առանցքների կամ կոորդինատային հարթությունների նկատմամբ, եթե հարթությունը (հարթությունները) տրված է հավասարմամբ:

Տիպիկ խնդիրների լուծումներ, որոնք առաջանում են թեստերում - ձեռնարկում «Խնդիրներ հարթության վրա. զուգահեռություն, ուղղահայացություն, երեք հարթությունների հատում մեկ կետում» .

Երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը

Ինչպես արդեն նշվեց, հարթություն կառուցելու համար անհրաժեշտ և բավարար պայման, բացի մեկ կետից և նորմալ վեկտորից, նաև երեք կետերն են, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա։

Թող տրվեն երեք տարբեր կետեր և չպառկեն նույն ուղիղ գծի վրա: Քանի որ այս երեք կետերը չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա, վեկտորները և համագիծ չեն, և, հետևաբար, հարթության ցանկացած կետ գտնվում է կետերի հետ նույն հարթության մեջ, և եթե և միայն, եթե վեկտորները և համակողմանի, այսինքն. եթե և միայն եթե այս վեկտորների խառը արտադրյալըհավասար է զրոյի:

Օգտագործելով խառը արտադրանքի արտահայտությունը կոորդինատներում, մենք ստանում ենք հարթության հավասարումը

(3)

Որոշիչն ընդլայնելուց հետո այս հավասարումը դառնում է (2) ձևի հավասարում, այսինքն. ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը.

Օրինակ 5Գրե՛ք հավասարում այն ​​հարթության համար, որն անցնում է երեք տրված կետերով, որոնք չեն գտնվում ուղիղ գծի վրա.

և որոշել գծի ընդհանուր հավասարման որոշակի դեպք, եթե այդպիսիք կան:

Լուծում. Ըստ բանաձևի (3) մենք ունենք.

Ինքնաթիռի նորմալ հավասարումը. Հեռավորությունը կետից ինքնաթիռ

Ինքնաթիռի նորմալ հավասարումը նրա հավասարումն է՝ գրված ձևով

Եթե ​​բոլոր A, B, C և D թվերը զրոյական չեն, ապա ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը կոչվում է. ամբողջական. Հակառակ դեպքում կոչվում է ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը թերի.

Եկեք դիտարկենք հարթության բոլոր հնարավոր ընդհանուր թերի հավասարումները Oxyz ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում եռաչափ տարածության մեջ:

Թող D = 0, ապա մենք ունենք ձևի հարթության ընդհանուր թերի հավասարում: Այս հարթությունը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Oxyz անցնում է սկզբնակետով: Իրոք, երբ կետի կոորդինատները փոխարինում ենք հարթության արդյունքում ստացված թերի հավասարման մեջ, մենք հասնում ենք նույնությանը:

Համար , կամ , կամ մենք ունենք հարթությունների ընդհանուր թերի հավասարումներ , կամ , կամ համապատասխանաբար: Այս հավասարումները սահմանում են հարթություններ, որոնք զուգահեռ են համապատասխանաբար Oxy, Oxz և Oyz կոորդինատային հարթություններին (տե՛ս հոդվածը Հարթությունների զուգահեռության պայման) և անցնող կետերով։ և համապատասխանաբար. ժամը. Քանի որ կետը ըստ պայմանի պատկանում է հարթությանը, ապա այս կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն հարթության հավասարումը, այսինքն՝ հավասարությունը պետք է լինի ճշմարիտ։ Այստեղից մենք գտնում ենք. Այսպիսով, ցանկալի հավասարումն ունի ձև.

Ներկայացնում ենք այս խնդրի լուծման երկրորդ տարբերակը.

Քանի որ հարթությունը, որի ընդհանուր հավասարումը մենք պետք է կազմենք, զուգահեռ է Oyz հարթությանը, ապա որպես նրա նորմալ վեկտոր մենք կարող ենք վերցնել Oyz հարթության նորմալ վեկտորը: Oyz կոորդինատային հարթության նորմալ վեկտորը կոորդինատային վեկտորն է: Այժմ մենք գիտենք հարթության նորմալ վեկտորը և հարթության կետը, հետևաբար, մենք կարող ենք գրել դրա ընդհանուր հավասարումը (մենք լուծեցինք նմանատիպ խնդիր այս հոդվածի նախորդ պարբերությունում).
, ապա դրա կոորդինատները պետք է բավարարեն հարթության հավասարումը։ Հետեւաբար, հավասարությունը որտեղ մենք գտնում ենք. Այժմ մենք կարող ենք գրել ինքնաթիռի ցանկալի ընդհանուր հավասարումը, այն ունի ձև:

Պատասխան.

Մատենագիտություն.

• Բուգրով Յա.Ս., Նիկոլսկի Ս.Մ. Բարձրագույն մաթեմատիկա. Առաջին հատոր՝ Գծային հանրահաշվի և անալիտիկ երկրաչափության տարրեր։
• Իլյին Վ.Ա., Պոզնյակ Է.Գ. Անալիտիկ երկրաչափություն.

