Jak wyznaczyć okresowość funkcji. Funkcje okresowe Funkcja okresowa czasu

Cel: uogólnienie i usystematyzowanie wiedzy studentów na temat „Okresowości funkcji”; wyrobienie umiejętności zastosowania własności funkcji okresowej, znalezienia najmniejszego dodatniego okresu funkcji, wykreślenia funkcji okresowych; promować zainteresowanie studiowaniem matematyki; kultywuj obserwację, dokładność.

Wyposażenie: komputer, rzutnik multimedialny, karty zadań, slajdy, zegary, stoły ozdobne, elementy rękodzieła ludowego

„Matematyka jest tym, czego ludzie używają do kontrolowania natury i siebie”
JAKIŚ. Kołmogorowa

Podczas zajęć

I. Etap organizacyjny.

Sprawdzanie gotowości uczniów do zajęć. Przedstawienie tematu i celów lekcji.

II. Sprawdzanie pracy domowej.

Sprawdzamy pracę domową według próbek, omawiamy najtrudniejsze punkty.

III. Generalizacja i systematyzacja wiedzy.

1. Ustna praca czołowa.

Kwestie teorii.

1) Utwórz definicję okresu funkcji
2) Jaki jest najmniejszy dodatni okres funkcji y=sin(x), y=cos(x)
3). Jaki jest najmniejszy dodatni okres funkcji y=tg(x), y=ctg(x)
4) Za pomocą koła udowodnij poprawność zależności:

y=grzech(x) = grzech(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Jak wykreślić funkcję okresową?

ćwiczenia ustne.

1) Udowodnij następujące zależności

A) grzech(740º) = grzech(20º)
B) cos(54º ) = cos(-1026º)
C) grzech(-1000º) = grzech(80º )

2. Wykaż, że kąt 540º jest jednym z okresów funkcji y= cos(2x)

3. Wykaż, że kąt 360º jest jednym z okresów funkcji y=tg(x)

4. Przekształć te wyrażenia tak, aby zawarte w nich kąty nie przekraczały 90º w wartości bezwzględnej.

A) tg375º
B) ctg530º
C) grzech1268º
D) cos(-7363º)

5. Gdzie spotkałeś się ze słowami OKRES, OKRESOWOŚĆ?

Odpowiedzi uczniów: Okres w muzyce to konstrukcja, w której wyrażona jest mniej więcej kompletna myśl muzyczna. Okres geologiczny jest częścią ery i dzieli się na epoki o okresie od 35 do 90 milionów lat.

Okres półtrwania substancji radioaktywnej. Ułamek okresowy. Czasopisma to publikacje drukowane, które ukazują się w ściśle określonych terminach. Układ okresowy Mendelejewa.

6. Na rysunkach przedstawiono fragmenty wykresów funkcji okresowych. Zdefiniuj okres funkcji. Wyznacz okres funkcji.

Odpowiedź: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Gdzie w swoim życiu spotkałeś się z konstrukcją powtarzających się elementów?

Uczniowie odpowiadają: Elementy ozdób, sztuka ludowa.

IV. Zbiorowe rozwiązywanie problemów.

(Rozwiązywanie problemów na slajdach.)

Rozważmy jeden ze sposobów badania funkcji pod kątem okresowości.

Ta metoda omija trudności związane z udowodnieniem, że taki czy inny okres jest najmniejszy, a także nie ma potrzeby poruszania kwestii operacji arytmetycznych na funkcjach okresowych i okresowości funkcji zespolonej. Rozumowanie opiera się jedynie na definicji funkcji okresowej i następującym fakcie: jeśli T jest okresem funkcji, to nT(n? 0) jest jej okresem.

Zadanie 1. Znajdź najmniejszy dodatni okres funkcji f(x)=1+3(x+q>5)

Rozwiązanie: Załóżmy, że okres T tej funkcji. Wtedy f(x+T)=f(x) dla wszystkich x ∈ D(f), tj.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Niech x=-0,25 otrzymamy

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Otrzymaliśmy, że wszystkie okresy rozważanej funkcji (jeśli istnieją) należą do liczb całkowitych. Spośród tych liczb wybierz najmniejszą liczbę dodatnią. Ten 1 . Sprawdźmy, czy to rzeczywiście okres 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Skoro (T+1)=(T) dla dowolnego T, to f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), tj. 1 - kropka ż. Ponieważ 1 jest najmniejszą ze wszystkich dodatnich liczb całkowitych, to T=1.

Zadanie 2. Wykaż, że funkcja f(x)=cos 2(x) jest okresowa i znajdź jej główny okres.

