Lai iegūtu plaknes vispārīgo vienādojumu, analizēsim plakni, kas iet caur noteiktu punktu.

Lai kosmosā būtu trīs mums jau zināmas koordinātu asis - Vērsis, Oy Un Oz. Turiet papīra lapu tā, lai tā paliktu plakana. Lidmašīna būs pati lapa un tās turpinājums visos virzienos.

Ļaujiet P patvaļīga plakne telpā. Tiek izsaukts katrs tam perpendikulārs vektors normāls vektors uz šo lidmašīnu. Protams, mēs runājam par vektoru, kas nav nulle.

Ja kāds punkts plaknē ir zināms P un kādu normālu vektoru tam, tad ar šiem diviem nosacījumiem plakne telpā ir pilnībā definēta(caur doto punktu var uzzīmēt vienu plakni, kas ir perpendikulāra dotajam vektoram). Plaknes vispārīgais vienādojums būs:

Tātad nosacījumi, kas nosaka plaknes vienādojumu, ir. Lai iegūtu sevi plaknes vienādojums, kam ir iepriekš minētā forma, uzņemiet lidmašīnu P patvaļīgi punktu M ar mainīgām koordinātām x, y, z. Šis punkts pieder plaknei tikai tad, ja vektors perpendikulāri vektoram(1. att.). Šim nolūkam saskaņā ar vektoru perpendikularitātes nosacījumu ir nepieciešams un pietiekami, lai šo vektoru skalārais reizinājums būtu vienāds ar nulli, tas ir

Vektoru nosaka nosacījums. Mēs atrodam vektora koordinātas, izmantojot formulu :

.

Tagad, izmantojot vektoru formulas skalāro reizinājumu , mēs izsakām skalāro reizinājumu koordinātu formā:

Kopš punkta M(x; y; z) plaknē ir izvēlēts patvaļīgi, tad pēdējo vienādojumu apmierina jebkura plaknes punkta koordinātas P. Par punktu N, neguļot uz dotās plaknes, t.i. ir pārkāpta vienlīdzība (1).

1. piemērs. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu un ir perpendikulāra vektoram.

Risinājums. Izmantosim formulu (1) un apskatīsim to vēlreiz:

Šajā formulā skaitļi A , B Un C vektoru koordinātas un skaitļus x0 , y0 Un z0 - punkta koordinātas.

Aprēķini ir ļoti vienkārši: mēs aizstājam šos skaitļus formulā un iegūstam

Sareizinām visu, kas jāreizina, un pievienojam tikai ciparus (kuros nav burtu). Rezultāts:

.

Šajā piemērā nepieciešamais plaknes vienādojums ir izteikts ar pirmās pakāpes vispārīgu vienādojumu attiecībā pret mainīgajām koordinātām x, y, z patvaļīgs plaknes punkts.

Tātad, formas vienādojums

sauca vispārējās plaknes vienādojums .

2. piemērs. Izveidojiet taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā plakni, kas dota ar vienādojumu .

Risinājums. Lai uzbūvētu plakni, ir nepieciešams un pietiekami zināt jebkurus trīs tās punktus, kas neatrodas uz vienas taisnes, piemēram, plaknes krustošanās punktus ar koordinātu asīm.

Kā atrast šos punktus? Lai atrastu krustošanās punktu ar asi Oz, jums ir jāaizstāj ar nullēm X un Y vienādojumā, kas norādīts problēmas paziņojumā: x = y= 0. Tāpēc mēs iegūstam z= 6. Tādējādi dotā plakne krustojas ar asi Oz punktā A(0; 0; 6) .

Tādā pašā veidā mēs atrodam plaknes krustošanās punktu ar asi Oy. Plkst x = z= 0 mēs iegūstam y= −3, tas ir, punkts B(0; −3; 0) .

Un visbeidzot mēs atrodam mūsu plaknes krustošanās punktu ar asi Vērsis. Plkst y = z= 0 mēs iegūstam x= 2, tas ir, punkts C(2; 0; 0) . Pamatojoties uz mūsu risinājumā iegūtajiem trim punktiem A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) un C(2; 0; 0) konstruē doto plakni.

Tagad apsvērsim vispārīgā plaknes vienādojuma īpašie gadījumi. Tie ir gadījumi, kad noteikti (2) vienādojuma koeficienti kļūst par nulli.

1. Kad D= 0 vienādojums definē plakni, kas iet caur sākuma punktu, jo punkta koordinātas 0 (0; 0; 0) apmierina šo vienādojumu.

2. Kad A= 0 vienādojums definē plakni, kas ir paralēla asij Vērsis, jo šīs plaknes normālvektors ir perpendikulārs asij Vērsis(tā projekcija uz asi Vērsis vienāds ar nulli). Līdzīgi, kad B= 0 lidmašīna paralēli asij Oy, un tad, kad C= 0 lidmašīna paralēli asij Oz.

3. Kad A=D= 0 vienādojums definē plakni, kas iet caur asi Vērsis, jo tas ir paralēls asij Vērsis (A=D= 0). Līdzīgi plakne iet caur asi Oy, un plakne caur asi Oz.

4. Kad A=B= 0 vienādojums definē plakni, kas ir paralēla koordinātu plaknei xOy, jo tas ir paralēls asīm Vērsis (A= 0) un Oy (B= 0). Tāpat plakne ir paralēla plaknei yOz, un lidmašīna ir lidmašīna xOz.