Այն կարող է նշվել տարբեր ձևերով (մեկ կետ և վեկտոր, երկու կետ և վեկտոր, երեք կետ և այլն): Հենց դա հաշվի առնելով է, որ հարթության հավասարումը կարող է ունենալ տարբեր ձևեր։ Նաև որոշակի պայմաններում հարթությունները կարող են լինել զուգահեռ, ուղղահայաց, հատվող և այլն։ Այս մասին մենք կխոսենք այս հոդվածում: Կսովորենք ինչպես գրել ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը և ոչ միայն։

Հավասարման նորմալ ձև

Ենթադրենք կա R 3 տարածություն, որն ունի ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ XYZ: Սահմանում ենք α վեկտորը, որը կազատվի O սկզբնական կետից: α վեկտորի վերջի միջով գծում ենք P հարթությունը, որն ուղղահայաց կլինի նրան։

Նշեք P-ով կամայական Q=(x, y, z): Q կետի շառավիղի վեկտորը կստորագրենք p տառով։ α վեկտորի երկարությունը p=IαI է և Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ):

Սա միավոր վեկտոր է, որը ցույց է տալիս մի կողմ, ինչպես α վեկտորը: α, β և γ այն անկյուններն են, որոնք ձևավորվում են համապատասխանաբար Ʋ վեկտորի և տիեզերական առանցքների դրական ուղղությունների միջև, համապատասխանաբար, x, y, z: Ʋ վեկտորի վրա QϵP որոշ կետի պրոյեկցիան հաստատուն արժեք է, որը հավասար է р-ին. (р,Ʋ) = р(р≥0):

Այս հավասարումը իմաստ ունի, երբ p=0: Միակ բանն այն է, որ P հարթությունն այս դեպքում կհատի O կետը (α=0), որը սկիզբն է, իսկ O կետից արձակված միավոր վեկտորը Ʋ ուղղահայաց կլինի P-ին, անկախ նրա ուղղությունից, ինչը նշանակում է. որ Ʋ վեկտորը որոշվում է նշան-ճշգրիտից: Նախորդ հավասարումը մեր P հարթության հավասարումն է՝ արտահայտված վեկտորի տեսքով։ Բայց կոորդինատներում այն ​​կունենա հետևյալ տեսքը.

P-ն այստեղ մեծ է կամ հավասար է 0-ի: Մենք գտել ենք հարթության հավասարումը տարածության մեջ իր նորմալ ձևով:

Ընդհանուր հավասարում

Եթե ​​կոորդինատներով հավասարումը բազմապատկենք ցանկացած թվով, որը հավասար չէ զրոյի, ապա կստանանք տրվածին համարժեք հավասարում, որը որոշում է այդ նույն հարթությունը։ Այն այսպիսի տեսք կունենա.

Այստեղ A, B, C թվեր են, որոնք միաժամանակ տարբերվում են զրոյից: Այս հավասարումը կոչվում է ընդհանուր հարթության հավասարում:

Հարթության հավասարումներ. Հատուկ դեպքեր

Ընդհանուր ձևով հավասարումը կարող է փոփոխվել լրացուցիչ պայմանների առկայության դեպքում: Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը:

Ենթադրենք, որ A գործակիցը 0 է: Սա նշանակում է, որ տվյալ հարթությունը զուգահեռ է տրված Ox առանցքին: Այս դեպքում կփոխվի հավասարման ձևը՝ Ву+Cz+D=0։

Նմանապես, հավասարման ձևը կփոխվի հետևյալ պայմաններում.

• Նախ, եթե B = 0, ապա հավասարումը կփոխվի Ax + Cz + D = 0, որը ցույց կտա զուգահեռություն Oy առանցքի հետ:
• Երկրորդ, եթե С=0, ապա հավասարումը վերածվում է Ах+Ву+D=0-ի, որը ցույց կտա զուգահեռություն տվյալ առանցքի Oz-ին։
• Երրորդ, եթե D=0, ապա հավասարումը կունենա Ax+By+Cz=0, ինչը կնշանակի, որ հարթությունը հատում է O-ն (սկիզբը):
• Չորրորդ, եթե A=B=0, ապա հավասարումը կփոխվի Cz+D=0, որը կփաստի Oxy-ին զուգահեռ:
• Հինգերորդ, եթե B=C=0, ապա հավասարումը դառնում է Ax+D=0, ինչը նշանակում է, որ Oyz-ի հարթությունը զուգահեռ է:
• Վեցերորդ՝ եթե A=C=0, ապա հավասարումը կունենա Ву+D=0 ձև, այսինքն՝ զուգահեռություն կհաղորդի Oxz-ին։

Հավասարումների տեսակը հատվածներում

Այն դեպքում, երբ A, B, C, D թվերը զրոյական չեն, ապա (0) հավասարման ձևը կարող է լինել հետևյալը.

x/a + y/b + z/c = 1,

որոնցում a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C:

Արդյունքում մենք ստանում ենք: Հարկ է նշել, որ այս հարթությունը կհատի Ox առանցքը մի կետում կոորդինատներով (a,0,0), Oy - (0,b,0), և Oz - (0,0,c) կոորդինատներով: .

Հաշվի առնելով x/a + y/b + z/c = 1 հավասարումը, հեշտ է տեսողականորեն ներկայացնել հարթության տեղադրությունը տվյալ կոորդինատային համակարգի նկատմամբ։

Նորմալ վեկտորային կոորդինատներ

P հարթության նորմալ վեկտորը n ունի կոորդինատներ, որոնք տվյալ հարթության ընդհանուր հավասարման գործակիցներն են, այսինքն՝ n (A, B, C):

Նորմալ n-ի կոորդինատները որոշելու համար բավական է իմանալ տվյալ հարթության ընդհանուր հավասարումը։

Հավասարումը հատվածներում օգտագործելիս, որն ունի x/a + y/b + z/c = 1 ձև, ինչպես նաև ընդհանուր հավասարումը օգտագործելիս կարելի է գրել տվյալ հարթության ցանկացած նորմալ վեկտորի կոորդինատները. /a + 1/b + 1/ With).