Zadanie 3. Znajdź główny okres funkcji

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Załóż okres T funkcji, a następnie dla dowolnego X stosunek

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jeśli x=0 to

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jeśli x=-T, to

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Dodając, otrzymujemy:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Wybierzmy ze wszystkich liczb „podejrzanych” dla okresu najmniejszą dodatnią i sprawdźmy, czy jest to kropka dla f. Ten numer

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Stąd jest głównym okresem funkcji f.

Zadanie 4. Sprawdź, czy funkcja f(x)=sin(x) jest okresowa

Niech T będzie okresem funkcji f. Wtedy dla dowolnego x

grzech|x+T|=grzech|x|

Jeśli x=0, to sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Przypuszczać. Że dla pewnego n liczba π n jest kropką

rozważana funkcja π n>0. Wtedy sin|π n+x|=grzech|x|

Oznacza to, że n musi być zarówno liczbą parzystą, jak i nieparzystą, co jest niemożliwe. Dlatego ta funkcja nie jest okresowa.

Zadanie 5. Sprawdź, czy funkcja jest okresowa

fa(x)=

Niech więc T będzie okresem f

, stąd sinT=0, T=π n, n € Z. Załóżmy, że dla pewnego n liczba π n jest rzeczywiście okresem danej funkcji. Wtedy liczba 2π n również będzie kropką

Ponieważ liczniki są równe, więc ich mianowniki są równe

Stąd funkcja f nie jest okresowa.

Praca grupowa.

Zadania dla grupy 1.

Zadania dla grupy 2.

Sprawdź, czy funkcja f jest okresowa i znajdź jej okres główny (jeśli istnieje).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Zadania dla grupy 3.

Na koniec pracy grupy prezentują swoje rozwiązania.

VI. Podsumowanie lekcji.

Odbicie.

Nauczyciel rozdaje uczniom karty z rysunkami i proponuje zamalowanie części pierwszego rysunku zgodnie z tym, w jakim stopniu, jak im się wydaje, opanowali metody badania funkcji pod kątem okresowości, a częściowo drugiego rysunku , zgodnie z ich wkładem w pracę na lekcji.

VII. Praca domowa

1). Sprawdź, czy funkcja f jest okresowa i znajdź jej główny okres (jeśli istnieje)

B). f(x)=x 2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcja y=f(x) ma okres T=2 i f(x)=x 2 +2x dla x € [-2; 0]. Znajdź wartość wyrażenia -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/

Mordkowicz A.G. Algebra i początek analizy z pogłębionym studium.
Matematyka. Przygotowanie do egzaminu. wyd. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Szeremietiewa T.G. , Tarasowa E.A. Algebra i analiza początkowa dla klas 10-11.

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto Google (konto) i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Algebra i początek analizy, klasa 10 (poziom profilu) A.G. Mordkovich, PE Semenov Nauczyciel Volkova S.E.

Definicja 1 Mówimy, że funkcja y = f (x), x ∈ X ma okres T, jeśli dla dowolnego x ∈ X równość f (x - T) = f (x) = f (x + T) jest prawdziwa. Jeśli funkcja z okresem T jest zdefiniowana w punkcie x, to jest również zdefiniowana w punktach x + T, x - T. Każda funkcja ma okres równy zeru w T = 0, otrzymujemy f (x - 0 ) = fa (x) = fa ( x + 0) .

Definicja 2 Funkcję, której okres T jest różny od zera, nazywamy okresową. Jeśli funkcja y = f (x), x ∈ X ma okres T, to każda wielokrotność T (tj. liczba postaci kT, k ∈ Z) jest również jej okresem.

Dowód Niech 2T będzie okresem funkcji. Wtedy f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Podobnie udowodniono, że f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) itd. Więc f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Najmniejszy okres spośród dodatnich okresów funkcji okresowej nazywany jest okresem głównym tej funkcji.

Cechy wykresu funkcji okresowej Jeśli T jest głównym okresem funkcji y \u003d f (x), to wystarczy: zbudować gałąź wykresu na jednym z przedziałów o długości T, wykonać równoległe przesunięcie tej gałęzi wzdłuż osi x o ±T, ±2T, ±3T itd. . Zwykle wybieraj szczelinę z końcami w punktach

Własności funkcji okresowych 1. Jeżeli f(x) jest funkcją okresową z okresem T, to funkcja g(x) = A f(kx + b), gdzie k > 0, jest również okresowa z okresem T 1 = T/ k. 2. Niech funkcja f 1 (x) i f 2 (x) będzie zdefiniowana na całej osi rzeczywistej i będzie okresowa z okresami T 1 > 0 i T 2 > 0. Wtedy dla T 1 /T 2 ∈ Q funkcja f(x) = f(x) + f 2 (x) jest funkcją okresową z okresem T równym najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb T 1 i T 2 .

