Come determinare la periodicità di una funzione. Funzioni periodiche Funzione periodica del tempo

Scopo: generalizzare e sistematizzare le conoscenze degli studenti sull'argomento "Periodicità delle funzioni"; formare abilità nell'applicare le proprietà di una funzione periodica, trovare il più piccolo periodo positivo di una funzione, tracciare funzioni periodiche; promuovere l'interesse per lo studio della matematica; coltivare l'osservazione, la precisione.

Equipaggiamento: computer, proiettore multimediale, schede attività, diapositive, orologi, tavoli ornamentali, elementi di artigianato popolare

“La matematica è ciò che le persone usano per controllare la natura e se stessi”
UN. Kolmogorov

Durante le lezioni

I. Fase organizzativa.

Verifica della disponibilità degli studenti per la lezione. Presentazione dell'argomento e degli obiettivi della lezione.

II. Controllo dei compiti.

Controlliamo i compiti in base ai campioni, discutiamo i punti più difficili.

III. Generalizzazione e sistematizzazione della conoscenza.

1. Lavoro frontale orale.

Questioni di teoria.

1) Formare la definizione del periodo della funzione
2) Qual è il più piccolo periodo positivo delle funzioni y=sin(x), y=cos(x)
3). Qual è il più piccolo periodo positivo delle funzioni y=tg(x), y=ctg(x)
4) Usa il cerchio per dimostrare la correttezza delle relazioni:

y=sen(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Come tracciare una funzione periodica?

esercizi orali.

1) Dimostrare le seguenti relazioni

UN) sin(740º) = sin(20º)
B) cos(54º ) = cos(-1026º)
C) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Dimostrare che l'angolo di 540º è uno dei periodi della funzione y= cos(2x)

3. Dimostra che l'angolo di 360º è uno dei periodi della funzione y=tg(x)

4. Trasforma queste espressioni in modo che gli angoli in esse inclusi non superino i 90º in valore assoluto.

UN) tg375º
B) ctg530º
C) sin1268º
D) cos(-7363º)

5. Dove hai incontrato le parole PERIODO, PERIODICITÀ?

Risposte degli studenti: Un periodo in musica è una costruzione in cui si afferma un pensiero musicale più o meno completo. Il periodo geologico fa parte di un'era ed è diviso in epoche con un periodo da 35 a 90 milioni di anni.

Il tempo di dimezzamento di una sostanza radioattiva. Frazione periodica. I periodici sono pubblicazioni stampate che appaiono in date strettamente definite. Sistema periodico di Mendeleev.

6. Le figure mostrano parti dei grafici delle funzioni periodiche. Definire il periodo della funzione. Determina il periodo della funzione.

Risposta: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Dove nella tua vita hai incontrato la costruzione di elementi ripetuti?

Gli studenti rispondono: elementi di ornamenti, arte popolare.

IV. Risoluzione collettiva dei problemi.

(Risoluzione dei problemi sulle diapositive.)

Consideriamo uno dei modi per studiare una funzione per la periodicità.

Questo metodo aggira le difficoltà associate alla dimostrazione che l'uno o l'altro periodo è il più piccolo, e inoltre non è necessario toccare domande sulle operazioni aritmetiche su funzioni periodiche e sulla periodicità di una funzione complessa. Il ragionamento si basa solo sulla definizione di una funzione periodica e sul fatto seguente: se T è il periodo della funzione, allora nT(n? 0) è il suo periodo.

Problema 1. Trova il più piccolo periodo positivo della funzione f(x)=1+3(x+q>5)

Soluzione: Supponiamo che il periodo T di questa funzione. Allora f(x+T)=f(x) per ogni x ∈ D(f), cio`e

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Sia x=-0.25 otteniamo

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Abbiamo ottenuto che tutti i periodi della funzione considerata (se esistono) sono tra interi. Scegli tra questi numeri il numero positivo più piccolo. Questo 1 . Controlliamo se è effettivamente un periodo 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Poiché (T+1)=(T) per ogni T, allora f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), cioè 1 - periodo f. Poiché 1 è il più piccolo di tutti i numeri interi positivi, allora T=1.

Compito 2. Mostra che la funzione f(x)=cos 2 (x) è periodica e trova il suo periodo principale.

Attività 3. Trova il periodo principale della funzione

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Assumi il periodo T della funzione, quindi per qualsiasi X il rapporto

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)

Se x=0 allora

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Se x=-T, allora

sin0+5cos0=sen(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

– sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

Sommando otteniamo:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Scegliamo tra tutti i numeri "sospetti" per il periodo il più piccolo positivo e controlliamo se è un periodo per f. Questo numero

f(x+)=sen(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Quindi, è il periodo principale della funzione f.

Attività 4. Verifica se la funzione f(x)=sin(x) è periodica

Sia T il periodo della funzione f. Allora per ogni x

sin|x+T|=sen|x|

Se x=0, allora sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Supponiamo. Che per qualche n il numero π n è un periodo

funzione considerata π n>0. Allora sin|π n+x|=sin|x|

Ciò implica che n deve essere sia pari che dispari allo stesso tempo, il che è impossibile. Pertanto, questa funzione non è periodica.

Attività 5. Verifica se la funzione è periodica

f(x)=

Sia T il periodo f, allora

, quindi sinT=0, T=π n, n € Z. Supponiamo che per qualche n il numero π n sia proprio il periodo della funzione data. Allora anche il numero 2π n sarà un periodo

Poiché i numeratori sono uguali, lo sono anche i loro denominatori, quindi

Quindi la funzione f non è periodica.

Lavoro di gruppo.

Compiti per il gruppo 1.

Compiti per il gruppo 2.

Controlla se la funzione f è periodica e trova il suo periodo principale (se esiste).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Compiti per il gruppo 3.

Alla fine del lavoro, i gruppi presentano le loro soluzioni.

VI. Riassumendo la lezione.

Riflessione.

L'insegnante consegna agli studenti schede con disegni e si offre di dipingere su parte del primo disegno secondo la misura in cui, a loro avviso, hanno padroneggiato i metodi di studio della funzione per la periodicità, e in parte del secondo disegno , in accordo con il loro contributo al lavoro nella lezione.

VII. Compiti a casa

1). Controlla se la funzione f è periodica e trova il suo periodo principale (se esiste)

B). f(x)=x2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). La funzione y=f(x) ha periodo T=2 e f(x)=x 2 +2x per x € [-2; 0]. Trova il valore dell'espressione -2f(-3)-4f(3,5)

Letteratura/

Mordkovich A.G. L'algebra e l'inizio dell'analisi con lo studio approfondito.
Matematica. Preparazione per l'esame. ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra e analisi iniziale per le classi 10-11.

Per utilizzare l'anteprima delle presentazioni, crea un account Google (account) e accedi: https://accounts.google.com

Didascalie delle diapositive:

Algebra e inizio dell'analisi, grado 10 (livello di profilo) A.G. Mordkovich, PE Semenov Insegnante Volkova S.E.

Definizione 1 Una funzione y = f (x), x ∈ X si dice di periodo T se per ogni x ∈ X vale l'uguaglianza f (x - T) = f (x) = f (x + T). Se una funzione con un periodo T è definita in un punto x, allora è definita anche nei punti x + T, x - T. Qualsiasi funzione ha un periodo uguale a zero in T = 0, otteniamo f (x - 0 ) = f (x) = f ( x + 0) .

Definizione 2 Una funzione che ha periodo T diverso da zero si dice periodica. Se una funzione y = f (x), x ∈ X, ha un periodo T, allora qualsiasi multiplo di T (cioè un numero della forma kT, k ∈ Z) è anche il suo periodo.

Dimostrazione Sia 2T il periodo della funzione. Allora f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Allo stesso modo, si dimostra che f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T), ecc. Quindi f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Il periodo più piccolo tra i periodi positivi di una funzione periodica è chiamato periodo principale di questa funzione.