Պետք է նշել, որ նորմալ վեկտորն օգնում է լուծել տարբեր խնդիրներ։ Ամենատարածվածն առաջադրանքներն են, որոնք բաղկացած են հարթությունների ուղղահայացության կամ զուգահեռության ապացուցումից, հարթությունների միջև անկյուններ կամ հարթությունների և ուղիղների միջև անկյուններ գտնելու խնդիրներից:

Հարթության հավասարման տեսքը ըստ կետի կոորդինատների և նորմալ վեկտորի

Ոչ զրոյական n վեկտորը, որը ուղղահայաց է տվյալ հարթությանը, կոչվում է նորմալ (նորմալ) տվյալ հարթության համար։

Ենթադրենք, որ կոորդինատային տարածությունում (ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ) տրված են Oxyz.

• Mₒ կետ կոորդինատներով (xₒ,yₒ,zₒ);
• զրո վեկտոր n=A*i+B*j+C*k.

Անհրաժեշտ է հավասարություն կազմել հարթության համար, որը կանցնի նորմալ n-ին ուղղահայաց Mₒ կետով:

Տիեզերքում մենք ընտրում ենք ցանկացած կամայական կետ և այն նշում M-ով (x y, z): Թող ցանկացած M կետի (x, y, z) շառավիղի վեկտորը լինի r=x*i+y*j+z*k, իսկ Mₒ կետի շառավիղը (xₒ,yₒ,zₒ)՝ rₒ=xₒ*: i+yₒ *j+zₒ*k. M կետը կպատկանի տվյալ հարթությանը, եթե MₒM վեկտորը ուղղահայաց է n վեկտորին: Մենք գրում ենք ուղղանկյունության պայմանը՝ օգտագործելով սկալյար արտադրյալը.

[MₒM, n] = 0:

Քանի որ MₒM \u003d r-rₒ, ինքնաթիռի վեկտորային հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Այս հավասարումը կարող է այլ ձև ունենալ. Դրա համար օգտագործվում են սկալյար արտադրյալի հատկությունները, և հավասարման ձախ կողմը փոխակերպվում է: = - . Եթե ​​նշանակվի c, ապա կստացվի հետևյալ հավասարումը. - c \u003d 0 կամ \u003d c, որն արտահայտում է հարթությանը պատկանող տվյալ կետերի շառավղային վեկտորների նորմալ վեկտորի վրա կանխատեսումների կայունությունը:

Այժմ կարող եք ստանալ մեր հարթության վեկտորային հավասարումը գրելու կոորդինատային ձևը = 0: Քանի որ r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, և n = A*i+B *j+C*k, ունենք.

Ստացվում է, որ մենք ունենք նորմալ n-ին ուղղահայաց կետով անցնող հարթության հավասարում.

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Հարթության հավասարման տեսք՝ ըստ երկու կետերի և հարթությանը համագիծ վեկտորի կոորդինատների

Մենք սահմանում ենք երկու կամայական կետեր M′ (x′,y′,z′) և M″ (x″,y″,z″), ինչպես նաև a (a′,a″,a‴) վեկտորը:

Այժմ մենք կարող ենք հավասարություն կազմել տվյալ հարթության համար, որը կանցնի հասանելի M′ և M″ կետերով, ինչպես նաև ցանկացած M կետով, որի կոորդինատները (x, y, z) զուգահեռ են տրված a վեկտորին։

Այս դեպքում M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) և M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) վեկտորները պետք է համահունչ լինեն վեկտորի հետ: a=(a′,a″,a‴), ինչը նշանակում է, որ (M′M, M″M, a)=0:

Այսպիսով, տիեզերքում հարթության մեր հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Երեք կետերը հատող հարթության հավասարման տեսակը

Ենթադրենք՝ ունենք երեք կետ՝ (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), որոնք չեն պատկանում նույն ուղիղ գծին: Անհրաժեշտ է գրել տրված երեք կետերով անցնող հարթության հավասարումը։ Երկրաչափության տեսությունը պնդում է, որ նման հարթություն իրականում գոյություն ունի, միայն թե այն միակն է և անկրկնելի։ Քանի որ այս հարթությունը հատում է կետը (x′, y′, z′), դրա հավասարման ձևը կլինի հետևյալը.

Այստեղ A, B, C-ն միաժամանակ տարբերվում են զրոյից: Նաև տրված հարթությունը հատում է ևս երկու կետ՝ (x″,y″,z″) և (x‴,y‴,z‴): Այս առումով պետք է պահպանվեն հետևյալ պայմանները.

Այժմ մենք կարող ենք միատարր համակարգ կազմել u, v, w անհայտներով.