5. Kad A=B=D= 0 vienādojums (vai z = 0) definē koordinātu plakni xOy, jo tas ir paralēls plaknei xOy (A=B= 0) un iet caur izcelsmi ( D= 0). Tāpat Eq. y = 0 telpā nosaka koordinātu plakni xOz, un vienādojums x = 0 - koordinātu plakne yOz.

3. piemērs. Izveidojiet plaknes vienādojumu P, kas iet caur asi Oy un periods.

Risinājums. Tātad plakne iet caur asi Oy. Tāpēc viņas vienādojumā y= 0 un šim vienādojumam ir forma . Lai noteiktu koeficientus A Un C izmantosim to, ka punkts pieder plaknei P .

Tāpēc starp tās koordinātām ir tās, kuras var aizstāt ar plaknes vienādojumu, kuru mēs jau esam atvasinājuši (). Apskatīsim vēlreiz punkta koordinātas:

M0 (2; −4; 3) .

Starp viņiem x = 2 , z= 3. Mēs tos aizstājam vispārējā vienādojumā un iegūstam vienādojumu mūsu konkrētajam gadījumam:

2A + 3C = 0 .

Atstāt 2 A vienādojuma kreisajā pusē pārvietojiet 3 C uz labo pusi un mēs saņemam

A = −1,5C .

Atrastās vērtības aizstāšana A vienādojumā, mēs iegūstam

vai .

Šis ir vienādojums, kas nepieciešams piemēra nosacījumā.

Atrisiniet plaknes vienādojuma problēmu pats un pēc tam apskatiet risinājumu

4. piemērs. Definējiet plakni (vai plaknes, ja tās ir vairāk nekā viena) attiecībā pret koordinātu asīm vai koordinātu plaknēm, ja plakne(-es) ir norādīta ar vienādojumu.

Tipisku problēmu risinājumi, kas rodas pārbaudes laikā, ir atrodami mācību grāmatā “Problēmas plaknē: paralēlisms, perpendikularitāte, trīs plakņu krustojums vienā punktā”.

Vienādojums plaknei, kas iet cauri trim punktiem

Kā jau minēts, nepieciešams un pietiekams nosacījums plaknes konstruēšanai papildus vienam punktam un normālvektoram ir arī trīs punkti, kas neatrodas uz vienas taisnes.

Ļaujiet trīs dažādi punkti , Un , kas neatrodas uz vienas līnijas, ir jādod. Tā kā norādītie trīs punkti neatrodas uz vienas taisnes, vektori nav kolineāri, un tāpēc jebkurš plaknes punkts atrodas vienā plaknē ar punktiem, un tad un tikai tad, ja vektori , un koplanārs, t.i. tad un tikai tad šo vektoru jauktais produkts vienāds ar nulli.

Izmantojot jauktā produkta izteiksmi koordinātēs, iegūstam plaknes vienādojumu

(3)

Pēc determinanta atklāšanas šis vienādojums kļūst par formas (2) vienādojumu, t.i. plaknes vispārējais vienādojums.

5. piemērs. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet cauri trim dotiem punktiem, kas neatrodas vienā taisnē:

un noteikt īpašu taisnes vispārējā vienādojuma gadījumu, ja tāds ir.

Risinājums. Saskaņā ar formulu (3) mums ir:

Normālas plaknes vienādojums. Attālums no punkta līdz plaknei

Plaknes normālais vienādojums ir tā vienādojums, kas uzrakstīts formā

Ja visi skaitļi A, B, C un D atšķiras no nulles, tad plaknes vispārīgo vienādojumu sauc pabeigt. Pretējā gadījumā tiek izsaukts plaknes vispārīgais vienādojums nepilnīgs.

Apskatīsim visus iespējamos vispārīgos nepilnīgos plaknes vienādojumus taisnstūra koordinātu sistēmā Oxyz trīsdimensiju telpā.

Ļaujiet D = 0, tad mums ir vispārējs nepilnīgs plaknes vienādojums ar formu . Šī plakne taisnstūrveida koordinātu sistēmā Oxyz iet caur sākuma punktu. Patiešām, aizstājot punkta koordinātas iegūtajā plaknes nepilnīgajā vienādojumā, mēs nonākam pie identitātes .

Par , vai , vai mums ir vispārīgi nepilnīgi vienādojumi plaknēm , vai , vai , attiecīgi. Šie vienādojumi definē plaknes, kas ir paralēlas koordinātu plaknēm Oxy, Oxz un Oyz, attiecīgi (sk. rakstu par paralēlo plakņu stāvokli) un kas iet caur punktiem un attiecīgi. Plkst. Kopš punkta pieder plaknei pēc nosacījuma, tad šī punkta koordinātēm jāapmierina plaknes vienādojums, tas ir, vienādībai ir jābūt patiesai. No šejienes mēs atrodam. Tādējādi nepieciešamajam vienādojumam ir forma .

Piedāvāsim otro veidu, kā atrisināt šo problēmu.

Tā kā plakne, kuras vispārīgais vienādojums mums jāsastāda, ir paralēla plaknei Oyz, tad par tās normālu vektoru varam ņemt plaknes Oyz normālo vektoru. Koordinātu plaknes Oyz normālais vektors ir koordinātu vektors. Tagad mēs zinām plaknes normālo vektoru un plaknes punktu, tāpēc mēs varam uzrakstīt tā vispārējo vienādojumu (līdzīgu problēmu mēs atrisinājām šī raksta iepriekšējā punktā):
, tad tā koordinātām jāatbilst plaknes vienādojumam. Tāpēc vienlīdzība ir patiesa no kurienes mēs to atrodam. Tagad mēs varam uzrakstīt vēlamo plaknes vispārīgo vienādojumu, tam ir forma .

