Kaip nustatyti funkcijos periodiškumą. Periodinės funkcijos Periodinė laiko funkcija

Tikslas: apibendrinti ir susisteminti studentų žinias tema „Funkcijų periodiškumas“; ugdyti periodinės funkcijos savybių taikymo, mažiausio teigiamo funkcijos periodo radimo, periodinių funkcijų grafikų sudarymo įgūdžius; skatinti domėjimąsi matematikos studijomis; ugdyti pastabumą ir tikslumą.

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, užduočių kortelės, skaidrės, laikrodžiai, ornamentų lentelės, liaudies amatų elementai

„Matematika yra tai, ką žmonės naudoja norėdami valdyti gamtą ir save“.
A.N. Kolmogorovas

Per užsiėmimus

I. Organizacinis etapas.

Mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas. Praneškite apie pamokos temą ir tikslus.

II. Namų darbų tikrinimas.

Namų darbus tikriname naudodami pavyzdžius ir aptariame sunkiausius dalykus.

III. Žinių apibendrinimas ir sisteminimas.

1. Žodinis frontalinis darbas.

Teoriniai klausimai.

1) Suformuokite funkcijos laikotarpio apibrėžimą
2) Įvardykite mažiausią teigiamą funkcijų y=sin(x), y=cos(x) periodą.
3). Koks yra mažiausias funkcijų y=tg(x), y=ctg(x) teigiamas periodas
4) Naudodami apskritimą įrodykite ryšių teisingumą:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Kaip nubraižyti periodinę funkciją?

Burnos pratimai.

1) Įrodykite šiuos ryšius

a) nuodėmė (740º) = nuodėmė (20º)
b) cos(54º) = cos (-1026º)
c) nuodėmė (-1000º) = nuodėmė (80º)

2. Įrodykite, kad 540º kampas yra vienas iš funkcijos y= cos(2x) periodų.

3. Įrodykite, kad 360º kampas yra vienas iš funkcijos y=tg(x) periodų.

4. Transformuokite šias išraiškas taip, kad jose esantys kampai absoliučia verte neviršytų 90º.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Kur aptikote žodžius PERIODAS, PERIODiškumas?

Studentas atsako: Laikotarpis muzikoje – tai struktūra, kurioje pateikiama daugiau ar mažiau išbaigta muzikinė mintis. Geologinis laikotarpis yra eros dalis ir yra padalintas į epochas, kurių laikotarpis yra nuo 35 iki 90 milijonų metų.

Radioaktyviosios medžiagos pusinės eliminacijos laikas. Periodinė trupmena. Periodiniai leidiniai yra spausdinti leidiniai, kurie pasirodo griežtai apibrėžtais terminais. Mendelejevo periodinė sistema.

6. Paveiksluose parodytos periodinių funkcijų grafikų dalys. Nustatykite funkcijos laikotarpį. Nustatykite funkcijos laikotarpį.

Atsakymas: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Kur gyvenime susidūrėte su pasikartojančių elementų konstravimu?

Mokinio atsakymas: Ornamentų elementai, liaudies menas.

IV. Kolektyvinis problemų sprendimas.

(Problemų sprendimas skaidrėse.)

Panagrinėkime vieną iš būdų, kaip tirti funkciją periodiškumui.

Šis metodas leidžia išvengti sunkumų, susijusių su įrodinėjimu, kad tam tikras periodas yra mažiausias, taip pat pašalina poreikį liesti klausimus apie periodinių funkcijų aritmetines operacijas ir sudėtingos funkcijos periodiškumą. Samprotavimas grindžiamas tik periodinės funkcijos apibrėžimu ir tokiu faktu: jei T yra funkcijos periodas, tai nT(n?0) yra jos periodas.

1 uždavinys. Raskite funkcijos f(x)=1+3(x+q>5) mažiausią teigiamą periodą

Sprendimas: Tarkime, kad šios funkcijos T periodas. Tada f(x+T)=f(x) visiems x € D(f), t.y.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Įdėkime x=-0,25 gausime

(T) = 0<=>T=n, n € Z

Gavome, kad visi nagrinėjamos funkcijos periodai (jei jie yra) yra tarp sveikųjų skaičių. Iš šių skaičių pasirinkime mažiausią teigiamą skaičių. Tai 1 . Pažiūrėkime, ar tai tikrai bus laikotarpis 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Kadangi (T+1)=(T) bet kuriam T, tai f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), t.y. 1 – laikotarpis f. Kadangi 1 yra mažiausias iš visų teigiamų sveikųjų skaičių, tai T=1.

2 uždavinys. Parodykite, kad funkcija f(x)=cos 2 (x) yra periodinė ir suraskite jos pagrindinį periodą.