Մեր դեպքում x, y կամ z-ն կամայական կետ է, որը բավարարում է (1) հավասարումը: Հաշվի առնելով (1) հավասարումը և (2) և (3) հավասարումների համակարգը՝ վերը նկարում նշված հավասարումների համակարգը բավարարում է N (A, B, C) վեկտորը, որը ոչ տրիվիալ է։ Այդ իսկ պատճառով այս համակարգի որոշիչը հավասար է զրոյի։

Հավասարումը (1), որը մենք ստացել ենք, հարթության հավասարումն է։ Այն անցնում է ուղիղ 3 կետով, և դա հեշտ է ստուգել։ Դա անելու համար մենք պետք է ընդլայնենք մեր որոշիչն առաջին շարքի տարրերի վրա: Որոշիչի գոյություն ունեցող հատկություններից հետևում է, որ մեր հարթությունը միաժամանակ հատում է սկզբում տրված երեք կետերը (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Այսինքն՝ մեր առջեւ դրված խնդիրը լուծել ենք։

Երկկողմանի անկյուն հարթությունների միջև

Երկկողմանի անկյունը տարածական երկրաչափական պատկեր է, որը ձևավորվում է մեկ ուղիղ գծից բխող երկու կիսահավասարություններից։ Այլ կերպ ասած, սա տարածության այն մասն է, որը սահմանափակվում է այս կիսալաններով։

Ենթադրենք, մենք ունենք երկու հարթություն հետևյալ հավասարումներով.

Գիտենք, որ N=(A,B,C) և N1=(A1,B1,C1) վեկտորներն ըստ տրված հարթությունների ուղղահայաց են։ Այս առումով N և N1 վեկտորների միջև φ անկյունը հավասար է անկյան (երկկողմանի), որը գտնվում է այս հարթությունների միջև։ Սկալյար արտադրյալն ունի ձև.

NN¹=|N||N¹|cos φ,

հենց այն պատճառով

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)):

Բավական է հաշվի առնել, որ 0≤φ≤π.

Փաստորեն, երկու հարթություններ, որոնք հատվում են, կազմում են երկու (երկանկյուն) անկյուն՝ φ 1 և φ 2: Նրանց գումարը հավասար է π (φ 1 + φ 2 = π): Ինչ վերաբերում է նրանց կոսինուսներին, ապա դրանց բացարձակ արժեքները հավասար են, բայց դրանք տարբերվում են նշաններով, այսինքն՝ cos φ 1 =-cos φ 2: Եթե ​​(0) հավասարման մեջ A, B և C-ն փոխարինենք համապատասխանաբար -A, -B և -C թվերով, ապա ստացված հավասարումը կորոշի նույն հարթությունը, միակ անկյունը φ cos φ= NN հավասարման մեջ: 1 /| N||N 1 | կփոխարինվի π-φ.

Ուղղահայաց հարթության հավասարում

Հարթությունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե նրանց միջև անկյունը 90 աստիճան է: Օգտագործելով վերը նշված նյութը, մենք կարող ենք գտնել հարթության հավասարումը մյուսին ուղղահայաց: Ենթադրենք, ունենք երկու հարթություն՝ Ax+By+Cz+D=0 և A¹x+B¹y+C¹z+D=0: Կարող ենք փաստել, որ դրանք ուղղահայաց կլինեն, եթե cosφ=0: Սա նշանակում է, որ NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0:

Զուգահեռ հարթության հավասարում

Զուգահեռ են երկու հարթություններ, որոնք ընդհանուր կետեր չունեն։

Պայմանն (նրանց հավասարումները նույնն են, ինչ նախորդ պարբերությունում) այն է, որ N և N1 վեկտորները, որոնք ուղղահայաց են դրանց, համագիծ են։ Սա նշանակում է, որ բավարարված են համաչափության հետևյալ պայմանները.

A/A¹=B/B¹=C/C¹:

Եթե ​​համաչափության պայմանները երկարացվեն՝ A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

սա ցույց է տալիս, որ այս ինքնաթիռները համընկնում են: Սա նշանակում է, որ Ax+By+Cz+D=0 և A¹x+B1y+C¹z+D¹=0 հավասարումները նկարագրում են մեկ հարթություն։

Ինքնաթիռի հեռավորությունը կետից

Ենթադրենք, ունենք P հարթություն, որը տրված է (0) հավասարմամբ։ Անհրաժեշտ է գտնել դեպի այն հեռավորությունը (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ կոորդինատներով կետից։ Դա անելու համար հարկավոր է P հարթության հավասարումը նորմալ ձևի բերել.

(ρ,v)=p (p≥0):

Այս դեպքում, ρ(x,y,z) P-ի վրա գտնվող մեր Q կետի շառավղային վեկտորն է, p-ը P-ին ուղղահայաց երկարությունն է, որը բաց է թողնվել զրոյական կետից, v-ն միավոր վեկտորն է, որը գտնվում է. ուղղությունը.

P-ին պատկանող Q \u003d (x, y, z) ինչ-որ կետի շառավիղի վեկտորի ρ-ρº, ինչպես նաև տվյալ Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) կետի շառավիղի վեկտորի տարբերությունը. վեկտոր, որի պրոյեկցիայի բացարձակ արժեքը v-ի վրա հավասար է d հեռավորությանը, որը պետք է գտնել Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) մինչև P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, բայց

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Այսպիսով, ստացվում է

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Այսպիսով, մենք կգտնենք ստացված արտահայտության բացարձակ արժեքը, այսինքն՝ ցանկալի դ.

Օգտագործելով պարամետրերի լեզուն, մենք ստանում ենք ակնհայտ.

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²):

Եթե ​​տրված Q 0 կետը գտնվում է P հարթության մյուս կողմում, ինչպես նաև սկզբնաղբյուրը, ապա ρ-ρ 0 և v վեկտորի միջև, հետևաբար, գտնվում է.

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

Այն դեպքում, երբ Q 0 կետը ծագման հետ միասին գտնվում է P-ի նույն կողմում, ապա ստեղծված անկյունը սուր է, այսինքն.

