Skirtumo kubas ir kubelių skirtumas: sutrumpintų daugybos formulių taikymo taisyklės. Sutrumpintos daugybos formulės Pavyzdžiai uždaviniai naudojant kvadratų skirtumo ir sumos bei kubelių skirtumo formules

Sutrumpintos daugybos formulės.

Sutrumpintų daugybos formulių studijavimas: sumos kvadratas ir dviejų išraiškų skirtumo kvadratas; dviejų išraiškų kvadratų skirtumas; dviejų išraiškų sumos kubas ir skirtumo kubas; dviejų išraiškų kubų sumos ir skirtumai.

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.

Norint supaprastinti išraiškas, dauginimo polinomus ir sumažinti daugianario į standartinę formą, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės. Sutrumpintas daugybos formules reikia žinoti mintinai.

Tegu a, b R. Tada:

1. Dviejų išraiškų sumos kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratas plius du kartus pirmosios išraiškos sandauga ir antroji plius antrosios išraiškos kvadratas.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratas atėmus du kartus pirmosios išraiškos sandaugą, o antroji plius antrosios išraiškos kvadratas.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Kvadratų skirtumas dvi išraiškos yra lygios šių išraiškų ir jų sumos skirtumo sandaugai.

a 2 – b 2 = (a – b) (a+b)

4. Sumos kubas dvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos kubui plius trigubai pirmosios išraiškos kvadrato sandaugai, o antrajai plius trigubai pirmosios išraiškos sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui plius antrosios išraiškos kubui.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Skirtumo kubas dvi išraiškos yra lygios pirmosios išraiškos kubui, atėmus trigubą pirmosios išraiškos kvadrato sandaugą, o antrosios plius trigubą pirmosios išraiškos sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui atėmus antrosios išraiškos kubą.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kubų suma dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų sumos ir šių išraiškų skirtumo nepilno kvadrato sandaugai.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Kubelių skirtumas dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų skirtumo sandaugai iš šių išraiškų sumos nepilno kvadrato.

a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.

1 pavyzdys.

Apskaičiuoti

a) Naudodami dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę, turime

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Naudodami dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulę, gauname

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10 000 – 400 + 4 = 9604

2 pavyzdys.

Apskaičiuoti

Naudodami dviejų išraiškų kvadratų skirtumo formulę, gauname

3 pavyzdys.

Supaprastinkite išraišką

(x - y) 2 + (x + y) 2

Naudokime sumos kvadrato ir dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formules

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Sutrumpintos daugybos formulės vienoje lentelėje:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 – b 2 = (a – b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)

Sutrumpintos daugybos formulės (FMF) naudojamos skaičiams ir išraiškoms kelti ir dauginti. Dažnai šios formulės leidžia atlikti skaičiavimus kompaktiškiau ir greičiau.

Šiame straipsnyje išvardysime pagrindines sutrumpinto daugybos formules, sugrupuosime jas į lentelę, apsvarstysime šių formulių naudojimo pavyzdžius, taip pat pasiliksime prie sutrumpinto daugybos formulių įrodymo principų.

Pirmą kartą FSU tema nagrinėjama 7 klasės kurso „Algebra“ rėmuose. Žemiau yra 7 pagrindinės formulės.

Sutrumpintos daugybos formulės

1. sumos kvadrato formulė: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. kvadratinio skirtumo formulė: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. sumos kubo formulė: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. skirtumo kubo formulė: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. kvadratinio skirtumo formulė: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. kubų sumos formulė: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. kubelių skirtumo formulė: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Raidės a, b, c šiuose posakiuose gali būti bet kokie skaičiai, kintamieji arba išraiškos. Kad būtų lengviau naudotis, septynias pagrindines formules geriau išmokti mintinai. Sudėkime juos į lentelę ir pateikime žemiau, apjuosdami rėmeliu.

Pirmosios keturios formulės leidžia atitinkamai apskaičiuoti dviejų išraiškų sumos arba skirtumo kvadratą arba kubą.

Penktoji formulė apskaičiuoja skirtumą tarp reiškinių kvadratų, padauginus jų sumą ir skirtumą.

Šeštoji ir septintoji formulės atitinkamai padaugina išraiškų sumą ir skirtumą iš nepilno skirtumo kvadrato ir nepilno sumos kvadrato.

Sutrumpinta daugybos formulė kartais dar vadinama sutrumpintomis daugybos tapatybėmis. Tai nenuostabu, nes kiekviena lygybė yra tapatybė.

Sprendžiant praktinius pavyzdžius, dažnai naudojamos sutrumpintos daugybos formulės, kurių kairė ir dešinė pusės sukeistos. Tai ypač patogu skaičiuojant daugianarį.

Papildomos sutrumpintos daugybos formulės

Neapsiribokime vien 7 klasės algebros kursu ir į savo FSU lentelę įtraukime dar keletą formulių.

Pirmiausia pažvelkime į Niutono binominę formulę.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Čia C n k yra dvinariai koeficientai, esantys Paskalio trikampio eilutėje n. Binominiai koeficientai apskaičiuojami pagal formulę:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n – (k – 1)) k !

Kaip matome, skirtumo ir sumos kvadrato ir kubo FSF yra specialus Niutono binominės formulės atvejis, kai atitinkamai n=2 ir n=3.

Bet ką daryti, jei sumoje yra daugiau nei du terminai, kuriuos reikia padidinti iki galios? Pravers trijų, keturių ar daugiau narių sumos kvadrato formulė.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Kita formulė, kuri gali būti naudinga, yra dviejų terminų n-ųjų laipsnių skirtumo formulė.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ši formulė paprastai skirstoma į dvi formules – atitinkamai lyginėms ir nelyginėms galioms.

Net 2 m indikatoriams:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Nelyginiams rodikliams 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Kvadratų skirtumas ir kubelių formulių skirtumas, kaip jūs atspėjote, yra specialūs šios formulės atvejai, kai atitinkamai n = 2 ir n = 3. Dėl kubelių skirtumo b taip pat pakeičiamas - b.

Kaip skaityti sutrumpintas daugybos formules?

Kiekvienai formulei pateiksime atitinkamas formuluotes, bet pirmiausia suprasime formulių skaitymo principą. Patogiausia tai padaryti naudojant pavyzdį. Paimkime pačią pirmąją dviejų skaičių sumos kvadrato formulę.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Jie sako: dviejų išraiškų a ir b sumos kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratų sumai, dvigubai išraiškų sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui.

Visos kitos formulės skaitomos panašiai. Skirtumo a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 kvadratui rašome:

skirtumo tarp dviejų reiškinių a ir b kvadratas yra lygus šių reiškinių kvadratų sumai, atėmus dvigubą pirmosios ir antrosios išraiškos sandaugą.

Perskaitykime formulę a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Dviejų išraiškų a ir b sumos kubas yra lygus šių išraiškų kubelių sumai, pirmosios išraiškos kvadrato sandaugą trigubai iš antrosios ir antrosios išraiškos kvadrato sandaugą trigubai pirmoji išraiška.

Pereikime prie kubelių skirtumo formulės a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 skaitymo. Dviejų išraiškų a ir b skirtumo kubas yra lygus pirmosios išraiškos kubui, atėmus pirmosios ir antrosios išraiškos kvadrato trigubą sandaugą, pridėjus antrosios išraiškos ir pirmosios išraiškos kvadrato trigubą sandaugą , atėmus antrosios išraiškos kubą.

Penktoji formulė a 2 - b 2 = a - b a + b (kvadratų skirtumas) skamba taip: dviejų reiškinių kvadratų skirtumas yra lygus skirtumo ir dviejų išraiškų sumos sandaugai.

Kad būtų patogiau, tokios išraiškos kaip a 2 + a b + b 2 ir a 2 - a b + b 2 vadinamos atitinkamai nepilnu sumos kvadratu ir nepilnu skirtumo kvadratu.

Atsižvelgiant į tai, kubelių sumos ir skirtumo formules galima perskaityti taip:

Dviejų išraiškų kubų suma yra lygi šių išraiškų sumos ir jų skirtumo dalinio kvadrato sandaugai.

Skirtumas tarp dviejų išraiškų kubelių yra lygus skirtumo tarp šių išraiškų ir jų sumos dalinio kvadrato sandaugai.

