Cubo di differenza e differenza di cubi: regole per applicare formule di moltiplicazione abbreviate. Formule di moltiplicazione abbreviate Esempi di problemi che utilizzano formule per differenza di quadrati e somma e differenza di cubi

Formule di moltiplicazione abbreviate.

Studio delle formule di moltiplicazione abbreviate: il quadrato della somma e il quadrato della differenza di due espressioni; differenza dei quadrati di due espressioni; cubo della somma e cubo della differenza di due espressioni; somme e differenze di cubi di due espressioni.

Applicazione di formule di moltiplicazione abbreviate durante la risoluzione di esempi.

Per semplificare le espressioni, fattorizzare i polinomi e ridurre i polinomi alla forma standard, vengono utilizzate formule di moltiplicazione abbreviate. Le formule di moltiplicazione abbreviate devono essere conosciute a memoria.

Sia a, b R. Allora:

1. Il quadrato della somma di due espressioni è uguale a il quadrato della prima espressione più il doppio del prodotto della prima espressione e il secondo più il quadrato della seconda espressione.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Il quadrato della differenza di due espressioni è uguale a il quadrato della prima espressione meno il doppio del prodotto della prima espressione e del secondo più il quadrato della seconda espressione.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Differenza di quadrati due espressioni è uguale al prodotto della differenza di queste espressioni e della loro somma.

a2 - b2 = (a -b) (a+b)

4. Cubo di somma due espressioni è uguale al cubo della prima espressione più il triplo del prodotto del quadrato della prima espressione e della seconda più il triplo del prodotto della prima espressione e del quadrato della seconda più il cubo della seconda espressione.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Cubo di differenza due espressioni è uguale al cubo della prima espressione meno il triplo del prodotto del quadrato della prima espressione e della seconda più il triplo del prodotto della prima espressione e del quadrato della seconda meno il cubo della seconda espressione.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Somma di cubi due espressioni è uguale al prodotto della somma della prima e della seconda espressione e del quadrato incompleto della differenza di queste espressioni.

a3 + b3 = (a+b) (a2 - ab + b2)

7. Differenza di cubi due espressioni è uguale al prodotto della differenza della prima e della seconda espressione per il quadrato incompleto della somma di queste espressioni.

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Applicazione di formule di moltiplicazione abbreviate durante la risoluzione di esempi.

Esempio 1.

Calcolare

a) Usando la formula del quadrato della somma di due espressioni, abbiamo

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Utilizzando la formula del quadrato della differenza di due espressioni, otteniamo

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Esempio 2.

Calcolare

Usando la formula per la differenza dei quadrati di due espressioni, otteniamo

Esempio 3.

Semplificare un'espressione

(x - y) 2 + (x + y) 2

Usiamo le formule per il quadrato della somma e il quadrato della differenza di due espressioni

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Formule di moltiplicazione abbreviate in una tabella:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a2 - b2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a3 + b3 = (a+b) (a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Le formule di moltiplicazione abbreviate (FMF) vengono utilizzate per esporre a potenza e moltiplicare numeri ed espressioni. Spesso queste formule consentono di eseguire calcoli in modo più compatto e rapido.

In questo articolo elencheremo le formule di base per la moltiplicazione abbreviata, le raggrupperemo in una tabella, considereremo esempi di utilizzo di queste formule e ci soffermeremo anche sui principi di prova delle formule per la moltiplicazione abbreviata.

Per la prima volta il tema della FSU viene affrontato nell'ambito del corso di Algebra per la 7a elementare. Di seguito sono riportate 7 formule base.

Formule di moltiplicazione abbreviate

formula per il quadrato della somma: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
formula della differenza quadrata: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
formula del cubo somma: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
formula del cubo differenza: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
formula della differenza quadrata: a 2 - b 2 = a - b a + b
formula per la somma dei cubi: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
formula per la differenza dei cubi: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Le lettere a, b, c in queste espressioni possono essere qualsiasi numero, variabile o espressione. Per facilità d'uso, è meglio imparare a memoria le sette formule base. Mettiamoli in una tabella e presentiamoli qui sotto, circondandoli con una cornice.

Le prime quattro formule permettono di calcolare, rispettivamente, il quadrato o il cubo della somma o della differenza di due espressioni.