Atbilde:

Bibliogrāfija.

• Bugrovs Ya.S., Nikolsky S.M. Augstākā matemātika. Pirmais sējums: lineārās algebras un analītiskās ģeometrijas elementi.
• Iļjins V.A., Pozņaka E.G. Analītiskā ģeometrija.

Var norādīt dažādos veidos (viens punkts un vektors, divi punkti un vektors, trīs punkti utt.). Paturot to prātā, plaknes vienādojumam var būt dažādas formas. Tāpat, ievērojot noteiktus nosacījumus, plaknes var būt paralēlas, perpendikulāras, krustojas utt. Mēs par to runāsim šajā rakstā. Mēs iemācīsimies izveidot vispārīgu plaknes vienādojumu un daudz ko citu.

Normāla vienādojuma forma

Pieņemsim, ka ir telpa R 3, kurai ir taisnstūra XYZ koordinātu sistēma. Definēsim vektoru α, kas tiks atbrīvots no sākuma punkta O. Caur vektora α galu novelkam plakni P, kas būs tam perpendikulāra.

Apzīmēsim patvaļīgu punktu uz P kā Q = (x, y, z). Punkta Q rādiusa vektoru parakstīsim ar burtu p. Šajā gadījumā vektora α garums ir vienāds ar р=IαI un Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Šis ir vienības vektors, kas ir vērsts uz sāniem, tāpat kā vektors α. α, β un γ ir leņķi, kas veidojas attiecīgi starp vektoru Ʋ un telpas asu x, y, z pozitīvajiem virzieniem. Jebkura punkta QϵП projekcija uz vektoru Ʋ ir nemainīga vērtība, kas ir vienāda ar p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Iepriekš minētajam vienādojumam ir jēga, ja p=0. Vienīgais, ka plakne P šajā gadījumā krustos punktu O (α=0), kas ir koordinātu sākumpunkts, un no punkta O atbrīvotais vienības vektors Ʋ būs perpendikulārs P, neskatoties uz tā virzienu, kas nozīmē, ka vektors Ʋ ir noteikts ar precizitāti līdz zīmei. Iepriekšējais vienādojums ir mūsu plaknes P vienādojums, kas izteikts vektora formā. Bet koordinātēs tas izskatīsies šādi:

P šeit ir lielāks vai vienāds ar 0. Mēs esam atraduši plaknes vienādojumu telpā normālā formā.

Vispārējais vienādojums

Ja vienādojumu koordinātēs reizinām ar jebkuru skaitli, kas nav vienāds ar nulli, mēs iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs šim, definējot šo plakni. Tas izskatīsies šādi:

Šeit A, B, C ir skaitļi, kas vienlaikus atšķiras no nulles. Šo vienādojumu sauc par vispārējo plaknes vienādojumu.

Plakņu vienādojumi. Īpaši gadījumi

Vienādojumu vispārīgā formā var mainīt papildu nosacījumu klātbūtnē. Apskatīsim dažus no tiem.

Pieņemsim, ka koeficients A ir 0. Tas nozīmē, ka šī plakne ir paralēla dotajai Ox asij. Šajā gadījumā mainīsies vienādojuma forma: Ву+Cz+D=0.

Tāpat vienādojuma forma mainīsies šādos apstākļos:

• Pirmkārt, ja B = 0, tad vienādojums mainīsies uz Ax + Cz + D = 0, kas norāda uz paralēlismu Oy asij.
• Otrkārt, ja C=0, tad vienādojums tiks pārveidots par Ax+By+D=0, kas norādīs uz paralēlismu ar doto Oz asi.
• Treškārt, ja D=0, vienādojums izskatīsies kā Ax+By+Cz=0, kas nozīmēs, ka plakne krustojas ar O (izcelsme).
• Ceturtkārt, ja A=B=0, tad vienādojums mainīsies uz Cz+D=0, kas izrādīsies paralēli Oxy.
• Piektkārt, ja B=C=0, tad vienādojums kļūst par Ax+D=0, kas nozīmē, ka plakne uz Oyz ir paralēla.
• Sestkārt, ja A=C=0, tad vienādojums ieņems formu Ву+D=0, tas ir, tas ziņos par paralēlismu Oxz.

Vienādojuma veids segmentos

Gadījumā, ja skaitļi A, B, C, D atšķiras no nulles, vienādojuma (0) forma var būt šāda:

x/a + y/b + z/c = 1,

kurā a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Rezultātā mēs iegūstam Ir vērts atzīmēt, ka šī plakne krustos Vērša asi punktā ar koordinātām (a,0,0), Oy - (0,b,0) un Oz - (0,0,c). ).

Ņemot vērā vienādojumu x/a + y/b + z/c = 1, nav grūti vizuāli iedomāties plaknes izvietojumu attiecībā pret doto koordinātu sistēmu.

Normālas vektora koordinātas

Plaknes P normālajam vektoram n ir koordinātes, kas ir šīs plaknes vispārējā vienādojuma koeficienti, tas ir, n (A, B, C).

Lai noteiktu normālās n koordinātas, pietiek zināt dotās plaknes vispārīgo vienādojumu.