Przykłady 1. Funkcja okresowa y = f(x) jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Jego okres wynosi 3 i f(0) =4 . Znajdź wartość wyrażenia 2f(3) - f(-3). Rozwiązanie. T \u003d 3, f (3) \u003d f (0 + 3) \u003d 4, f (-3) \u003d f (0–3) \u003d 4, f (0) \u003d 4. Podstawiając uzyskane wartości do wyrażenia 2f (3) - f(-3) , otrzymujemy 8 - 4 =4 . Odpowiedź: 4.

Przykłady 2. Funkcja okresowa y = f(x) jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Jego okres wynosi 5, a f(-1) = 1. Znajdź f(-12), jeśli 2f(3) - 5f(9) = 9. Rozwiązanie T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Odpowiedź: 7.

Referencje AG Mordkovich, PV Siemionow. Algebra i początki analizy (poziom profilu), klasa 10 A.G. Mordkovich, P.V. Siemionow. Algebra i początki analizy (poziom profilu), ocena 10. Przewodnik metodyczny dla nauczyciela

Na ten temat: rozwój metodologiczny, prezentacje i notatki

Prawo okresowe i układ okresowy D.I. Mendelejew.

Lekcja ogólna na ten temat prowadzona jest w formie gry, z wykorzystaniem elementów technologii warsztatów pedagogicznych....

Wydarzenie pozalekcyjne „Prawo okresowe i układ okresowy pierwiastków chemicznych D.I. Mendelejewa”

Wydarzenie pozalekcyjne ujawnia historię powstania prawa okresowego i układu okresowego D.I. Mendelejew. Informacje podane są w poetyckiej formie, co sprzyja szybkiemu zapamiętywaniu m...

Zgłoszenie na wydarzenie pozaszkolne „Prawo okresowe i układ okresowy pierwiastków chemicznych D.I. Mendelejewa”

Odkrycie prawa poprzedziła długa i intensywna praca naukowa D.I. Mendelejewa przez 15 lat, a kolejne 25 lat poświęcono na jego dalsze pogłębianie…

Wyposażenie: komputer, rzutnik multimedialny, karty zadań, slajdy, zegary, stoły ozdobne, elementy rękodzieła ludowego

„Matematyka jest tym, czego ludzie używają do kontrolowania natury i siebie”
JAKIŚ. Kołmogorowa

Podczas zajęć

I. Etap organizacyjny.

Sprawdzanie gotowości uczniów do zajęć. Przedstawienie tematu i celów lekcji.

II. Sprawdzanie pracy domowej.

Sprawdzamy pracę domową według próbek, omawiamy najtrudniejsze punkty.

III. Generalizacja i systematyzacja wiedzy.

1. Ustna praca czołowa.

Kwestie teorii.

y=grzech(x) = grzech(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Jak wykreślić funkcję okresową?

ćwiczenia ustne.

1) Udowodnij następujące zależności

A) grzech(740º) = grzech(20º)
B) cos(54º ) = cos(-1026º)
C) grzech(-1000º) = grzech(80º )

2. Wykaż, że kąt 540º jest jednym z okresów funkcji y= cos(2x)

3. Wykaż, że kąt 360º jest jednym z okresów funkcji y=tg(x)

4. Przekształć te wyrażenia tak, aby zawarte w nich kąty nie przekraczały 90º w wartości bezwzględnej.

A) tg375º
B) ctg530º
C) grzech1268º
D) cos(-7363º)

5. Gdzie spotkałeś się ze słowami OKRES, OKRESOWOŚĆ?

Okres półtrwania substancji radioaktywnej. Ułamek okresowy. Czasopisma to publikacje drukowane, które ukazują się w ściśle określonych terminach. Układ okresowy Mendelejewa.

6. Na rysunkach przedstawiono fragmenty wykresów funkcji okresowych. Zdefiniuj okres funkcji. Wyznacz okres funkcji.

Odpowiedź: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Gdzie w swoim życiu spotkałeś się z konstrukcją powtarzających się elementów?

Uczniowie odpowiadają: Elementy ozdób, sztuka ludowa.

IV. Zbiorowe rozwiązywanie problemów.

(Rozwiązywanie problemów na slajdach.)

Rozważmy jeden ze sposobów badania funkcji pod kątem okresowości.

Zadanie 1. Znajdź najmniejszy dodatni okres funkcji f(x)=1+3(x+q>5)

Rozwiązanie: Załóżmy, że okres T tej funkcji. Wtedy f(x+T)=f(x) dla wszystkich x ∈ D(f), tj.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Niech x=-0,25 otrzymamy

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Skoro (T+1)=(T) dla dowolnego T, to f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), tj. 1 - kropka ż. Ponieważ 1 jest najmniejszą ze wszystkich dodatnich liczb całkowitych, to T=1.

