Prelegere pe tema: „Forma trigonometrică a unui număr complex”. Numere complexe în formă trigonometrică Un număr complex dat în formă trigonometrică

În această secțiune vom vorbi mai multe despre forma trigonometrică a unui număr complex. Forma demonstrativă este mult mai puțin comună în sarcinile practice. Recomand descărcarea și imprimarea, dacă este posibil. tabele trigonometrice, material metodologic se găsește la pagina Formule și tabele matematice. Nu poți merge departe fără mese.

Orice număr complex (cu excepția zero) poate fi scris sub formă trigonometrică:

Unde este modulul unui număr complex, A - argument de număr complex.

Să reprezentăm numărul pe planul complex. Pentru claritate și simplitate a explicației, o vom plasa în primul cadran de coordonate, i.e. Noi credem că:

Modulul unui număr complex este distanța de la origine până la punctul corespunzător din planul complex. Pur și simplu pune, modul este lungimea vector rază, care este indicat cu roșu în desen.

Modulul unui număr complex este de obicei notat cu: sau

Folosind teorema lui Pitagora, este ușor să se obțină o formulă pentru a afla modulul unui număr complex: . Această formulă este corectă pentru orice semnificații „a” și „fi”.

Notă : Modulul unui număr complex este o generalizare a conceptului modulul unui număr real, ca distanța de la un punct la origine.

Argumentul unui număr complex numit colţîntre semiaxă pozitivă axa reală și vectorul rază trasate de la origine până la punctul corespunzător. Argumentul nu este definit pentru singular:.

Principiul luat în considerare este de fapt similar cu coordonatele polare, unde raza polară și unghiul polar definesc unic un punct.

Argumentul unui număr complex este notat standard: sau

Din considerente geometrice, obținem următoarea formulă pentru găsirea argumentului:

. Atenţie! Această formulă funcționează doar în semiplanul drept! Dacă numărul complex nu este situat în cadranul de coordonate 1 sau 4, atunci formula va fi ușor diferită. Vom analiza și aceste cazuri.

Dar mai întâi, să ne uităm la cele mai simple exemple când numerele complexe sunt situate pe axele de coordonate.

Exemplul 7

Reprezentați numere complexe în formă trigonometrică: ,,,. Să facem desenul:

De fapt, sarcina este orală. Pentru claritate, voi rescrie forma trigonometrică a unui număr complex:

Să ne amintim cu fermitate, modulul – lungime(ceea ce este întotdeauna nenegativ), argument - colţ

1) Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul. Este evident că. Calcul formal folosind formula:. Este evident că (numărul se află direct pe semiaxa pozitivă reală). Astfel, numărul în formă trigonometrică:.

Acțiunea de verificare inversă este clară ca ziua:

2) Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul. Este evident că. Calcul formal folosind formula:. Evident (sau 90 de grade). În desen, colțul este indicat cu roșu. Deci numărul în formă trigonometrică este: .

Folosind , este ușor să obțineți înapoi forma algebrică a numărului (în același timp, efectuând o verificare):

3) Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și

argument. Este evident că. Calcul formal folosind formula:

Evident (sau 180 de grade). În desen colțul este indicat cu albastru. Astfel, numărul în formă trigonometrică:.

Examinare:

4) Și al patrulea caz interesant. Este evident că. Calcul formal folosind formula:.

Argumentul poate fi scris în două moduri: Primul mod: (270 de grade) și, în consecință: . Examinare:

Cu toate acestea, următoarea regulă este mai standard: Dacă unghiul este mai mare de 180 de grade, apoi se scrie cu semnul minus și orientarea opusă („defilare”) unghiului: (minus 90 de grade), în desen unghiul este marcat cu verde. Este ușor de observat

care este același unghi.

Astfel, intrarea ia forma:

Atenţie!În niciun caz nu trebuie să utilizați paritatea cosinusului, neobișnuirea sinusului și să „simplificați” în continuare notația:

Apropo, este util să ne amintim aspectul și proprietățile funcțiilor trigonometrice și trigonometrice inverse; materialele de referință sunt situate în ultimele paragrafe ale paginii Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare de bază. Și numerele complexe vor fi învățate mult mai ușor!