Lietojot segmentos vienādojumu, kura forma ir x/a + y/b + z/c = 1, tāpat kā, izmantojot vispārīgu vienādojumu, var uzrakstīt jebkura dotās plaknes normālvektora koordinātas: (1/a + 1/b + 1/ Ar).

Ir vērts atzīmēt, ka parastais vektors palīdz atrisināt dažādas problēmas. Visizplatītākās ir problēmas, kas saistītas ar plakņu perpendikularitātes vai paralēlisma pierādīšanu, problēmas atrast leņķus starp plaknēm vai leņķus starp plaknēm un taisnēm.

Plaknes vienādojuma veids pēc punkta un normālvektora koordinātām

Nenulles vektoru n, kas ir perpendikulārs noteiktai plaknei, sauc par normālu konkrētai plaknei.

Pieņemsim, ka koordinātu telpā (taisnstūra koordinātu sistēmā) Oxyz ir doti:

• punkts Mₒ ar koordinātām (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulles vektors n=A*i+B*j+C*k.

Ir nepieciešams izveidot vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu Mₒ perpendikulāri normālajam n.

Izvēlamies jebkuru patvaļīgu telpas punktu un apzīmējam to ar M (x y, z). Lai jebkura punkta M (x,y,z) rādiusa vektors ir r=x*i+y*j+z*k, bet punkta Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) rādiusa vektors - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkts M piederēs noteiktai plaknei, ja vektors MₒM ir perpendikulārs vektoram n. Uzrakstīsim ortogonalitātes nosacījumu, izmantojot skalāro reizinājumu:

[MₒM, n] = 0.

Tā kā MₒM = r-rₒ, plaknes vektora vienādojums izskatīsies šādi:

Šim vienādojumam var būt cita forma. Lai to izdarītu, tiek izmantotas skalārās reizinājuma īpašības un tiek pārveidota vienādojuma kreisā puse. = -. Ja to apzīmē ar c, iegūstam šādu vienādojumu: - c = 0 vai = c, kas izsaka projekciju noturību uz doto plaknei piederošo punktu rādiusu vektoru normālu vektoru.

Tagad mēs varam iegūt koordinātu formu mūsu plaknes vektora vienādojuma rakstīšanai = 0. Tā kā r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, un n = A*i+B *j+С*k, mums ir:

Izrādās, ka mums ir vienādojums plaknei, kas iet caur punktu, kas ir perpendikulārs normālajam n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Plaknes vienādojuma veids pēc divu punktu koordinātām un plaknei kolineāra vektora

Definēsim divus patvaļīgus punktus M′(x′,y′,z′) un M″ (x″,y″,z″), kā arī vektoru a (a′,a″,a‴).

Tagad mēs varam izveidot vienādojumu noteiktai plaknei, kas iet caur esošajiem punktiem M′ un M″, kā arī jebkuru punktu M ar koordinātām (x, y, z) paralēli dotajam vektoram a.

Šajā gadījumā vektoriem M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) un M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) jābūt vienā plaknē ar vektoru. a=(a′,a″,a‴), kas nozīmē, ka (M′M, M″M, a)=0.

Tātad mūsu plaknes vienādojums kosmosā izskatīsies šādi:

Trīs punktus krustojošas plaknes vienādojuma veids

Pieņemsim, ka mums ir trīs punkti: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), kas nepieder pie vienas līnijas. Ir nepieciešams uzrakstīt vienādojumu plaknei, kas iet caur dotajiem trim punktiem. Ģeometrijas teorija apgalvo, ka šāda veida plakne patiešām pastāv, taču tā ir vienīgā un unikāla. Tā kā šī plakne krusto punktu (x′,y′,z′), tās vienādojuma forma būs šāda:

Šeit A, B, C vienlaikus atšķiras no nulles. Tāpat dotā plakne krusto vēl divus punktus: (x″,y″,z″) un (x‴,y‴,z‴). Šajā sakarā ir jāievēro šādi nosacījumi:

Tagad mēs varam izveidot viendabīgu sistēmu ar nezināmajiem u, v, w:

Mūsu gadījumā x, y vai z ir patvaļīgs punkts, kas atbilst (1) vienādojumam. Ņemot vērā (1) vienādojumu un (2) un (3) vienādojumu sistēmu, iepriekš attēlā norādīto vienādojumu sistēmu apmierina vektors N (A,B,C), kas nav triviāls. Tāpēc šīs sistēmas determinants ir vienāds ar nulli.

Iegūtais vienādojums (1) ir plaknes vienādojums. Tas precīzi iet cauri 3 punktiem, un to ir viegli pārbaudīt. Lai to izdarītu, mums ir jāpaplašina mūsu determinants pirmās rindas elementos. No esošajām determinanta īpašībām izriet, ka mūsu plakne vienlaikus krusto trīs sākotnēji dotos punktus (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Respektīvi, esam atrisinājuši mums uzdoto uzdevumu.

Divšķautņu leņķis starp plaknēm

Divšķautņu leņķis ir telpiska ģeometriska figūra, ko veido divas pusplaknes, kas izplūst no vienas taisnas līnijas. Citiem vārdiem sakot, šī ir telpas daļa, kuru ierobežo šīs pusplaknes.