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Արդյունքում ստացվում է, որ առաջին դեպքում (ρ 0 ,v)> р, երկրորդում (ρ 0 ,v)<р.

Շոշափող հարթությունը և դրա հավասարումը

Մº շփման կետում մակերևույթին շոշափող հարթությունն այն հարթությունն է, որը պարունակում է բոլոր հնարավոր շոշափումները մակերևույթի այս կետով գծված կորերին:

Մակերեւույթի հավասարման F (x, y, z) \u003d 0 ձևով շոշափող հարթության հավասարումը շոշափող կետում Mº (xº, yº, zº) կունենա հետևյալ տեսքը.

F x (xº, yº, zº) (x- xº) + F x (xº, yº, zº) (y-yº) + F x (xº, yº, zº) (z-zº) = 0.

Եթե ​​մակերեսը նշեք հստակ z=f (x, y) ձևով, ապա շոշափող հարթությունը կնկարագրվի հետևյալ հավասարմամբ.

z-zº = f(xº, yº) (x- xº) + f (xº, yº) (y-yº):

Երկու հարթությունների հատում

Կոորդինատային համակարգում (ուղղանկյուն) գտնվում է Oxyz-ը, տրված են երկու հարթություններ П′ և П″, որոնք հատվում են և չեն համընկնում։ Քանի որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տեղակայված ցանկացած հարթություն որոշվում է ընդհանուր հավասարմամբ, մենք կենթադրենք, որ P′ և P″ տրված են A′x+B′y+C′z+D′=0 և A″x հավասարումներով: +B″y+ С″z+D″=0. Այս դեպքում մենք ունենք P′ հարթության նորմալ n′ (A′, B′, C′) և P″ հարթության նորմալ n″ (A″, B″, C″): Քանի որ մեր հարթությունները զուգահեռ չեն և չեն համընկնում, այդ վեկտորները համակողմանի չեն: Օգտագործելով մաթեմատիկայի լեզուն՝ այս պայմանը կարող ենք գրել հետևյալ կերպ՝ n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR: Թող այն ուղիղը, որը գտնվում է P′-ի և P″-ի հատման կետում, նշանակվի a տառով, այս դեպքում a = P′ ∩ P″:

a-ն ուղիղ գիծ է, որը բաղկացած է П′ և П″ (ընդհանուր) հարթությունների բոլոր կետերից: Սա նշանակում է, որ a ուղիղին պատկանող ցանկացած կետի կոորդինատները պետք է միաժամանակ բավարարեն A′x+B′y+C′z+D′=0 և A″x+B″y+C″z+D″= հավասարումները: 0. Սա նշանակում է, որ կետի կոորդինատները կլինեն հետևյալ հավասարումների համակարգի որոշակի լուծում.

Արդյունքում պարզվում է, որ այս հավասարումների համակարգի (ընդհանուր) լուծումը կորոշի ուղիղ գծի յուրաքանչյուր կետի կոորդինատները, որոնք հանդես կգան որպես П′-ի և П″-ի հատման կետ և կորոշեն ուղիղը. տող ա կոորդինատային համակարգում Oxyz (ուղղանկյուն) տարածության մեջ:

Որպեսզի մեկ հարթություն անցնի տարածության ցանկացած երեք կետերի միջով, անհրաժեշտ է, որ այդ կետերը չընկնեն մեկ ուղիղ գծի վրա:

Դիտարկենք M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) կետերը ընդհանուր դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։

Որպեսզի M(x, y, z) կամայական կետը ընկնի M 1, M 2, M 3 կետերի հետ նույն հարթության վրա, վեկտորները պետք է լինեն համահավասար:

(
) = 0

Այսպիսով,

Երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը.

Հարթության հավասարումը երկու կետերի և հարթության հետ համագիծ վեկտորի նկատմամբ:

Թողեք M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) կետերը և վեկտորը
.

Կազմենք տրված M 1 և M 2 կետերով անցնող հարթության և վեկտորին զուգահեռ կամայական M (x, y, z) կետի հավասարումը. .

Վեկտորներ
և վեկտոր
պետք է լինի համակողմանի, այսինքն.

(
) = 0

Հարթության հավասարում.

Հարթության հավասարումը մեկ կետի և երկու վեկտորի նկատմամբ,

համակողմանի հարթություն.

Թող տրվի երկու վեկտոր
Եվ
, համակողմանի հարթություններ. Այնուհետեւ հարթությանը պատկանող M(x, y, z) կամայական կետի համար՝ վեկտորները
պետք է լինի համահունչ:

Հարթության հավասարում.

Հարթության հավասարում ըստ կետի և նորմալ վեկտորի .

Թեորեմ. Եթե ​​տարածության մեջ տրված է M կետ 0 (X 0 , յ 0 , զ 0 ), ապա M կետով անցնող հարթության հավասարումը 0 նորմալ վեկտորին ուղղահայաց (Ա, Բ, Գ) նման է:

Ա(x – x 0 ) + Բ(y – y 0 ) + Գ(զ – զ 0 ) = 0.

Ապացույց. Հարթությանը պատկանող M(x, y, z) կամայական կետի համար մենք կազմում ենք վեկտոր: Որովհետեւ վեկտոր - նորմալ վեկտորը, ապա այն ուղղահայաց է հարթությանը, և, հետևաբար, ուղղահայաց է վեկտորին
. Այնուհետև սկալյար արտադրանքը

= 0

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հարթության հավասարումը

Թեորեմն ապացուցված է.

Հարթության հավասարումը հատվածներով.