În proiectarea celor mai simple exemple, așa ar trebui să le scrieți: : "este evident ca modulul este... este evident ca argumentul este...". Acest lucru este cu adevărat evident și ușor de rezolvat verbal.

Să trecem la luarea în considerare a cazurilor mai frecvente. Nu există probleme cu modulul; trebuie să utilizați întotdeauna formula. Dar formulele pentru găsirea argumentului vor fi diferite, depinde de sfertul de coordonate în care se află numărul. În acest caz, sunt posibile trei opțiuni (este util să le rescrieți):

1) Dacă (1 și 4 sferturi de coordonate, sau semiplanul drept), atunci argumentul trebuie găsit folosind formula.

2) Dacă (al doilea trimestru de coordonate), atunci argumentul trebuie găsit folosind formula .

3) Dacă (al treilea trimestru de coordonate), atunci argumentul trebuie găsit folosind formula .

Exemplul 8

Reprezentați numere complexe în formă trigonometrică: ,,,.

Deoarece există formule gata făcute, nu este necesar să finalizați desenul. Dar există un punct: atunci când vi se cere să reprezentați un număr în formă trigonometrică Este mai bine să faci desenul oricum. Faptul este că o soluție fără desen este adesea respinsă de profesori; absența unui desen este un motiv serios pentru un minus și eșec.

Prezentăm numerele în formă complexă, iar primul și al treilea număr vor fi pentru soluție independentă.

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul.

Din moment ce (cazul 2), atunci

– aici trebuie să profitați de ciudățenia arctangentei. Din păcate, tabelul nu conține valoarea , așa că în astfel de cazuri argumentul trebuie lăsat într-o formă greoaie: – numere în formă trigonometrică.

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Să-i găsim modulul și argumentul.

Din moment ce (cazul 1), apoi (minus 60 de grade).

Prin urmare:

– un număr în formă trigonometrică.

Dar aici, după cum am menționat deja, sunt dezavantajele nu atinge.

Pe lângă metoda de verificare grafică distractivă, există și o verificare analitică, care a fost deja efectuată în Exemplul 7. Folosim tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, ținând cont de faptul că unghiul este exact unghiul tabelului (sau 300 de grade): – numere în forma algebrică originală.

Prezentați singur numerele în formă trigonometrică. O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

La sfârșitul secțiunii, pe scurt despre forma exponențială a unui număr complex.

Orice număr complex (cu excepția zero) poate fi scris în formă exponențială:

Unde este modulul unui număr complex și este argumentul numărului complex.

Ce trebuie să faceți pentru a reprezenta un număr complex în formă exponențială? Aproape la fel: executați un desen, găsiți un modul și un argument. Și scrieți numărul în forma .

De exemplu, pentru numărul din exemplul anterior am găsit modulul și argumentul:,. Apoi acest număr va fi scris în formă exponențială după cum urmează:.

Numărul în formă exponențială va arăta astfel:

Număr - Asa de:

Singurul sfat este nu atingeți indicatorul exponenți, nu este nevoie să rearanjați factorii, să deschideți paranteze etc. Un număr complex este scris în formă exponențială strict după formă.

Operații pe numere complexe scrise în formă algebrică

Forma algebrică a unui număr complex z =(A,b).se numește expresie algebrică a formei

z = A + bi.

Operatii aritmetice pe numere complexe z 1 = a 1 +b 1 iȘi z 2 = a 2 +b 2 i, scrise sub formă algebrică, se realizează după cum urmează.

1. Suma (diferența) numerelor complexe

z 1 ± z 2 = (A 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

acestea. adunarea (scăderea) se efectuează conform regulii de adunare a polinoamelor cu reducerea termenilor similari.

2. Produsul numerelor complexe

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

acestea. înmulţirea se realizează după regula obişnuită de înmulţire a polinoamelor, ţinând cont de faptul că i 2 = 1.

3. Împărțirea a două numere complexe se efectuează după următoarea regulă:

, (z 2 ≠ 0),

acestea. împărțirea se realizează prin înmulțirea dividendului și a divizorului cu numărul conjugat al divizorului.

Exponentiația numerelor complexe este definită după cum urmează:

Este ușor să arăți asta

Exemple.

