주제에 대한 강의: "복소수의 삼각함수 형식". 삼각법 형태의 복소수 삼각법 형태로 주어진 복소수

이 섹션에서는 복소수의 삼각법 형식에 더 중점을 둘 것입니다. 실제 작업에서 지수 형식은 훨씬 덜 일반적입니다. 가능하면 다운로드하여 인쇄하십시오. 삼각 테이블, 방법론 자료는 수학 공식 및 표 페이지에서 찾을 수 있습니다. 테이블 없이는 멀리 갈 수 없습니다.

모든 복소수(0 제외)는 삼각법 형식으로 작성할 수 있습니다.

어디야 복소수 계수, ㅏ - 복소수 인수.

복소 평면에 숫자를 그립니다. 설명의 명확성과 단순성을 위해 첫 번째 좌표 분기에 배치합니다. 우리는 믿습니다:

복소수의 모듈러스좌표 원점에서 복소 평면의 해당 점까지의 거리입니다. 간단히 말해서, 모듈러스는 길이도면에서 빨간색으로 표시된 반지름 벡터입니다.

복소수의 모듈러스는 일반적으로 다음과 같이 표시됩니다.

피타고라스의 정리를 사용하면 복소수의 모듈러스를 찾는 공식을 쉽게 도출할 수 있습니다. 이 공식은 유효합니다 어떠한 것도"a"와 "be"를 의미합니다.

메모 : 복소수의 계수는 개념의 일반화입니다. 실수 모듈러스, 점에서 원점까지의 거리.

복소수의 인수~라고 불리는 모서리~ 사이 양의 축실제 축과 원점에서 해당 점까지 그려진 반지름 벡터. 인수가 singular:에 대해 정의되지 않았습니다.

고려 중인 원리는 실제로 극좌표와 유사하며 극좌표 반경과 극각이 점을 고유하게 정의합니다.

복소수의 인수는 일반적으로 다음과 같이 표시됩니다. 또는

기하학적 고려 사항에서 인수를 찾는 다음 공식을 얻습니다.

. 주목!이 공식은 오른쪽 절반 평면에서만 작동합니다! 복소수가 좌표 1사분면 또는 4사분면에 없으면 공식이 약간 달라집니다. 우리는 또한 이러한 경우를 고려할 것입니다.

그러나 먼저 복소수가 좌표축에 있는 가장 간단한 예를 고려하십시오.

실시예 7

삼각법 형식으로 복소수를 표현: ,,,. 그림을 실행해 봅시다:

사실, 작업은 구두입니다. 명확성을 위해 복소수의 삼각법 형식을 다시 작성하겠습니다.

모듈을 단단히 기억합시다- 길이(항상 음수가 아닌), 인수는 모서리

1) 수를 삼각함수 형태로 나타내자. 계수와 인수를 찾으십시오. 그것은 명백하다. 공식에 따른 공식 계산:. (수는 실제 양의 반축에 직접 놓여 있음)이 분명합니다. 따라서 삼각법 형식의 숫자는 다음과 같습니다.

맑은 날, 역 확인 작업:

2) 수를 삼각함수 형태로 나타내자. 계수와 인수를 찾으십시오. 그것은 명백하다. 공식에 따른 공식 계산:. 분명히 (또는 90도). 그림에서 모서리는 빨간색으로 표시됩니다. 따라서 삼각법 형식의 숫자는 다음과 같습니다. .

사용 , 숫자의 대수적 형식을 쉽게 되돌릴 수 있습니다(동시에 확인하여).

3) 삼각법 형태로 숫자를 표현해 봅시다. 해당 모듈을 찾아

논쟁. . 공식에 따른 공식 계산:

분명히 (또는 180도). 그림에서 각도는 파란색으로 표시됩니다. 따라서 삼각법 형식의 숫자는 다음과 같습니다.

시험:

4) 그리고 네 번째 흥미로운 경우입니다. 그것은 명백하다. 공식에 따른 공식 계산:.

인수는 두 가지 방법으로 작성할 수 있습니다. 첫 번째 방법: (270도), 따라서 다음과 같습니다. . 시험:

그러나 다음 규칙이 더 표준입니다. 각도가 180도 이상인 경우, 그런 다음 빼기 기호와 각도의 반대 방향("스크롤"): (마이너스 90도), 그림에서 각도는 녹색으로 표시됩니다. 보기 쉽다

같은 각도입니다.