Եթե ​​ընդհանուր հավասարման մեջ Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, երկու մասերը բաժանեք (-D)

,

փոխարինելով
, ստանում ենք հարթության հավասարումը հատվածներով.

a, b, c թվերը հարթության հատման կետերն են, համապատասխանաբար, x, y, z առանցքներով։

Հարթության հավասարումը վեկտորի տեսքով.

Որտեղ

- ընթացիկ կետի շառավիղ-վեկտորը (x, y, z),

Միավոր վեկտոր, որի ուղղահայացը սկզբից իջել է հարթության վրա:

,  և  այս վեկտորի կողմից ձևավորված անկյուններն են x, y, z առանցքներով:

p-ն այս ուղղահայաց երկարությունն է:

Կոորդինատներում այս հավասարումն ունի ձևը.

xcos + ycos + zcos - p = 0:

Հեռավորությունը կետից մինչև հարթություն:

M 0 (x 0, y 0, z 0) կամայական կետից Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 հարթությունից հեռավորությունը հետևյալն է.

Օրինակ.Գտե՛ք հարթության հավասարումը, իմանալով, որ P (4; -3; 12) կետը սկզբնակետից այս հարթության վրա ընկած ուղղահայաց հիմքն է:

Այսպիսով, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, օգտագործեք բանաձևը.

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Օրինակ.Գտե՛ք P(2; 0; -1) երկու կետերով անցնող հարթության հավասարումը և

Q(1; -1; 3) ուղղահայաց է 3x + 2y - z + 5 = 0 հարթությանը:

Նորմալ վեկտոր դեպի հարթություն 3x + 2y - z + 5 = 0
ցանկալի հարթությանը զուգահեռ:

Մենք ստանում ենք.

Օրինակ.Գտե՛ք A(2, -1, 4) կետերով անցնող հարթության հավասարումը և

В(3, 2, -1) հարթությանը ուղղահայաց X + ժամը + 2զ – 3 = 0.

Ցանկալի հարթության հավասարումն ունի ձև՝ Ա x+Բ y+C զ+ D = 0, այս հարթության նորմալ վեկտորը (A, B, C): Վեկտոր
(1, 3, -5) պատկանում է ինքնաթիռին։ Մեզ տրված հարթությունը՝ ցանկալիին ուղղահայաց, ունի նորմալ վեկտոր (1, 1, 2): Որովհետեւ A և B կետերը պատկանում են երկու հարթություններին, իսկ հարթությունները փոխադարձաբար ուղղահայաց են, ապա

Այսպիսով, նորմալ վեկտորը (11, -7, -2): Որովհետեւ A կետը պատկանում է ցանկալի հարթությանը, ապա դրա կոորդինատները պետք է բավարարեն այս հարթության հավասարումը, այսինքն. 112 + 71 - 24 + D= 0, D= -21:

Ընդհանուր առմամբ ստանում ենք հարթության հավասարումը` 11 x - 7y – 2զ – 21 = 0.

Օրինակ.Գտե՛ք հարթության հավասարումը, իմանալով, որ P(4, -3, 12) կետը սկզբնակետից դեպի այս հարթությունն ընկած ուղղահայաց հիմքն է:

Գտնելով նորմալ վեկտորի կոորդինատները
= (4, -3, 12): Ինքնաթիռի ցանկալի հավասարումն ունի ձև՝ 4 x – 3y + 12զ+ D = 0. D գործակիցը գտնելու համար Р կետի կոորդինատները փոխարինում ենք հավասարման մեջ.

16 + 9 + 144 + D = 0

Ընդհանուր առմամբ, մենք ստանում ենք ցանկալի հավասարումը. 4 x – 3y + 12զ – 169 = 0

Օրինակ.Հաշվի առնելով A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1) բուրգի գագաթների կոորդինատները.

Գտե՛ք A 1 A 2 եզրի երկարությունը:

Գտեք անկյունը A 1 A 2 և A 1 A 4 եզրերի միջև:

Գտե՛ք անկյունը A 1 A 4 եզրի և A 1 A 2 A 3 երեսի միջև:

Նախ, գտեք A 1 A 2 A 3 դեմքի նորմալ վեկտորը որպես վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալ
Եվ
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Գտե՛ք անկյունը նորմալ վեկտորի և վեկտորի միջև
.

-4 – 4 = -8.

Վեկտորի և հարթության միջև ցանկալի անկյունը  հավասար կլինի  = 90 0 - :

Գտեք դեմքի մակերեսը A 1 A 2 A 3:

Գտեք բուրգի ծավալը:

Գտե՛ք А 1 А 2 А 3 հարթության հավասարումը։

Մենք օգտագործում ենք երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարման բանաձևը.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

PC-ի տարբերակը օգտագործելիս « Բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացԴուք կարող եք գործարկել ծրագիր, որը կլուծի վերը նշված օրինակը բուրգի գագաթների ցանկացած կոորդինատների համար:

Կրկնակի սեղմեք պատկերակը ծրագիրը գործարկելու համար.