3 uždavinys. Raskite pagrindinį funkcijos periodą

f(x)=sin(1,5x)+5cos (0,75x)

Tarkime, kad funkcijos T periodas, tada bet kuriai X santykis galioja

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jei x = 0, tada

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jei x = -T, tada

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5 = – nuodėmė (1,5 T) + 5 cos (0,75 T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Sudėjus, gauname:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Iš visų „įtartinų“ laikotarpio skaičių parinksime mažiausią teigiamą skaičių ir patikrinkime, ar tai yra f periodas. Šis skaičius

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Tai reiškia, kad tai yra pagrindinis funkcijos f periodas.

4 uždavinys. Patikrinkime, ar funkcija f(x)=sin(x) yra periodinė

Tegu T yra funkcijos f periodas. Tada bet kokiam x

sin|x+Т|=sin|x|

Jei x=0, tai sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Tarkime. Kad kai kuriems n skaičius π n yra periodas

nagrinėjama funkcija π n>0. Tada sin|π n+x|=sin|x|

Tai reiškia, kad n turi būti lyginis ir nelyginis skaičius, bet tai neįmanoma. Todėl ši funkcija nėra periodinė.

5 užduotis. Patikrinkite, ar funkcija yra periodinė

f(x)=

Tada tegul T yra f periodas

, taigi sinT=0, Т=π n, n € Z. Tarkime, kad kai kuriems n skaičius π n iš tiesų yra šios funkcijos periodas. Tada skaičius 2π n bus periodas

Kadangi skaitikliai yra lygūs, jų vardikliai yra lygūs

Tai reiškia, kad funkcija f nėra periodinė.

Darbas grupėse.

Užduotys 1 grupei.

Užduotys 2 grupei.

Patikrinkite, ar funkcija f yra periodinė, ir suraskite jos pagrindinį periodą (jei jis egzistuoja).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Užduotys 3 grupei.

Darbo pabaigoje grupės pristato savo sprendimus.

VI. Apibendrinant pamoką.

Atspindys.

Mokytojas duoda mokiniams korteles su piešiniais ir prašo nuspalvinti dalį pirmojo piešinio pagal tai, kiek, jų manymu, įvaldė funkcijos tyrimo metodus periodiškumui, o dalį antrojo piešinio – pagal savo norus. indėlis į darbą pamokoje.

VII. Namų darbai

1). Patikrinkite, ar funkcija f yra periodinė, ir suraskite jos pagrindinį periodą (jei jis egzistuoja)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) turi periodą T=2 ir f(x)=x 2 +2x, kai x € [-2; 0]. Raskite reiškinio reikšmę -2f(-3)-4f(3.5)

Literatūra/

Mordkovičius A.G. Algebra ir analizės su giluminiu tyrimu pradžia.
Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui. Red. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Šeremetjeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra ir pradžios analizė 10-11 klasėms.

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (profilio lygis) A.G. Mordkovich, P.E. Semenovas Mokytoja Volkova S.E.

1 apibrėžimas Sakoma, kad funkcija y = f (x), x ∈ X turi periodą T, jei bet kuriam x ∈ X galioja lygybė f (x – T) = f (x) = f (x + T). Jei funkcija su periodu T yra apibrėžta taške x, tada ji apibrėžiama ir taškuose x + T, x – T. Bet kurios funkcijos periodas lygus nuliui, kai T = 0, gauname f(x – 0) = f (x) = f( x + 0) .

2 apibrėžimas Funkcija, kurios periodas T skiriasi nuo nulio, vadinama periodine. Jei funkcija y = f (x), x ∈ X turi periodą T, tai bet koks skaičius, kuris yra T kartotinis (tai yra kT formos skaičius, k ∈ Z), taip pat yra jo periodas.

Įrodymas Tegul 2T yra funkcijos periodas. Tada f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Panašiai įrodyta, kad f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) ir kt. Taigi f(x – kT) = f(x) = f(x + kT)

Mažiausias periodas tarp teigiamų periodinės funkcijos periodų vadinamas pagrindiniu šios funkcijos periodu.

Periodinės funkcijos grafiko ypatybės Jei T yra pagrindinis funkcijos y = f(x) periodas, tai pakanka: sukurti grafiko atšaką viename iš ilgio T intervalų, atlikti lygiagretųjį vertimą. šios šakos išilgai x ašies ±T, ±2T, ±3T ir kt. Paprastai tarpas pasirenkamas su galais taškuose

Periodinių funkcijų savybės 1. Jei f(x) yra periodinė funkcija su periodu T, tai funkcija g(x) = A f(kx + b), kur k > 0, taip pat yra periodinė su periodu T 1 = T/ k. 2. Tegul funkcijos f 1 (x) ir f 2 (x) yra apibrėžtos visoje skaitinėje ašyje ir yra periodinės su periodais T 1 > 0 ir T 2 >0. Tada T 1 /T 2 ∈ Q funkcija f(x) = f(x) + f 2 (x) yra periodinė funkcija, kurios periodas T lygus mažiausiam bendrajam skaičių T 1 ir T 2 kartotiniam.

