Kostka różnicowa i różnica kostek: zasady stosowania skróconych wzorów na mnożenie. Skrócone wzory na mnożenie Przykładowe zadania ze wzorami na różnicę kwadratów oraz na sumę i różnicę kostek
Skrócone wzory na mnożenie.
Badanie skróconych wzorów mnożenia: kwadratu sumy i kwadratu różnicy dwóch wyrażeń; różnica kwadratów dwóch wyrażeń; sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń; sumy i różnice kostek dwóch wyrażeń.
Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.
Aby uprościć wyrażenia, rozłożyć wielomiany i sprowadzić wielomiany do postaci standardowej, stosuje się skrócone wzory na mnożenie. Skrócone wzory na mnożenie należy znać na pamięć.
Niech a, b R. Następnie:
1. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.
(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2
2. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.
(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
3. Różnica kwadratów dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy tych wyrażeń i ich sumy.
za 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Sześcian sumy dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.
(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Kostka różnicowa dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadrat drugiego wyrażenia minus sześcian drugiego wyrażenia.
(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Suma kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia oraz niepełnego kwadratu różnicy tych wyrażeń.
za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)
7. Różnica kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.
za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)
Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.
Przykład 1.
Oblicz
a) Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, mamy
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń, otrzymujemy
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Przykład 2.
Oblicz
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń, otrzymujemy
Przykład 3.
Uprość wyrażenie
(x - y) 2 + (x + y) 2
Skorzystajmy ze wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skrócone wzory mnożenia w jednej tabeli:
(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
za 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)
za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)
Skrócone wzory na mnożenie (FMF) służą do potęgowania i mnożenia liczb i wyrażeń. Często te formuły pozwalają na bardziej zwięzłe i szybkie wykonywanie obliczeń.
W tym artykule wymienimy podstawowe wzory na skrócone mnożenie, zgrupujemy je w tabeli, rozważymy przykłady użycia tych wzorów, a także zastanowimy się nad zasadami dowodu wzorów na skrócone mnożenie.
Po raz pierwszy temat FSU jest rozpatrywany w ramach kursu Algebra dla klasy 7. Poniżej znajduje się 7 podstawowych formuł.
Skrócone wzory na mnożenie
- wzór na kwadrat sumy: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- wzór na różnicę kwadratową: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
- wzór na kostkę sumy: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- wzór na kostkę różnicy: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- wzór na różnicę kwadratową: a 2 - b 2 = a - b a + b
- wzór na sumę kostek: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
- wzór na różnicę sześcianów: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
Litery a, b, c w tych wyrażeniach mogą być dowolnymi liczbami, zmiennymi lub wyrażeniami. Dla łatwości użycia lepiej nauczyć się na pamięć siedmiu podstawowych formuł. Zestawmy je w tabeli i przedstawmy poniżej, otaczając je ramką.
Pierwsze cztery formuły pozwalają obliczyć odpowiednio kwadrat lub sześcian sumy lub różnicy dwóch wyrażeń.
Piąta formuła oblicza różnicę między kwadratami wyrażeń, mnożąc ich sumę i różnicę.
Odpowiednio szósta i siódma formuła mnożą sumę i różnicę wyrażeń przez niepełny kwadrat różnicy i niepełny kwadrat sumy.
Skrócona formuła mnożenia jest czasami nazywana także skróconą tożsamością mnożenia. Nie jest to zaskakujące, ponieważ każda równość jest tożsamością.
Podczas rozwiązywania praktycznych przykładów często stosuje się skrócone wzory na mnożenie z zamienioną lewą i prawą stroną. Jest to szczególnie wygodne podczas rozkładu wielomianu na czynniki.
Dodatkowe skrócone wzory na mnożenie
Nie ograniczajmy się do kursu algebry z 7. klasy i dodawajmy do naszej tabeli FSU jeszcze kilka formuł.
Najpierw spójrzmy na wzór dwumianu Newtona.
za + b n = do n 0 · za n + do n 1 · za n - 1 · b + do n 2 · za n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n
Tutaj C n k są współczynnikami dwumianu, które pojawiają się w linii nr n w trójkącie Pascala. Współczynniki dwumianowe oblicza się ze wzoru:
do n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Jak widzimy, współczynnik FSF dla kwadratu i sześcianu różnicy oraz sumy jest szczególnym przypadkiem wzoru dwumianu Newtona dla odpowiednio n=2 i n=3.