Zadanie 2. Wykaż, że funkcja f(x)=cos 2(x) jest okresowa i znajdź jej główny okres.

Zadanie 3. Znajdź główny okres funkcji

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Załóż okres T funkcji, a następnie dla dowolnego X stosunek

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Jeśli x=0 to

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Jeśli x=-T, to

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Dodając, otrzymujemy:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Wybierzmy ze wszystkich liczb „podejrzanych” dla okresu najmniejszą dodatnią i sprawdźmy, czy jest to kropka dla f. Ten numer

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Stąd jest głównym okresem funkcji f.

Zadanie 4. Sprawdź, czy funkcja f(x)=sin(x) jest okresowa

Niech T będzie okresem funkcji f. Wtedy dla dowolnego x

grzech|x+T|=grzech|x|

Jeśli x=0, to sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Przypuszczać. Że dla pewnego n liczba π n jest kropką

rozważana funkcja π n>0. Wtedy sin|π n+x|=grzech|x|

Oznacza to, że n musi być zarówno liczbą parzystą, jak i nieparzystą, co jest niemożliwe. Dlatego ta funkcja nie jest okresowa.

Zadanie 5. Sprawdź, czy funkcja jest okresowa

fa(x)=

Niech więc T będzie okresem f

, stąd sinT=0, T=π n, n € Z. Załóżmy, że dla pewnego n liczba π n jest rzeczywiście okresem danej funkcji. Wtedy liczba 2π n również będzie kropką

Ponieważ liczniki są równe, więc ich mianowniki są równe

Stąd funkcja f nie jest okresowa.

Praca grupowa.

Zadania dla grupy 1.

Zadania dla grupy 2.

Sprawdź, czy funkcja f jest okresowa i znajdź jej okres główny (jeśli istnieje).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Zadania dla grupy 3.

Na koniec pracy grupy prezentują swoje rozwiązania.

VI. Podsumowanie lekcji.

Odbicie.

VII. Praca domowa

1). Sprawdź, czy funkcja f jest okresowa i znajdź jej główny okres (jeśli istnieje)

B). f(x)=x 2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcja y=f(x) ma okres T=2 i f(x)=x 2 +2x dla x € [-2; 0]. Znajdź wartość wyrażenia -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/

Mordkowicz A.G. Algebra i początek analizy z pogłębionym studium.
Matematyka. Przygotowanie do egzaminu. wyd. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Szeremietiewa T.G. , Tarasowa E.A. Algebra i analiza początkowa dla klas 10-11.

Powtarzanie jego wartości w pewnych regularnych odstępach czasu argumentu, to znaczy nie zmienianie jego wartości, gdy do argumentu zostanie dodana pewna stała liczba różna od zera ( okres funkcje) w całej dziedzinie definicji.

Bardziej formalnie mówi się, że funkcja jest okresowa z okresem T ≠ 0 (\ Displaystyle T \ neq 0), jeśli dla każdego punktu x (\ displaystyle x) od obszaru definicji punktu x + T (\ displaystyle x + T) I x - T (\ displaystyle xT) również należą do jego dziedziny definicji, a dla nich równość fa (x) = fa (x + T) = fa (x - T) (\ Displaystyle f (x) = f (x + T) = f (xT)).

Na podstawie definicji równość zachodzi również dla funkcji okresowej fa (x) = fa (x + n T) (\ Displaystyle f (x) = f (x + n T)), Gdzie n (\ displaystyle n)- dowolna liczba całkowita.

Jeśli jednak zestaw okresów ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\ Displaystyle \ (T, T> 0, T \ in \ mathbb (R) \)) istnieje najmniejsza wartość, to się nazywa główny (lub główny) okres Funkcje.

Przykłady

grzech ⁡ (x + 2 π) = grzech ⁡ x , sałata ⁡ (x + 2 π) = sałata ⁡ x , ∀ x ∈ R . (\ Displaystyle \ sin (x+2 \ pi) = \ sin x, \; \ cos (x + 2 \ pi) = \ cos x, \ quad \ forall x \ in \ mathbb (R) .)

Funkcja Dirichleta jest okresowa; jej okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna. Nie ma też głównego okresu.