따라서 항목은 다음과 같이 됩니다.

주목!어떤 경우에도 코사인의 균일성, 사인의 기이함을 사용하고 레코드의 추가 "단순화"를 수행해서는 안됩니다.

그건 그렇고, 삼각 및 역 삼각 함수의 모양과 속성을 기억하는 것이 유용합니다. 참조 자료는 기본 기본 함수의 그래프 및 속성 페이지의 마지막 단락에 있습니다. 그리고 복소수는 배우기가 훨씬 쉽습니다!

가장 간단한 예제의 설계에서 다음과 같이 작성해야 합니다. : "분명히 계수는... 분명히 인수는...". 이것은 정말 명백하고 구두로 쉽게 해결됩니다.

더 일반적인 경우로 넘어 갑시다. 모듈에는 문제가 없으며 항상 공식을 사용해야 합니다. 그러나 인수를 찾는 공식은 숫자가 있는 좌표 분기에 따라 다릅니다. 이 경우 세 가지 옵션이 가능합니다(다시 작성하는 것이 유용함).

1) (1번째와 4번째 좌표 분기 또는 오른쪽 반면)이면 인수를 공식으로 찾아야 합니다.

2) (두 번째 좌표 분기)인 경우 다음 수식으로 인수를 찾아야 합니다. .

3) (세 번째 좌표 분기)인 경우 다음 수식으로 인수를 찾아야 합니다. .

실시예 8

삼각법 형식으로 복소수를 표현: ,,,.

기성 수식이 있으면 도면이 필요하지 않습니다. 그러나 한 가지 요점이 있습니다. 삼각법 형식으로 숫자를 제시하라는 요청을 받았을 때 그림은 어쨌든하는 것이 좋습니다. 사실 교사는 종종 그림이없는 솔루션을 거부하고 그림이 없으면 마이너스 및 실패의 심각한 이유입니다.

우리는 숫자를 나타내며 복잡한 형태로 첫 번째와 세 번째 숫자는 독립적인 솔루션을 위한 것입니다.

삼각법 형태로 숫자를 표현해 봅시다. 계수와 인수를 찾으십시오.

(사례 2) 이후

- 여기서 아크 탄젠트의 기이함을 사용해야 합니다. 불행하게도 테이블에는 값이 없으므로 이러한 경우 인수는 성가신 형식으로 남겨 두어야 합니다. - 삼각법 형식의 숫자.

삼각법 형태로 숫자를 표현해 봅시다. 계수와 인수를 찾으십시오.

(사례 1)부터 (마이너스 60도).

따라서:

삼각법 형태의 숫자입니다.

그리고 여기서 이미 언급했듯이 단점 만지지 마세요.

재미있는 그래픽 검증 방법 외에도 예 7에서 이미 수행된 분석 검증도 있습니다. 삼각 함수 값 표, 각도가 정확히 테이블 각도(또는 300도)라는 점을 고려하면서: - 원래 대수 형식의 숫자.

숫자와 삼각법 형태로 직접 표현하십시오. 수업이 끝날 때 짧은 솔루션 및 답변.

섹션의 끝에서 복소수의 지수 형식에 대해 간략하게 설명합니다.

모든 복소수(0 제외)는 지수 형식으로 쓸 수 있습니다.

어디에 복소수의 계수이고 복소수의 인수입니다.

지수 형식으로 복소수를 나타내려면 어떻게 해야 합니까? 거의 동일합니다. 그림을 실행하고 모듈과 인수를 찾습니다. 그리고 숫자를 .

예를 들어, 이전 예의 숫자에 대해 계수와 인수:,를 찾았습니다. 그런 다음 지수 형식의 이 숫자는 다음과 같이 작성됩니다.

지수 형식의 숫자는 다음과 같습니다.

숫자 - 그래서:

유일한 조언은 표시기를 만지지 마십시오지수, 요인을 재정렬하거나 괄호를 여는 등의 작업이 필요하지 않습니다. 지수 형식의 복소수가 기록됩니다. 엄격하게알리다.

대수 형식으로 작성된 복소수에 대한 작업

복소수 z =의 대수적 형식(ㅏ,비) 형식의 대수적 표현이라고 합니다.