Ale co, jeśli suma składa się z więcej niż dwóch wyrazów, które należy podnieść do potęgi? Przyda się wzór na kwadrat sumy trzech, czterech lub więcej wyrazów.
za 1 + za 2 + . . + za n 2 = za 1 2 + za 2 2 + . . + za n 2 + 2 za 1 za 2 + 2 za 1 za 3 + . . + 2 za 1 za n + 2 za 2 za 3 + 2 za 2 za 4 + . . + 2 za 2 za n + 2 za n - 1 za n
Innym wzorem, który może być przydatny, jest wzór na różnicę między n-tymi potęgami dwóch wyrazów.
za n - b n = za - b za n - 1 + za n - 2 b + za n - 3 b 2 + . . + za 2 b n - 2 + b n - 1
Wzór ten zwykle dzieli się na dwa wzory - odpowiednio na potęgę parzystą i nieparzystą.
Dla wskaźników nawet 2m:
za 2 m - b 2 m = za 2 - b 2 za 2 m - 2 + za 2 m - 4 b 2 + za 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Dla wykładników nieparzystych 2m+1:
za 2 m + 1 - b 2 m + 1 = za 2 - b 2 za 2 m + za 2 m - 1 b + za 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Różnica kwadratów i różnica sześcianów, jak się domyślasz, są specjalnymi przypadkami tego wzoru odpowiednio dla n = 2 i n = 3. W przypadku różnicy kostek b zastępuje się także - b.
Jak czytać skrócone wzory na mnożenie?
Podamy odpowiednie sformułowania dla każdego wzoru, ale najpierw zrozumiemy zasadę czytania wzorów. Najwygodniej jest to zrobić na przykładzie. Weźmy pierwszy wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.
za + b 2 = za 2 + 2 za b + b 2 .
Mówią: kwadrat sumy dwóch wyrażeń aib jest równy sumie kwadratu pierwszego wyrażenia, dwukrotności iloczynu wyrażeń i kwadratu drugiego wyrażenia.
Wszystkie pozostałe formuły czyta się podobnie. Dla kwadratu różnicy a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 piszemy:
kwadrat różnicy między dwoma wyrażeniami a i b jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego wyrażenia.
Przeczytajmy wzór a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Sześcian sumy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń, potrójnemu iloczynowi kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie i potrójnemu iloczynowi kwadratu drugiego wyrażenia przez pierwsze wyrażenie.
Przejdźmy do przeczytania wzoru na różnicę kostek a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Sześcian różnicy między dwoma wyrażeniami a i b jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu drugiego wyrażenia i pierwszego wyrażenia , minus sześcian drugiego wyrażenia.
Piąty wzór a 2 - b 2 = a - b a + b (różnica kwadratów) brzmi następująco: różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy i sumie dwóch wyrażeń.
Dla wygody wyrażenia takie jak a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 nazywane są odpowiednio niepełnym kwadratem sumy i niepełnym kwadratem różnicy.
Biorąc to pod uwagę, wzory na sumę i różnicę kostek można odczytać w następujący sposób:
Suma kostek dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń i częściowego kwadratu ich różnicy.
Różnica między sześcianami dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy między tymi wyrażeniami i częściowym kwadratem ich sumy.
Dowód FSU
Udowodnienie FSU jest dość proste. W oparciu o właściwości mnożenia będziemy mnożyć części wzorów w nawiasach.
Rozważmy na przykład wzór na kwadrat różnicy.
za - b 2 = za 2 - 2 za b + b 2 .
Aby podnieść wyrażenie do drugiej potęgi, należy je pomnożyć przez samo to wyrażenie.
a - b 2 = a - b a - b .
Rozwińmy nawiasy:
za - b za - b = za 2 - za b - b za + b 2 = za 2 - 2 za b + b 2 .
Formuła jest sprawdzona. Pozostałe FSU są udowodnione podobnie.