Niektóre cechy funkcji okresowych

I T 2 (\ Displaystyle T_ (2))(Jednak ta liczba będzie po prostu kropką). Na przykład funkcja fa (x) = grzech ⁡ (2 x) - grzech ⁡ (3 x) (\ Displaystyle f (x) = \ sin (2x) - \ sin (3x)) główny okres to 2 π (\ Displaystyle 2 \ pi ), na funkcji sol (x) = grzech ⁡ (3 x) (\ Displaystyle g (x) = \ sin (3x)) okres jest 2 pi / 3 (\ Displaystyle 2 \ pi / 3) i ich sumę fa (x) + sol (x) = grzech ⁡ (2 x) (\ Displaystyle f (x) + g (x) = \ sin (2x)) główny okres jest oczywiście równy π (\ Displaystyle \ pi).

Suma dwóch funkcji z niewspółmiernymi okresami nie zawsze jest funkcją nieokresową.

UDC 517,17 + 517,51

OKRES SUMY DWÓCH FUNKCJI OKRESOWYCH

A/O. Evnin

Praca całkowicie rozwiązuje pytanie, jaki może być okres główny funkcji okresowej, będącej sumą dwóch funkcji okresowych o znanych okresach głównych. Badamy również przypadek, gdy okresowa suma funkcji okresowych nie ma głównego okresu.

Rozważamy funkcje o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej. W wydaniu encyklopedycznym w artykule „Funkcje okresowe” można przeczytać: „Suma funkcji okresowych o różnych okresach jest okresowa tylko wtedy, gdy ich okresy są współmierne”. Twierdzenie to jest prawdziwe dla funkcji ciągłych1, ale nie w przypadku ogólnym. Kontrprzykład bardzo ogólnej formy został skonstruowany w . W tym artykule dowiemy się, jaki może być główny okres funkcji okresowej, który jest sumą dwóch funkcji okresowych o znanych okresach głównych.

Wstępne informacje

Przypomnijmy, że funkcję / nazywamy okresową, jeśli dla pewnej liczby T F O dla dowolnego x z dziedziny D(f) liczby x + T i x - T należą do D(f) i równości f(x + T) = fa(x) = fa(x ~ T). W tym przypadku liczba Г nazywana jest okresem funkcji.

Najmniejszy dodatni okres funkcji (jeśli oczywiście istnieje) będziemy nazywać okresem głównym. Znany jest następujący fakt.

Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja ma okres główny Do, to dowolny okres funkcji ma postać pTo, gdzie p Ф 0 jest liczbą całkowitą.

Mówimy, że liczby T\ i T2 są współmierne, jeśli istnieje liczba T0, która „pasuje” zarówno do T\, jak i T2 liczbę całkowitą razy: T\ = T2 = n2T0, u, n2e Z. W przeciwnym razie liczby T \ i T2 nazywane niewspółmiernymi. Współmierność (niewspółmierność) okresów oznacza zatem, że ich stosunek jest liczbą wymierną (niewymierną).

Z Twierdzenia 1 wynika, że dowolne dwa okresy funkcji, która ma okres główny, są współmierne.

Klasycznym przykładem funkcji, która nie ma najmniejszego okresu, jest funkcja Dirichleta, która jest równa 1 w punktach wymiernych i zero w punktach niewymiernych. Każda liczba wymierna inna niż zero jest okresem funkcji Dirichleta, a każda liczba niewymierna nie jest jej okresem. Jak widzimy, tutaj dowolne dwa okresy są współmierne.

Podajmy przykład niestałej funkcji okresowej z niewspółmiernymi okresami.

Niech funkcja /(x) w punktach postaci /u + la/2, m, n e Z będzie równa 1, aw pozostałych punktach będzie równa

zero. Wśród okresów tej funkcji są 1 i l

Okres sumy funkcji z okresami porównywalnymi

Twierdzenie 2. Niech fug będzie funkcjami okresowymi o okresach podstawowych mT0 i „To, gdzie typ

Liczby względnie pierwsze. Wtedy główny okres ich sumy (jeśli istnieje) to -

gdzie k jest liczbą naturalną względnie pierwszą z m .

Dowód. Niech h = / + g. Oczywiście liczba mnT0 to okres h. Na mocy

Twierdzenie 1, okres główny h ma postać, gdzie k jest pewną liczbą naturalną. Przypuszczalny

naciskamy, że k nie jest względnie pierwsze z liczbą m, to znaczy k - dku m \u003d dm\, gdzie d\u003e 1 jest najbardziej

1 Piękny dowód na to, że suma dowolnej skończonej liczby funkcji ciągłych z parami niewspółmiernymi okresami jest nieokresowa, zawarty jest w artykule Zobacz też.

większy wspólny dzielnik liczb m i k. Wtedy okres funkcji k jest równy

i funkcja f=h-g

ma okres mxnTo, który nie jest wielokrotnością jego głównego okresu mTQ. Otrzymuje się sprzeczność z Twierdzeniem 1. Zatem k jest względnie pierwsze z m. Podobnie liczby k i n są względnie pierwsze. Zatem A: jest względnie pierwsze z m. □