1. Aflați suma numerelor complexe z 1 = 2 – iȘi z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Aflați produsul numerelor complexe z 1 = 2 – 3iȘi z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3eu∙ 5i = 7+22i.

3. Găsiți coeficientul z din diviziune z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Rezolvați ecuația: , XȘi y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Datorită egalității numerelor complexe avem:

Unde x =–1 , y= 4.

5. Calculați: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,i -2 .

6. Calculaţi dacă .

.

7. Calculați reciproca unui număr z=3-i.

Numere complexe în formă trigonometrică

Plan complex numit plan cu coordonate carteziene ( X y), dacă fiecare punct cu coordonate ( a, b) este asociat cu un număr complex z = a + bi. În acest caz, se numește axa absciselor axa reală, iar axa ordonatelor este imaginar. Apoi fiecare număr complex a+bi reprezentat geometric pe un plan ca punct A (a, b) sau vector.

Prin urmare, poziția punctului A(și, prin urmare, un număr complex z) poate fi specificată prin lungimea vectorului | | = rși unghi j, format din vectorul | | cu direcția pozitivă a axei reale. Se numește lungimea vectorului modulul unui număr complexși se notează cu | z |=r, și unghiul j numit argument de număr complex si este desemnat j = arg z.

Este clar că | z| ³ 0 și | z | = 0 Û z = 0.

Din fig. 2 este clar că .

Argumentul unui număr complex este determinat în mod ambiguu, dar cu o precizie de 2 pk, kÎ Z.

Din fig. 2 este de asemenea clar că dacă z=a+biȘi j=arg z, Acea

cos j =,păcat j =, tg j = .

Dacă zÎRȘi z> 0, atunci arg z = 0 +2pk;

Dacă z ОRȘi z< 0, atunci arg z = p + 2pk;

Dacă z = 0,arg z nedefinit.

Valoarea principală a argumentului este determinată pe intervalul 0 £ arg z£2 p,

sau -p£ arg z £ p.

Exemple:

1. Aflați modulul numerelor complexe z 1 = 4 – 3iȘi z 2 = –2–2i.

2. Definiți zone pe planul complex definit de condițiile:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+i) | 3 lire sterline; 4) 6 GBP | z – i| £7.

Solutii si raspunsuri:

1) | z| = 5 Û Û - ecuația unui cerc cu raza 5 și centru la origine.

2) Un cerc cu raza 6 cu centrul la origine.

3) Cerc cu raza 3 cu centrul în punct z 0 = 2 + i.

4) Un inel delimitat de cercuri cu raze 6 și 7 cu un centru într-un punct z 0 = i.

3. Aflați modulul și argumentul numerelor: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Sugestie: Când determinați argumentul principal, utilizați planul complex.

Prin urmare: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

NUMERE COMPLEXE XI

§ 256. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie un număr complex a + bi corespunde vectorului O.A.> cu coordonate ( a, b ) (vezi Fig. 332).

Să notăm lungimea acestui vector cu r , și unghiul pe care îl face cu axa X , prin φ . Prin definiția sinusului și cosinusului:

A / r =cos φ , b / r = păcat φ .

De aceea A = r cos φ , b = r păcat φ . Dar în acest caz numărul complex a + bi poate fi scris ca:

a + bi = r cos φ + ir păcat φ = r (cos φ + i păcat φ ).

După cum știți, pătratul lungimii oricărui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor sale. De aceea r 2 = A 2 + b 2, de unde r = √a 2 + b 2

Asa de, orice număr complex a + bi poate fi reprezentat sub formă :

a + bi = r (cos φ + i păcat φ ), (1)

unde r = √a 2 + b 2 și unghiul φ se determină din condiția:

Această formă de scriere a numerelor complexe se numește trigonometric.

Număr r în formula (1) se numește modul, și unghiul φ - argument, număr complex a + bi .

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci modulul său este pozitiv; dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0 și apoi r = 0.

Modulul oricărui număr complex este determinat în mod unic.

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci argumentul său este determinat de formulele (2) categoric precis la un unghi divizibil cu 2 π . Dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0. În acest caz r = 0. Din formula (1) este ușor de înțeles că ca argument φ în acest caz, puteți alege orice unghi: la urma urmei, pentru orice φ

0 (cos φ + i păcat φ ) = 0.