Przykłady zastosowań FSU
Celem stosowania skróconych wzorów na mnożenie jest szybkie i zwięzłe mnożenie oraz podnoszenie wyrażeń do potęg. Nie jest to jednak cały zakres stosowania FSU. Są szeroko stosowane w redukowaniu wyrażeń, redukowaniu ułamków i rozkładaniu na czynniki wielomianów. Podajmy przykłady.
Przykład 1. FSU
Uprośćmy wyrażenie 9 y - (1 + 3 y) 2.
Zastosujmy wzór na sumę kwadratów i otrzymamy:
9 lat - (1 + 3 lata) 2 = 9 lat - (1 + 6 lat + 9 lat 2) = 9 lat - 1 - 6 lat - 9 lat 2 = 3 lat - 1 - 9 lat 2
Przykład 2. FSU
Skróćmy ułamek 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
Zauważamy, że wyrażeniem w liczniku jest różnica kostek, a w mianowniku różnica kwadratów.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .
Zmniejszamy i otrzymujemy:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU pomagają również obliczyć wartości wyrażeń. Najważniejsze jest, aby móc zauważyć, gdzie zastosować formułę. Pokażmy to na przykładzie.
Podnieśmy liczbę 79 do kwadratu. Zamiast uciążliwych obliczeń napiszmy:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Wydawałoby się, że złożone obliczenia można przeprowadzić szybko, używając skróconych wzorów na mnożenie i tabliczki mnożenia.
Kolejnym ważnym punktem jest wybór kwadratu dwumianu. Wyrażenie 4 x 2 + 4 x - 3 można przekształcić na 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takie przekształcenia są szeroko stosowane w integracji.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Na poprzednich lekcjach przyglądaliśmy się dwóm sposobom rozkładu wielomianu na czynniki: wyjmując wspólny czynnik z nawiasów I metoda grupowania.
W tej lekcji przyjrzymy się innemu sposobowi rozkładu wielomianu na czynniki stosując skrócone wzory na mnożenie.
Zalecamy zapisanie każdej formuły co najmniej 12 razy. Aby lepiej zapamiętać, zapisz sobie wszystkie skrócone formuły mnożenia przez małe Ściągawka.
Przypomnijmy, jak wygląda wzór na różnicę kostek.
za 3 - b 3 = (a - b)(za 2 + ab + b 2)Różnica w formule kostek nie jest łatwa do zapamiętania, dlatego zalecamy skorzystanie z niej specjalna drogażeby to zapamiętać.
Ważne jest, aby zrozumieć, że działa również każda skrócona formuła mnożenia Odwrotna strona.
(a - b)(a 2 + ab + b 2) = za 3 - b 3Spójrzmy na przykład. Konieczne jest uwzględnienie różnicy kostek.
Należy pamiętać, że „27a 3” to „(3a) 3”, co oznacza, że dla wzoru na różnicę sześcianów zamiast „a” używamy „3a”.
Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów. Zamiast „a 3” mamy „27a 3”, a zamiast „b 3”, jak we wzorze, jest „b 3”.
Zastosowanie różnicy kostek w przeciwnym kierunku
Spójrzmy na inny przykład. Musisz przeliczyć iloczyn wielomianów na różnicę kostek, korzystając ze skróconej formuły mnożenia.
Należy pamiętać, że iloczyn wielomianów „(x − 1)(x 2 + x + 1)” przypomina prawą stronę różnicy wzoru sześcianów „”, tyle że zamiast „a” jest „x”, a na miejscu z „b” jest „1”.
Dla „(x − 1)(x 2 + x + 1)” używamy wzoru na różnicę sześcianów w przeciwnym kierunku.
Spójrzmy na bardziej skomplikowany przykład. Wymagane jest uproszczenie iloczynu wielomianów.
Jeśli porównamy „(y 2 − 1) (y 4 + y 2 + 1)” z prawą stroną wzoru na różnicę sześcianów
« za 3 - b 3 = (a - b)(za 2 + ab + b 2)„, to można zrozumieć, że zamiast „a” z pierwszego nawiasu jest „y 2”, a zamiast „b” jest „1”.