Pavyzdžiai 1. Periodinė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Jo periodas yra 3 ir f(0) =4. Raskite reiškinio 2f(3) – f(-3) reikšmę. Sprendimas. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0-3) =4, f(0) = 4. Gautų reikšmių pakeitimas į išraišką 2f (3) - f(-3) , gauname 8 - 4 =4 . Atsakymas: 4.

Pavyzdžiai 2. Periodinė funkcija y = f(x) yra apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Jo periodas lygus 5, o f(-1) = 1. Raskite f(-12), jei 2f(3) – 5f(9) = 9. Sprendimas T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3) = 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Atsakymas:7.

Naudota literatūra A.G. Mordkovich, P.V. Semenovas. Algebra ir analizės pradžia (profilio lygis), 10 klasė A.G. Mordkovich, P.V. Semenovas. Algebra ir analizės pradžia (profilio lygis), 10 kl. Metodinis vadovas mokytojams

Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos

Periodinis įstatymas ir periodinė sistema D.I. Mendelejevas.

Išsami pamoka šia tema vyksta žaidimo forma, naudojant technologijų elementus iš pedagoginių dirbtuvių....

Užklasinis renginys „Periodinis D.I.Mendelejevo cheminių elementų dėsnis ir periodinė sistema“

Užklasinė veikla atskleidžia D. I. periodinio įstatymo ir periodinės sistemos sukūrimo istoriją. Mendelejevas. Informacija pateikiama poetine forma, kuri palengvina greitą įsiminimą...

Priedas prie popamokinės veiklos „Periodinis dėsnis ir periodinė D.I.Mendelejevo cheminių elementų sistema“

Įstatymo atradimas buvo ilgas ir intensyvus mokslinis D.I. Mendelejevas 15 metų, o tolesniam jos gilinimui buvo duoti dar 25 metai....

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, užduočių kortelės, skaidrės, laikrodžiai, ornamentų lentelės, liaudies amatų elementai

„Matematika yra tai, ką žmonės naudoja norėdami valdyti gamtą ir save“.
A.N. Kolmogorovas

Per užsiėmimus

I. Organizacinis etapas.

Mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas. Praneškite apie pamokos temą ir tikslus.

II. Namų darbų tikrinimas.

Namų darbus tikriname naudodami pavyzdžius ir aptariame sunkiausius dalykus.

III. Žinių apibendrinimas ir sisteminimas.

1. Žodinis frontalinis darbas.

Teoriniai klausimai.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Kaip nubraižyti periodinę funkciją?

Burnos pratimai.

1) Įrodykite šiuos ryšius

a) nuodėmė (740º) = nuodėmė (20º)
b) cos(54º) = cos (-1026º)
c) nuodėmė (-1000º) = nuodėmė (80º)

2. Įrodykite, kad 540º kampas yra vienas iš funkcijos y= cos(2x) periodų.

3. Įrodykite, kad 360º kampas yra vienas iš funkcijos y=tg(x) periodų.

4. Transformuokite šias išraiškas taip, kad jose esantys kampai absoliučia verte neviršytų 90º.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Kur aptikote žodžius PERIODAS, PERIODiškumas?

6. Paveiksluose parodytos periodinių funkcijų grafikų dalys. Nustatykite funkcijos laikotarpį. Nustatykite funkcijos laikotarpį.

Atsakymas: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Kur gyvenime susidūrėte su pasikartojančių elementų konstravimu?

Mokinio atsakymas: Ornamentų elementai, liaudies menas.

IV. Kolektyvinis problemų sprendimas.

(Problemų sprendimas skaidrėse.)

Panagrinėkime vieną iš būdų, kaip tirti funkciją periodiškumui.

1 uždavinys. Raskite funkcijos f(x)=1+3(x+q>5) mažiausią teigiamą periodą

Sprendimas: Tarkime, kad šios funkcijos T periodas. Tada f(x+T)=f(x) visiems x € D(f), t.y.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Įdėkime x=-0,25 gausime

(T) = 0<=>T=n, n € Z

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Kadangi (T+1)=(T) bet kuriam T, tai f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), t.y. 1 – laikotarpis f. Kadangi 1 yra mažiausias iš visų teigiamų sveikųjų skaičių, tai T=1.

2 uždavinys. Parodykite, kad funkcija f(x)=cos 2 (x) yra periodinė ir suraskite jos pagrindinį periodą.