Twierdzenie 3. Niech m, n, k będą parami liczb względnie pierwszych i niech T0 będzie liczbą dodatnią. Następnie istnieją funkcje okresowe fug takie, że główne okresy f, g i (f + g) są równe

są odpowiednio mT$, nTQ i

Dowód. Dowód twierdzenia będzie konstruktywny: po prostu skonstruujemy odpowiedni przykład. Sformułujmy wstępnie następujący wynik. Oświadczenie. Niech m będzie względnie pierwszymi liczbami. Następnie funkcje

fx - cos- + cos--- i f2= cos- m n m

cos- mają główny numer okresu 2ktp. P

Dowód twierdzenia. Oczywiście liczba 2nm to okres obu funkcji. Łatwo sprawdzić, że ten okres jest głównym dla funkcji Znajdźmy jej maksymalne punkty.

x = 2lM, te Z.

Mamy = p!. Ponieważ typ jest względnie pierwszy, wynika z tego, że 5 jest wielokrotnością /r, tj. ja = ja e b. Oznacza to, że /x(x) = 2 o x = 2mmn1,1 e 2, a odległość między sąsiednimi maksymalnymi punktami funkcji /\ jest równa 2kn, a dodatni okres /1 nie może być mniejszy od liczby 2spn.

Dla funkcji f stosujemy argumenty innego rodzaju (które są również odpowiednie dla funkcji f, ale

mniej elementarne). Jak pokazuje Twierdzenie 1, okres główny Γ funkcji /2 ma postać -,

gdzie k jest pewną liczbą naturalną względnie pierwszą do typu. Liczba G będzie okresem funkcji

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 sałata

wszystkie okresy mają postać 2pp1. Więc,

2nnl, tj. m = kl. Ponieważ t i k są wzajemnie

stąd wynika, że k = 1.

Teraz, aby udowodnić Twierdzenie 3, możemy skonstruować żądany przykład. Przykład. Niech m, n, k będą parami liczb względnie pierwszych i niech przynajmniej jedna z liczb n lub k będzie różna od 1. Wtedy p f k i na mocy udowodnionego twierdzenia funkcji

/ (x) \u003d cos--- + koszt- t do

I g(x) = cos-cos - n do

mają podstawowe okresy odpowiednio 2 ltk i 2 tk oraz ich sumę

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

główny okres wynosi 2 tp.

Jeśli n = k = 1, wystarczy para funkcji

f(x)-2 cos- + COS X i g(x) - COS X. m

Ich główne okresy, jak również okres funkcji k(x) - 2, wynoszą odpowiednio 2lm, 2/ri 2type.

jak łatwo to sprawdzić.

Matematyka

Oznaczmy T = 2lx. Dla dowolnych par liczb względnie pierwszych mn, n i k funkcje / i £ są wskazane w taki sposób, że okresy główne funkcji /, g i / + g wynoszą odpowiednio mT, nT i

Warunki twierdzenia są spełnione przez funkcje / - l;

Okres sumy funkcji z niewspółmiernymi okresami

Następne stwierdzenie jest prawie oczywiste.

Twierdzenie 4. Niech fug będzie funkcjami okresowymi o niewspółmiernych okresach podstawowych T) i T2, a suma tych funkcji h = f + g niech będzie okresowa i ma okres podstawowy T. Wtedy liczba T nie jest niewspółmierna ani z T], ani z T2 .

Dowód. Z jednej strony, jeśli liczby TnT) są współmierne, to funkcja g = h-f ma okres współmierny do r]. Z drugiej strony, na mocy Twierdzenia 1, dowolny okres funkcji g jest wielokrotnością T2. Otrzymujemy sprzeczność z niewspółmiernością liczb T\ i T2. Podobnie dowodzi się niewspółmierności liczb T i T2, d

Godny uwagi, a nawet nieco zaskakujący jest fakt, że prawdziwa jest również odwrotność Twierdzenia 4. Istnieje powszechne błędne przekonanie, że suma dwóch funkcji okresowych o niewspółmiernych okresach nie może być funkcją okresową. W rzeczywistości tak nie jest. Co więcej, okresem sumy może być dowolna liczba dodatnia, która spełnia twierdzenie Twierdzenia 4.

Twierdzenie 5. Niech T\, T2 i T~ będą parami niewspółmiernymi liczbami dodatnimi. Następnie istnieją funkcje okresowe fug takie, że ich suma h =/+ g jest okresowa, a głównymi okresami funkcji f guh są odpowiednio Th T2 i T.