Prin urmare, argumentul nul este nedefinit.

Modulul unui număr complex r uneori notat | z |, iar argumentul arg z . Să ne uităm la câteva exemple de reprezentare a numerelor complexe în formă trigonometrică.

Exemplu. 1. 1 + i .

Să găsim modulul r si argument φ acest număr.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Prin urmare păcatul φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, de unde φ = π / 4 + 2nπ .

Prin urmare,

1 + i = √ 2 ,

Unde P - orice număr întreg. De obicei, din setul infinit de valori ale argumentului unui număr complex, se alege unul care este între 0 și 2 π . În acest caz, această valoare este π / 4 . De aceea

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i păcat π / 4)

Exemplul 2. Scrieți un număr complex în formă trigonometrică √ 3 - i . Avem:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, sin φ = - 1 / 2

Prin urmare, până la un unghi divizibil cu 2 π , φ = 11 / 6 π ; prin urmare,

√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i păcatul 11/6 π ).

Exemplul 3 Scrieți un număr complex în formă trigonometrică i.

Număr complex i corespunde vectorului O.A.> , care se termină în punctul A al axei la cu ordonata 1 (Fig. 333). Lungimea unui astfel de vector este 1, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este egal cu π / 2. De aceea

i =cos π / 2 + i păcat π / 2 .

Exemplul 4. Scrieți numărul complex 3 în formă trigonometrică.

Numărul complex 3 corespunde vectorului O.A. > X abscisa 3 (Fig. 334).

Lungimea unui astfel de vector este 3, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este 0. Prin urmare

3 = 3 (cos 0 + i păcat 0),

Exemplul 5. Scrieți numărul complex -5 în formă trigonometrică.

Numărul complex -5 corespunde unui vector O.A.> se termină într-un punct de axă X cu abscisă -5 (Fig. 335). Lungimea unui astfel de vector este 5, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este egal cu π . De aceea

5 = 5(cos π + i păcat π ).

Exerciții

2047. Scrieți aceste numere complexe în formă trigonometrică, definindu-și modulele și argumentele:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Indicați pe plan o mulțime de puncte reprezentând numere complexe ale căror module r și argumente φ îndeplinesc condițiile:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Pot numerele să fie simultan modulul unui număr complex? r Și - r ?

2050. Argumentul unui număr complex poate fi simultan unghiuri? φ Și - φ ?

Prezentați aceste numere complexe în formă trigonometrică, definindu-și modulele și argumentele:

2051*. 1 + cos α + i păcat α . 2054*. 2(cos 20° - i păcatul 20°).

2052*. păcat φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i păcatul 15°).

2.3. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie specificat vectorul pe plan complex prin numărul .

Să notăm cu φ unghiul dintre semiaxa pozitivă Ox și vector (unghiul φ este considerat pozitiv dacă se măsoară în sens invers acelor de ceasornic, iar negativ în caz contrar).

Să notăm lungimea vectorului cu r. Apoi . Notăm și noi

Scrierea unui număr complex diferit de zero z sub forma

se numește forma trigonometrică a numărului complex z. Numărul r se numește modulul numărului complex z, iar numărul φ se numește argumentul acestui număr complex și se notează cu Arg z.

Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex - (formula lui Euler) - formă exponențială de scriere a unui număr complex:

Numărul complex z are infinit de argumente: dacă φ0 este orice argument al numărului z, atunci toate celelalte pot fi găsite folosind formula

Pentru un număr complex, argumentul și forma trigonometrică nu sunt definite.

Astfel, argumentul unui număr complex diferit de zero este orice soluție a sistemului de ecuații:

(3)

Valoarea φ a argumentului unui număr complex z, care satisface inegalitățile, se numește valoare principală și se notează cu arg z.

Argumentele Arg z și arg z sunt legate prin

, (4)

Formula (5) este o consecință a sistemului (3), prin urmare toate argumentele unui număr complex satisfac egalitatea (5), dar nu toate soluțiile φ ale ecuației (5) sunt argumente ale numărului z.