지 = ㅏ + 바이.

복소수에 대한 산술 연산 지 1 = 1 +비 1 나그리고 지 2 = 2 +비 2 나, 대수적 형식으로 작성된 다음과 같이 수행됩니다.

1. 복소수의 합(차)

지 1 ±z 2 = (ㅏ 1 ±a 2) + (비 1 ±b 2)∙나,

저것들. 덧셈(뺄셈)은 유사한 멤버를 줄이는 다항식 덧셈 규칙에 따라 수행됩니다.

2. 복소수의 곱

지 1 ∙지 2 = (ㅏ 1 ∙아 2 -비 1 ∙ㄴ 2) + (ㅏ 1 ∙ㄴ 2 +a 2 ∙ㄴ 1)∙나,

저것들. 곱셈은 다음 사실을 고려하여 다항식 곱셈에 대한 일반적인 규칙에 따라 수행됩니다. 나 2 = 1.

3. 두 복소수의 나눗셈은 다음 규칙에 따라 수행됩니다.

, (지 2 ≠ 0),

저것들. 나누기는 피제수와 약수에 약수의 공액을 곱하여 수행됩니다.

복소수의 거듭제곱은 다음과 같이 정의됩니다.

그것을 보여주는 것은 쉽다.

예.

1. 복소수의 합 구하기 지 1 = 2 – 나그리고 지 2 = – 4 + 3나.

지 1 +지 2 = (2 + (–1)∙나)+ (–4 + 3나) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) 나 = –2+2나.

2. 복소수의 곱 찾기 지 1 = 2 – 3나그리고 지 2 = –4 + 5나.

= (2 – 3나) ∙ (–4 + 5나) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3나)+ 2∙5나– 3나∙ 5나는 = 7+22나.

3. 개인 찾기 지부서에서 지 1 \u003d 3-2 지 2 = 3 – 나.

지= .

4. 방정식 풀기:, 엑스그리고 와이 Î 아르 자형.

(2x+y) + (x+y)나는 = 2 + 3나.

복소수의 평등 덕분에 우리는 다음을 얻습니다.

어디 엑스=–1 , 와이= 4.

5. 계산: 나 2 ,나 3 ,나 4 ,나 5 ,나 6 ,나 -1 , 나 -2 .

6. 다음과 같은 경우를 계산합니다.

7. 숫자의 역수 계산 지=3-나.

삼각법 형식의 복소수

복소 평면데카르트 좌표 ( 엑스, 와이), 좌표가 있는 각 포인트( 가, 나)에 복소수가 할당됩니다. 지 = a + 바이. 이 경우 가로축을 호출합니다. 실제 축이고 y축은 상상의. 그런 다음 모든 복소수 a+bi점으로 평면에 기하학적으로 표현 A(아,비) 또는 벡터 .

그것은 분명하다 | 지| ³ 0 및 | 지 | = 0 Û 지= 0.

무화과에서. 2는 .

복소수의 인수는 모호하게 정의되며 최대 2 pk,kÎ 지.

무화과에서. 2는 또한 만약 z=a+bi그리고 j=argz,저것

코사인 j =, 죄 j =, tg j = .

만약에 zО아르 자형그리고 지 > 0 그럼 인수 = 0 +2pk;

만약에 z О아르 자형그리고 지< 0 그럼 인수 = p + 2pk;

만약에 지= 0,인수정의되지 않았습니다.

인수의 주요 값은 간격 0에서 결정됩니다. £argz£2 피,

또는 -피£ 인수 z £ p.

예:

1. 복소수의 계수 찾기 지 1 = 4 – 3나그리고 지 2 = –2–2나.

2. 복잡한 평면에서 조건에 의해 지정된 영역을 결정합니다.

1) | 지 | = 5; 2) | 지| £6; 3) | 지 – (2+나) | £3; 4) 6파운드 | 지 – 나| £7.

솔루션 및 답변:

1) | 지| = 5 Û Û는 반지름이 5이고 원점을 중심으로 하는 원의 방정식입니다.

2) 원점을 중심으로 반지름이 6인 원.

3) 한 점을 중심으로 반지름이 3인 원 z0 = 2 + 나.

4) 한 점을 중심으로 반지름이 6과 7인 원으로 둘러싸인 고리 지 0 = 나.