Pieņemsim, ka mums ir divas plaknes ar šādiem vienādojumiem:

Mēs zinām, ka vektori N=(A,B,C) un N¹=(A¹,B¹,C¹) ir perpendikulāri dotajām plaknēm. Šajā sakarā leņķis φ starp vektoriem N un N¹ ir vienāds ar leņķi (dihedral), kas atrodas starp šīm plaknēm. Skalāram reizinājumam ir šāda forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

tieši tāpēc

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Pietiek ņemt vērā, ka 0≤φ≤π.

Faktiski divas plaknes, kas krustojas, veido divus leņķus (dihedral): φ 1 un φ 2. To summa ir vienāda ar π (φ 1 + φ 2 = π). Kas attiecas uz to kosinusiem, to absolūtās vērtības ir vienādas, taču tās atšķiras pēc zīmes, tas ir, cos φ 1 = -cos φ 2. Ja vienādojumā (0) mēs aizstājam A, B un C ar attiecīgi skaitļiem -A, -B un -C, tad iegūtais vienādojums noteiks to pašu plakni, vienīgo, leņķi φ vienādojumā cos. φ= NN 1 /| N||N 1 | tiks aizstāts ar π-φ.

Perpendikulāras plaknes vienādojums

Plaknes, starp kurām leņķis ir 90 grādi, sauc par perpendikulārām. Izmantojot iepriekš sniegto materiālu, mēs varam atrast plaknes vienādojumu, kas ir perpendikulāra citai. Pieņemsim, ka mums ir divas plaknes: Ax+By+Cz+D=0 un A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Var teikt, ka tie būs perpendikulāri, ja cosφ=0. Tas nozīmē, ka NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Paralēlās plaknes vienādojums

Divas plaknes, kurās nav kopīgu punktu, sauc par paralēlām.

Nosacījums (to vienādojumi ir tādi paši kā iepriekšējā punktā) ir tāds, ka vektori N un N¹, kas ir tiem perpendikulāri, ir kolineāri. Tas nozīmē, ka ir ievēroti šādi proporcionalitātes nosacījumi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ja proporcionalitātes nosacījumi tiek paplašināti - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tas norāda, ka šīs plaknes sakrīt. Tas nozīmē, ka vienādojumi Ax+By+Cz+D=0 un A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 apraksta vienu plakni.

Attālums līdz plaknei no punkta

Pieņemsim, ka mums ir plakne P, kas tiek dota ar vienādojumu (0). Jāatrod attālums līdz tam no punkta ar koordinātām (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Lai to izdarītu, plaknes P vienādojums jāieved normālā formā:

(ρ,v)=р (р≥0).

Šajā gadījumā ρ (x,y,z) ir mūsu punkta Q rādiusa vektors, kas atrodas uz P, p ir perpendikula P garums, kas tika atbrīvots no nulles punkta, v ir vienības vektors, kas atrodas virziens a.

Kāda punkta Q = (x, y, z) atšķirības ρ-ρº rādiusa vektors, kas pieder pie P, kā arī dotā punkta rādiusa vektors Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) ir tāds vektors, projekcijas absolūtā vērtība uz v ir vienāda ar attālumu d, kas jāatrod no Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) līdz P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, bet

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Tātad izrādās

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Tādējādi mēs atradīsim iegūtās izteiksmes absolūto vērtību, tas ir, vēlamo d.

Izmantojot parametru valodu, mēs iegūstam acīmredzamo:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Ja dots punkts Q 0 atrodas plaknes P otrā pusē, tāpat kā koordinātu sākumpunkts, tad starp vektoru ρ-ρ 0 un v ir tāpēc:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Gadījumā, ja punkts Q 0 kopā ar koordinātu sākumpunktu atrodas P vienā pusē, tad izveidotais leņķis ir akūts, tas ir:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Rezultātā izrādās, ka pirmajā gadījumā (ρ 0 ,v)>р, otrajā (ρ 0 ,v)<р.

Pieskares plakne un tās vienādojums

Virsmas pieskares plakne saskares punktā Mº ir plakne, kurā ir visas iespējamās pieskares līknēm, kas novilktas caur šo virsmas punktu.

Izmantojot šāda veida virsmas vienādojumu F(x,y,z)=0, pieskares plaknes vienādojums pieskares punktā Mº(xº,yº,zº) izskatīsies šādi:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº) (y-yº)+ F x (xº, yº,zº) (z-zº)=0.

Ja virsmu norādāt precīzā formā z=f (x,y), tad pieskares plakne tiks aprakstīta ar vienādojumu:

z-zº =f(xº,yº)(x-xº)+f(xº,yº)(y-yº).

Divu plakņu krustojums

Koordinātu sistēmā (taisnstūrveida) atrodas Oxyz, ir dotas divas plaknes П′ un П″, kas krustojas un nesakrīt. Tā kā jebkura plakne, kas atrodas taisnstūra koordinātu sistēmā, tiek noteikta ar vispārīgu vienādojumu, mēs pieņemsim, ka P′ un P″ ir doti ar vienādojumu A′x+B′y+C′z+D′=0 un A″x. +B″y+ С″z+D″=0. Šajā gadījumā mums ir plaknes P′ normālais n′ (A′,B′,C′) un plaknes P″ normālais n″ (A″,B″,C″). Tā kā mūsu plaknes nav paralēlas un nesakrīt, šie vektori nav kolineāri. Izmantojot matemātikas valodu, šo nosacījumu varam uzrakstīt šādi: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Taisni, kas atrodas P′ un P″ krustpunktā, apzīmē ar burtu a, šajā gadījumā a = P′ ∩ P″.

a ir taisna līnija, kas sastāv no visu (kopīgo) plakņu P′ un P″ punktu kopas. Tas nozīmē, ka jebkura punkta koordinātām, kas pieder pie līnijas a, vienlaikus jāizpilda vienādojumi A′x+B′y+C′z+D′=0 un A″x+B″y+C″z+D″=0. . Tas nozīmē, ka punkta koordinātas būs šādas vienādojumu sistēmas daļējs risinājums:

Rezultātā izrādās, ka šīs vienādojumu sistēmas (vispārējais) risinājums noteiks katra līnijas punkta koordinātas, kas darbosies kā P′ un P″ krustošanās punkts, un noteiks taisni. a Oxyz (taisnstūra) koordinātu sistēmā telpā.