Caratteristiche del grafico di una funzione periodica Se T è il periodo principale della funzione y \u003d f (x), allora è sufficiente: costruire un ramo del grafico su uno degli intervalli di lunghezza T, eseguire un parallelo traslazione di questo ramo lungo l'asse x di ±T, ±2T, ±3T, ecc. . Di solito scegli uno spazio vuoto con estremità in punti

Proprietà delle funzioni periodiche 1. Se f(x) è una funzione periodica di periodo T, allora anche la funzione g(x) = A f(kx + b), dove k > 0, è periodica di periodo T 1 = T/ K. 2. Siano definite le funzioni f 1 (x) e f 2 (x) sull'intero asse reale e siano periodiche con periodi T 1 > 0 e T 2 >0. Allora, per T 1 /T 2 ∈ Q, la funzione f(x) = f(x) + f 2 (x) è una funzione periodica con periodo T uguale al minimo comune multiplo dei numeri T 1 e T 2 .

Esempi 1. La funzione periodica y = f(x) è definita per tutti i numeri reali. Il suo periodo è 3 e f(0) =4 . Trova il valore dell'espressione 2f(3) - f(-3). Soluzione. T \u003d 3, f (3) \u003d f (0 + 3) \u003d 4, f (-3) \u003d f (0–3) \u003d 4, f (0) \u003d 4. Sostituendo i valori ottenuti nell'espressione 2f (3) - f(-3) , otteniamo 8 - 4 =4 . Risposta: 4.

Esempi 2. La funzione periodica y = f(x) è definita per tutti i numeri reali. Il suo periodo è 5 e f(-1) = 1. Trova f(-12) se 2f(3) - 5f(9) = 9. Soluzione T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Risposta: 7.

Riferimenti A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebra e gli inizi dell'analisi (livello di profilo), Grado 10 A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebra e inizi dell'analisi (livello di profilo), Grado 10. Guida metodologica per l'insegnante

Sul tema: sviluppi metodologici, presentazioni e note

Diritto periodico e sistema periodico D.I. Mendeleev.

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Evento extracurriculare "Legge periodica e sistema periodico di elementi chimici di D.I. Mendeleev"

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Equipaggiamento: computer, proiettore multimediale, schede attività, diapositive, orologi, tavoli ornamentali, elementi di artigianato popolare

“La matematica è ciò che le persone usano per controllare la natura e se stessi”
UN. Kolmogorov

Durante le lezioni

I. Fase organizzativa.

Verifica della disponibilità degli studenti per la lezione. Presentazione dell'argomento e degli obiettivi della lezione.

II. Controllo dei compiti.

Controlliamo i compiti in base ai campioni, discutiamo i punti più difficili.

III. Generalizzazione e sistematizzazione della conoscenza.

1. Lavoro frontale orale.

Questioni di teoria.

y=sen(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Come tracciare una funzione periodica?

esercizi orali.

1) Dimostrare le seguenti relazioni

UN) sin(740º) = sin(20º)
B) cos(54º ) = cos(-1026º)
C) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Dimostrare che l'angolo di 540º è uno dei periodi della funzione y= cos(2x)

3. Dimostra che l'angolo di 360º è uno dei periodi della funzione y=tg(x)

4. Trasforma queste espressioni in modo che gli angoli in esse inclusi non superino i 90º in valore assoluto.

UN) tg375º
B) ctg530º
C) sin1268º
D) cos(-7363º)

5. Dove hai incontrato le parole PERIODO, PERIODICITÀ?

Il tempo di dimezzamento di una sostanza radioattiva. Frazione periodica. I periodici sono pubblicazioni stampate che appaiono in date strettamente definite. Sistema periodico di Mendeleev.

6. Le figure mostrano parti dei grafici delle funzioni periodiche. Definire il periodo della funzione. Determina il periodo della funzione.

Risposta: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Dove nella tua vita hai incontrato la costruzione di elementi ripetuti?

Gli studenti rispondono: elementi di ornamenti, arte popolare.

IV. Risoluzione collettiva dei problemi.

(Risoluzione dei problemi sulle diapositive.)

Consideriamo uno dei modi per studiare una funzione per la periodicità.

Problema 1. Trova il più piccolo periodo positivo della funzione f(x)=1+3(x+q>5)

Soluzione: Supponiamo che il periodo T di questa funzione. Allora f(x+T)=f(x) per ogni x ∈ D(f), cio`e

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Sia x=-0.25 otteniamo

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Poiché (T+1)=(T) per ogni T, allora f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), cioè 1 - periodo f. Poiché 1 è il più piccolo di tutti i numeri interi positivi, allora T=1.