FSU įrodymas

Įrodyti FSU yra gana paprasta. Remdamiesi daugybos savybėmis, padauginsime skliausteliuose esančias formulių dalis.

Pavyzdžiui, apsvarstykite skirtumo kvadratu formulę.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Norėdami pakelti išraišką į antrą laipsnį, turite padauginti šią išraišką iš savęs.

a - b 2 = a - b a - b .

Išplėskime skliaustus:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formulė įrodyta. Likę FSU yra įrodyta panašiai.

FSU taikymo pavyzdžiai

Sutrumpintų daugybos formulių naudojimo tikslas – greitai ir glaustai padauginti ir pakelti išraiškas į laipsnius. Tačiau tai nėra visa FSU taikymo sritis. Jie plačiai naudojami mažinant išraiškas, mažinant trupmenas ir faktoringo polinomus. Pateikime pavyzdžių.

1 pavyzdys. FSU

Supaprastinkime išraišką 9 y - (1 + 3 y) 2.

Taikykime kvadratų sumos formulę ir gaukime:

9 m - (1 + 3 m.) 2 = 9 m - (1 + 6 m + 9 y 2) = 9 m - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

2 pavyzdys. FSU

Sumažinkime trupmeną 8 x 3 – z 6 4 x 2 – z 4.

Atkreipiame dėmesį, kad skaitiklio išraiška yra kubelių skirtumas, o vardiklyje - kvadratų skirtumas.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Sumažiname ir gauname:

8 x 3 – z 6 4 x 2 – z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU taip pat padeda apskaičiuoti išraiškų reikšmes. Svarbiausia, kad būtų galima pastebėti, kur taikyti formulę. Parodykime tai pavyzdžiu.

Padėkime skaičių 79 kvadratu. Vietoj sudėtingų skaičiavimų parašykime:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Atrodytų, kad sudėtingas skaičiavimas greitai atliekamas naudojant sutrumpintas daugybos formules ir daugybos lentelę.

Kitas svarbus dalykas yra dvinario kvadrato pasirinkimas. Išraišką 4 x 2 + 4 x - 3 galima konvertuoti į 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tokios transformacijos plačiai naudojamos integruojant.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Ankstesnėse pamokose nagrinėjome du daugianario faktoriaus būdus: bendrąjį veiksnį iškeldami iš skliaustų Ir grupavimo metodas.

Šioje pamokoje apžvelgsime kitą daugianario koeficiento būdą naudojant sutrumpintas daugybos formules.

Kiekvieną formulę rekomenduojame parašyti bent 12 kartų. Kad geriau įsimintų, užsirašykite visas sutrumpintas daugybos formules iš mažojo sukčiavimo lapas.

Prisiminkime, kaip atrodo kubelių formulės skirtumas.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Kubelių formulės skirtumą įsiminti nėra labai lengva, todėl rekomenduojame naudoti ypatingas būdas tai prisiminti.

Svarbu suprasti, kad bet kokia sutrumpinta daugybos formulė taip pat veikia išvirkščia pusė.

(a – b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Pažiūrėkime į pavyzdį. Būtina atsižvelgti į kubelių skirtumą.

Atkreipkite dėmesį, kad „27a 3“ yra „(3a) 3“, o tai reiškia, kad kubelių skirtumo formulei vietoj „a“ naudojame „3a“.

Mes naudojame kubelių skirtumo formulę. Vietoj „a 3“ turime „27a 3“, o vietoje „b 3“, kaip formulėje, yra „b 3“.

Taikant kubelių skirtumą priešinga kryptimi

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Naudodami sutrumpintą daugybos formulę turite paversti daugianario sandaugą į kubelių skirtumą.

Atkreipkite dėmesį, kad daugianario sandauga „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ primena kubelių formulės „“ skirtumo dešinę pusę, tik vietoj „a“ yra „x“ ir vietoje iš „b“ yra „1“.

„(x − 1)(x 2 + x + 1)“ naudojame kubelių skirtumo formulę priešinga kryptimi.

Pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį. Reikia supaprastinti daugianario sandaugą.

Jei palyginsime „(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)“ su dešiniąja kubelių skirtumo formulės puse
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)“, tada galite suprasti, kad vietoje „a“ iš pirmojo skliausto yra „y 2“, o vietoje „b“ yra „1“.