Valoarea principală a argumentului unui număr complex diferit de zero se găsește după formulele:

Formulele pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică sunt următoarele:

. (7)

Când ridicați un număr complex la o putere naturală, se utilizează formula Moivre:

La extragerea rădăcinii unui număr complex, se utilizează formula:

, (9)

unde k=0, 1, 2, …, n-1.

Problema 54. Calculați unde .

Să prezentăm soluția acestei expresii în formă exponențială a scrierii unui număr complex: .

Daca atunci.

Apoi , . Prin urmare, atunci Și , Unde .

Răspuns: , la .

Problema 55. Scrieți numere complexe în formă trigonometrică:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; și) .

Deoarece forma trigonometrică a unui număr complex este , atunci:

a) Într-un număr complex: .

,

De aceea

b) , Unde ,

G) , Unde ,

e) .

și) , A , Acea .

De aceea

Răspuns: ; 4; ; ; ; ; .

Problema 56. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex

.

Lăsa , .

Apoi , , .

Din moment ce și , , apoi , și

Prin urmare, , prin urmare

Răspuns: , Unde .

Problema 57. Folosind forma trigonometrică a unui număr complex, efectuați următoarele acțiuni: .

Să ne imaginăm numerele și în formă trigonometrică.

1), unde Apoi

Găsiți valoarea argumentului principal:

Să înlocuim valorile și în expresie, obținem

2) , atunci unde

Apoi

3) Să găsim coeficientul

Presupunând k=0, 1, 2, obținem trei valori diferite ale rădăcinii dorite:

Daca atunci

daca atunci

daca atunci .

Răspuns: :

:

: .

Problema 58. Fie , , , numere complexe diferite și . Demonstrează asta

un număr este un număr real pozitiv;

b) egalitatea este valabilă:

a) Să reprezentăm aceste numere complexe în formă trigonometrică:

Deoarece .

Să ne prefacem că. Apoi

.

Ultima expresie este un număr pozitiv, deoarece semnele sinusului conțin numere din interval.

din moment ce numărul reale si pozitive. Într-adevăr, dacă a și b sunt numere complexe și sunt reale și mai mari decât zero, atunci .

In afara de asta,

prin urmare, egalitatea cerută este dovedită.

Problema 59. Scrieți numărul în formă algebrică .

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică și apoi să îi găsim forma algebrică. Avem . Pentru obținem sistemul:

Aceasta implică egalitatea: .

Aplicând formula lui Moivre: ,

primim

Se găsește forma trigonometrică a numărului dat.

Să scriem acum acest număr în formă algebrică:

.

Răspuns: .

Problema 60. Aflați suma , ,

Să luăm în considerare suma

Aplicând formula lui Moivre, găsim

Această sumă este suma a n termeni ai unei progresii geometrice cu numitorul iar primul membru .

Aplicând formula pentru suma termenilor unei astfel de progresii, avem

Izolând partea imaginară în ultima expresie, găsim

Izolând partea reală, obținem și următoarea formulă: , , .

Problema 61. Aflați suma:

A) ; b) .

Conform formulei lui Newton pentru exponențiere, avem

Folosind formula lui Moivre găsim:

Echivalând părțile reale și imaginare ale expresiilor rezultate pentru , avem:

Și .

Aceste formule pot fi scrise în formă compactă după cum urmează:

,

, unde este partea întreagă a numărului a.

Problema 62. Aflați toate , pentru care .

Deoarece , apoi, folosind formula

, Pentru a extrage rădăcinile, obținem ,

Prin urmare, , ,

, .

Punctele corespunzătoare numerelor sunt situate la vârfurile unui pătrat înscris într-un cerc de rază 2 cu centrul în punctul (0;0) (Fig. 30).

Răspuns: , ,

, .

Problema 63. Rezolvați ecuația , .

După condiție; prin urmare, această ecuație nu are rădăcină și, prin urmare, este echivalentă cu ecuația.

Pentru ca numărul z să fie rădăcina acestei ecuații, numărul trebuie să fie rădăcina a n-a a numărului 1.

De aici concluzionăm că ecuația originală are rădăcini determinate din egalități

,

Prin urmare,

,

adică ,

Răspuns: .

Problema 64. Rezolvați ecuația din mulțimea numerelor complexe.