Compito 2. Mostra che la funzione f(x)=cos 2 (x) è periodica e trova il suo periodo principale.

Attività 3. Trova il periodo principale della funzione

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Assumi il periodo T della funzione, quindi per qualsiasi X il rapporto

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)

Se x=0 allora

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Se x=-T, allora

sin0+5cos0=sen(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

– sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

Sommando otteniamo:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Scegliamo tra tutti i numeri "sospetti" per il periodo il più piccolo positivo e controlliamo se è un periodo per f. Questo numero

f(x+)=sen(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Quindi, è il periodo principale della funzione f.

Attività 4. Verifica se la funzione f(x)=sin(x) è periodica

Sia T il periodo della funzione f. Allora per ogni x

sin|x+T|=sen|x|

Se x=0, allora sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Supponiamo. Che per qualche n il numero π n è un periodo

funzione considerata π n>0. Allora sin|π n+x|=sin|x|

Ciò implica che n deve essere sia pari che dispari allo stesso tempo, il che è impossibile. Pertanto, questa funzione non è periodica.

Attività 5. Verifica se la funzione è periodica

f(x)=

Sia T il periodo f, allora

, quindi sinT=0, T=π n, n € Z. Supponiamo che per qualche n il numero π n sia proprio il periodo della funzione data. Allora anche il numero 2π n sarà un periodo

Poiché i numeratori sono uguali, lo sono anche i loro denominatori, quindi

Quindi la funzione f non è periodica.

Lavoro di gruppo.

Compiti per il gruppo 1.

Compiti per il gruppo 2.

Controlla se la funzione f è periodica e trova il suo periodo principale (se esiste).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Compiti per il gruppo 3.

Alla fine del lavoro, i gruppi presentano le loro soluzioni.

VI. Riassumendo la lezione.

Riflessione.

VII. Compiti a casa

1). Controlla se la funzione f è periodica e trova il suo periodo principale (se esiste)

B). f(x)=x2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). La funzione y=f(x) ha periodo T=2 e f(x)=x 2 +2x per x € [-2; 0]. Trova il valore dell'espressione -2f(-3)-4f(3,5)

Letteratura/

Mordkovich A.G. L'algebra e l'inizio dell'analisi con lo studio approfondito.
Matematica. Preparazione per l'esame. ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra e analisi iniziale per le classi 10-11.

Ripetendo i suoi valori a un intervallo regolare dell'argomento, ovvero senza modificarne il valore quando all'argomento viene aggiunto un numero fisso diverso da zero ( periodo funzioni) sull'intero dominio di definizione.

Più formalmente, si dice che la funzione è periodica con periodo T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), se per ogni punto x (\displaystyle x) dalla sua area di definizione del punto x + T (\displaystyle x+T) E x - T (\ displaystyle x-T) appartengono anche al suo dominio di definizione, e per loro l'uguaglianza f (x) = f (x + T) = f (x - T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Sulla base della definizione, l'uguaglianza vale anche per una funzione periodica f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Dove n (\displaystyle n)- qualsiasi numero intero.

Tuttavia, se un insieme di periodi ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle $T,T>0,T\in \mathbb (R) $) c'è un valore più piccolo, si chiama periodo principale (o principale). funzioni.

Esempi

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ X , cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ X , ∀ X ∈ R . (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

La funzione di Dirichlet è periodica; il suo periodo è qualsiasi numero razionale diverso da zero. Inoltre non ha un periodo principale.

Alcune caratteristiche delle funzioni periodiche

E T 2 (\ displaystyle T_ (2))(Tuttavia, questo numero sarà semplicemente un punto). Ad esempio, la funzione f (x) = peccato ⁡ (2 x) - peccato ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) il periodo principale è 2 π (\displaystyle 2\pi), alla funzione g (x) = peccato ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) periodo è 2 pi / 3 (\ displaystyle 2 \ pi / 3), e la loro somma f (x) + g (x) = peccato ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) il periodo principale è ovviamente uguale a π (\displaystyle \pi).

La somma di due funzioni con periodi incommensurabili non è sempre una funzione non periodica.