Dowód. Dowód znów będzie konstruktywny. Nasze konstrukcje będą zasadniczo zależeć od tego, czy liczbę T można przedstawić jako wymierną kombinację T = aT1 + pT2 (a i P są liczbami wymiernymi) okresów T1 i T2.

I. T nie jest racjonalną kombinacją Tr i J2-

Niech A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k e Z) będzie zbiorem całkowitych kombinacji liniowych liczb r1, T2 i T. Zauważmy od razu, że jeśli liczbę można przedstawić w postaci nT\ + nT2 + kT, to taka reprezentacja jest jednoznaczna. Rzeczywiście, jeśli mxT\ + n\Tr + k\T - m2Tx + n2T2 + k2T9 to

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - u)Tb, a dla k\ * k2 stwierdzamy, że T można racjonalnie wyrazić za pomocą T] i T2. Stąd k\ = k2. Teraz z niewspółmierności liczb T\ i T2 bezpośrednio otrzymujemy równości m\ = m2 i uu = n2.

Ważnym faktem jest łatwo weryfikowalny fakt, że zbiory A i jego dopełnienie A są domknięte na dodawanie liczb z A: jeśli x e A i y e A, to x + y e A; jeśli x e A i y e A, to x + y e A.

Załóżmy, że we wszystkich punktach zbioru A funkcje / i g są równe zeru, a na zbiorze A definiujemy te funkcje następująco:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - mT1 - kT.

Ponieważ, jak pokazano, współczynniki m, wierzchołek liniowej kombinacji okresów r, T2 i r można jednoznacznie odtworzyć z liczby x e A, wskazane przypisania funkcji f i g są poprawne.

Funkcja h =/ + g na zbiorze A jest równa zero, a w punktach zbioru A jest równa

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Przez bezpośrednie podstawienie łatwo sprawdzić, że liczba T\ jest okresem funkcji f, liczba T2 jest okresem g, a T~ okresem h. Pokażmy, że okresy te są podstawowe.

Po pierwsze, zauważamy, że dowolny okres funkcji / należy do zbioru A. Rzeczywiście,

jeśli 0 fx w A, y e A, to x + y e A i f(x + y) = 0 * f(x). Stąd y e A nie jest okresem funkcji /

Niech teraz liczby \, x2, które nie są sobie równe, należą do ^ i f (x 1) ~ f (x2). Z definicji funkcji / otrzymujemy stąd, że x\ - x2 = 1T gdzie I jest pewną niezerową liczbą całkowitą. Dlatego dowolny okres funkcji / jest wielokrotnością T\. Zatem Tx jest rzeczywiście głównym okresem /

Twierdzenia o T2 i T są weryfikowane w ten sam sposób.

Komentarz. W książce na str. 172-173 podają inną ogólną konstrukcję dla przypadku I.

II. T jest wymierną kombinacją T\ i T2.

Przedstawmy wymierną kombinację okresów T\ i T2 w postaci Γ = - (kxTx + k2T2), gdzie kx i

k2 ™ to liczby całkowite względnie pierwsze, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? i q to liczby naturalne. Rozważmy leZ>.

ren zestaw B----

Zakładamy, że we wszystkich punktach zbioru B funkcje f i g są równe zeru, a na zbiorze B definiujemy te funkcje następująco:

^ mT\ + nT2 ZA I

^ mTx + nT2L

Tutaj, jak zwykle, [x] i (x) oznaczają odpowiednio część całkowitą i część ułamkową liczb. Funkcja k = / + q na zbiorze B jest równa zeru, a w punktach zbioru B jest równa

fmTx +nT: l H

Za pomocą bezpośredniego podstawienia łatwo sprawdzić, że liczba Tx jest okresem funkcji /, liczba T2 jest okresem g, a T jest okresem h. Pokażmy, że okresy te są podstawowe.

Dowolny okres funkcji / należy do zbioru B. Rzeczywiście, jeśli 0 * x e B, y e B, to f(x) Φ 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Stąd y e B _ Okres niefunkcjonalny/

Zatem dowolny okres funkcji / ma postać Ty =

Gdzie 5i i 52 są liczbami całkowitymi. Pozwalać

x \u003d -7] 4 - Г2, x e 5. Jeśli i \u003d 0, to / (i) jest liczbą wymierną. Teraz z wymierności liczby / (x + 7)) wynika równość -I - I - 0. Mamy więc równość 52 = Xp, gdzie X jest liczbą całkowitą

numer. Relacja /(x + 7)) = /(x) przyjmuje postać

^ P + ja + ja w +

Ta równość musi obowiązywać dla wszystkich typów całkowitych. Kiedy m-p ~ 0, prawa strona (1) jest

do zera. Ponieważ części ułamkowe są nieujemne, stąd otrzymujemy, że -<0, а при

m \u003d n \u003d q - ] suma części ułamkowych po prawej stronie równości (1) jest nie mniejsza niż suma części ułamkowych h-X

ten po lewej. Więc - >0. Zatem X = 0 i 52 = 0. Zatem okres funkcji / ma postać

i staje się równość (1).