Ծրագրի բացվող պատուհանում մուտքագրեք բուրգի գագաթների կոորդինատները և սեղմեք Enter։ Այսպիսով, բոլոր որոշման կետերը կարելի է ձեռք բերել մեկ առ մեկ:

Նշում. Ծրագիրը գործարկելու համար դուք պետք է ունենաք ձեր համակարգչում տեղադրված Maple ( Waterloo Maple Inc.) ցանկացած տարբերակ՝ սկսած MapleV Release 4-ից:

Հարթության հավասարում. Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում:
Ինքնաթիռների փոխադարձ դասավորություն. Առաջադրանքներ

Տարածական երկրաչափությունը շատ ավելի բարդ չէ, քան «հարթ» երկրաչափությունը, և մեր թռիչքները տիեզերքում սկսվում են այս հոդվածից: Թեման հասկանալու համար պետք է լավ հասկանալ վեկտորներ, բացի այդ, ցանկալի է ծանոթ լինել ինքնաթիռի երկրաչափությանը` կլինեն շատ նմանություններ, շատ նմանություններ, ուստի տեղեկատվությունը շատ ավելի լավ կմարսվի։ Իմ դասերի շարքում 2D աշխարհը բացվում է հոդվածով Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա. Բայց հիմա Բեթմենը դուրս է եկել հարթ էկրանով հեռուստացույցից և մեկնարկում է Բայկոնուր տիեզերակայանից:

Սկսենք գծագրերից և նշաններից: Սխեմատիկորեն հարթությունը կարելի է գծել որպես զուգահեռագիծ, որը տարածության տպավորություն է թողնում.

Ինքնաթիռը անսահման է, բայց մենք հնարավորություն ունենք պատկերելու դրա միայն մի հատվածը։ Գործնականում զուգահեռագիծից բացի գծվում է նաև օվալ կամ նույնիսկ ամպ։ Տեխնիկական նկատառումներից ելնելով, ինձ համար ավելի հարմար է ինքնաթիռն այս կերպ և այս դիրքով պատկերել։ Իրական ինքնաթիռները, որոնք մենք կդիտարկենք գործնական օրինակներով, կարելի է դասավորել այնպես, ինչպես ցանկանում եք՝ մտովի վերցրեք նկարը ձեր ձեռքերում և ոլորեք այն տարածության մեջ՝ տալով ինքնաթիռին ցանկացած թեքություն, ցանկացած անկյուն:

ՆշումԸնդունված է ինքնաթիռները փոքր հունարեն տառերով նշել, ըստ երևույթին, որպեսզի չշփոթեն դրանք ուղիղ ինքնաթիռումկամ հետ ուղիղ տարածության մեջ. Ես սովոր եմ օգտագործել տառը: Գծանկարում դա «սիգմա» տառն է, և ամենևին էլ ծակ չէ։ Չնայած, ծակ ինքնաթիռ, դա, իհարկե, շատ ծիծաղելի է:

Որոշ դեպքերում հարմար է օգտագործել նույն հունարեն տառերը մակագրություններով՝ ինքնաթիռներ նշանակելու համար, օրինակ՝ .

Ակնհայտ է, որ ինքնաթիռը եզակիորեն որոշվում է երեք տարբեր կետերով, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա։ Հետևաբար, ինքնաթիռների եռատառ նշանակումները բավականին տարածված են՝ ըստ դրանց պատկանող կետերի, օրինակ և այլն։ Հաճախ տառերը փակցվում են փակագծերում. , որպեսզի ինքնաթիռը չշփոթի մեկ այլ երկրաչափական պատկերի հետ։

Փորձառու ընթերցողների համար կտամ դյուրանցման ընտրացանկ:

• Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և երկու վեկտոր:
• Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և նորմալ վեկտոր:

և մենք երկար սպասումներով չենք թուլանա:

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը ունի ձև, որտեղ գործակիցները միաժամանակ զրոյական չեն:

Մի շարք տեսական հաշվարկներ և գործնական խնդիրներ վավեր են ինչպես սովորական օրթոնորմալ հիմքի, այնպես էլ տարածության աֆինական հիմքի համար (եթե նավթը նավթ է, վերադարձեք դասին Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորային հիմք) Պարզության համար մենք կենթադրենք, որ բոլոր իրադարձությունները տեղի են ունենում օրթոնորմալ հիմունքներով և դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգով:

Եվ հիմա եկեք մարզենք մի փոքր տարածական երևակայություն: Ոչինչ, եթե այն վատ է, հիմա մենք այն մի փոքր կզարգացնենք: Նույնիսկ նյարդերի վրա խաղալը պրակտիկա է պահանջում։

Ամենաընդհանուր դեպքում, երբ թվերը հավասար չեն զրոյի, հարթությունը հատում է բոլոր երեք կոորդինատային առանցքները։ Օրինակ, այսպես.

Եվս մեկ անգամ կրկնում եմ, որ ինքնաթիռը անվերջ շարունակվում է բոլոր ուղղություններով, և մենք հնարավորություն ունենք պատկերելու դրա միայն մի մասը։

Դիտարկենք հարթությունների ամենապարզ հավասարումները.