UDC 517.17+517.51

PERIODO DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI PERIODICHE

A/O. Evenin

L'articolo risolve completamente la questione di quale possa essere il periodo principale di una funzione periodica, che è la somma di due funzioni periodiche con periodi principali noti. Studiamo anche il caso in cui una somma periodica di funzioni periodiche non ha periodo principale.

Consideriamo funzioni a valori reali di una variabile reale. Nell'edizione enciclopedica, nell'articolo "Funzioni periodiche" si legge: "La somma di funzioni periodiche con periodi diversi è periodica solo quando i loro periodi sono commisurati". Questa affermazione è vera per le funzioni continue1 ma non vale nel caso generale. Un controesempio di una forma molto generale è stato costruito in . In questo articolo scopriamo quale può essere il periodo principale di una funzione periodica, che è la somma di due funzioni periodiche con periodi principali noti.

Informazioni preliminari

Ricordiamo che una funzione / si dice periodica se per qualche numero T F O per ogni x del dominio D(f) i numeri x + T e x - T appartengono a D(f) e le uguaglianze f(x + T) = f(x) = f(x~T). In questo caso, il numero Ã è chiamato il periodo della funzione.

Il più piccolo periodo positivo di una funzione (se, ovviamente, esiste) sarà chiamato periodo principale. È noto il seguente fatto.

Teorema 1. Se una funzione ha un periodo principale To, allora qualsiasi periodo della funzione ha la forma pTo, dove p Ô 0 è un numero intero.

I numeri T\ e T2 si dicono commisurati se esiste un numero T0 che "si adatta" sia a T\ che a T2 un numero intero di volte: T\ = T2 = n2T0, u, n2e Z. Altrimenti, i numeri T \ e T2 chiamato incommensurabile. La commensurabilità (incommensurabilità) dei periodi significa, quindi, che il loro rapporto è un numero razionale (irrazionale).

Dal Teorema 1 segue che due periodi qualsiasi di una funzione che ha un periodo principale sono commensurabili.

Un classico esempio di funzione che non ha il periodo più piccolo è la funzione di Dirichlet, che è uguale a 1 nei punti razionali e zero in quelli irrazionali. Qualsiasi numero razionale diverso da zero è il periodo della funzione di Dirichlet e qualsiasi numero irrazionale non è il suo periodo. Come si vede, qui due periodi qualsiasi sono commensurabili.

Facciamo un esempio di funzione periodica non costante con periodi incommensurabili.

Sia la funzione /(x) nei punti della forma /u + la/2, m, n e Z, uguale a 1, e negli altri punti uguale a

zero. Tra i periodi di questa funzione ci sono 1 e l

Periodo della somma delle funzioni con periodi confrontabili

Teorema 2. Siano fug funzioni periodiche con periodi fondamentali mT0 e "To, dove il tipo

Numeri coprimi. Quindi il periodo principale della loro somma (se esiste) è -

dove k è un numero naturale coprimo con m.

Prova. Sia h = / + g. Ovviamente, il numero mnT0 è il periodo h. In virtù di

Teorema 1, il periodo principale h ha la forma dove k è un numero naturale. Presunto

premiamo che k non è coprimo con il numero m, cioè k - dku m \u003d dm\, dove d\u003e 1 è il massimo

1 Una bella dimostrazione che la somma di qualsiasi numero finito di funzioni continue con periodi incommensurabili a due a due è non periodica è contenuta nell'articolo Vedi anche.

il maggiore comune divisore dei numeri m e K. Allora il periodo della funzione k è uguale a

e la funzione f=h-g

ha un periodo mxnTo che non è un multiplo del suo periodo principale mTQ. Si ottiene una contraddizione con il Teorema 1. Quindi, k è coprimo con m. Analogamente, i numeri k e n sono coprimi. Quindi, A: è coprimo con m. □

Teorema 3. Siano m, n e k numeri coprimi a due a due, e sia T0 un numero positivo. Poi ci sono funzioni periodiche fug tali che i periodi principali f, g, e (f + g) sono

sono rispettivamente mT$, nTQ e

Prova. La dimostrazione del teorema sarà costruttiva: costruiremo semplicemente l'esempio corrispondente. Formuliamo preliminarmente il seguente risultato. Dichiarazione. Sia m un numero primo relativamente. Poi le funzioni

fx - cos- + cos--- e f2= cos- m n m

cos- hanno il numero di periodo principale 2ktp. P

Prova dell'affermazione. Ovviamente, il numero 2nm è il periodo di entrambe le funzioni. È facile verificare che questo periodo è quello principale per la funzione Troviamo i suoi punti di massimo.

x = 2lM, te Z.