3. 숫자의 모듈과 인수 찾기: 1) ; 2).

1) ; ㅏ = 1, 비 = Þ ,

Þ j 1 = .

2) 지 2 = –2 – 2나; =–2, b=-2Þ ,

참고: 기본 인수를 정의할 때 복소 평면을 사용하십시오.

따라서: 지 1 = .

2) , 아르 자형 2 = 1, j 2 = , .

3) , 아르 자형 3 = 1, j 3 = , .

4) , 아르 자형 4 = 1, j4 = , .

복소수 XI

§ 256. 복소수의 삼각법 형식

복소수를하자 + 바이 해당 벡터 OA> 좌표( 가, 나 ) (그림 332 참조).

이 벡터의 길이를 다음과 같이 나타냅니다. 아르 자형 , 축과 이루는 각도 엑스 , 을 통해 φ . 사인과 코사인의 정의:

ㅏ / 아르 자형 = 코사인 φ , 비 / 아르 자형 = 죄 φ .

그래서 ㅏ = 아르 자형 코사인 φ , 비 = 아르 자형 죄 φ . 그러나 이 경우 복소수는 + 바이 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

+ 바이 = 아르 자형 코사인 φ + IR 죄 φ = 아르 자형 (코사인 φ + 나 죄 φ ).

아시다시피 벡터 길이의 제곱은 해당 좌표의 제곱의 합과 같습니다. 그래서 아르 자형 2 = ㅏ 2 + 비 2 , 어디서 아르 자형 = √a 2 + 비 2

그래서, 임의의 복소수 + 바이 로 나타낼 수 있습니다 :

+ 바이 = 아르 자형 (코사인 φ + 나 죄 φ ), (1)

여기서 r = √a 2 + 비 2 , 각도 φ 다음 조건에서 결정됩니다.

이러한 형태의 복소수를 작성하는 것을 호출합니다. 삼각법.

숫자 아르 자형 식 (1)에서 기준 치수, 그리고 각도 φ - 논쟁, 복소수 + 바이 .

복소수인 경우 + 바이 0이 아니면 계수가 양수입니다. 만약에 + 바이 = 0이면 a = b = 0 다음 아르 자형 = 0.

모든 복소수의 모듈러스는 고유하게 결정됩니다.

복소수인 경우 + 바이 0이 아닌 경우 인수는 공식 (2)에 의해 결정됩니다. 분명히최대 각도 2의 배수 π . 만약에 + 바이 = 0이면 a = b = 0. 이 경우 아르 자형 = 0. 공식 (1)에서 인수로 이해하기 쉽습니다. φ 이 경우 모든 각도를 선택할 수 있습니다. φ

0(코사인 φ + 나 죄 φ ) = 0.

따라서 0 인수는 정의되지 않습니다.

복소수 계수 아르 자형 때때로 | 지 | 및 인수 arg 지 . 삼각법 형식으로 복소수를 표현하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예. 1. 1 + 나 .

모듈을 찾아보자 아르 자형 그리고 인수 φ 이 번호.

아르 자형 = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

그러므로 죄 φ = 1 / √ 2 , 코사인 φ = 1 / √ 2 , 어디서 φ = π / 4 + 2Nπ .

따라서,

1 + 나 = √ 2 ,

어디 피 - 임의의 정수. 일반적으로 복소수 인수의 무한한 값 집합에서 0과 2 사이의 값이 선택됩니다. π . 이 경우 이 값은 π / 4 . 그래서

1 + 나 = √ 2(코사인 π / 4 + 나 죄 π / 4)

예 2삼각법 형태로 복소수 쓰기 √ 3 - 나 . 우리는:

아르 자형 = √ 3+1 = 2코사인 φ = √ 3 / 2 , 죄 φ = - 1 / 2

따라서 2로 나누어지는 각도까지 π , φ = 11 / 6 π ; 따라서,

√ 3 - 나 = 2(코사인 11 / 6 π + 나 죄 11 / 6 π ).

예 3삼각법 형태로 복소수 쓰기 나 .

복소수 나 해당 벡터 OA> 축의 A 지점에서 끝남 ~에 세로 좌표 1 (그림 333). 이러한 벡터의 길이는 1이고 가로축과 이루는 각도는 π / 2. 그래서

나 = 코사인 π / 2 + 나 죄 π / 2 .

예 4삼각법 형식으로 복소수 3을 씁니다.

복소수 3은 벡터에 해당합니다. OA > 엑스 가로 좌표 3(그림 334).

이러한 벡터의 길이는 3이고 x축과 이루는 각도는 0입니다. 따라서

3 = 3(코사인 0 + 나 죄 0),

실시예 5삼각함수 형식으로 복소수 -5를 씁니다.

복소수 -5는 벡터에 해당합니다. OA> 축 점에서 끝남 엑스 가로 좌표 -5(그림 335). 이러한 벡터의 길이는 5이고 x축과 이루는 각도는 π . 그래서

5 = 5(코사인 π + 나 죄 π ).

수업 과정

2047. 이러한 복소수를 삼각법 형식으로 작성하여 해당 모듈과 인수를 정의합니다.

1) 2 + 2√3 나 , 4) 12나 - 5; 7).3나 ;

2) √3 + 나 ; 5) 25; 8) -2나 ;

3) 6 - 6나 ; 6) - 4; 9) 3나 - 4.

2048. 모듈 r과 인수 φ가 다음 조건을 충족하는 복소수를 나타내는 점 집합을 평면에 표시합니다.

1) 아르 자형 = 1, φ = π / 4 ; 4) 아르 자형 < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) 아르 자형 =2; 5) 2 < 아르 자형 <3; 8) 0 < φ < я;

3) 아르 자형 < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < 아르 자형 < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. 숫자가 동시에 복소수의 모듈이 될 수 있습니까? 아르 자형 그리고 - 아르 자형 ?

2050. 복소수의 인수는 동시에 각도가 될 수 있습니까? φ 그리고 - φ ?

모듈과 인수를 정의하여 이러한 복소수를 삼각법 형식으로 표시합니다.

2051*. 1 + 코사인 α + 나 죄 α . 2054*. 2(cos 20° - 나 죄 20°).

2052*. 죄 φ + 나 코사인 φ . 2055*. 3(- cos 15° - 나 죄 15°).

2.3. 복소수의 삼각함수 형식

복소 평면에서 벡터를 숫자로 지정합니다.

양의 반축 Ox와 벡터 사이의 각도를 φ로 표시합니다(각도 φ는 시계 반대 방향으로 계산하면 양수로 간주되고 그렇지 않으면 음수로 간주됩니다).

벡터의 길이를 r로 나타냅니다. 그 다음에 . 우리는 또한

0이 아닌 복소수 z를 다음과 같이 쓰기

복소수 z의 삼각함수 형식이라고 합니다. 숫자 r을 복소수 z의 모듈러스라고 하고 숫자 φ를 이 복소수의 인수라고 하며 Arg z로 표시합니다.

복소수 작성의 삼각법 형식 - (Euler의 공식) - 복소수 작성의 지수 형식:

복소수 z에는 무한히 많은 인수가 있습니다. φ0이 숫자 z의 인수이면 다른 모든 인수는 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

복소수의 경우 인수 및 삼각법 형식이 정의되지 않습니다.

따라서 0이 아닌 복소수의 인수는 연립방정식의 해입니다.

(3)

부등식을 만족하는 복소수 z의 인수 값 φ를 주요 값이라고 하며 arg z로 표시합니다.

인수 Arg z 및 arg z는 동등성에 의해 관련됩니다.

, (4)

공식 (5)는 시스템 (3)의 결과이므로 복소수의 모든 인수는 등식 (5)를 충족하지만 방정식 (5)의 모든 솔루션 φ가 숫자 z의 인수는 아닙니다.

0이 아닌 복소수 인수의 주요 값은 다음 공식으로 구합니다.

삼각법 형식의 복소수 곱셈 및 나눗셈 공식은 다음과 같습니다.

. (7)

복소수를 자연 거듭제곱으로 올릴 때 de Moivre의 공식이 사용됩니다.

복소수에서 근을 추출할 때 다음 수식이 사용됩니다.

, (9)

여기서 k=0, 1, 2, …, n-1입니다.

문제 54. 계산 , 여기서 .

복소수를 쓰는 지수 형식으로 이 표현의 해를 표현해 봅시다: .

그렇다면 .

그 다음에 , . 그러므로, 그러면 그리고 , 어디 .

답변: , 에 .

문제 55. 삼각법 형식으로 복소수 쓰기:

ㅏ) ; b) ; V) ; G) ; e) ; 이자형) ; 그리고) .

복소수의 삼각법 형식은 이므로 다음과 같습니다.

a) 복소수에서: .

그래서

비) , 어디 ,

G) , 어디 ,

이자형) .

그리고) , ㅏ , 저것 .

그래서

답변: ; 4; ; ; ; ; .

문제 56. 복소수의 삼각법 형식 찾기

허락하다 , .

그 다음에 , , .

왜냐하면 그리고 , , 그리고

그러므로 그러므로

답변: , 어디 .

문제 57. 복소수의 삼각법 형식을 사용하여 다음 작업을 수행합니다.

숫자를 상상하고 삼각법 형태로.

1) , 여기서 그 다음에

주요 인수 값 찾기:

값을 표현으로 대체 , 우리는 얻는다

2) 그럼 어디

그 다음에

3) 몫 찾기

k=0, 1, 2라고 가정하면 원하는 루트의 세 가지 다른 값을 얻습니다.

그렇다면

그렇다면 .

답변: :

: .

문제 58. , , 가 서로 다른 복소수이고 . 그것을 증명

가) 번호 실수 양수입니다.

b) 평등이 발생합니다.

a) 이러한 복소수를 삼각법 형식으로 표현해 봅시다.

왜냐하면 .

라고 가정해 봅시다. 그 다음에

사인 기호 아래 간격의 숫자가 있으므로 마지막 표현식은 양수입니다.

숫자 때문에 현실적이고 긍정적입니다. 실제로 a와 b가 복소수이고 실수이고 0보다 크면 .

게다가,

따라서 필요한 평등이 증명됩니다.

문제 59. 대수 형식으로 숫자를 적으십시오. .

숫자를 삼각법 형태로 표현한 다음 대수적 형태를 찾습니다. 우리는 . 을 위한 우리는 시스템을 얻습니다.

이것으로부터 평등이 따릅니다. .

De Moivre의 공식 적용:

우리는 얻는다

주어진 숫자의 삼각법 형태를 찾습니다.

이제 이 숫자를 대수 형식으로 씁니다.

답변: .

문제 60. 합계 찾기 , ,

합계를 고려하십시오

De Moivre 공식을 적용하면

이 합계는 분모가 있는 기하 수열의 n 항의 합입니다. 그리고 첫 번째 멤버 .

그러한 진행의 항들의 합에 대한 공식을 적용하면, 우리는

마지막 식에서 허수부를 분리하면

실수 부분을 분리하면 다음 공식도 얻습니다. , , .

문제 61. 합계 찾기:

ㅏ) ; b) .

거듭제곱에 대한 뉴턴의 공식에 따르면, 우리는

De Moivre의 공식에 따르면 다음을 찾을 수 있습니다.

에 대해 얻은 표현의 실제 부분과 허수 부분을 동일시하면 다음과 같습니다.

그리고 .

이러한 수식은 다음과 같이 간단한 형식으로 작성할 수 있습니다.

, 여기서 숫자 a의 정수 부분입니다.

문제 62. 어떤 .

때문에 , 그런 다음 공식을 적용

, 뿌리를 추출하기 위해, 우리는 ,

따라서, , ,

, .

숫자에 해당하는 점은 점 (0;0)을 중심으로 반지름이 2인 원에 내접하는 정사각형의 꼭지점에 위치합니다(그림 30).

답변: , ,

, .

문제 63. 방정식 풀기 , .

조건으로 ; 따라서 이 방정식에는 근이 없으므로 방정식과 동일합니다.

숫자 z가 이 방정식의 근이 되려면 숫자는 숫자 1의 n번째 근이어야 합니다.

따라서 우리는 원래 방정식이 등식에서 결정된 근을 가지고 있다고 결론을 내립니다.

따라서,

즉. ,

답변: .

문제 64. 복소수 집합에서 방정식을 풉니다.

숫자는 이 방정식의 근이 아니므로 이 방정식은 다음 방정식과 동일합니다.

즉, 방정식입니다.

이 방정식의 모든 근은 다음 공식에서 얻습니다(문제 62 참조).

; ; ; ; .

문제 65. 부등식을 만족시키는 일련의 점들을 복소 평면에 그립니다. . (문제 45를 해결하는 두 번째 방법)

허락하다 .

동일한 모듈을 가진 복소수는 원점을 중심으로 하는 원 위에 놓인 평면의 점에 해당하므로 부등식 원점과 반지름에 공통 중심이 있는 원으로 둘러싸인 열린 링의 모든 점을 충족합니다(그림 31). 복소 평면의 어떤 점이 숫자 w0에 해당한다고 하자. 숫자 , 모듈러스 w0보다 작은 모듈러스 배, 인수 w0보다 큰 인수를 가집니다. 기하학적 관점에서 w1에 해당하는 점은 원점을 중심으로 한 동질성과 계수 를 사용하여 얻을 수 있으며 원점을 기준으로 반시계 방향으로 회전합니다. 이 두 가지 변환을 링의 지점에 적용한 결과(그림 31) 후자는 동일한 중심과 반지름 1과 2를 가진 원으로 둘러싸인 링으로 바뀝니다(그림 32).

변환 벡터에서 병렬 변환을 사용하여 구현됩니다. 한 점을 중심으로 한 링을 표시된 벡터로 옮기면 한 점을 중심으로 한 동일한 크기의 링을 얻습니다(그림 22).

평면의 기하학적 변형이라는 아이디어를 사용하는 제안된 방법은 설명이 덜 편리할 수 있지만 매우 우아하고 효과적입니다.

문제 66. 찾기 .

하자 , 그리고 . 원래의 평등은 다음과 같은 형식을 취할 것입니다. . 두 복소수가 같은 조건에서 우리는 , , whence , 를 얻습니다. 따라서, .

삼각법 형식으로 숫자 z를 작성해 봅시다.

, 어디 , . De Moivre의 공식에 따르면 .

답변: - 64.

문제 67. 복소수에 대해 다음과 같은 모든 복소수를 찾으십시오. .

삼각법 형식으로 숫자를 표현해 봅시다.

. 따라서 , . 우리가 얻는 숫자의 경우 는 둘 중 하나와 같을 수 있습니다.

첫 번째 경우 , 두 번째

답변: , .

문제 68. 다음과 같은 숫자의 합을 구하십시오. 다음 번호 중 하나를 지정하십시오.

문제의 공식화에서 이미 방정식의 근 자체를 계산하지 않고도 방정식의 근의 합을 찾을 수 있음을 이해할 수 있습니다. 실제로 방정식의 근의 합은 의 계수이며, 반대 기호(일반화된 Vieta 정리)와 함께 취합니다. 즉

학생, 학교 문서는 이 개념의 동화 정도에 대한 결론을 도출합니다. 수학적 사고의 특징과 복소수 개념을 형성하는 과정에 대한 연구를 요약합니다. 방법에 대한 설명. 진단: I 단계. 인터뷰는 10학년 때 대수와 기하학을 가르치는 수학 교사와 진행되었습니다. 대화는 시간이 좀 지나서 이루어졌는데...

자신의 행동에 대한 평가도 포함하는 공명 "(!)). 4. 상황에 대한 자신의 이해에 대한 비판적 평가(의심). 5. 마지막으로 법률 심리학의 권장 사항 사용(심리적 측면을 설명함) 변호사가 수행하는 전문적인 행동-전문적인 심리적 준비) 이제 법적 사실에 대한 심리적 분석을 고려하십시오. ...

개발된 교육 방법론의 효과에 대한 삼각법 대체 및 검증의 수학. 작업 단계 : 1. 수학에 대한 심층 연구를 통해 수업에서 학생들과 함께 "대수 문제 해결을위한 삼각법 대체 적용"이라는 주제에 대한 선택 과정 개발. 2. 개발된 선택 과목을 실시합니다. 3. 진단관리를 실시한다...

인지 작업은 기존 교육 보조 도구를 보완하기 위한 것이며 교육 과정의 모든 전통적인 수단 및 요소와 적절하게 조합되어야 합니다. 정확한 수학적 문제로부터 인문학을 가르치는 교육 문제의 차이점은 역사 문제에는 공식, 엄격한 알고리즘 등이 없다는 사실에 있으며, 이는 솔루션을 복잡하게 만듭니다. ...