La quinta formula calcola la differenza tra i quadrati delle espressioni moltiplicando la loro somma e differenza.

La sesta e la settima formula moltiplicano rispettivamente la somma e la differenza delle espressioni per il quadrato incompleto della differenza e per il quadrato incompleto della somma.

La formula di moltiplicazione abbreviata è talvolta chiamata anche identità di moltiplicazione abbreviata. Ciò non sorprende, poiché ogni uguaglianza è un’identità.

Quando si risolvono esempi pratici, vengono spesso utilizzate formule di moltiplicazione abbreviate con i lati sinistro e destro invertiti. Ciò è particolarmente utile quando si fattorizza un polinomio.

Ulteriori formule di moltiplicazione abbreviate

Non limitiamoci al corso di algebra di 7a elementare e aggiungiamo qualche altra formula alla nostra tabella FSU.

Per prima cosa, diamo un'occhiata alla formula binomiale di Newton.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Qui C n k sono i coefficienti binomiali che compaiono nella riga numero n del triangolo di Pascal. I coefficienti binomiali vengono calcolati utilizzando la formula:

Cnk = n! K! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Come possiamo vedere, la FSF per il quadrato e il cubo della differenza e la somma è un caso speciale della formula binomiale di Newton per n=2 e n=3, rispettivamente.

Ma cosa succede se ci sono più di due termini nella somma che deve essere elevata a potenza? Sarà utile la formula del quadrato della somma di tre, quattro o più termini.

un 1 + un 2 + . . + un n 2 = un 1 2 + un 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Un'altra formula che può essere utile è la formula per la differenza tra le n-esime potenze di due termini.

un n - b n = un - b un n - 1 + un n - 2 b + un n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Questa formula è solitamente divisa in due formule, rispettivamente per le potenze pari e dispari.

Per indicatori anche di 2 metri:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2m - 2

Per esponenti dispari 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Le formule della differenza dei quadrati e della differenza dei cubi, come hai intuito, sono casi speciali di questa formula rispettivamente per n = 2 e n = 3. Per differenza dei cubi, b è sostituito anche da - b.

Come leggere le formule di moltiplicazione abbreviate?

Forniremo le formulazioni appropriate per ciascuna formula, ma prima comprenderemo il principio di lettura delle formule. Il modo più conveniente per farlo è con un esempio. Prendiamo la prima formula per il quadrato della somma di due numeri.

un + b 2 = un 2 + 2 un b + b 2 .

Dicono: il quadrato della somma di due espressioni aeb è uguale alla somma del quadrato della prima espressione, due volte il prodotto delle espressioni e del quadrato della seconda espressione.

Tutte le altre formule si leggono in modo simile. Per il quadrato della differenza a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 scriviamo:

il quadrato della differenza tra due espressioni aeb è uguale alla somma dei quadrati di queste espressioni meno il doppio del prodotto della prima e della seconda espressione.

Leggiamo la formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Il cubo della somma di due espressioni a e b è uguale alla somma dei cubi di queste espressioni, triplica il prodotto del quadrato della prima espressione per la seconda e triplica il prodotto del quadrato della seconda espressione per prima espressione.

Passiamo alla lettura della formula per la differenza dei cubi a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Il cubo della differenza tra due espressioni a e b è uguale al cubo della prima espressione meno il triplo prodotto del quadrato della prima espressione e della seconda, più il triplo prodotto del quadrato della seconda espressione e della prima espressione , meno il cubo della seconda espressione.

La quinta formula a 2 - b 2 = a - b a + b (differenza dei quadrati) si legge così: la differenza dei quadrati di due espressioni è uguale al prodotto della differenza e della somma delle due espressioni.

Per comodità, espressioni come a 2 + a b + b 2 e a 2 - a b + b 2 si chiamano rispettivamente quadrato incompleto della somma e quadrato incompleto della differenza.

Tenendo conto di ciò, le formule per la somma e la differenza dei cubi possono essere lette come segue:

La somma dei cubi di due espressioni è uguale al prodotto della somma di queste espressioni per il quadrato parziale della loro differenza.

La differenza tra i cubi di due espressioni è uguale al prodotto della differenza tra queste espressioni e il quadrato parziale della loro somma.