n\ | a 52 to liczby całkowite. Z relacji

d(0) = 0 = d(GA) =

otrzymujemy, że liczby 51 i ^ muszą być wielokrotnościami p, tj. dla pewnej liczby całkowitej Ax i A2 mamy 51 = A\p, E2 = A2p. Wtedy zależność (3) można zapisać jako

Z równości A2kx = k2A\ i względnie pierwszeństwa liczb k\ i k2 wynika, że A2 jest podzielne przez k2. Stąd

dla pewnej liczby całkowitej t obowiązują równości A2 = k2t i Ax ~ kxt, tj. T~-(kxTx + k2T2).

Pokazano, że dowolny okres funkcji h jest wielokrotnością okresu Т = - (к(Гх + к2Т2)9, który zatem

Zom, jest głównym. □

Brak głównego okresu

Twierdzenie 6. Niech Tx i T2~ będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Następnie istnieją funkcje okresowe fug takie, że ich głównymi okresami są odpowiednio T\ i T2, a ich suma h=f+g jest okresowa, ale nie ma głównego okresu.

Dowód. Rozważmy dwa możliwe przypadki.

I. Okresy Tx i T2 są niewspółmierne.

Niech A = + nT2 +kT\ . Jak wyżej, łatwo jest pokazać, że jeśli liczba

reprezentowalna w postaci mTx + nT2 + kT, to taka reprezentacja jest jednoznaczna.

Załóżmy, że we wszystkich punktach zbioru A funkcje / i g są równe zeru, a na zbiorze A definiujemy te funkcje następująco:

/z; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Łatwo sprawdzić, że liczba Tx jest okresem głównym funkcji /, liczba T2 jest okresem głównym g, a dla dowolnej liczby wymiernej kT jest okresem funkcji h - f + g, co zatem nie nie mają najmniejszego okresu.

II. Okresy Tx i T2 są porównywalne.

Niech Tx = mT0, T2 = nT0, gdzie T0 > 0, m i n są liczbami naturalnymi. Wprowadźmy pod rozwagę zbiór R = + .

Zakładamy, że we wszystkich punktach zbioru B funkcje fug są równe zeru, a na zbiorze B definiujemy te funkcje następująco:

/((/ + WT0) = W + Jit, g((/ + 4lk)T0) - W - 42k.

Funkcja h ~ / + g na zbiorze B jest równa zeru, aw punktach zbioru B jest równa

Łatwo sprawdzić, że okresem głównym funkcji / jest liczba 7j = mTQ, okresem głównym g jest liczba T2 ~ nT0, natomiast wśród okresów funkcji h ~ f + g znajdują się wszystkie liczby postaci l/2kT0, gdzie k jest dowolną liczbą wymierną. □

Konstrukcje dowodzące Twierdzenia 6 opierają się na niewspółmierności okresów funkcji h~ / + g z okresami funkcji / i g . Na zakończenie podajemy przykład funkcji fug takiej, że wszystkie okresy funkcji /, g i / + g są ze sobą współmierne, ale / i g mają okresy podstawowe, a f + g nie.

Niech m będzie pewną ustaloną liczbą naturalną, M będzie zbiorem nieredukowalnych ułamków niecałkowitych, których liczniki są wielokrotnościami m. Włóżmy

1 jeśli xM; 1

ifxe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O w innych przypadkach; 1 jeśli xeMU

~,jeślixe2 2

[O inaczej.

Łatwo zauważyć, że okresy główne funkcji fug są równe odpowiednio m i 1, natomiast suma / + g ma okres dowolnej liczby postaci m/n, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną względnie pierwszą Tomek.

Literatura

1. Matematyczny słownik encyklopedyczny / rozdz. wyd. Yu.V. Prochorow - M.: Sow. encyklopedia, 1988.

2. Mikaelyan LV, Sedrakyan N.M. O okresowości sumy funkcji okresowych// Edukacja matematyczna. - 2000 r. - nr 2 (13). - S. 29-33.

3. Gerenstein AV, Evnin A.Yu. O sumie funkcji okresowych// Matematyka w szkole. -2002. - Nr 1. - S. 68-72.

4. Iwlew B.M. i inne Zbiór problemów z algebry i zasady analizy dla komórek 9 i 10. - M.: Oświecenie, 1978.