Lai caur jebkuriem trim telpas punktiem varētu novilkt vienu plakni, ir nepieciešams, lai šie punkti neatrastos uz vienas taisnes.

Apsveriet punktus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) vispārējā Dekarta koordinātu sistēmā.

Lai patvaļīgs punkts M(x, y, z) atrastos vienā plaknē ar punktiem M 1, M 2, M 3, ir nepieciešams, lai vektori būtu vienā plaknē.

(
) = 0

Tādējādi

Vienādojums plaknei, kas iet cauri trim punktiem:

Plaknes vienādojums ar diviem punktiem un plaknei kolineāru vektoru.

Doti punkti M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) un vektors
.

Izveidosim vienādojumu plaknei, kas iet caur dotajiem punktiem M 1 un M 2, un patvaļīgu punktu M (x, y, z) paralēli vektoram .

Vektori
un vektors
jābūt koplanārai, t.i.

(
) = 0

Plaknes vienādojums:

Plaknes vienādojums, izmantojot vienu punktu un divus vektorus,

kolineāri lidmašīnai.

Doti divi vektori
Un
, kolineāras plaknes. Tad patvaļīgam punktam M(x, y, z), kas pieder plaknei, vektori
jābūt vienā plaknē.

Plaknes vienādojums:

Plaknes vienādojums pēc punkta un normālvektora .

Teorēma. Ja telpā dots punkts M 0 (X 0 , g 0 , z 0 ), tad plaknes vienādojums, kas iet caur punktu M 0 perpendikulāri normālajam vektoram (A, B, C) ir šāda forma:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Pierādījums. Patvaļīgam punktam M(x, y, z), kas pieder plaknei, mēs sastādam vektoru. Jo vektors ir normāls vektors, tad tas ir perpendikulārs plaknei un līdz ar to perpendikulārs vektoram
. Pēc tam skalārais reizinājums

= 0

Tādējādi mēs iegūstam plaknes vienādojumu

Teorēma ir pierādīta.

Plaknes vienādojums segmentos.

Ja vispārējā vienādojumā Ax + Bi + Cz + D = 0 abas puses dalām ar (-D)

,

aizstājot
, mēs iegūstam plaknes vienādojumu segmentos:

Skaitļi a, b, c ir plaknes krustošanās punkti attiecīgi ar x, y, z asīm.

Plaknes vienādojums vektora formā.

Kur

- pašreizējā punkta M(x, y, z) rādiusa vektors,

Vienības vektors ar perpendikula virzienu, kas nomests plaknē no sākuma.

,  un  ir šī vektora veidotie leņķi ar x, y, z asīm.

p ir šī perpendikula garums.

Koordinātās šis vienādojums izskatās šādi:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Attālums no punkta līdz plaknei.

Attālums no patvaļīga punkta M 0 (x 0, y 0, z 0) līdz plaknei Ax+By+Cz+D=0 ir:

Piemērs. Atrodiet plaknes vienādojumu, zinot, ka punkts P(4; -3; 12) ir pamats perpendikulam, kas nomests no sākuma uz šo plakni.

Tātad A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, mēs izmantojam formulu:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Piemērs. Atrodiet vienādojumu plaknei, kas iet caur diviem punktiem P(2; 0; -1) un

Q(1; -1; 3) perpendikulāri plaknei 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normāls vektors uz plakni 3x + 2y – z + 5 = 0
paralēli vēlamajai plaknei.

Mēs iegūstam:

Piemērs. Atrodiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktiem A(2, -1, 4) un

B(3, 2, -1) perpendikulāri plaknei X + plkst + 2z – 3 = 0.

Nepieciešamajam plaknes vienādojumam ir šāda forma: A x+B y+C z+ D = 0, šīs plaknes normālais vektors (A, B, C). Vektors
(1, 3, -5) pieder plaknei. Mums dotajai plaknei, kas ir perpendikulāra vēlamajai, ir normāls vektors (1, 1, 2). Jo Punkti A un B pieder abām plaknēm, un plaknes ir savstarpēji perpendikulāras, tad

Tātad parastais vektors (11, -7, -2). Jo punkts A pieder vēlamajai plaknei, tad tā koordinātēm jāapmierina šīs plaknes vienādojums, t.i. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Kopumā mēs iegūstam plaknes vienādojumu: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Piemērs. Atrodiet plaknes vienādojumu, zinot, ka punkts P(4, -3, 12) ir pamats perpendikulam, kas nomests no sākuma uz šo plakni.

Normālā vektora koordinātu atrašana
= (4, -3, 12). Nepieciešamajam plaknes vienādojumam ir šāda forma: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Lai atrastu koeficientu D, vienādojumā aizstājam punkta P koordinātas:

16 + 9 + 144 + D = 0

Kopumā mēs iegūstam nepieciešamo vienādojumu: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Piemērs. Dotas piramīdas virsotņu koordinātas A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Atrodiet malas garumu A 1 A 2.