Abbiamo = p!. Poiché il tipo è coprimo ne consegue che 5 è un multiplo di /r, cioè io = io e b. Ciò significa che /x(x) = 2 o x = 2mmn1,1 e 2, e la distanza tra punti massimi vicini della funzione /\ è uguale a 2kn, e il periodo positivo di /1 non può essere minore del numero 2spn.

Per la funzione f, applichiamo argomenti di tipo diverso (che sono adatti anche per la funzione f, ma

meno elementare). Come mostra il Teorema 1, il periodo principale Γ della funzione /2 ha la forma -,

dove k è un numero naturale coprimo da digitare. Il numero di G sarà il periodo della funzione

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 cos

tutti i cui periodi hanno la forma 2pp1. COSÌ,

2nnl, cioè m = kl. Poiché t e k sono mutuamente

quindi segue che k = 1.

Ora, per dimostrare il Teorema 3, possiamo costruire l'esempio desiderato. Esempio. Siano m, n e k numeri coprimi a due a due, e sia almeno uno dei numeri n o k diverso da 1. Allora pf k, e in virtù della provata asserzione della funzione

/ (x) \u003d cos--- + costo- t a

E g(x) = cos-cos - n a

hanno periodi base di 2 ltk e 2 tk, rispettivamente, e la loro somma

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

il periodo principale è 2 tp.

Se n = k = 1, allora andranno bene una coppia di funzioni

f(x)-2 cos- + COS X e g(x) - COS X. m

I loro periodi principali, così come il periodo della funzione k(x) - 2, sono rispettivamente di tipo 2lm, 2/ri 2.

quanto è facile controllare.

Matematica

Indichiamo T = 2lx. Per numeri coprimi a coppie arbitrari mn, n e k, le funzioni / e £ sono indicate in modo tale che i periodi principali delle funzioni /, g e / + g siano, rispettivamente, mT, nT e

Le condizioni del teorema sono soddisfatte dalle funzioni / - l;

Periodo della somma delle funzioni con periodi incommensurabili

La prossima affermazione è quasi ovvia.

Teorema 4. Siano fug funzioni periodiche con periodi base incommensurabili T) e T2, e sia la somma di queste funzioni h = f + g periodica e abbia periodo base T. Allora il numero T è incommensurabile né con T] né con T2 .

Prova. Da un lato, se i numeri TnT) sono commensurabili, allora la funzione g = h-f ha un periodo commensurabile con r]. D'altra parte, in virtù del Teorema 1, ogni periodo della funzione g è un multiplo di T2. Otteniamo una contraddizione con l'incommensurabilità dei numeri T\ e T2. Analogamente si dimostra l'incommensurabilità dei numeri T e T2, d

Notevole, e anche in qualche modo sorprendente, è il fatto che è vero anche il viceversa del Teorema 4. C'è un malinteso diffuso che la somma di due funzioni periodiche con periodi incommensurabili non possa essere una funzione periodica. In realtà, non è così. Inoltre, il periodo della somma può essere qualsiasi numero positivo che soddisfi l'affermazione del Teorema 4.

Teorema 5. Siano T\, T2 e T~ numeri positivi incommensurabili a due a due. Allora esistono funzioni periodiche fug tali che la loro somma h =/+ g è periodica, ei periodi principali della funzione f guh sono Th T2 e T, rispettivamente.

Prova. La dimostrazione sarà ancora una volta costruttiva. Le nostre costruzioni dipenderanno essenzialmente dalla possibilità o meno di rappresentare il numero T come combinazione razionale T = aT1 + pT2 (a e P sono numeri razionali) dei periodi T1 e T2.