3 uždavinys. Raskite pagrindinį funkcijos periodą

f(x)=sin(1,5x)+5cos (0,75x)

Tarkime, kad funkcijos T periodas, tada bet kuriai X santykis galioja

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jei x = 0, tada

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jei x = -T, tada

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5 = – nuodėmė (1,5 T) + 5 cos (0,75 T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Sudėjus, gauname:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Iš visų „įtartinų“ laikotarpio skaičių parinksime mažiausią teigiamą skaičių ir patikrinkime, ar tai yra f periodas. Šis skaičius

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Tai reiškia, kad tai yra pagrindinis funkcijos f periodas.

4 uždavinys. Patikrinkime, ar funkcija f(x)=sin(x) yra periodinė

Tegu T yra funkcijos f periodas. Tada bet kokiam x

sin|x+Т|=sin|x|

Jei x=0, tai sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Tarkime. Kad kai kuriems n skaičius π n yra periodas

nagrinėjama funkcija π n>0. Tada sin|π n+x|=sin|x|

Tai reiškia, kad n turi būti lyginis ir nelyginis skaičius, bet tai neįmanoma. Todėl ši funkcija nėra periodinė.

5 užduotis. Patikrinkite, ar funkcija yra periodinė

f(x)=

Tada tegul T yra f periodas

, taigi sinT=0, Т=π n, n € Z. Tarkime, kad kai kuriems n skaičius π n iš tiesų yra šios funkcijos periodas. Tada skaičius 2π n bus periodas

Kadangi skaitikliai yra lygūs, jų vardikliai yra lygūs

Tai reiškia, kad funkcija f nėra periodinė.

Darbas grupėse.

Užduotys 1 grupei.

Užduotys 2 grupei.

Patikrinkite, ar funkcija f yra periodinė, ir suraskite jos pagrindinį periodą (jei jis egzistuoja).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Užduotys 3 grupei.

Darbo pabaigoje grupės pristato savo sprendimus.

VI. Apibendrinant pamoką.

Atspindys.

VII. Namų darbai

1). Patikrinkite, ar funkcija f yra periodinė, ir suraskite jos pagrindinį periodą (jei jis egzistuoja)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) turi periodą T=2 ir f(x)=x 2 +2x, kai x € [-2; 0]. Raskite reiškinio reikšmę -2f(-3)-4f(3.5)

Literatūra/

Mordkovičius A.G. Algebra ir analizės su giluminiu tyrimu pradžia.
Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui. Red. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Šeremetjeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra ir pradžios analizė 10-11 klasėms.

Jo reikšmių kartojimas tam tikru reguliariu argumentų intervalu, ty nekeičiant jo vertės, kai prie argumento pridedamas koks nors fiksuotas skaičius, kuris nėra nulis ( laikotarpį funkcijos) visoje apibrėžimo srityje.

Formaliau kalbant, funkcija vadinama periodine su tašku T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), jei už kiekvieną tašką x (\displaystyle x) iš savo taško apibrėžimo srities x + T (\displaystyle x+T) Ir x − T (\displaystyle x-T) taip pat priklauso jos apibrėžimo sričiai, ir jiems galioja lygybė f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Remiantis apibrėžimu, lygybė galioja ir periodinei funkcijai f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Kur n (\displaystyle n)- bet koks sveikasis skaičius.

Tačiau jei laikotarpių rinkinys ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle $T,T>0,T\in \mathbb (R) $) yra mažiausia reikšmė, tada ji vadinama pagrindinis (arba pagrindinis) laikotarpis funkcijas.

Pavyzdžiai

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x, cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

Dirichleto funkcija yra periodinė; jos periodas yra bet koks racionalusis skaičius, kuris nėra nulis. Jame taip pat nėra pagrindinio laikotarpio.

Kai kurios periodinių funkcijų ypatybės

Ir T 2 (\displaystyle T_(2))(tačiau šis skaičius bus tiesiog taškas). Pavyzdžiui, funkcija f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) pagrindinis laikotarpis yra 2 π (\displaystyle 2\pi ), funkcijoje g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) laikotarpis lygus 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), ir jų suma f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) pagrindinis laikotarpis akivaizdžiai lygus π (\displaystyle \pi ).

Dviejų funkcijų su nesuderinamais laikotarpiais suma ne visada yra neperiodinė funkcija.

UDC 517,17+517,51

Dviejų PERIODINIŲ FUNKCIJŲ SUMOS LAIKOTARPIS

A/O. Evnin

Darbe visiškai išsprendžiamas klausimas, koks gali būti pagrindinis periodinės funkcijos periodas, kuris yra dviejų periodinių funkcijų su žinomais pagrindiniais laikotarpiais suma. Taip pat tiriamas atvejis, kai periodinių funkcijų sumai nėra pagrindinio periodo.

Mes laikome tikrosios vertės tikrojo kintamojo funkcijas. Enciklopedinio leidimo straipsnyje „Periodinės funkcijos“ galite perskaityti: „Periodinių funkcijų su skirtingais laikotarpiais suma yra periodinė tik tuo atveju, jei jų periodai yra proporcingi“. Šis teiginys tinka tęstinėms funkcijoms1, bet negalioja bendruoju atveju. Labai bendros formos kontrpavyzdys buvo sukonstruotas m. Šiame straipsnyje išsiaiškinsime, koks gali būti pagrindinis periodinės funkcijos periodas, kuris yra dviejų periodinių funkcijų su žinomais pagrindiniais laikotarpiais suma.

Preliminari informacija

Prisiminkite, kad funkcija / laikoma periodine, jei tam tikram skaičiui T F O bet kuriam x iš apibrėžimo srities D(f) skaičiai x + T ir x - T priklauso D(f), o lygybės f(x + T) = f(x) =f(x ~ T). Šiuo atveju skaičius Г vadinamas funkcijos periodu.

Mažiausią teigiamą funkcijos periodą (jei, žinoma, jis egzistuoja) vadinsime pagrindiniu periodu. Žinomas toks faktas.

1 teorema. Jei funkcija turi pagrindinį periodą To, tai bet kuris funkcijos periodas turi formą nTo, kur n Ф 0 yra sveikas skaičius.

Laikoma, kad skaičiai T\ ir T2 yra proporcingi, jei yra skaičius T0, kuris tiek T\, tiek T2 telpa sveikuoju skaičiumi kartų: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. Priešingu atveju skaičiai T\ ir T2 yra vadinamas nelygiu. Taigi laikotarpių proporcingumas (nelyginamumas) reiškia, kad jų santykis yra racionalus (neracionalus) skaičius.

Iš 1 teoremos išplaukia, kad funkcijos, kuri turi pagrindinį periodą, bet kurie du periodai yra proporcingi.

Klasikinis funkcijos, neturinčios mažiausio periodo, pavyzdys yra Dirichlet funkcija, kuri yra lygi 1 racionaliuose taškuose ir nuliui neracionaliuose taškuose. Bet kuris racionalusis skaičius, išskyrus nulį, yra Dirichlet funkcijos periodas, o bet koks neracionalus skaičius nėra jo periodas. Kaip matome, ir čia bet kurie du laikotarpiai yra palyginami.

Pateiksime nepastovios periodinės funkcijos, kuri turi nesulyginamus periodus, pavyzdį.

Tegul funkcija /(x) lygi 1 formos /u + la/2, m, n e Z taškuose ir lygi

nulis. Tarp šios funkcijos laikotarpių yra 1 ir l

Funkcijų sumos su proporcingais laikotarpiais laikotarpis

2 teorema. Tegul fug yra periodinės funkcijos su pagrindiniais laikotarpiais mT0 ir „Tas, kur tipas

Abipusiai pirminiai skaičiai. Tada pagrindinis jų sumos laikotarpis (jei toks yra) yra lygus -

kur k yra natūralusis skaičius, koprime su skaičiumi mn.

Įrodymas. Tegul h = / + g. Akivaizdu, kad skaičius mnT0 yra h laikotarpis. Dėl

1 teoremos pagrindinis periodas h turi tokią formą, kur k yra koks nors natūralusis skaičius. Tikėtina

Tarkime, kad k nėra santykinai pirminis su skaičiumi m, tai yra, k - dku m = dm\, kur d> 1 yra didžiausias

1 Gražus įrodymas, kad bet kurio baigtinio skaičiaus nepertraukiamų funkcijų su poromis nesuderinamais laikotarpiais suma yra neperiodinė, yra straipsnyje Taip pat žr.

didesnis bendras skaičių m ir k daliklis. Tada funkcijos k periodas lygus

ir funkcija f=h-g

turi periodą mxnTo, kuris nėra jo pagrindinio laikotarpio mTQ kartotinis. Gaunamas prieštaravimas teoremai 1. Tai reiškia, kad k yra pirminis su m. Panašiai skaičiai k ir n yra kopirminiai. Taigi A: yra kopirminis su m. □

3 teorema. Tegul m, n ir k yra poriniai pirminiai skaičiai, o T0 – teigiamas skaičius. Tada egzistuoja tokios periodinės funkcijos fug, kad pagrindiniai periodai f, g ir (f + g) yra

mes atitinkamai tT$, nTQ ir -

Įrodymas. Teoremos įrodymas bus konstruktyvus: tiesiog sukursime atitinkamą pavyzdį. Pirmiausia suformuluokime tokį rezultatą. pareiškimas. Tegul m yra santykinai pirminiai skaičiai. Tada funkcijos

fx - cos- + cos--- ir f2= cos- m n m

cos- turi esminį laikotarpį 2ktp. P

Pareiškimo įrodymas. Akivaizdu, kad skaičius 2ptn yra abiejų funkcijų laikotarpis. Galite nesunkiai patikrinti, ar šis laikotarpis yra pagrindinis funkcijai. Raskime jo maksimalius taškus.

x = 2lM, te Z.