Atrodiet leņķi starp malām A 1 A 2 un A 1 A 4.

Atrodiet leņķi starp malu A 1 A 4 un virsmu A 1 A 2 A 3.

Vispirms atrodam normālo vektoru uz sejas A 1 A 2 A 3 kā vektoru krustojums
Un
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Atradīsim leņķi starp normālo vektoru un vektoru
.

-4 – 4 = -8.

Vēlamais leņķis  starp vektoru un plakni būs vienāds ar  = 90 0 - .

Atrodiet sejas laukumu A 1 A 2 A 3.

Atrodiet piramīdas tilpumu.

Atrodiet plaknes A 1 A 2 A 3 vienādojumu.

Izmantosim formulu plaknes, kas iet cauri trim punktiem, vienādojumam.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Izmantojot datora versiju " Augstākās matemātikas kurss” varat palaist programmu, kas atrisinās iepriekš minēto piemēru jebkurām piramīdas virsotņu koordinātām.

Lai palaistu programmu, veiciet dubultklikšķi uz ikonas:

Atvērtajā programmas logā ievadiet piramīdas virsotņu koordinātas un nospiediet taustiņu Enter. Tādā veidā visus lēmuma punktus var iegūt pa vienam.

Piezīme. Lai palaistu programmu, datorā ir jābūt instalētai jebkuras versijas Maple programmai ( Waterloo Maple Inc.), sākot ar MapleV Release 4.

Plaknes vienādojums. Kā uzrakstīt plaknes vienādojumu?
Lidmašīnu savstarpēja izkārtošana. Uzdevumi

Telpiskā ģeometrija nav daudz sarežģītāka par “plakano” ģeometriju, un mūsu lidojumi kosmosā sākas ar šo rakstu. Lai apgūtu tēmu, jums ir labi jāizprot vektori, turklāt vēlams pārzināt plaknes ģeometriju - būs daudz līdzību, daudz analoģiju, tāpēc informācija būs daudz labāk sagremota. Manu nodarbību sērijā 2D pasaule tiek atvērta ar rakstu Taisnes vienādojums plaknē. Bet tagad Betmens ir atstājis plakanā televizora ekrānu un startē no Baikonuras kosmodroma.

Sāksim ar zīmējumiem un simboliem. Shematiski plakni var uzzīmēt paralelograma formā, kas rada telpas iespaidu:

Plakne ir bezgalīga, bet mums ir iespēja attēlot tikai daļu no tās. Praksē papildus paralelogramam tiek uzzīmēts arī ovāls vai pat mākonis. Tehnisku apsvērumu dēļ man ērtāk ir attēlot lidmašīnu tieši tā un tieši tādā stāvoklī. Reālas plaknes, kuras mēs apsvērsim praktiskos piemēros, var atrasties visādi - garīgi paņemiet zīmējumu rokās un pagrieziet to telpā, piešķirot plaknei jebkādu slīpumu, jebkuru leņķi.

Apzīmējumi: plaknes parasti apzīmē ar maziem grieķu burtiem, acīmredzot, lai tās nesajauktu ar taisna līnija plaknē vai ar taisna līnija telpā. Esmu pieradis lietot burtu. Zīmējumā tas ir burts “sigma”, nevis caurums. Lai gan cauruma lidmašīna noteikti ir diezgan smieklīga.

Dažos gadījumos plakņu apzīmēšanai ir ērti izmantot tos pašus grieķu burtus ar zemākiem apakšindeksiem, piemēram, .

Ir acīmredzams, ka plakni unikāli nosaka trīs dažādi punkti, kas neatrodas vienā taisnē. Tāpēc diezgan populāri ir lidmašīnu trīsburtu apzīmējumi - pēc tiem piederošajiem punktiem, piemēram, utt. Bieži vien burti tiek ievietoti iekavās: , lai nesajauktu plakni ar citu ģeometrisku figūru.

Pieredzējušiem lasītājiem došu ātrās piekļuves izvēlne:

• Kā izveidot plaknes vienādojumu, izmantojot punktu un divus vektorus?
• Kā izveidot plaknes vienādojumu, izmantojot punktu un normālu vektoru?

un mēs ilgi negaidīsim:

Vispārējās plaknes vienādojums

Plaknes vispārīgajam vienādojumam ir forma , kur koeficienti vienlaikus nav vienādi ar nulli.

Vairāki teorētiskie aprēķini un praktiskas problēmas ir derīgas gan parastajai ortonormālajai bāzei, gan telpas afīnajai bāzei (ja eļļa ir eļļa, atgriezieties pie nodarbības Vektoru lineārā (ne)atkarība. Vektoru bāze). Vienkāršības labad mēs pieņemsim, ka visi notikumi notiek ortonormālā bāzē un Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā.

Tagad mazliet vingrināsim savu telpisko iztēli. Tas ir labi, ja jums ir slikti, tagad mēs to nedaudz attīstīsim. Pat spēlēšana uz nerviem prasa apmācību.

Vispārīgākajā gadījumā, kad skaitļi nav vienādi ar nulli, plakne krusto visas trīs koordinātu asis. Piemēram, šādi:

Es vēlreiz atkārtoju, ka lidmašīna turpinās bezgalīgi visos virzienos, un mums ir iespēja attēlot tikai daļu no tā.