Prova della FSU

Dimostrare la FSU è abbastanza semplice. In base alle proprietà della moltiplicazione, moltiplicheremo le parti delle formule tra parentesi.

Consideriamo ad esempio la formula della differenza al quadrato.

un - b 2 = un 2 - 2 un b + b 2 .

Per elevare un'espressione alla seconda potenza è necessario moltiplicare l'espressione per se stessa.

un - b 2 = un - b un - b .

Espandiamo le parentesi:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

La formula è provata. Le restanti FSU si dimostrano in modo simile.

Esempi di applicazione della FSU

Lo scopo dell'utilizzo delle formule di moltiplicazione abbreviate è quello di moltiplicare ed elevare le espressioni a potenze in modo rapido e conciso. Tuttavia questo non è l’intero campo di applicazione dell’ex Unione Sovietica. Sono ampiamente utilizzati per ridurre espressioni, ridurre frazioni e fattorizzare polinomi. Facciamo degli esempi.

Esempio 1. Unione Sovietica

Semplifichiamo l'espressione 9 y - (1 + 3 y) 2.

Applichiamo la formula della somma dei quadrati e otteniamo:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Esempio 2. Unione Sovietica

Riduciamo la frazione 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Notiamo che l'espressione al numeratore è la differenza dei cubi e al denominatore è la differenza dei quadrati.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Riduciamo e otteniamo:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Le FSU aiutano anche a calcolare i valori delle espressioni. La cosa principale è essere in grado di notare dove applicare la formula. Mostriamolo con un esempio.

Facciamo il quadrato del numero 79. Invece di calcoli complicati, scriviamo:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Sembrerebbe che un calcolo complesso venga eseguito rapidamente utilizzando solo formule di moltiplicazione abbreviate e una tabella di moltiplicazione.

Un altro punto importante è la scelta del quadrato del binomio. L'espressione 4 x 2 + 4 x - 3 può essere convertita in 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tali trasformazioni sono ampiamente utilizzate nell'integrazione.

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Nelle lezioni precedenti abbiamo esaminato due modi per fattorizzare un polinomio: mettendo il fattore comune tra parentesi E metodo di raggruppamento.

In questa lezione vedremo un altro modo di fattorizzare un polinomio utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate.

Ti consigliamo di scrivere ciascuna formula almeno 12 volte. Per una migliore memorizzazione, scrivi tu stesso tutte le formule di moltiplicazione abbreviate in piccolo foglio di riepilogo.

Ricordiamo qual è la differenza tra la formula dei cubi.

un 3 − b 3 = (un − b)(a 2 + ab + b 2)

La differenza della formula dei cubi non è molto facile da ricordare, quindi consigliamo di utilizzarla modo speciale per ricordarlo.

È importante capire che funziona anche qualsiasi formula di moltiplicazione abbreviata rovescio.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Diamo un'occhiata a un esempio. È necessario fattorizzare la differenza dei cubi.

Tieni presente che “27a 3” è “(3a) 3”, il che significa che per la formula della differenza dei cubi, invece di “a” utilizziamo “3a”.

Usiamo la formula della differenza di cubi. Al posto di “a 3” abbiamo “27a 3”, e al posto di “b 3”, come nella formula, c'è “b 3”.

Applicare la differenza dei cubi nella direzione opposta

Diamo un'occhiata a un altro esempio. È necessario convertire il prodotto dei polinomi nella differenza dei cubi utilizzando la formula di moltiplicazione abbreviata.

Tieni presente che il prodotto dei polinomi “(x − 1)(x 2 + x + 1)” assomiglia al lato destro della formula della differenza dei cubi “”, solo che al posto di “a” c’è “x”, e al suo posto di “b” c'è “1” .

Per “(x − 1)(x 2 + x + 1)” usiamo la formula della differenza di cubi nella direzione opposta.

Consideriamo un esempio più complicato. È necessario semplificare il prodotto dei polinomi.

Se confrontiamo “(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” con il lato destro della formula della differenza di cubi
« un 3 − b 3 = (un − b)(a 2 + ab + b 2)", allora puoi capire che al posto di "a" della prima parentesi c'è "y 2", e al posto di "b" c'è "1".