Ինչպե՞ս հասկանալ այս հավասարումը: Մտածեք դրա մասին. «Z» ՄԻՇՏ, քանի որ «X» և «Y» ցանկացած արժեք հավասար է զրոյի: Սա «հայրենի» կոորդինատային հարթության հավասարումն է։ Իրոք, պաշտոնապես հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ. , որտեղից պարզ երևում է, որ մեզ չի հետաքրքրում, թե ինչ արժեքներ են վերցնում «x» և «y», կարևոր է, որ «z»-ը հավասար է զրոյի։

Նմանապես.
կոորդինատային հարթության հավասարումն է.
կոորդինատային հարթության հավասարումն է։

Մի փոքր բարդացնենք խնդիրը, դիտարկենք հարթություն (այստեղ և պարբերությունում ենթադրում ենք, որ թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի): Վերաշարադրենք հավասարումը ձևով՝ . Ինչպե՞ս հասկանալ դա: «X»-ը ՄԻՇՏ է, քանի որ «y»-ի և «z»-ի ցանկացած արժեք հավասար է որոշակի թվի: Այս հարթությունը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը։ Օրինակ, ինքնաթիռը զուգահեռ է հարթությանը և անցնում է կետով:

Նմանապես.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը:

Ավելացնել անդամներ. Հավասարումը կարելի է վերաշարադրել այսպես. , այսինքն՝ «Z»-ը կարող է լինել ցանկացած բան։ Ինչ է դա նշանակում? «X»-ը և «Y»-ը միացված են հարաբերակցությամբ, որը հարթության մեջ գծում է որոշակի ուղիղ գիծ (դուք կճանաչեք. հարթության ուղիղ գծի հավասարումը?): Քանի որ Z-ը կարող է լինել ցանկացած բան, այս գիծը «կրկնօրինակվում է» ցանկացած բարձրության վրա: Այսպիսով, հավասարումը սահմանում է կոորդինատային առանցքին զուգահեռ հարթություն

Նմանապես.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքին.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքին.

Եթե ​​ազատ անդամները զրոյական են, ապա ինքնաթիռներն ուղղակիորեն կանցնեն համապատասխան առանցքներով։ Օրինակ, դասական «ուղիղ համամասնությունը»: Հարթության մեջ ուղիղ գիծ քաշեք և մտովի բազմապատկեք այն վեր ու վար (քանի որ «z»-ը ցանկացած է): Եզրակացություն՝ հավասարմամբ տրված հարթությունն անցնում է կոորդինատային առանցքով։

Մենք ավարտում ենք վերանայումը. ինքնաթիռի հավասարումը անցնում է ծագման միջով. Դե, այստեղ միանգամայն ակնհայտ է, որ կետը բավարարում է տրված հավասարումը։

Եվ, վերջապես, դեպքը, որը ցույց է տրված գծագրում. - ինքնաթիռը բարեկամ է բոլոր կոորդինատային առանցքների հետ, մինչդեռ այն միշտ «կտրում է» եռանկյունին, որը կարող է տեղակայվել ութ օկտանտներից որևէ մեկում:

Գծային անհավասարություններ տարածության մեջ

Տեղեկատվությունը հասկանալու համար անհրաժեշտ է լավ ուսումնասիրել գծային անհավասարություններ հարթության մեջքանի որ շատ բաներ նման կլինեն: Պարբերությունը կլինի համառոտ ակնարկ մի քանի օրինակներով, քանի որ նյութը գործնականում բավականին հազվադեպ է:

Եթե ​​հավասարումը սահմանում է հարթություն, ապա անհավասարությունները
հարցնել կիսատ տարածություններ. Եթե ​​անհավասարությունը խիստ չէ (ցանկում վերջին երկուսը), ապա անհավասարության լուծումը, բացի կիսատատությունից, ներառում է հենց հարթությունը։

Օրինակ 5

Գտե՛ք հարթության միավորի նորմալ վեկտորը .

ԼուծումՄիավոր վեկտորը այն վեկտորն է, որի երկարությունը մեկ է: Նշենք այս վեկտորը . Միանգամայն պարզ է, որ վեկտորները համակողմանի են.

Նախ՝ հարթության հավասարումից հանում ենք նորմալ վեկտորը՝ .

Ինչպե՞ս գտնել միավորի վեկտորը: Միավոր վեկտորը գտնելու համար անհրաժեշտ է ամենվեկտորի կոորդինատը բաժանված է վեկտորի երկարությամբ.

Եկեք վերագրենք նորմալ վեկտորը ձևով և գտնենք դրա երկարությունը.

Ըստ վերը նշվածի.

Պատասխանել:

Ստուգում՝ , որը պահանջվում էր ստուգել:

Ընթերցողները, ովքեր ուշադիր ուսումնասիրել են դասի վերջին պարբերությունը, հավանաբար նկատել են դա միավորի վեկտորի կոորդինատները հենց վեկտորի ուղղության կոսինուսներն են:

Եկեք շեղվենք ապամոնտաժված խնդրից. երբ ձեզ տրվում է կամայական ոչ զրոյական վեկտոր, և պայմանով, որ պահանջվում է գտնել դրա ուղղության կոսինուսները (տե՛ս դասի վերջին առաջադրանքները Վեկտորների կետային արտադրյալ), այնուհետև դուք, փաստորեն, գտնում եք նաև տրվածին համակողմանի միավոր վեկտոր։ Իրականում երկու առաջադրանք մեկ շիշում։

Միավոր նորմալ վեկտոր գտնելու անհրաժեշտությունը առաջանում է մաթեմատիկական անալիզի որոշ խնդիրներում։

Մենք պարզեցինք նորմալ վեկտորի ձկնորսությունը, այժմ մենք կպատասխանենք հակառակ հարցին.

Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և նորմալ վեկտոր:

Նորմալ վեկտորի և կետի այս կոշտ կառուցվածքը լավ հայտնի է տեգերի թիրախով: Խնդրում ենք ձեռքը առաջ ձգել և մտովի ընտրել տարածության կամայական կետ, օրինակ՝ փոքրիկ կատու բուֆետում: Ակնհայտ է, որ այս կետով դուք կարող եք նկարել ձեր ձեռքին ուղղահայաց մեկ հարթություն:

Վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող հարթության հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.