Mes turime = n!. Iš abipusio tipo paprastumo išplaukia, kad 5 yra /r kartotinis, t.y. i = I e b. Tai reiškia, kad /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2, o atstumas tarp gretimų funkcijos /\ maksimumo taškų yra lygus 2ktp, o teigiamas periodas /1 negali būti mažesnis už skaičių 2 spp. .

Funkcijai taikome kitokio pobūdžio samprotavimus (kuris taip pat tinka funkcijai, bet

mažiau elementarus). Kaip rodo 1 teorema, funkcijos/2 pagrindinis periodas Г turi formą -,

kur k yra koks nors natūralusis skaičius. Skaičius G taip pat bus funkcijos periodas

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = -1 cos

kurių visi laikotarpiai turi formą 2pp1. Taigi,

2nnl, t.y. t = kl. Kadangi t ir k yra tarpusavyje

sty, tai reiškia, kad k = 1.

Dabar, norėdami įrodyti 3 teoremą, galime sukurti reikiamą pavyzdį. Pavyzdys. Tegul m, n ir k poromis yra santykinai pirminiai skaičiai ir bent vienas iš skaičių n arba k skiriasi nuo 1. Tada pf k ir pagal įrodytą funkcijos teiginį

/ (x) = cos--- + cos- t to

Ir g(x) = cos-cos – p to

turi atitinkamai 2 ltk ir 2 tk pagrindinius laikotarpius ir jų sumą

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

pagrindinis laikotarpis yra 2 ttp.

Jei n = k = 1, tada veiks funkcijų pora

f(x)-2 cos- + COS X ir g(x) - COS X. m

Jų pagrindiniai periodai, kaip ir funkcijos k(x) - 2 periodas, atitinkamai lygūs 2lm, 2/gi 2tipas.

kaip lengva patikrinti.

Matematika

Pažymime T = 2lx. Savavališkų porinių pirminių skaičių mn, n ir k funkcijos f ir £ nurodomos taip, kad pagrindiniai funkcijų f, g ir f + g periodai būtų lygūs mT, nT ir

Teoremos sąlygas tenkina funkcijos / - n;

Funkcijų su nepalyginamais laikotarpiais sumos laikotarpis

Kitas teiginys beveik akivaizdus.

4 teorema. Tegul fug yra periodinės funkcijos su nesuderinamais pagrindiniais laikotarpiais T) ir T2, o šių funkcijų suma h = f + g yra periodinė ir turi pagrindinį periodą T. Tada skaičius T yra nesuderinamas nei su T], nei su T2.

Įrodymas. Viena vertus, jei skaičiai TnT) yra proporcingi, tai funkcija g = h-f turi periodą, atitinkantį Г]. Kita vertus, remiantis 1 teorema, bet kuris funkcijos g periodas yra skaičiaus T2 kartotinis. Gauname prieštaravimą su skaičių T\ ir T2 nesuderinamumu. Panašiai įrodomas ir skaičių T ir T2 nesulyginamumas, d

Įspūdingas ir net kiek stebinantis faktas yra tai, kad teisinga ir 4 teoremos priešingybė.. Yra plačiai paplitusi klaidinga nuomonė, kad dviejų periodinių funkcijų su nesuderinamais laikotarpiais suma negali būti periodine funkcija. Tiesą sakant, taip nėra. Be to, sumos periodas gali būti bet koks teigiamas skaičius, kuris tenkina 4 teoremos teiginį.

5 teorema. Tegu T\, T2 ir T~ yra poromis nesulyginami teigiami skaičiai. Tada egzistuoja periodinės funkcijos fug, kurių suma h =/+ g yra periodinė, o funkcijos f guh pagrindiniai periodai yra atitinkamai lygūs Th T2 ir T.

Įrodymas. Įrodymas vėl bus konstruktyvus. Mūsų konstrukcijos labai priklausys nuo to, ar skaičius T reprezentuojamas kaip racionalus derinys T = aT\ + pT2 (a ir P yra racionalūs skaičiai) periodų T\ ir T2.