Deoarece numărul nu este rădăcina acestei ecuații, atunci pentru această ecuație este echivalentă cu ecuația

Adică ecuația.

Toate rădăcinile acestei ecuații sunt obținute din formula (vezi problema 62):

; ; ; ; .

Problema 65. Desenați pe planul complex o mulțime de puncte care satisfac inegalitățile: . (a doua modalitate de a rezolva problema 45)

Lăsa .

Numerele complexe cu module identice corespund punctelor din plan situate pe un cerc centrat la origine, deci inegalitatea satisface toate punctele unui inel deschis delimitate de cercuri cu un centru comun la origine și razele și (Fig. 31). Fie ca un punct al planului complex să corespundă numărului w0. Număr , are un modul de câteva ori mai mic decât modulul w0 și un argument mai mare decât argumentul w0. Din punct de vedere geometric, punctul corespunzător lui w1 poate fi obținut folosind o homotezie cu un centru la origine și un coeficient, precum și o rotație față de origine printr-un unghi în sens invers acelor de ceasornic. Ca urmare a aplicării acestor două transformări la punctele inelului (Fig. 31), acesta din urmă se va transforma într-un inel delimitat de cercuri cu același centru și raze 1 și 2 (Fig. 32).

Conversie implementat folosind transferul paralel la un vector. Transferând inelul cu centrul în punct către vectorul indicat, obținem un inel de aceeași dimensiune cu centrul în punct (Fig. 22).

Metoda propusă, care utilizează ideea transformărilor geometrice ale unui plan, este probabil mai puțin convenabilă de descris, dar este foarte elegantă și eficientă.

Problema 66. Aflați dacă .

Fie , atunci și . Egalitatea inițială va lua forma . Din condiția de egalitate a două numere complexe obținem , , din care , . Prin urmare, .

Să scriem numărul z în formă trigonometrică:

, Unde , . Conform formulei lui Moivre, găsim .

Răspuns: – 64.

Problema 67. Pentru un număr complex, găsiți toate numerele complexe astfel încât , și .

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică:

. De aici, . Pentru numărul pe care îl obținem , poate fi egal cu sau .

In primul caz , in secunda

.

Răspuns: , .

Problema 68. Aflați suma unor astfel de numere care . Vă rugăm să indicați unul dintre aceste numere.

Rețineți că din formularea problemei se poate înțelege că suma rădăcinilor ecuației poate fi găsită fără a calcula rădăcinile în sine. Într-adevăr, suma rădăcinilor ecuației este coeficientul pentru , luat cu semnul opus (teorema generalizată a lui Vieta), adică.

Elevii, documentația școlară, trag concluzii despre gradul de stăpânire a acestui concept. Rezumați studiul trăsăturilor gândirii matematice și procesul de formare a conceptului de număr complex. Descrierea metodelor. Diagnostic: stadiul I. Conversația a fost purtată cu un profesor de matematică care predă algebră și geometrie în clasa a X-a. Conversația a avut loc după ce a trecut ceva timp de la început...

Rezonanță” (!)), care include și o evaluare a propriului comportament. 4. Evaluarea critică a înțelegerii situației de către cineva (îndoieli). 5. În final, utilizarea recomandărilor din psihologia juridică (avocatul ține cont de aspectele psihologice). aspecte ale acțiunilor profesionale efectuate - pregătirea psihologică profesională). Să luăm acum în considerare analiza psihologică a faptelor juridice...

Matematica substituției trigonometrice și testarea eficacității metodologiei de predare elaborate. Etapele lucrării: 1. Elaborarea unui curs opțional pe tema: „Aplicarea substituției trigonometrice la rezolvarea problemelor algebrice” cu elevii din clasele cu matematică avansată. 2. Desfășurarea cursului opțional dezvoltat. 3. Efectuarea unui test de diagnostic...

Sarcinile cognitive sunt destinate doar să completeze mijloacele didactice existente și trebuie să fie într-o combinație adecvată cu toate mijloacele și elementele tradiționale ale procesului educațional. Diferența dintre problemele educaționale din predarea științelor umaniste și cele exacte, de la problemele de matematică, este doar că în problemele istorice nu există formule, algoritmi stricti etc., ceea ce complică rezolvarea acestora. ...