I. T non è una combinazione razionale di Tr e J2-

Sia A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k e Z) l'insieme delle combinazioni lineari intere dei numeri r1, T2 e T. Notiamo subito che se un numero può essere rappresentato nella forma nT\ + nT2 + kT, allora tale rappresentazione è unica . Infatti, se mxT\ + n\Tr + k\T - m2Tx + n2T2 + k2T9 allora

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - u)Tb, e per k\ * k2 troviamo che T può essere razionalmente espresso in termini di T] e T2. Quindi k\ = k2. Ora, dall'incommensurabilità dei numeri T\ e T2, si ottengono direttamente le uguaglianze m\ = m2 e uu = n2.

Un fatto importante è il fatto facilmente verificabile che gli insiemi A e il suo complemento A sono chiusi per somma di numeri da A: se x e A e y e A, allora x + y e A; se x e A e y e A, allora x + y e A.

Supponiamo che in tutti i punti dell'insieme A le funzioni / e g siano uguali a zero, e sull'insieme A definiamo queste funzioni come segue:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - mT1 - kT.

Poiché, come si è visto, i coefficienti m, il picco della combinazione lineare dei periodi r, T2 ed r possono essere ristabiliti univocamente dal numero x e A, le assegnazioni indicate delle funzioni f e g sono corrette.

La funzione h =/ + g sull'insieme A è uguale a zero, e nei punti dell'insieme A è uguale a

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Per sostituzione diretta è facile verificare che il numero T\ è il periodo della funzione f, il numero T2 è il periodo di ge T~ il periodo di h. Dimostriamo che questi periodi sono fondamentali.

Innanzitutto, notiamo che qualsiasi periodo della funzione / appartiene all'insieme A. Infatti,

se 0 fx in A, y e A, allora x + y e A e f(x + y) = 0 * f(x). Quindi, y e A non è il periodo della funzione /

Siano ora i numeri \, x2 che non sono uguali tra loro appartengano a ^ e f (x 1) ~ f (x2). Dalla definizione della funzione / otteniamo da qui che x\ - x2 = 1T dove I è un numero intero diverso da zero. Pertanto, qualsiasi periodo della funzione / è un multiplo di T\. Pertanto, Tx è effettivamente il periodo principale /

Le asserzioni su T2 e T sono verificate allo stesso modo.

Commento. Nel libro a pag. 172-173 danno un'altra costruzione generale per il caso I.

II. T è una combinazione razionale di T\ e T2.

Rappresentiamo una combinazione razionale dei periodi T\ e T2 nella forma Γ = - (kxTx + k2T2), dove kx e

k2 ™ sono interi coprimi, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? e q sono numeri naturali. Consideriamo leZ>.

renio serie B ----

Supponiamo che in tutti i punti dell'insieme B le funzioni f e g siano uguali a zero, e sull'insieme B definiamo queste funzioni come segue:

^ mT\ + nT2 A I

^ mTx + nT2 L

Qui, come al solito, [x] e (x) denotano rispettivamente le parti intere e frazionarie dei numeri. La funzione k = / + q sull'insieme B è uguale a zero, e nei punti dell'insieme B è uguale a

fmTx +nT: l H

Per sostituzione diretta, è facile verificare che il numero Tx è il periodo della funzione /, il numero T2 è il periodo g, e T è il periodo h. Dimostriamo che questi periodi sono fondamentali.

Qualsiasi periodo della funzione / appartiene all'insieme B. Infatti, se 0 * x e B, y e B, allora f(x) Φ 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Quindi, y e B _ Periodo non funzionante/

Pertanto, qualsiasi periodo della funzione / ha la forma Ty =

Dove 5i e 52 sono numeri interi. Permettere

x \u003d -7] 4 - Г2, x e 5. Se i \u003d 0, allora / (i) è un numero razionale. Ora dalla razionalità del numero / (x + 7)) segue l'uguaglianza -I - I - 0. Quindi, abbiamo l'uguaglianza 52 = Xp, dove X è un numero intero

numero. La relazione /(x + 7)) = /(x) assume la forma

^ P + I + I w +

Questa uguaglianza deve valere per tutti i tipi interi. Quando m-p ~ 0, il lato destro di (1) è

a zero. Poiché le parti frazionarie non sono negative, otteniamo da qui che:<0, а при

m \u003d n \u003d q - ] la somma delle parti frazionarie sul lato destro dell'uguaglianza (1) non è inferiore alla somma delle parti frazionarie h-X