I. T nėra racionalus Tg ir J2 derinys

Tegu A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) yra sveikųjų skaičių tiesinių skaičių T1 T2 ir T derinių aibė. Iš karto atkreipiame dėmesį, kad jei skaičius vaizduojamas forma mT\ + nT2 + kT, tada toks vaizdavimas yra unikalus . Iš tiesų, jei mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9, tada

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Тъ ir k\ * k2 gauname, kad T racionaliai išreiškiamas per T] ir T2. Tai reiškia, kad k\ = k2. Dabar iš skaičių T\ ir T2 nesulyginamumo iš karto gaunamos lygybės m\ = m2 ir u = n2.

Svarbus faktas yra tai, kad aibės A ir jos papildinys A yra uždarytos, pridedant skaičius iš A: jei x e A ir y e A, tai x + y e A; jei x e A ir y e A, tai x + y e A.

Tarkime, kad visuose aibės A taškuose funkcijos / ir g yra lygios nuliui, o aibėje A šias funkcijas apibrėžiame taip:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.

Kadangi, kaip buvo parodyta, iš skaičiaus x e A vienareikšmiškai atkuriami periodų T1 T2 ir T tiesinės kombinacijos koeficientai m, pikas, tai nurodyti funkcijų / ir g priskyrimai yra teisingi.

Funkcija h =/ + g aibėje A lygi nuliui, o aibės A taškuose lygi

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Tiesioginiu pakeitimu nesunku patikrinti, ar skaičius T\ yra funkcijos f periodas, skaičius T2 yra g periodas, o T~ yra h periodas. Parodykime, kad šie laikotarpiai yra pagrindiniai.

Pirma, pažymime, kad bet kuris funkcijos / laikotarpis priklauso aibei A. Iš tiesų,

jei 0 fx A,y e A, tai ox + y e A ir f(x + y) = 0 *f(x). Tai reiškia, kad y e A nėra funkcijos / laikotarpis

Dabar tegul x2 yra nelygūs skaičiai, o f(x 1) ~ f(x2). Iš funkcijos / apibrėžimo gauname, kad x\ - x2 = 1ТБ, kur I yra koks nors nulinis sveikas skaičius. Todėl bet kuris funkcijos periodas yra T\ kartotinis. Taigi Tx iš tikrųjų yra pagrindinis laikotarpis /

Teiginiai dėl T2 ir T tikrinami taip pat.

komentuoti. Knygoje p. 172-173 pateikta kita bendra konstrukcija I atvejui.

II. T yra racionalus T\ ir T2 derinys.

Pateiksime racionalų periodų T\ ir T2 kombinaciją forma Г = - (кхТх + к2Т2), kur кх ir

k2 ™ pirminiai sveikieji skaičiai, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? ir d yra natūralieji skaičiai. Įveskime leZ>.

reni rinkinys B----

Tarkime, kad visuose aibės B taškuose funkcijos f ir g yra lygios nuliui, o aibėje B šias funkcijas apibrėžiame taip:

^ mT\ + nT2 L I

^ mTx + nT2 L

Čia, kaip įprasta, [x] ir (x) žymi atitinkamai sveikąsias ir trupmenines skaičių dalis. Funkcija k =/+ d aibėje B yra lygi nuliui, o aibės B taškuose ji lygi

fmTx +pT: l H

Tiesioginiu pakeitimu nesunku patikrinti, ar skaičius Tx yra funkcijos / periodas, skaičius T2 yra periodas g, o T yra periodas h. Parodykime, kad šie laikotarpiai yra pagrindiniai.

Bet kuris funkcijos / periodas priklauso aibei B. Iš tiesų, jei 0 * x e B, y e B, tai f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Vadinasi, y e B _ Neveikiantis laikotarpis/

Taigi kiekvienas funkcijos / periodas turi formą Тy =

Kur 5i ir 52 yra sveikieji skaičiai. Leisti

x = -7] 4- -Г2, x e 5. Jei i = 0, tai f(i) yra racionalusis skaičius. Dabar iš skaičiaus /(x + 7)) racionalumo išplaukia lygybė -I - I - 0. Tai reiškia, kad turime lygybę 52 = Xp, kur X yra koks nors sveikasis skaičius

numerį. Ryšys /(x + 7)) = /(x) įgauna formą

^P + I + I w +

Ši lygybė turi galioti visiems sveikųjų skaičių tipams. Esant t-n~ 0, dešinė (1) pusė yra lygi

iki nulio. Kadangi trupmeninės dalys yra neneigiamos, iš to gauname, kad<0, а при

m = n = d - ] trupmeninių dalių suma dešinėje lygybės (1) pusėje yra ne mažesnė už trupmeninių dalių h-X sumą

tey kairėje. Tai reiškia – >0. Taigi, X = 0 ir 52 = 0. Todėl funkcijos / periodas turi formą

o lygybė (1) tampa

n\ | ir 52 yra sveikieji skaičiai. Iš santykių

th(0) = 0 = th(GA) =

nustatome, kad skaičiai 51 ir ^ turi būti p kartotiniai, t.y. kai kuriems sveikiesiems skaičiams Ax ir A2 turime 51 = A\p, E2 = A2p. Tada santykis (3) gali būti perrašytas kaip

Iš lygybės A2kx = k2A\ ir skaičių k\ ir k2 tarpusavio pirmumo išplaukia, kad A2 dalijasi iš k2. Iš čia

kai kuriam sveikajam skaičiui t galioja lygybės A2 = k2t ir Ax ~ kxt, t.y. Th ~-(kxTx + k2T2).

Parodyta, kad bet kuris funkcijos h periodas yra periodo T = - (k(Gx + k2T2)9 kartotinis, kuris

zom, yra pagrindinis. □

Nėra pagrindinio laikotarpio

6 teorema. Tegul Tx ir T2~ yra savavališki teigiami skaičiai. Tada egzistuoja periodinės funkcijos fug, kurių pagrindiniai periodai yra lygūs atitinkamai T\ ir T2, o jų suma h=f+g yra periodinė, bet neturi pagrindinio periodo.

Įrodymas. Panagrinėkime du galimus atvejus.

I. Laikotarpiai Tx ir T2 yra nesuderinami.

Tegu A = + nT2 +kT\ . Kaip nurodyta pirmiau, nesunku parodyti, kad jei numeris

gali būti pavaizduotas forma mTx + nT2 + kT, tada toks vaizdavimas yra unikalus.

Tarkime, kad visuose aibės A taškuose funkcijos / ir g yra lygios nuliui, o aibėje A šias funkcijas apibrėžiame taip:

/nuo; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Nesunku patikrinti, ar skaičius Tx yra pagrindinis funkcijos / periodas, skaičius T2 yra pagrindinis periodas g, o bet kurio racionalaus k atveju skaičius kT yra funkcijos h - f + g periodas, kuris, todėl neturi mažiausio periodo.

II. Laikotarpiai Tx ir T2 yra palyginami.

Tegu Tx = mT0, T2 = nT0, kur T0 > O, m ir n yra natūralieji skaičiai. Įveskime aibę I = +.

Tarkime, kad visuose aibės B taškuose funkcijos fug yra lygios nuliui, o aibėje B šias funkcijas apibrėžiame taip:

/((/ + ShT0) = Shch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.

Funkcija h ~ / + g aibėje B yra lygi nuliui, o aibės B taškuose lygi

Nesunku patikrinti, ar skaičius 7j = mTQ yra pagrindinis funkcijos / periodas, skaičius T2 ~ nT0 yra pagrindinis g periodas, o tarp funkcijos h~ f + g periodų yra visi funkcijos skaičiai. forma l/2kT0, kur k yra savavališkas racionalusis skaičius. □

6 teoremą įrodančios konstrukcijos pagrįstos funkcijos h~ / + g laikotarpių nesuderinamumu su funkcijų / ir g periodais. Pabaigoje pateiksime funkcijų fug pavyzdį, kad visi funkcijų /, g ir / + g periodai būtų proporcingi vienas kitam, bet / ir g turi pagrindinius periodus, o f + g neturi.

Tegu m yra koks nors fiksuotas natūralusis skaičius, M – neredukuojamų nesveikųjų trupmenų, kurių skaitikliai yra m kartotiniai, aibė. Padėkime

1 jei heM; 1

ifhe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O kitais atvejais; 1 jei xeMU

~,ifhe2 2

[O kitaip.

Nesunku pastebėti, kad pagrindiniai funkcijų fug periodai yra lygūs atitinkamai m ir 1, o suma / + g turi bet kurio m/n formos skaičiaus periodą, kur n yra savavališkas natūralusis skaičius, lygus m.

Literatūra

1. Matematinis enciklopedinis žodynas/Ch. red. Yu.V. Prokhorovas - M.: Sov. enciklopedija, 1988 m.

2. Mikaelyanas L.V., Sedrakyanas N.M. Apie periodinių funkcijų sumos periodiškumą//Matematinis ugdymas. - 2000. - Nr.2(13). - 29-33 p.

3. Gerenshtein A.B., Evnin A.Yu. Apie periodinių funkcijų sumą // Matematika mokykloje. -2002 m. - Nr.1. - P. 68-72.

4. Ivlev B.M. ir kt.. Algebros uždavinių ir analizės principų rinkinys 9 ir 10 klasėms. - M.: Išsilavinimas, 1978 m.