Apskatīsim vienkāršākos plakņu vienādojumus:

Kā saprast šo vienādojumu? Padomājiet par to: “Z” VIENMĒR ir vienāds ar nulli jebkurai “X” un “Y” vērtībai. Šis ir "native" koordinātu plaknes vienādojums. Patiešām, formāli vienādojumu var pārrakstīt šādi: , no kurienes var skaidri redzēt, ka mums ir vienalga, kādas vērtības ir “x” un “y”, ir svarīgi, lai “z” būtu vienāds ar nulli.

Tāpat:
– koordinātu plaknes vienādojums;
– koordinātu plaknes vienādojums.

Nedaudz sarežģīsim problēmu, aplūkosim plakni (šeit un tālāk rindkopā mēs pieņemam, ka skaitliskie koeficienti nav vienādi ar nulli). Pārrakstīsim vienādojumu formā: . Kā to saprast? “X” VIENMĒR jebkurām “Y” un “Z” vērtībām ir vienāds ar noteiktu skaitli. Šī plakne ir paralēla koordinātu plaknei. Piemēram, plakne ir paralēla plaknei un iet caur punktu.

Tāpat:
– plaknes vienādojums, kas ir paralēla koordinātu plaknei;
– plaknes vienādojums, kas ir paralēla koordinātu plaknei.

Pievienosim dalībniekus: . Vienādojumu var pārrakstīt šādi: , tas ir, “zet” var būt jebkas. Ko tas nozīmē? “X” un “Y” savieno sakarība, kas plaknē novelk noteiktu taisni (uzzināsiet taisnes vienādojums plaknē?). Tā kā “z” var būt jebkas, šī taisne tiek “atkārtota” jebkurā augstumā. Tādējādi vienādojums definē plakni, kas ir paralēla koordinātu asij

Tāpat:
– plaknes vienādojums, kas ir paralēla koordinātu asij;
– plaknes vienādojums, kas ir paralēla koordinātu asij.

Ja brīvie termini ir nulle, tad plaknes tieši iet cauri attiecīgajām asīm. Piemēram, klasiskā “tiešā proporcionalitāte”: . Plaknē novelciet taisnu līniju un garīgi reiziniet to uz augšu un uz leju (jo “Z” ir jebkurš). Secinājums: vienādojuma definētā plakne iet caur koordinātu asi.

Mēs pabeidzam pārskatīšanu: plaknes vienādojums iet caur izcelsmi. Šeit ir pilnīgi skaidrs, ka punkts apmierina šo vienādojumu.

Un visbeidzot zīmējumā redzamais gadījums: – plakne ir draudzīga ar visām koordinātu asīm, kamēr tā vienmēr “nogriež” trīsstūri, kas var atrasties jebkurā no astoņām oktancēm.

Lineārās nevienādības telpā

Lai saprastu informāciju, jums labi jāmācās lineārās nevienādības plaknē, jo daudzas lietas būs līdzīgas. Punktam būs īss pārskats ar vairākiem piemēriem, jo ​​praksē materiāls ir diezgan reti sastopams.

Ja vienādojums definē plakni, tad nevienādības
jautāt pusatstarpes. Ja nevienādība nav strikta (sarakstā pēdējie divi), tad nevienādības atrisinājumā papildus pustelpai ir iekļauta arī pati plakne.

5. piemērs

Atrodiet plaknes normālvektoru .

Risinājums: Vienības vektors ir vektors, kura garums ir viens. Apzīmēsim šo vektoru ar . Ir pilnīgi skaidrs, ka vektori ir kolineāri:

Vispirms no plaknes vienādojuma noņemam normālo vektoru: .

Kā atrast vienības vektoru? Lai atrastu vienības vektoru, jums ir nepieciešams katrs sadaliet vektora koordinātu ar vektora garumu.

Pārrakstīsim normālo vektoru formā un atradīsim tā garumu:

Saskaņā ar iepriekš minēto:

Atbilde:

Verifikācija: kas bija jāpārbauda.

To droši vien pamanīja lasītāji, kuri rūpīgi pētīja stundas pēdējo rindkopu vienības vektora koordinātas ir tieši vektora virziena kosinusus:

Paņemsim pārtraukumu no aktuālās problēmas: kad jums tiek dots patvaļīgs nulles vektors, un atbilstoši nosacījumam nepieciešams atrast tā virziena kosinusus (skat. nodarbības pēdējās problēmas Vektoru punktu reizinājums), tad jūs faktiski atrodat šim vektoram kolineāru vienību vektoru. Patiesībā divi uzdevumi vienā pudelē.

Nepieciešamība atrast vienību normālo vektoru rodas dažās matemātiskās analīzes problēmās.

Mēs esam izdomājuši, kā izķert parasto vektoru, tagad atbildēsim uz pretējo jautājumu:

Kā izveidot plaknes vienādojumu, izmantojot punktu un normālu vektoru?

Šī stingrā parastā vektora un punkta konstrukcija ir labi zināma šautriņu dēļam. Lūdzu, izstiepiet roku uz priekšu un garīgi izvēlieties patvaļīgu vietu telpā, piemēram, mazu kaķi bufetē. Acīmredzot caur šo punktu jūs varat uzzīmēt vienu plakni, kas ir perpendikulāra jūsu rokai.

Plaknes vienādojumu, kas iet caur punktu, kas ir perpendikulārs vektoram, izsaka ar formulu: