평면의 일반 방정식을 얻기 위해 주어진 점을 통과하는 평면을 분석해 보겠습니다.

우주에는 이미 우리에게 알려진 세 개의 좌표축이 있다고 가정해 보겠습니다. 황소, 아야그리고 온스. 종이가 편평하게 유지되도록 용지를 잡습니다. 평면은 시트 자체가 되며 모든 방향으로 계속됩니다.

허락하다 피우주의 임의의 평면. 이에 수직인 모든 벡터를 호출합니다. 법선 벡터 이 비행기로. 당연히 우리는 0이 아닌 벡터에 대해 이야기하고 있습니다.

비행기의 어떤 지점이라도 알려진 경우 피그리고 이에 대한 일부 법선 벡터를 사용하면 이 두 가지 조건에 의해 공간의 평면이 완전히 정의됩니다.(주어진 점을 통해 주어진 벡터에 수직인 단일 평면을 그릴 수 있습니다). 평면의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

따라서 평면의 방정식을 정의하는 조건은 다음과 같습니다. 자신을 얻으려면 평면 방정식, 위와 같은 형태로 비행기에 탑승 피임의의 가리키다 중 가변 좌표 엑스, 와이, 지. 이 점은 다음과 같은 경우에만 평면에 속합니다. 벡터 벡터에 수직(그림 1). 이를 위해 벡터의 수직성 조건에 따라 이러한 벡터의 스칼라 곱이 0이 되는 것이 필요하고 충분합니다.

벡터는 조건에 따라 지정됩니다. 공식을 사용하여 벡터의 좌표를 찾습니다. :

.

이제 벡터 공식의 스칼라 곱을 사용하여 , 스칼라 곱을 좌표 형식으로 표현합니다.

시점부터 남(x; y; z)평면에서 임의로 선택한 경우 마지막 방정식은 평면에 있는 모든 점의 좌표로 충족됩니다. 피. 포인트의 경우 N, 주어진 평면에 누워 있지 않습니다. 평등 (1)이 위반되었습니다.

예시 1.한 점을 통과하고 벡터에 수직인 평면에 대한 방정식을 작성하세요.

해결책. 공식 (1)을 사용하여 다시 살펴보겠습니다.

이 공식에서 숫자는 ㅏ , 비그리고 씨벡터 좌표 및 숫자 엑스0 , 와이0 그리고 지0 - 지점의 좌표.

계산은 매우 간단합니다. 이 숫자를 공식에 대입하여 다음을 얻습니다.

곱셈이 필요한 모든 것을 곱하고 (문자가 없는) 숫자만 더합니다. 결과:

.

이 예에서 요구되는 평면 방정식은 가변 좌표에 대한 1차 일반 방정식으로 표현되는 것으로 나타났습니다. x, y, z평면의 임의의 지점.

따라서 다음 형식의 방정식은

~라고 불리는 일반 평면 방정식 .

예시 2.직사각형 직교 좌표계에서 다음 방정식으로 주어진 평면을 구성합니다. .

해결책. 평면을 구성하려면 동일한 직선 위에 있지 않은 세 점(예: 평면과 좌표축의 교차점)을 아는 것이 필요하고 충분합니다.

이 포인트를 찾는 방법은 무엇입니까? 축과의 교차점을 찾으려면 온스, 문제 설명에 제공된 방정식에서 X와 Y를 0으로 대체해야 합니다. 엑스 = 와이= 0 . 그러므로 우리는 얻는다 지= 6. 따라서 주어진 평면은 축과 교차합니다. 온스그 시점에 ㅏ(0; 0; 6) .

같은 방법으로 평면과 축의 교차점을 찾습니다. 아야. ~에 엑스 = 지= 0 우리는 얻습니다 와이= −3, 즉 요점 비(0; −3; 0) .

그리고 마지막으로 평면과 축의 교차점을 찾습니다. 황소. ~에 와이 = 지= 0 우리는 얻습니다 엑스= 2, 즉 점 씨(2; 0; 0) . 우리 솔루션에서 얻은 세 가지 점을 기반으로 ㅏ(0; 0; 6) , 비(0; -3; 0) 및 씨(2; 0; 0) 주어진 평면을 구성합니다.

이제 고려해 봅시다 일반 평면 방정식의 특별한 경우. 이는 방정식 (2)의 특정 계수가 0이 되는 경우입니다.

1. 언제 디= 0 방정식 점의 좌표 때문에 원점을 통과하는 평면을 정의합니다. 0 (0; 0; 0)은 이 방정식을 만족시킵니다.

2. 언제 A= 0 방정식 축에 평행한 평면을 정의합니다. 황소, 이 평면의 법선 벡터는 축에 수직이므로 황소(축으로의 투영 황소 0과 같습니다). 마찬가지로, 비= 0면 축에 평행 아야, 그리고 언제 C= 0면 축에 평행 온스.

3. 언제 A=D= 0 방정식은 축을 통과하는 평면을 정의합니다. 황소, 축과 평행하기 때문에 황소 (A=디= 0). 마찬가지로 평면은 축을 통과합니다. 아야, 축을 통과하는 평면 온스.

4. 언제 A=B= 0 방정식은 좌표 평면에 평행한 평면을 정의합니다. xOy, 축과 평행하기 때문에 황소 (ㅏ= 0) 그리고 아야 (비= 0). 마찬가지로 평면은 평면과 평행하다. yOz, 비행기는 비행기입니다 xOz.

5. 언제 A=B=D= 0 방정식(또는 z = 0) 좌표 평면을 정의합니다 xOy, 평면과 평행하기 때문에 xOy (A=B= 0) 원점( 디= 0). 마찬가지로, Eq. 와이 =공간의 0은 좌표 평면을 정의합니다. xOz, 그리고 방정식 x = 0 - 좌표평면 yOz.

예시 3.평면의 방정식 만들기 피, 축을 통과 아야그리고 기간.

해결책. 따라서 비행기는 축을 통과합니다. 아야. 그러므로 그녀의 방정식에서 와이= 0이고 이 방정식의 형식은 입니다. 계수를 결정하려면 ㅏ그리고 씨점이 평면에 속한다는 사실을 활용하자 피 .

따라서 그 좌표 중에는 우리가 이미 유도한 평면방정식()에 대입할 수 있는 것이 있다. 점의 좌표를 다시 살펴보겠습니다.

중0 (2; −4; 3) .

그 중 엑스 = 2 , 지= 3 . 우리는 이를 일반 방정식으로 대체하고 특정 사례에 대한 방정식을 얻습니다.

2ㅏ + 3씨 = 0 .

2를 남겨주세요 ㅏ방정식의 왼쪽에서 3을 이동합니다. 씨오른쪽으로 가면

ㅏ = −1,5씨 .

찾은 값 대체 ㅏ방정식에 우리는

또는 .

이는 예제 조건에 필요한 방정식입니다.

평면방정식 문제를 직접 풀고 해를 살펴보세요.

예시 4.평면이 방정식으로 주어지는 경우 좌표 축 또는 좌표 평면에 대해 평면(두 개 이상인 경우 평면)을 정의합니다.

테스트 중에 발생하는 일반적인 문제에 대한 해결책은 "평면상의 문제: 평행성, 직각성, 한 지점에서 세 평면의 교차점" 교과서에 나와 있습니다.

세 점을 지나는 평면의 방정식

이미 언급했듯이 평면을 구성하기 위한 필요충분조건은 한 점과 법선 벡터 외에 같은 선상에 있지 않은 세 점이기도 합니다.

같은 선상에 있지 않은 세 개의 다른 점 , 및 가 주어져 있다고 하자. 표시된 세 점이 같은 선 위에 있지 않기 때문에 벡터는 동일 선상에 있지 않으므로 평면의 모든 점은 점과 동일한 평면에 있으며 벡터 , 및 동일 평면, 즉 그때 그리고 그때만 이 벡터의 혼합 제품 0과 같습니다.

좌표의 혼합 곱에 대한 표현식을 사용하여 평면의 방정식을 얻습니다.

(3)

행렬식을 밝힌 후 이 방정식은 (2) 형식의 방정식이 됩니다. 평면의 일반 방정식.

실시예 5.동일한 직선 위에 있지 않은 주어진 세 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

그리고 직선의 일반 방정식이 발생하는 경우 특수한 경우를 결정합니다.

해결책. 공식 (3)에 따르면 다음과 같습니다.

법선 평면 방정식. 점에서 평면까지의 거리

평면의 정규 방정식은 방정식이며 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.

모든 숫자 A, B, C 및 D가 0과 다르면 평면의 일반 방정식이 호출됩니다. 완벽한. 그렇지 않으면 평면의 일반 방정식이 호출됩니다. 불완전한.

3차원 공간의 직교 좌표계 Oxyz에서 평면의 가능한 모든 일반 불완전 방정식을 고려해 보겠습니다.

D = 0이라고 하면 다음 형식의 일반적인 불완전 평면 방정식이 있습니다. 직교좌표계 Oxyz의 이 평면은 원점을 통과합니다. 실제로 점의 좌표를 평면의 불완전 방정식으로 대체하면 항등식에 도달합니다.

, 또는 , 또는 평면의 일반적인 불완전 방정식이 있습니다. , 또는 , 또는 , 각각. 이 방정식은 각각 좌표 평면 Oxy, Oxz 및 Oyz에 평행한 평면을 정의하고(평행 평면의 조건에 대한 기사 참조) 점을 통과합니다. 그에 따라. 에. 시점부터 조건에 따라 평면에 속하면 이 점의 좌표는 평면의 방정식을 충족해야 합니다. 즉, 동일성이 참이어야 합니다. 여기에서 우리는 찾습니다. 따라서 필요한 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

이 문제를 해결하는 두 번째 방법을 제시하겠습니다.

우리가 구성해야 하는 일반 방정식인 평면은 Oyz 평면과 평행하므로 법선 벡터로 평면 Oyz의 법선 벡터를 사용할 수 있습니다. 좌표평면 Oyz의 법선 벡터가 좌표 벡터입니다. 이제 우리는 평면의 법선 벡터와 평면의 점을 알았으므로 일반 방정식을 작성할 수 있습니다(이 기사의 이전 단락에서 비슷한 문제를 해결했습니다).
이면 그 좌표는 평면의 방정식을 만족해야 합니다. 그러므로 평등은 참이다. 우리가 그것을 어디서 찾을 수 있는지. 이제 우리는 평면의 원하는 일반 방정식을 작성할 수 있습니다. 형식은 입니다.

답변:

서지.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. 더 높은 수학. 제1권: 선형대수학 및 분석기하학의 요소.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. 분석 기하학.

다양한 방법으로 지정할 수 있습니다(점 1개와 벡터, 점 2개와 벡터, 점 3개 등). 이를 염두에 두고 평면 방정식은 다양한 형태를 가질 수 있습니다. 또한 특정 조건에 따라 평면은 평행, 수직, 교차 등이 될 수 있습니다. 이 기사에서 이에 대해 이야기하겠습니다. 평면의 일반 방정식을 만드는 방법 등을 배우게 됩니다.

방정식의 정규형

직사각형 XYZ 좌표계를 갖는 공간 R 3이 있다고 가정해 보겠습니다. 초기 점 O에서 해제될 벡터 α를 정의하겠습니다. 벡터 α의 끝을 통해 벡터에 수직인 평면 P를 그립니다.

P 위의 임의의 점을 Q = (x, y, z)로 표시하겠습니다. 점 Q의 반지름 벡터를 문자 p로 표시해 보겠습니다. 이 경우 벡터 α의 길이는 р=IαI 및 τ=(cosα,cosβ,cosγ)와 같습니다.

이는 벡터 α와 마찬가지로 측면을 향하는 단위 벡터입니다. α, β 및 γ는 각각 벡터 τ와 공간 축 x, y, z의 양의 방향 사이에 형성되는 각도입니다. 임의의 점 QϵП를 벡터 τ에 투영하는 것은 p와 동일한 상수 값입니다: (p,ϵ) = p(p≥0).

위 방정식은 p=0일 때 의미가 있습니다. 유일한 것은 이 경우 평면 P가 좌표 원점인 점 O(α=0)와 교차하고 점 O에서 방출된 단위 벡터 τ는 방향에도 불구하고 P에 수직이라는 것입니다. 는 벡터 τ가 부호에 정확하게 결정된다는 것을 의미합니다. 이전 방정식은 벡터 형식으로 표현된 평면 P의 방정식입니다. 하지만 좌표로 보면 다음과 같습니다.

여기서 P는 0보다 크거나 같습니다. 우리는 공간에서 평면의 방정식을 정규 형식으로 찾았습니다.

일반 방정식

좌표의 방정식에 0이 아닌 임의의 숫자를 곱하면 바로 그 평면을 정의하는 이와 동등한 방정식을 얻습니다. 다음과 같이 보일 것입니다:

여기서 A, B, C는 동시에 0이 아닌 숫자입니다. 이 방정식을 일반 평면 방정식이라고 합니다.

비행기의 방정식. 특수한 상황들

일반적인 형태의 방정식은 추가 조건이 있는 경우 수정될 수 있습니다. 그 중 일부를 살펴보겠습니다.

계수 A가 0이라고 가정합니다. 이는 이 평면이 주어진 Ox 축과 평행하다는 것을 의미합니다. 이 경우 방정식의 형식은 Ву+Cz+D=0으로 변경됩니다.

마찬가지로 방정식의 형식은 다음 조건에서 변경됩니다.

• 첫째, B = 0이면 방정식은 Ax + Cz + D = 0으로 변경되며 이는 Oy 축에 대한 평행성을 나타냅니다.
• 둘째, C=0이면 방정식은 Ax+By+D=0으로 변환되며 이는 주어진 Oz 축에 대한 평행성을 나타냅니다.
• 세 번째로, D=0이면 방정식은 Ax+By+Cz=0처럼 보일 것입니다. 이는 평면이 O(원점)와 교차한다는 것을 의미합니다.
• 넷째, A=B=0이면 방정식은 Cz+D=0으로 변경되어 Oxy와 평행하다는 것이 입증됩니다.
• 다섯째, B=C=0이면 방정식은 Ax+D=0이 되며, 이는 Oyz에 대한 평면이 평행하다는 것을 의미합니다.
• 여섯째, A=C=0이면 방정식은 Ву+D=0 형식을 취합니다. 즉, Oxz에 병렬성을 보고합니다.

세그먼트의 방정식 유형

숫자 A, B, C, D가 0이 아닌 경우 방정식 (0)의 형식은 다음과 같습니다.

x/a + y/b + z/c = 1,

여기서 a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C입니다.

결과를 얻습니다. 이 평면은 좌표가 (a,0,0), Oy - (0,b,0) 및 Oz - (0,0,c인 지점에서 Ox 축과 교차한다는 점에 주목할 가치가 있습니다. ).

방정식 x/a + y/b + z/c = 1을 고려하면 주어진 좌표계를 기준으로 평면의 배치를 시각적으로 상상하는 것이 어렵지 않습니다.

법선 벡터 좌표

평면 P에 대한 법선 벡터 n은 이 평면의 일반 방정식의 계수인 좌표, 즉 n(A, B, C)를 갖습니다.

법선 n의 좌표를 결정하려면 주어진 평면의 일반 방정식을 아는 것으로 충분합니다.

x/a + y/b + z/c = 1 형식의 세그먼트 방정식을 사용할 때와 일반 방정식을 사용할 때 주어진 평면의 법선 벡터의 좌표를 쓸 수 있습니다. (1 /a + 1/b + 1/ 와 함께).

법선 벡터가 다양한 문제를 해결하는 데 도움이 된다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 가장 일반적인 문제로는 평면의 수직성이나 평행성을 증명하는 문제, 평면 사이의 각도 또는 평면과 직선 사이의 각도를 찾는 문제가 있습니다.

점의 좌표와 법선벡터에 따른 평면방정식의 종류

주어진 평면에 수직인 0이 아닌 벡터 n을 주어진 평면에 대한 법선이라고 합니다.

좌표 공간(직각 좌표계)에서 Oxyz가 다음과 같이 주어진다고 가정해 보겠습니다.

• 좌표가 있는 Mₒ 지점(xₒ,yₒ,zₒ);
• 영 벡터 n=A*i+B*j+C*k.

법선 n에 수직인 점 Mₒ를 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

공간에서 임의의 점을 선택하고 이를 M(x y, z)로 표시합니다. 임의의 점 M (x,y,z)의 반경 벡터를 r=x*i+y*j+z*k로 하고 점 Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ*의 반경 벡터를 지정합니다. i+yₒ *j+zₒ*k. 벡터 MₒM이 벡터 n에 수직인 경우 점 M은 주어진 평면에 속합니다. 스칼라 곱을 사용하여 직교성 조건을 작성해 보겠습니다.

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ이므로 평면의 벡터 방정식은 다음과 같습니다.

이 방정식은 다른 형태를 가질 수 있습니다. 이를 위해 스칼라 곱의 속성을 사용하고 방정식의 왼쪽을 변환합니다. = - . 이를 c로 표시하면 다음 방정식을 얻습니다. - c = 0 또는 = c는 평면에 속하는 주어진 점의 반경 벡터의 법선 벡터에 대한 투영의 불변성을 나타냅니다.

이제 평면 = 0의 벡터 방정식을 작성하는 좌표 형식을 얻을 수 있습니다. r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k이고 n =이기 때문입니다. A*i+B *j+С*k, 다음과 같습니다.

법선 n에 수직인 점을 통과하는 평면에 대한 방정식이 있음이 밝혀졌습니다.

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

두 점의 좌표와 평면에 동일선상에 있는 벡터에 따른 평면 방정식의 유형

임의의 두 점 M' (x',y',z') 및 M″ (x″,y″,z″)와 벡터 a (a′,a″,a‴)를 정의해 보겠습니다.

이제 기존 점 M' 및 M″뿐만 아니라 주어진 벡터 a에 평행한 좌표 (x, y, z)를 가진 모든 점 M을 통과하는 주어진 평면에 대한 방정식을 만들 수 있습니다.

이 경우 벡터 M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) 및 M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′)는 벡터와 동일 평면에 있어야 합니다. a=(a′,a″,a‴), 이는 (M′M, M″M, a)=0을 의미합니다.

따라서 우주에서의 평면 방정식은 다음과 같습니다.

세 점을 교차하는 평면의 방정식 유형

같은 선에 속하지 않는 (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴)라는 세 개의 점이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 세 점을 통과하는 평면의 방정식을 작성하는 것이 필요합니다. 기하학 이론에서는 이런 종류의 평면이 실제로 존재한다고 주장하지만 이는 유일하고 독특한 평면입니다. 이 평면은 점 (x′,y′,z′)과 교차하므로 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

여기서 A, B, C는 동시에 0과 다릅니다. 또한 주어진 평면은 (x″,y″,z″) 및 (x‴,y‴,z‴)라는 두 개의 점을 더 교차합니다. 이와 관련하여 다음 조건이 충족되어야 합니다.

이제 우리는 미지수 u, v, w를 사용하여 동종 시스템을 만들 수 있습니다.

우리의 경우 x, y, z는 식 (1)을 만족하는 임의의 점이다. 방정식 (1)과 방정식 (2) 및 (3)의 시스템이 주어지면 위 그림에 표시된 방정식 시스템은 벡터 N (A,B,C)에 의해 충족되며 이는 중요합니다. 이것이 바로 이 시스템의 행렬식이 0인 이유입니다.

우리가 얻은 식 (1)은 평면의 방정식이다. 정확히 3개 지점을 통과하는데, 이를 확인하기 쉽습니다. 이를 위해서는 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 확장해야 합니다. 행렬식의 기존 속성에 따르면 평면은 처음에 주어진 세 점 (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴)과 동시에 교차합니다. . 즉, 우리에게 할당된 과제를 해결했습니다.

평면 사이의 이면각

2면각은 하나의 직선에서 나오는 두 개의 반면으로 형성된 공간 기하학적 도형입니다. 즉, 이는 이러한 반면에 의해 제한되는 공간의 일부입니다.

다음 방정식을 사용하는 두 개의 평면이 있다고 가정해 보겠습니다.

우리는 벡터 N=(A,B,C) 및 N1=(A1,B1,C1)이 주어진 평면에 따라 수직이라는 것을 알고 있습니다. 이와 관련하여 벡터 N과 N1 사이의 각도 Φ는 이들 평면 사이에 위치한 각도(2면체)와 같습니다. 스칼라 곱의 형식은 다음과 같습니다.

NN1=|N||N1|cos ψ,

바로 왜냐하면

cosΦ= NN1/|N||N1|=(AA1+BB1+CC1)/((√(A²+B²+C²))*(√(A1)²+(B1)²+(C1)²)).

0≤Φ≤π라는 점을 고려하면 충분합니다.

실제로 교차하는 두 평면은 두 개의 각도(2면체), 즉 Ø 1 및 Ø 2를 형성합니다. 그 합은 π(Φ 1 + Φ 2 = π)와 같습니다. 코사인의 경우 절대 값은 동일하지만 부호가 다릅니다. 즉 cos Φ 1 = -cos Φ 2입니다. 방정식 (0)에서 A, B 및 C를 각각 숫자 -A, -B 및 -C로 바꾸면 우리가 얻는 방정식은 동일한 평면, 유일한 평면, 방정식 cos의 각도 ψ를 결정합니다. Φ= NN 1 /| N||N 1 | π-ψ로 대체됩니다.

수직면의 방정식

사이의 각도가 90도인 평면을 수직이라고 합니다. 위에 제시된 자료를 사용하여 다른 평면에 수직인 평면의 방정식을 찾을 수 있습니다. 두 개의 평면(Ax+By+Cz+D=0 및 A1x+B1y+C1z+D=0)이 있다고 가정해 보겠습니다. cosΦ=0이면 수직이라고 말할 수 있습니다. 이는 NN1=AA1+BB1+CC1=0을 의미합니다.

평행 평면 방정식

공통점을 포함하지 않는 두 평면을 평행이라고 합니다.

조건(그 방정식은 이전 단락과 동일)에 수직인 벡터 N과 N1이 동일선상에 있다는 것입니다. 이는 다음과 같은 비례 조건이 충족됨을 의미합니다.

A/A1=B/B1=C/C1.

비례 조건을 확장하면 - A/A1=B/B1=C/C1=DD1,

이는 이들 평면이 일치함을 나타냅니다. 이는 방정식 Ax+By+Cz+D=0 및 A1x+B1y+C1z+D1=0이 하나의 평면을 설명함을 의미합니다.

점에서 평면까지의 거리

방정식 (0)으로 주어지는 평면 P가 있다고 가정해 보겠습니다. 좌표가 (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ인 점에서 그 점까지의 거리를 구해야 합니다. 이렇게 하려면 평면 P의 방정식을 정규 형식으로 가져와야 합니다.

(ρ,v)=р(р≥0).

이 경우, ρ(x,y,z)는 P에 위치한 점 Q의 반경 벡터이고, p는 영점에서 벗어난 수직 P의 길이이며, v는 단위 벡터입니다. 방향 가.

P에 속하는 어떤 점 Q = (x, y, z)의 차이 ρ-ρ° 반경 벡터와 주어진 점 Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ)의 반경 벡터는 다음과 같은 벡터입니다. v에 대한 투영의 절대값은 Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ)에서 P까지 찾아야 하는 거리 d와 같습니다.

D=|(ρ-ρ 0,v)|, 그러나

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

그래서 그것은 밝혀졌습니다

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

따라서 결과 표현식의 절대 값, 즉 원하는 d를 찾습니다.

매개변수 언어를 사용하면 다음과 같은 분명한 사실을 얻을 수 있습니다.

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

주어진 점 Q 0이 좌표 원점과 같이 평면 P의 반대편에 있는 경우 벡터 ρ-ρ 0과 v 사이에는 다음이 있습니다.

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-р>0.

좌표 원점과 함께 점 Q 0이 P의 같은 쪽에 위치하는 경우 생성된 각도는 예각입니다.

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

그 결과, 첫 번째 경우에는 (ρ 0 ,v)>р, 두 번째 경우에는 (ρ 0 ,v)<р.

접평면과 그 방정식

접촉점 M°에서 표면에 대한 접선 평면은 표면의 이 점을 통해 그려진 곡선에 대한 가능한 모든 접선을 포함하는 평면입니다.

이러한 유형의 표면 방정식 F(x,y,z)=0을 사용하면 접점 Mº(xº,yº,zº)에서 접평면의 방정식은 다음과 같습니다.

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.

z=f(x,y) 형식으로 표면을 지정하면 접평면은 다음 방정식으로 설명됩니다.

z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°).

두 평면의 교차점

좌표계(직사각형)에는 Oxyz가 위치하며 교차하고 일치하지 않는 두 개의 평면 П′ 및 П″가 제공됩니다. 직교 좌표계에 위치한 모든 평면은 일반 방정식에 의해 결정되므로 P' 및 P″는 방정식 A′x+B′y+C′z+D′=0 및 A″x로 제공된다고 가정합니다. +B″y+ С″z+D″=0. 이 경우 평면 P'의 법선 n'(A',B',C')과 평면 P'의 법선 n"(A",B",C")이 있습니다. 평면이 평행하지 않고 일치하지 않기 때문에 이러한 벡터는 동일선상에 있지 않습니다. 수학이라는 언어를 사용하면 이 조건을 다음과 같이 쓸 수 있습니다: n′≠ n″ ← (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′와 P″의 교차점에 있는 직선을 문자 a로 표시합니다. 이 경우 a = P′ ∩ P″입니다.

a는 (공통) 평면 P' 및 P″의 모든 점 집합으로 구성된 직선입니다. 이는 선 a에 속하는 모든 점의 좌표가 방정식 A′x+B′y+C′z+D′=0 및 A″x+B″y+C″z+D″=0을 동시에 충족해야 함을 의미합니다. . 이는 점의 좌표가 다음 방정식 시스템의 부분 솔루션이 됨을 의미합니다.

결과적으로, 이 방정식 시스템의 (일반) 해는 P'와 P''의 교차점 역할을 하는 선의 각 점의 좌표를 결정하고 직선을 결정하는 것으로 나타났습니다. a 공간의 Oxyz(직사각형) 좌표계.

공간의 임의의 세 점을 통과하여 단일 평면을 그리려면 이 점들이 동일한 직선 위에 있지 않아야 합니다.

일반 직교 좌표계에서 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) 점을 고려하십시오.

임의의 점 M(x, y, z)가 점 M 1, M 2, M 3과 동일한 평면에 놓이려면 벡터가 동일 평면에 있어야 합니다.

(
) = 0

따라서,

세 점을 통과하는 평면의 방정식:

두 개의 점과 평면에 동일선상에 있는 벡터가 주어진 평면의 방정식입니다.

점 M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2)와 벡터가 주어집니다.
.

주어진 점 M 1 과 M 2 를 통과하는 평면과 벡터에 평행한 임의의 점 M (x, y, z)에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다. .

벡터
그리고 벡터
동일 평면상에 있어야 합니다. 즉,

(
) = 0

평면 방정식:

하나의 점과 두 개의 벡터를 사용한 평면 방정식,

비행기와 동일 선상에 있습니다.

두 벡터를 주어보자
그리고
, 동일선상 평면. 그런 다음 평면에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)에 대해 벡터는
동일 평면상에 있어야 합니다.

평면 방정식:

점과 법선 벡터에 의한 평면의 방정식 .

정리. 공간에 점 M이 주어지면 0 (엑스 0 , y 0 , 지 0 ), 점 M을 통과하는 평면의 방정식 0 법선 벡터에 수직 (ㅏ, 비, 씨) 형식은 다음과 같습니다.

ㅏ(엑스 – 엑스 0 ) + 비(와이 – 와이 0 ) + 씨(지 – 지 0 ) = 0.

증거. 평면에 속하는 임의의 점 M(x, y, z)에 대해 벡터를 구성합니다. 왜냐하면 벡터 는 법선 벡터이고 평면에 수직이므로 벡터에 수직입니다.
. 그런 다음 스칼라 곱

= 0

따라서 우리는 평면의 방정식을 얻습니다.

정리가 입증되었습니다.

세그먼트의 평면 방정식.

일반 방정식 Ax + Bi + Cz + D = 0에서 양변을 (-D)로 나눕니다.

,

교체
, 우리는 세그먼트의 평면 방정식을 얻습니다.

숫자 a, b, c는 각각 x, y, z 축과 평면의 교차점입니다.

벡터 형태의 평면 방정식.

어디

- 현재 점 M(x, y, z)의 반경 벡터,

원점에서 평면에 떨어진 수직 방향을 갖는 단위 벡터입니다.

,  및 는 이 벡터와 x, y, z 축이 이루는 각도입니다.

p는 이 수직선의 길이입니다.

좌표에서 이 방정식은 다음과 같습니다.

xcos + ycos + zcos - p = 0.

점에서 평면까지의 거리.

임의의 점 M 0 (x 0, y 0, z 0)에서 평면 Ax+By+Cz+D=0까지의 거리는 다음과 같습니다.

예.점 P(4; -3; 12)가 원점에서 이 평면까지 떨어진 수직선의 밑면임을 알고 평면의 방정식을 구합니다.

따라서 A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, 다음 공식을 사용합니다.

에이(엑스 – 엑스 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

예.두 점 P(2; 0; -1)을 통과하는 평면의 방정식을 구하고

평면 3x + 2y – z + 5 = 0에 수직인 Q(1; -1; 3).

평면 3x + 2y – z + 5 = 0에 대한 법선 벡터
원하는 평면과 평행합니다.

우리는 다음을 얻습니다:

예.점 A(2, -1, 4)를 통과하는 평면의 방정식을 구하고

B(3, 2, -1) 평면에 수직 엑스 + ~에 + 2지 – 3 = 0.

필요한 평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 엑스+B 와이+C 지+ D = 0, 이 평면에 대한 법선 벡터 (A, B, C). 벡터
(1, 3, -5)는 평면에 속합니다. 우리에게 주어진 평면은 원하는 평면에 수직이며 법선 벡터를 갖습니다. (1, 1, 2). 왜냐하면 점 A와 B는 두 평면에 속하고 평면은 서로 수직입니다.

그래서 법선 벡터는 (11, -7, -2). 왜냐하면 점 A는 원하는 평면에 속하며, 그 좌표는 이 평면의 방정식을 충족해야 합니다. 즉, 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

전체적으로 우리는 평면의 방정식을 얻습니다. 11 엑스 - 7와이 – 2지 – 21 = 0.

예.점 P(4, -3, 12)가 원점에서 이 평면까지 떨어진 수선의 밑면임을 알고 평면의 방정식을 구합니다.

법선 벡터의 좌표 찾기
= (4, -3, 12). 필요한 평면 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 4 엑스 – 3와이 + 12지+ D = 0. 계수 D를 찾기 위해 점 P의 좌표를 방정식에 대체합니다.

16 + 9 + 144 + D = 0

전체적으로 우리는 필요한 방정식을 얻습니다: 4 엑스 – 3와이 + 12지 – 169 = 0

예.주어진 피라미드의 정점 좌표는 A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1)입니다.

모서리 A 1 A 2 의 길이를 구하세요.

모서리 A 1 A 2와 A 1 A 4 사이의 각도를 구합니다.

모서리 A 1 A 4와 면 A 1 A 2 A 3 사이의 각도를 구합니다.

먼저 면 A 1 A 2 A 3에 대한 법선 벡터를 찾습니다. 벡터의 외적으로
그리고
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

법선 벡터와 벡터 사이의 각도를 구해 봅시다
.

-4 – 4 = -8.

벡터와 평면 사이의 원하는 각도 는  = 90 0 - 와 같습니다.

A 1 A 2 A 3의 면적을 구합니다.

피라미드의 부피를 구하세요.

평면 A 1 A 2 A 3의 방정식을 구합니다.

세 점을 통과하는 평면의 방정식에 대한 공식을 사용해 봅시다.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

컴퓨터 버전을 사용하는 경우 “ 고등 수학 코스” 피라미드 정점의 좌표에 대해 위의 예를 해결하는 프로그램을 실행할 수 있습니다.

프로그램을 시작하려면 아이콘을 두 번 클릭하십시오.

열리는 프로그램 창에서 피라미드 꼭지점의 좌표를 입력하고 Enter 키를 누릅니다. 이러한 방식으로 모든 결정 포인트를 하나씩 얻을 수 있습니다.

참고: 프로그램을 실행하려면 MapleV Release 4부터 모든 버전의 메이플 프로그램( Waterloo Maple Inc.)이 컴퓨터에 설치되어 있어야 합니다.

비행기의 방정식. 평면의 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?
비행기의 상호 배열. 작업

공간 기하학은 "평평한" 기하학보다 훨씬 복잡하지 않으며 우주에서의 비행은 이 기사에서 시작됩니다. 주제를 마스터하려면 해당 주제를 잘 이해해야 합니다. 벡터, 또한 평면의 기하학에 익숙해지는 것이 좋습니다. 유사점과 비유가 많으므로 정보가 훨씬 더 잘 소화됩니다. 일련의 수업에서 2D 세계는 기사와 함께 열립니다. 평면 위의 직선 방정식. 하지만 이제 배트맨은 평면 TV 화면을 떠나 바이코누르 우주 비행장에서 발사되고 있습니다.

그림과 기호부터 시작하겠습니다. 도식적으로 평면은 평행사변형 형태로 그려질 수 있으며 이는 공간적인 느낌을 줍니다.

평면은 무한하지만 우리는 평면의 일부만을 묘사할 기회를 갖고 있습니다. 실제로는 평행사변형 외에도 타원이나 구름도 그려집니다. 기술적인 이유로 평면을 정확히 이런 방식과 정확히 이 위치로 묘사하는 것이 더 편리합니다. 실제 예에서 고려할 실제 평면은 어떤 방식으로든 위치를 지정할 수 있습니다. 정신적으로 그림을 손에 들고 공간에서 회전하여 평면에 기울기와 각도를 부여합니다.

명칭: 비행기는 일반적으로 혼동하지 않도록 작은 그리스 문자로 표시됩니다. 비행기의 직선또는 우주의 직선. 나는 문자를 사용하는 데 익숙합니다. 그림에서 그것은 구멍이 아닌 문자 "시그마"입니다. 하지만 구멍난 비행기는 확실히 꽤 재미있습니다.

어떤 경우에는 평면을 지정하기 위해 낮은 첨자와 동일한 그리스 문자를 사용하는 것이 편리합니다(예: ).

평면은 같은 선상에 있지 않은 세 개의 다른 점에 의해 고유하게 정의된다는 것은 명백합니다. 따라서 비행기에 대한 세 글자 지정은 예를 들어 비행기에 속한 점 등으로 매우 유명합니다. 종종 문자는 괄호 안에 표시됩니다. , 평면을 다른 기하학적 도형과 혼동하지 않도록 합니다.

경험이 풍부한 독자들에게 나는 줄 것입니다 빠른 액세스 메뉴:

• 점과 두 벡터를 사용하여 평면의 방정식을 만드는 방법은 무엇입니까?
• 점과 법선 벡터를 사용하여 평면의 방정식을 만드는 방법은 무엇입니까?

그러면 우리는 오래 기다리지 않을 것입니다.

일반 평면 방정식

평면의 일반 방정식은 다음과 같습니다. 여기서 계수는 동시에 0이 아닙니다.

많은 이론적 계산과 실제 문제는 일반적인 직교 기초와 공간의 아핀 기초 모두에 대해 유효합니다(기름이 기름인 경우 수업으로 돌아가기). 벡터의 선형(비) 의존성. 벡터의 기초). 단순화를 위해 모든 사건이 정규 직교 기반과 데카르트 직교 좌표계에서 발생한다고 가정합니다.

이제 공간적 상상력을 조금 연습해 봅시다. 당신이 나쁘더라도 괜찮습니다. 이제 조금 발전시켜 보겠습니다. 신경을 쓰는 것에도 훈련이 필요합니다.

가장 일반적인 경우 숫자가 0이 아닌 경우 평면은 세 좌표축 모두와 교차합니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

다시 한 번 비행기가 모든 방향으로 무한정 계속되며 우리는 비행기의 일부만 묘사할 기회가 있다는 것을 다시 한 번 반복합니다.

가장 간단한 평면 방정식을 고려해 봅시다.

이 방정식을 이해하는 방법은 무엇입니까? 생각해 보세요. "X"와 "Y" 값에 관계없이 "Z"는 항상 0입니다. 이것은 "기본" 좌표 평면의 방정식입니다. 실제로 공식적으로 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. , "x"와 "y"가 어떤 값을 취하는지 상관하지 않는다는 것을 분명히 알 수 있듯이 "z"가 0과 같은 것이 중요합니다.

비슷하게:
- 좌표평면의 방정식;
- 좌표평면의 방정식.

문제를 조금 더 복잡하게 만들어 평면을 생각해 보겠습니다(여기서 그리고 이 단락에서는 수치 계수가 0이 아니라고 가정합니다). 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 그것을 이해하는 방법? "X"는 항상 "Y" 및 "Z" 값에 대해 특정 숫자와 같습니다. 이 평면은 좌표 평면과 평행합니다. 예를 들어, 평면은 평면과 평행하며 점을 통과합니다.

비슷하게:
– 좌표 평면에 평행한 평면의 방정식;
- 좌표평면과 평행한 평면의 방정식.

구성원을 추가해 보겠습니다. 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. 즉, "zet"는 무엇이든 될 수 있습니다. 무슨 뜻이에요? "X"와 "Y"는 평면에 특정 직선을 그리는 관계식으로 연결됩니다. 평면의 선의 방정식?). "z"는 무엇이든 될 수 있으므로 이 직선은 어떤 높이에서도 "복제"됩니다. 따라서 방정식은 좌표축에 평행한 평면을 정의합니다.

비슷하게:
– 좌표축에 평행한 평면의 방정식;
– 좌표축에 평행한 평면의 방정식.

자유 항이 0이면 평면은 해당 축을 직접 통과합니다. 예를 들어, 고전적인 "직접 비례": . 평면에 직선을 그리고 정신적으로 위아래로 곱합니다(“Z”는 임의이므로). 결론: 방정식으로 정의된 평면은 좌표축을 통과합니다.

검토를 완료합니다: 평면의 방정식 원점을 통과합니다. 글쎄요, 여기서 점이 이 방정식을 만족한다는 것이 아주 명백합니다.

그리고 마지막으로 그림에 표시된 경우는 다음과 같습니다. – 평면은 모든 좌표축에 친숙하지만 항상 8개의 팔분원 중 하나에 위치할 수 있는 삼각형을 "절단"합니다.

공간의 선형 불평등

정보를 이해하려면 공부를 잘해야 합니다 평면의 선형 부등식, 왜냐하면 많은 것들이 비슷할 것이기 때문입니다. 실제로 자료가 매우 드물기 때문에 이 단락에서는 몇 가지 예를 들어 간략한 개요를 설명할 것입니다.

방정식이 평면을 정의하면 부등식은
묻다 반 공백. 부등식이 엄격하지 않은 경우(목록의 마지막 두 개) 부등식의 해법에는 절반 공간 외에도 평면 자체도 포함됩니다.

실시예 5

평면의 단위 법선 벡터 찾기 .

해결책: 단위 벡터는 길이가 1인 벡터입니다. 이 벡터를 로 표시하겠습니다. 벡터가 동일선상에 있다는 것은 명백합니다.

먼저 평면 방정식에서 법선 벡터를 제거합니다.

단위 벡터를 찾는 방법은 무엇입니까? 단위 벡터를 찾으려면 다음이 필요합니다. 모든벡터 좌표를 벡터 길이로 나눕니다..

형식의 법선 벡터를 다시 작성하고 길이를 찾아보겠습니다.

위에 따르면 :

답변:

검증: 검증에 필요한 것.

수업의 마지막 문단을 주의 깊게 공부한 독자들은 아마도 다음과 같은 점을 알아차렸을 것입니다. 단위 벡터의 좌표는 정확히 벡터의 방향 코사인입니다.:

당면한 문제에서 잠시 벗어나 보겠습니다. 0이 아닌 임의의 벡터가 주어졌을 때, 조건에 따라 방향 코사인을 찾아야 합니다(강의 마지막 문제 참조). 벡터의 내적), 그러면 실제로 이것과 동일 선상에 있는 단위 벡터를 찾을 수 있습니다. 실제로 한 병에 두 가지 작업이 있습니다.

단위 법선 벡터를 찾아야 할 필요성은 수학적 분석의 일부 문제에서 발생합니다.

우리는 법선 벡터를 알아내는 방법을 알아냈습니다. 이제 반대 질문에 답해 보겠습니다.

점과 법선 벡터를 사용하여 평면의 방정식을 만드는 방법은 무엇입니까?

법선 벡터와 점의 견고한 구성은 다트판에 잘 알려져 있습니다. 손을 앞으로 뻗어 정신적으로 공간의 임의 지점(예: 찬장에 있는 작은 고양이)을 선택하십시오. 분명히 이 지점을 통해 손에 수직인 단일 평면을 그릴 수 있습니다.

벡터에 수직인 점을 통과하는 평면의 방정식은 다음 공식으로 표현됩니다.