Quello sulla sinistra. Quindi - >0. Pertanto, X = 0 e 52 = 0. Pertanto, il periodo della funzione / ha la forma

e l'uguaglianza (1) diventa

n\ | e 52 sono numeri interi. Dalle relazioni

d(0) = 0 = d(GA) =

otteniamo che i numeri 51 e ^ devono essere multipli di p, cioè per alcuni interi Ax e A2 abbiamo 51 = A\p, E2 = A2p. Allora la relazione (3) può essere riscritta come

Dall'uguaglianza A2kx = k2A\ e dalla coprimeità dei numeri k\ e k2, segue che A2 è divisibile per k2. Da qui

per qualche intero t valgono le uguaglianze A2 = k2t e Ax ~ kxt, cioè Th ~-(kxTx + k2T2).

Si dimostra che ogni periodo della funzione h è un multiplo del periodo Т = - (к(Гх + к2Т2)9 che, quindi

Zom, è il principale. □

Nessun periodo principale

Teorema 6. Siano Tx e T2~ numeri positivi arbitrari. Allora esistono funzioni periodiche fug tali che i loro periodi principali sono rispettivamente T\ e T2, e la loro somma h=f+g è periodica ma non ha periodo principale.

Prova. Consideriamo due possibili casi.

I. I periodi Tx e T2 sono incommensurabili.

Sia A = + nT2 +kT\ . Come sopra, è facile dimostrare che se il numero

rappresentabile nella forma mTx + nT2 + kT, allora tale rappresentazione è unica.

Supponiamo che in tutti i punti dell'insieme A le funzioni / e g siano uguali a zero, e sull'insieme A definiamo queste funzioni come segue:

/da; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

È facile verificare che il numero Tx è il periodo principale della funzione /, il numero T2 è il periodo principale g, e per ogni numero razionale kT è il periodo della funzione h - f + g, che quindi non non avere il periodo più piccolo.

II. I periodi Tx e T2 sono comparabili.

Sia Tx = mT0, T2 = nT0, dove T0 > 0, m ed n sono numeri naturali. Introduciamo in considerazione l'insieme R = + .

Supponiamo che in tutti i punti dell'insieme B le funzioni fug siano uguali a zero, e sull'insieme B definiamo queste funzioni come segue:

/((/ + WT0) = W + Jit, g((/ + 4lk)T0) - W - 42k.

La funzione h ~ / + g sull'insieme B è uguale a zero, e nei punti dell'insieme B è uguale a

È facile verificare che il numero 7j = mTQ è il periodo principale della funzione /, il numero T2 ~ nT0 è il periodo principale g, mentre tra i periodi della funzione h ~ f + g ci sono tutti i numeri della forma l/2kT0, dove k è un numero razionale arbitrario. □

Le costruzioni che dimostrano il Teorema 6 si basano sull'incommensurabilità dei periodi della funzione h~ / + g con i periodi delle funzioni / e g . In conclusione, diamo un esempio di funzioni fug tali che tutti i periodi delle funzioni /, g e / + g sono commensurabili tra loro, ma / e g hanno periodi base, mentre f + g no.

Sia m un numero naturale fisso, M l'insieme delle frazioni non intere irriducibili i cui numeratori sono multipli di m. Mettiamo

1 se xM; 1

ifxe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O negli altri casi; 1 se xeMU

~,ifxe2 2

[Oh altrimenti.

È facile vedere che i periodi principali delle funzioni fug sono rispettivamente uguali a m e 1, mentre la somma / + g ha un periodo di qualsiasi numero della forma m/n, dove n è un numero naturale arbitrario relativamente primo a m.

Letteratura

1. Dizionario enciclopedico matematico / cap. ed. Yu.V. Prokhorov - M.: Sov. Enciclopedia, 1988.

2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. Sulla periodicità della somma delle funzioni periodiche// Educazione matematica. - 2000. - N. 2 (13). - S. 29-33.

3. Gerenstein A.V., Evnin A.Yu. Sulla somma delle funzioni periodiche// Matematica a scuola. -2002. - N. 1. - S. 68-72.

4. Ivlev B.M. e altri Raccolta di problemi di algebra e principi di analisi per 9 e 10 celle. - M.: Illuminismo, 1978.