Pentru a obține ecuația generală a unui plan, să analizăm planul care trece printr-un punct dat.

Să existe trei axe de coordonate deja cunoscute de noi în spațiu - Bou, OiȘi Oz. Țineți foaia de hârtie astfel încât să rămână plată. Avionul va fi foaia în sine și continuarea ei în toate direcțiile.

Lăsa P plan arbitrar în spațiu. Fiecare vector perpendicular pe acesta se numește vector normal la acest avion. Desigur, vorbim despre un vector diferit de zero.

Dacă se cunoaşte vreun punct al avionului Pși un vector normal al acestuia, atunci prin aceste două condiții planul în spațiu este complet definit(printr-un punct dat puteți desena un singur plan perpendicular pe vectorul dat). Ecuația generală a planului va fi:

Deci, condițiile care definesc ecuația planului sunt. Pentru a te obține ecuația plană, având forma de mai sus, ia în avion P arbitrar punct M cu coordonate variabile X, y, z. Acest punct aparține planului numai dacă vector perpendicular pe vector(Fig. 1). Pentru aceasta, conform condiției de perpendicularitate a vectorilor, este necesar și suficient ca produsul scalar al acestor vectori să fie egal cu zero, adică

Vectorul este specificat de condiție. Găsim coordonatele vectorului folosind formula :

.

Acum, folosind formula produsului scalar al vectorilor , exprimăm produsul scalar sub formă de coordonate:

De la punctul M(x; y; z) este aleasă arbitrar pe plan, apoi ultima ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct situat pe plan P. Pentru un punct N, neîntins într-un anumit plan, adică egalitatea (1) este încălcată.

Exemplul 1. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct și perpendicular pe vector.

Soluţie. Să folosim formula (1) și să ne uităm din nou:

În această formulă numerele A , BȘi C coordonate vectoriale și numere X0 , y0 Și z0 - coordonatele punctului.

Calculele sunt foarte simple: înlocuim aceste numere în formulă și obținem

Înmulțim tot ce trebuie înmulțit și adunăm doar numere (care nu au litere). Rezultat:

.

Ecuația necesară a planului din acest exemplu s-a dovedit a fi exprimată printr-o ecuație generală de gradul întâi în raport cu coordonatele variabile x, y, z punct arbitrar al planului.

Deci, o ecuație a formei

numit ecuația planului general .

Exemplul 2. Construiți într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare un plan dat de ecuație .

Soluţie. Pentru a construi un plan, este necesar și suficient să cunoașteți oricare trei dintre punctele sale care nu se află pe aceeași linie dreaptă, de exemplu, punctele de intersecție ale planului cu axele de coordonate.

Cum să găsești aceste puncte? Pentru a găsi punctul de intersecție cu axa Oz, trebuie să înlocuiți zerourile pentru X și Y în ecuația dată în enunțul problemei: X = y= 0 . Prin urmare primim z= 6. Astfel, planul dat intersectează axa Oz la punct A(0; 0; 6) .

În același mod găsim punctul de intersecție al planului cu axa Oi. La X = z= 0 obținem y= −3, adică punctul B(0; −3; 0) .

Și, în sfârșit, găsim punctul de intersecție al planului nostru cu axa Bou. La y = z= 0 obținem X= 2, adică un punct C(2; 0; 0). Pe baza celor trei puncte obținute în soluția noastră A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) și C(2; 0; 0) construiți planul dat.

Să luăm în considerare acum cazuri speciale ale ecuaţiei planului general. Acestea sunt cazurile în care anumiți coeficienți ai ecuației (2) devin zero.

1. Când D= 0 ecuație definește un plan care trece prin origine, deoarece coordonatele punctului 0 (0; 0; 0) satisface această ecuație.

2. Când A= 0 ecuație definește un plan paralel cu axa Bou, deoarece vectorul normal al acestui plan este perpendicular pe axa Bou(proiecția sa pe axă Bou egal cu zero). La fel, când B= 0 avion paralel cu axa Oi, și atunci când C= 0 avion paralel cu axa Oz.

3. Când A=D= Ecuația 0 definește un plan care trece prin axă Bou, deoarece este paralelă cu axa Bou (A=D= 0). În mod similar, planul trece prin axă Oi, iar planul prin axă Oz.

4. Când A=B= Ecuația 0 definește un plan paralel cu planul de coordonate xOy, deoarece este paralel cu axele Bou (A= 0) și Oi (B= 0). În mod similar, planul este paralel cu planul yOz, iar avionul este avionul xOz.

5. Când A=B=D= 0 ecuație (sau z = 0) definește planul de coordonate xOy, deoarece este paralel cu planul xOy (A=B= 0) și trece prin origine ( D= 0). La fel, Ec. y = 0 în spațiu definește planul de coordonate xOz, și ecuația x = 0 - plan de coordonate yOz.

Exemplul 3. Creați o ecuație a planului P, trecând prin axă Oiși punct.

Soluţie. Deci planul trece prin axă Oi. Prin urmare, în ecuația ei y= 0 și această ecuație are forma . Pentru a determina coeficienții AȘi C să profităm de faptul că punctul aparține planului P .

Prin urmare, printre coordonatele sale se numără cele care pot fi substituite în ecuația plană pe care am derivat-o deja (). Să ne uităm din nou la coordonatele punctului:

M0 (2; −4; 3) .

Printre ei X = 2 , z= 3 . Le substituim în ecuația generală și obținem ecuația pentru cazul nostru particular:

2A + 3C = 0 .

Lasă 2 Aîn partea stângă a ecuației, mutați 3 Cîn partea dreaptă și ajungem

A = −1,5C .

Înlocuirea valorii găsite Aîn ecuație, obținem

sau .

Aceasta este ecuația necesară în condiția exemplu.

Rezolvați singur problema ecuației plane, apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 4. Definiți un plan (sau planuri, dacă sunt mai multe) în raport cu axele de coordonate sau planurile de coordonate dacă planul (planele) este dat de ecuație.

Soluțiile la problemele tipice care apar în timpul testelor sunt în manualul „Probleme pe un plan: paralelism, perpendicularitate, intersecția a trei plane într-un punct”.

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte

După cum sa menționat deja, o condiție necesară și suficientă pentru construirea unui plan, pe lângă un punct și vectorul normal, sunt și trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă.

Să fie date trei puncte diferite , și , care nu se află pe aceeași linie. Deoarece cele trei puncte indicate nu se află pe aceeași dreaptă, vectorii nu sunt coliniari și, prin urmare, orice punct din plan se află în același plan cu punctele și dacă și numai dacă vectorii , și coplanare, adică atunci și numai când produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero.

Folosind expresia produsului mixt în coordonate, obținem ecuația planului

(3)

După dezvăluirea determinantului, această ecuație devine o ecuație de forma (2), adică. ecuația generală a planului.

Exemplul 5. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte date care nu se află pe aceeași dreaptă:

și determinați un caz special al ecuației generale a unei drepte, dacă apare unul.

Soluţie. Conform formulei (3) avem:

Ecuația plană normală. Distanța de la punct la plan

Ecuația normală a unui plan este ecuația acestuia, scrisă sub forma

Dacă toate numerele A, B, C și D sunt diferite de zero, atunci ecuația generală a planului se numește complet. În caz contrar, se numește ecuația generală a planului incomplet.

Să luăm în considerare toate ecuațiile generale incomplete posibile ale planului în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiul tridimensional.

Fie D = 0, atunci avem o ecuație generală plană incompletă de forma . Acest plan din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz trece prin origine. Într-adevăr, când înlocuim coordonatele unui punct în ecuația incompletă rezultată a planului, ajungem la identitatea .

Pentru , sau , sau avem ecuații generale incomplete ale planelor , sau , sau , respectiv. Aceste ecuații definesc plane paralele cu planurile de coordonate Oxy, Oxz și, respectiv, Oyz (vezi articolul pentru starea planurilor paralele) și care trec prin puncte și în mod corespunzător. La. De la punctul aparține planului prin condiție, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația planului, adică egalitatea trebuie să fie adevărată. De aici găsim. Astfel, ecuația necesară are forma .

Să prezentăm a doua modalitate de a rezolva această problemă.

Deoarece planul, a cărui ecuație generală trebuie să o compunem, este paralel cu planul Oyz, atunci ca vector normal putem lua vectorul normal al planului Oyz. Vectorul normal al planului de coordonate Oyz este vectorul de coordonate. Acum cunoaștem vectorul normal al planului și punctul planului, prin urmare, putem scrie ecuația lui generală (am rezolvat o problemă similară în paragraful anterior al acestui articol):
, atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația planului. Prin urmare, egalitatea este adevărată de unde o găsim. Acum putem scrie ecuația generală dorită a planului, are forma .

Răspuns:

Bibliografie.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Poate fi specificat în diferite moduri (un punct și un vector, două puncte și un vector, trei puncte etc.). Având în vedere acest lucru, ecuația plană poate avea forme diferite. De asemenea, în anumite condiții, planurile pot fi paralele, perpendiculare, intersectate etc. Vom vorbi despre asta în acest articol. Vom învăța cum să creăm o ecuație generală a unui plan și nu numai.

Forma normală a ecuației

Să presupunem că există un spațiu R 3 care are un sistem de coordonate XYZ dreptunghiular. Să definim vectorul α, care va fi eliberat din punctul inițial O. Prin capătul vectorului α desenăm un plan P, care va fi perpendicular pe acesta.

Să notăm un punct arbitrar pe P ca Q = (x, y, z). Să semnăm vectorul rază al punctului Q cu litera p. În acest caz, lungimea vectorului α este egală cu р=IαI și Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Acesta este un vector unitar care este direcționat în lateral, ca vectorul α. α, β și γ sunt unghiurile care se formează între vectorul Ʋ și direcțiile pozitive ale axelor spațiale x, y, z, respectiv. Proiecția oricărui punct QϵП pe vectorul Ʋ este o valoare constantă care este egală cu p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ecuația de mai sus are sens când p=0. Singurul lucru este că planul P în acest caz va intersecta punctul O (α=0), care este originea coordonatelor, iar vectorul unitar Ʋ eliberat din punctul O va fi perpendicular pe P, în ciuda direcției sale, care înseamnă că vectorul Ʋ este determinat cu exactitate la semn. Ecuația anterioară este ecuația planului nostru P, exprimată sub formă vectorială. Dar în coordonate va arăta astfel:

P aici este mai mare sau egal cu 0. Am găsit ecuația planului în spațiu în formă normală.

Ecuație generală

Dacă înmulțim ecuația în coordonate cu orice număr care nu este egal cu zero, obținem o ecuație echivalentă cu aceasta, definind chiar acel plan. Va arăta astfel:

Aici A, B, C sunt numere care sunt simultan diferite de zero. Această ecuație se numește ecuația planului general.

Ecuații de planuri. Cazuri speciale

Ecuația în formă generală poate fi modificată în prezența unor condiții suplimentare. Să ne uităm la unele dintre ele.

Să presupunem că coeficientul A este 0. Aceasta înseamnă că acest plan este paralel cu axa Ox dată. În acest caz, forma ecuației se va schimba: Ву+Cz+D=0.

În mod similar, forma ecuației se va schimba în următoarele condiții:

• În primul rând, dacă B = 0, atunci ecuația se va schimba în Ax + Cz + D = 0, ceea ce va indica paralelismul cu axa Oy.
• În al doilea rând, dacă C=0, atunci ecuația va fi transformată în Ax+By+D=0, ceea ce va indica paralelismul cu axa Oz dată.
• În al treilea rând, dacă D=0, ecuația va arăta ca Ax+By+Cz=0, ceea ce va însemna că planul intersectează O (originea).
• În al patrulea rând, dacă A=B=0, atunci ecuația se va schimba în Cz+D=0, ceea ce se va dovedi paralel cu Oxy.
• În al cincilea rând, dacă B=C=0, atunci ecuația devine Ax+D=0, ceea ce înseamnă că planul către Oyz este paralel.
• În al șaselea rând, dacă A=C=0, atunci ecuația va lua forma Ву+D=0, adică va raporta paralelismul la Oxz.

Tip de ecuație în segmente

În cazul în care numerele A, B, C, D sunt diferite de zero, forma ecuației (0) poate fi după cum urmează:

x/a + y/b + z/c = 1,

în care a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Ca rezultat, este de remarcat faptul că acest plan va intersecta axa Ox într-un punct cu coordonatele (a,0,0), Oy - (0,b,0) și Oz - (0,0,c). ).

Luând în considerare ecuația x/a + y/b + z/c = 1, nu este dificil să ne imaginăm vizual plasarea planului în raport cu un anumit sistem de coordonate.

Coordonate vectoriale normale

Vectorul normal n la planul P are coordonate care sunt coeficienți ai ecuației generale a acestui plan, adică n (A, B, C).

Pentru a determina coordonatele normalei n, este suficient să cunoaștem ecuația generală a unui plan dat.

Când folosiți o ecuație în segmente, care are forma x/a + y/b + z/c = 1, ca și atunci când utilizați o ecuație generală, puteți scrie coordonatele oricărui vector normal al unui plan dat: (1/a + 1/b + 1/ Cu).

Este de remarcat faptul că vectorul normal ajută la rezolvarea unei varietăți de probleme. Cele mai frecvente includ probleme care presupun demonstrarea perpendicularității sau paralelismului planelor, probleme de găsire a unghiurilor între plane sau unghiurilor dintre plane și drepte.

Tip de ecuație plană în funcție de coordonatele punctului și ale vectorului normal

Un vector diferit de zero n perpendicular pe un plan dat se numește normal pentru un plan dat.

Să presupunem că în spațiul de coordonate (sistem de coordonate dreptunghiulare) Oxyz sunt date:

• punctul Mₒ cu coordonatele (xₒ,yₒ,zₒ);
• vector zero n=A*i+B*j+C*k.

Este necesar să se creeze o ecuație pentru un plan care va trece prin punctul Mₒ perpendicular pe normala n.

Alegem orice punct arbitrar din spațiu și îl notăm M (x y, z). Fie vectorul rază al oricărui punct M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, iar vectorul rază al punctului Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punctul M va aparține unui plan dat dacă vectorul MₒM este perpendicular pe vectorul n. Să scriem condiția de ortogonalitate folosind produsul scalar:

[MₒM, n] = 0.

Deoarece MₒM = r-rₒ, ecuația vectorială a planului va arăta astfel:

Această ecuație poate avea altă formă. Pentru a face acest lucru, se folosesc proprietățile produsului scalar, iar partea stângă a ecuației este transformată. = - . Dacă îl notăm c, obținem următoarea ecuație: - c = 0 sau = c, care exprimă constanța proiecțiilor pe vectorul normal al vectorilor cu rază ai punctelor date care aparțin planului.

Acum putem obține forma de coordonate de scriere a ecuației vectoriale a planului nostru = 0. Deoarece r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k și n = A*i+B *j+С*k, avem:

Rezultă că avem o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct perpendicular pe normala n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tip de ecuație plană în funcție de coordonatele a două puncte și un vector coliniar cu planul

Să definim două puncte arbitrare M′ (x′,y′,z′) și M″ (x″,y″,z″), precum și un vector a (a′,a″,a‴).

Acum putem crea o ecuație pentru un plan dat care va trece prin punctele existente M′ și M″, precum și orice punct M cu coordonatele (x, y, z) paralele cu vectorul dat a.

În acest caz, vectorii M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) și M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) trebuie să fie coplanari cu vectorul a=(a′,a″,a‴), ceea ce înseamnă că (M′M, M″M, a)=0.

Deci, ecuația noastră plană din spațiu va arăta astfel:

Tip de ecuație a unui plan care intersectează trei puncte

Să presupunem că avem trei puncte: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), care nu aparțin aceleiași drepte. Este necesar să scrieți ecuația unui plan care trece prin trei puncte date. Teoria geometriei susține că acest tip de plan există cu adevărat, dar este singurul și unic. Deoarece acest plan intersectează punctul (x′,y′,z′), forma ecuației sale va fi după cum urmează:

Aici A, B, C sunt diferite de zero în același timp. De asemenea, planul dat intersectează încă două puncte: (x″,y″,z″) și (x‴,y‴,z‴). În acest sens, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

Acum putem crea un sistem omogen cu necunoscute u, v, w:

În cazul nostru, x, y sau z este un punct arbitrar care satisface ecuația (1). Având în vedere ecuația (1) și sistemul de ecuații (2) și (3), sistemul de ecuații indicat în figura de mai sus este satisfăcut de vectorul N (A,B,C), care este netrivial. De aceea determinantul acestui sistem este egal cu zero.

Ecuația (1) pe care am obținut-o este ecuația planului. Trece prin 3 puncte exact, iar acest lucru este ușor de verificat. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne extindem determinantul în elementele din primul rând. Din proprietățile existente ale determinantului rezultă că planul nostru intersectează simultan trei puncte date inițial (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Adică am rezolvat sarcina care ne-a fost atribuită.

Unghiul diedric dintre plane

Un unghi diedru este o figură geometrică spațială formată din două semiplane care emană dintr-o linie dreaptă. Cu alte cuvinte, aceasta este partea din spațiu care este limitată de aceste semiplanuri.

Să presupunem că avem două plane cu următoarele ecuații:

Știm că vectorii N=(A,B,C) și N¹=(A¹,B¹,C¹) sunt perpendiculari conform planurilor date. În acest sens, unghiul φ dintre vectorii N și N¹ este egal cu unghiul (diedrul) care se află între aceste plane. Produsul punctual are forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

tocmai pentru că

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Este suficient să ținem cont că 0≤φ≤π.

De fapt, două plane care se intersectează formează două unghiuri (diedre): φ 1 și φ 2. Suma lor este egală cu π (φ 1 + φ 2 = π). În ceea ce privește cosinusurile lor, valorile lor absolute sunt egale, dar diferă în semn, adică cos φ 1 = -cos φ 2. Dacă în ecuația (0) înlocuim A, B și C cu numerele -A, -B și respectiv -C, atunci ecuația pe care o obținem va determina același plan, singurul, unghiul φ din ecuația cos φ= NN 1 /| N||N 1 | va fi înlocuit cu π-φ.

Ecuația unui plan perpendicular

Planurile între care unghiul este de 90 de grade se numesc perpendiculare. Folosind materialul prezentat mai sus, putem găsi ecuația unui plan perpendicular pe altul. Să presupunem că avem două plane: Ax+By+Cz+D=0 și A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Putem spune că vor fi perpendiculare dacă cosφ=0. Aceasta înseamnă că NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Ecuația planului paralel

Două plane care nu conțin puncte comune se numesc paralele.

Condiția (ecuațiile lor sunt aceleași ca în paragraful anterior) este ca vectorii N și N¹, care sunt perpendiculari pe ei, să fie coliniari. Aceasta înseamnă că sunt îndeplinite următoarele condiții de proporționalitate:

A/A¹=B/B1=C/C1.

Dacă condițiile de proporționalitate sunt extinse - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

aceasta indică faptul că aceste planuri coincid. Aceasta înseamnă că ecuațiile Ax+By+Cz+D=0 și A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descriu un plan.

Distanța până la avion de la punct

Să presupunem că avem un plan P, care este dat de ecuația (0). Este necesar să găsiți distanța până la acesta de la un punct cu coordonatele (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Pentru a face acest lucru, trebuie să aduceți ecuația planului P în formă normală:

(ρ,v)=р (р≥0).

În acest caz, ρ (x,y,z) este vectorul rază a punctului nostru Q situat pe P, p este lungimea perpendicularei P care a fost eliberată din punctul zero, v este vectorul unitar, care este situat în direcția a.

Diferența ρ-ρº vector de rază a unui punct Q = (x, y, z), aparținând lui P, precum și vectorul de rază a unui punct dat Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) este un astfel de vector, valoarea absolută a proiecției căreia pe v este egală cu distanța d care trebuie găsită de la Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) la P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, dar

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Deci se dovedește

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Astfel, vom găsi valoarea absolută a expresiei rezultate, adică d dorită.

Folosind limbajul parametrilor, obținem ceea ce este evident:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Dacă un punct dat Q 0 se află de cealaltă parte a planului P, ca originea coordonatelor, atunci între vectorul ρ-ρ 0 și v există deci:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

În cazul în care punctul Q 0, împreună cu originea coordonatelor, este situat pe aceeași parte a lui P, atunci unghiul creat este ascuțit, adică:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Ca urmare, rezultă că în primul caz (ρ 0 ,v)>р, în al doilea (ρ 0 ,v)<р.

Planul tangent și ecuația acestuia

Planul tangent la suprafață în punctul de contact Mº este un plan care conține toate tangentele posibile la curbele trasate prin acest punct de pe suprafață.

Cu acest tip de ecuație de suprafață F(x,y,z)=0, ecuația planului tangent la punctul tangent Mº(xº,yº,zº) va arăta astfel:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Dacă specificați suprafața în formă explicită z=f (x,y), atunci planul tangent va fi descris de ecuația:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Intersecția a două planuri

În sistemul de coordonate (dreptunghiular) se află Oxyz, sunt date două plane П′ și П″, care se intersectează și nu coincid. Deoarece orice plan situat într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinat de o ecuație generală, vom presupune că P′ și P″ sunt date de ecuațiile A′x+B′y+C′z+D′=0 și A″x +B″y+ С″z+D″=0. În acest caz, avem normala n′ (A′,B′,C′) a planului P′ și normala n″ (A″,B″,C″) a planului P″. Deoarece planurile noastre nu sunt paralele și nu coincid, acești vectori nu sunt coliniari. Folosind limbajul matematicii, putem scrie această condiție astfel: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Fie ca linia dreaptă care se află la intersecția dintre P′ și P″ se notează cu litera a, în acest caz a = P′ ∩ P″.

a este o linie dreaptă constând din mulțimea tuturor punctelor planurilor (comune) P′ și P″. Aceasta înseamnă că coordonatele oricărui punct aparținând dreptei a trebuie să îndeplinească simultan ecuațiile A′x+B′y+C′z+D′=0 și A″x+B″y+C″z+D″=0 . Aceasta înseamnă că coordonatele punctului vor fi o soluție parțială a următorului sistem de ecuații:

Ca urmare, se dovedește că soluția (generală) a acestui sistem de ecuații va determina coordonatele fiecăruia dintre punctele dreptei, care va acționa ca punct de intersecție al lui P′ și P″, și va determina linia dreaptă a în sistemul de coordonate Oxyz (dreptunghiular) în spațiu.

Pentru ca un singur plan să fie trasat prin oricare trei puncte din spațiu, este necesar ca aceste puncte să nu se afle pe aceeași linie dreaptă.

Se consideră punctele M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) din sistemul general de coordonate carteziene.

Pentru ca un punct arbitrar M(x, y, z) să se afle în același plan cu punctele M 1, M 2, M 3, este necesar ca vectorii să fie coplanari.

(
) = 0

Prin urmare,

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte:

Ecuația unui plan dat două puncte și un vector coliniar cu planul.

Să fie date punctele M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) și vectorul
.

Să creăm o ecuație pentru un plan care trece prin punctele date M 1 și M 2 și un punct arbitrar M (x, y, z) paralel cu vectorul .

Vectori
și vector
trebuie să fie coplanare, adică

(
) = 0

Ecuația plană:

Ecuația unui plan folosind un punct și doi vectori,

coliniar cu planul.

Să fie dați doi vectori
Și
, planuri coliniare. Atunci pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, vectorii
trebuie să fie coplanare.

Ecuația plană:

Ecuația unui plan cu punct și vector normal .

Teorema. Dacă un punct M este dat în spațiu 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), apoi ecuația planului care trece prin punctul M 0 perpendicular pe vectorul normal (A, B, C) are forma:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dovada. Pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, compunem un vector. Deoarece vector este vectorul normal, atunci este perpendicular pe plan și, prin urmare, perpendicular pe vector
. Apoi produsul scalar

= 0

Astfel, obținem ecuația planului

Teorema a fost demonstrată.

Ecuația unui plan în segmente.

Dacă în ecuația generală Ax + Bi + Cz + D = 0 împărțim ambele părți la (-D)

,

înlocuind
, obținem ecuația planului în segmente:

Numerele a, b, c sunt punctele de intersecție ale planului cu axele x, y, respectiv z.

Ecuația unui plan în formă vectorială.

Unde

- vector raza punctului curent M(x, y, z),

Un vector unitar având direcția unei perpendiculare aruncată pe un plan de la origine.

,  și  sunt unghiurile formate de acest vector cu axele x, y, z.

p este lungimea acestei perpendiculare.

În coordonate, această ecuație arată astfel:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distanța de la un punct la un plan.

Distanța de la un punct arbitrar M 0 (x 0, y 0, z 0) la planul Ax+By+Cz+D=0 este:

Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P(4; -3; 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.

Deci A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, folosim formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unui plan care trece prin două puncte P(2; 0; -1) și

Q(1; -1; 3) perpendicular pe planul 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vector normal cu planul 3x + 2y – z + 5 = 0
paralel cu planul dorit.

Primim:

Exemplu. Aflați ecuația planului care trece prin punctele A(2, -1, 4) și

B(3, 2, -1) perpendicular pe plan X + la + 2z – 3 = 0.

Ecuația necesară a planului are forma: A X+B y+C z+ D = 0, vector normal la acest plan (A, B, C). Vector
(1, 3, -5) aparține planului. Planul dat nouă, perpendicular pe cel dorit, are un vector normal (1, 1, 2). Deoarece punctele A și B aparțin ambelor plane, iar planurile sunt reciproc perpendiculare, atunci

Deci vectorul normal (11, -7, -2). Deoarece punctul A aparține planului dorit, atunci coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ecuația acestui plan, adică. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

În total, obținem ecuația planului: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P(4, -3, 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.

Aflarea coordonatelor vectorului normal
= (4, -3, 12). Ecuația necesară a planului are forma: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Pentru a găsi coeficientul D, înlocuim coordonatele punctului P în ecuația:

16 + 9 + 144 + D = 0

În total, obținem ecuația necesară: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Exemplu. Sunt date coordonatele vârfurilor piramidei A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Aflați lungimea muchiei A 1 A 2.

Aflați unghiul dintre muchiile A 1 A 2 și A 1 A 4.

Aflați unghiul dintre muchia A 1 A 4 și fața A 1 A 2 A 3.

Mai întâi găsim vectorul normal al feței A 1 A 2 A 3 ca produs încrucișat al vectorilor
Și
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Să găsim unghiul dintre vectorul normal și vector
.

-4 – 4 = -8.

Unghiul dorit  între vector și plan va fi egal cu  = 90 0 - .

Aflați aria feței A 1 A 2 A 3.

Aflați volumul piramidei.

Aflați ecuația planului A 1 A 2 A 3.

Să folosim formula pentru ecuația unui plan care trece prin trei puncte.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Când utilizați versiunea pentru computer „ Curs superior de matematică” puteți rula un program care va rezolva exemplul de mai sus pentru orice coordonate ale vârfurilor piramidei.

Pentru a porni programul, faceți dublu clic pe pictogramă:

În fereastra programului care se deschide, introduceți coordonatele vârfurilor piramidei și apăsați Enter. În acest fel, toate punctele de decizie pot fi obținute unul câte unul.

Notă: Pentru a rula programul, programul Maple ( Waterloo Maple Inc.) al oricărei versiuni, începând cu MapleV Release 4, trebuie să fie instalat pe computer.

Ecuația unui plan. Cum se scrie o ecuație a unui plan?
Aranjamentul reciproc al avioanelor. Sarcini

Geometria spațială nu este mult mai complicată decât geometria „plată”, iar zborurile noastre în spațiu încep cu acest articol. Pentru a stăpâni subiectul, trebuie să înțelegeți bine vectori, în plus, este indicat să fii familiarizat cu geometria planului - vor exista multe asemănări, multe analogii, astfel încât informațiile vor fi digerate mult mai bine. Într-o serie de lecții mele, lumea 2D se deschide cu un articol Ecuația unei drepte pe un plan. Dar acum Batman a părăsit ecranul plat al televizorului și se lansează din Cosmodromul Baikonur.

Să începem cu desene și simboluri. Schematic, planul poate fi desenat sub forma unui paralelogram, care creează impresia de spațiu:

Avionul este infinit, dar avem ocazia să înfățișăm doar o bucată din el. În practică, pe lângă paralelogram, se desenează și un oval sau chiar un nor. Din motive tehnice, îmi este mai convenabil să înfățișez avionul exact în acest fel și exact în această poziție. Planurile reale, pe care le vom lua în considerare în exemple practice, pot fi localizate în orice fel - luați mental desenul în mâini și rotiți-l în spațiu, oferind planului orice înclinare, orice unghi.

Denumiri: avioanele sunt de obicei notate cu litere mici grecești, aparent pentru a nu le confunda cu linie dreaptă pe un plan sau cu linie dreaptă în spațiu. Sunt obișnuit să folosesc litera . În desen este litera „sigma” și nu este deloc o gaură. Deși, avionul holey este cu siguranță destul de amuzant.

În unele cazuri, este convenabil să folosiți aceleași litere grecești cu indice mai mic pentru a desemna avioane, de exemplu, .

Este evident că planul este definit în mod unic de trei puncte diferite care nu se află pe aceeași linie. Prin urmare, denumirile de trei litere ale avioanelor sunt destul de populare - prin punctele care le aparțin, de exemplu, etc. Adesea literele sunt cuprinse între paranteze: , pentru a nu confunda planul cu o altă figură geometrică.

Pentru cititorii experimentați le voi oferi meniu de acces rapid:

• Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și doi vectori?
• Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și un vector normal?

și nu vom lâncevi în așteptări lungi:

Ecuația generală a planului

Ecuația generală a planului are forma , unde coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp.

O serie de calcule teoretice și probleme practice sunt valabile atât pentru baza ortonormală obișnuită, cât și pentru baza afină a spațiului (dacă uleiul este ulei, reveniți la lecție Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor). Pentru simplitate, vom presupune că toate evenimentele au loc pe o bază ortonormală și un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian.

Acum să exersăm puțin imaginația noastră spațială. Este în regulă dacă al tău este rău, acum îl vom dezvolta puțin. Chiar și jocul pe nervi necesită antrenament.

În cel mai general caz, când numerele nu sunt egale cu zero, planul intersectează toate cele trei axe de coordonate. De exemplu, așa:

Repet încă o dată că avionul continuă la nesfârșit în toate direcțiile și avem ocazia să ne înfățișăm doar o parte din el.

Să luăm în considerare cele mai simple ecuații ale planelor:

Cum să înțelegem această ecuație? Gândiți-vă: „Z” este ÎNTOTDEAUNA egal cu zero, pentru orice valoare a „X” și „Y”. Aceasta este ecuația planului de coordonate „nativ”. Într-adevăr, formal ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: , de unde puteți vedea clar că nu ne interesează ce valori iau „x” și „y”, este important ca „z” să fie egal cu zero.

De asemenea:
– ecuația planului de coordonate;
– ecuația planului de coordonate.

Să complicăm puțin problema, să considerăm un plan (aici și mai departe în paragraf presupunem că coeficienții numerici nu sunt egali cu zero). Să rescriem ecuația sub forma: . Cum să-l înțelegi? „X” este ÎNTOTDEAUNA, pentru orice valoare a lui „Y” și „Z”, egală cu un anumit număr. Acest plan este paralel cu planul de coordonate. De exemplu, un plan este paralel cu un plan și trece printr-un punct.

De asemenea:
– ecuația unui plan care este paralel cu planul de coordonate;
– ecuația unui plan care este paralel cu planul de coordonate.

Să adăugăm membri: . Ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: , adică „zet” poate fi orice. Ce înseamnă? „X” și „Y” sunt conectate prin relația, care trasează o anumită linie dreaptă în plan (veți afla ecuația unei drepte într-un plan?). Deoarece „z” poate fi orice, această linie dreaptă este „replicată” la orice înălțime. Astfel, ecuația definește un plan paralel cu axa de coordonate

De asemenea:
– ecuația unui plan care este paralel cu axa de coordonate;
– ecuația unui plan care este paralel cu axa de coordonate.

Dacă termenii liberi sunt zero, atunci planurile vor trece direct prin axele corespunzătoare. De exemplu, clasica „proporționalitate directă”: . Desenați o linie dreaptă în plan și înmulțiți-o mental în sus și în jos (deoarece „Z” este oricare). Concluzie: planul definit de ecuație trece prin axa de coordonate.

Finalizăm trecerea în revistă: ecuația planului trece prin origine. Ei bine, aici este destul de evident că punctul satisface această ecuație.

Și, în sfârșit, cazul prezentat în desen: – planul este prietenos cu toate axele de coordonate, în timp ce întotdeauna „taie” un triunghi, care poate fi situat în oricare dintre cei opt octanți.

Inegalități liniare în spațiu

Pentru a înțelege informațiile trebuie să studiezi bine inegalități liniare în plan, pentru că multe lucruri vor fi asemănătoare. Paragraful va avea o scurtă prezentare generală, cu mai multe exemple, deoarece materialul este destul de rar în practică.

Dacă ecuația definește un plan, atunci inegalitățile
cere semi-spații. Dacă inegalitatea nu este strictă (ultimele două din listă), atunci soluția inegalității, pe lângă semi-spațiu, include și planul însuși.

Exemplul 5

Găsiți vectorul normal unitar al planului .

Soluţie: Un vector unitar este un vector a cărui lungime este unu. Să notăm acest vector cu . Este absolut clar că vectorii sunt coliniari:

În primul rând, eliminăm vectorul normal din ecuația planului: .

Cum să găsiți un vector unitar? Pentru a găsi vectorul unitar, aveți nevoie fiecareîmpărțiți coordonata vectorială la lungimea vectorului.

Să rescriem vectorul normal în forma și să îi găsim lungimea:

Conform celor de mai sus:

Răspuns:

Verificare: ce trebuia verificat.

Cititorii care au studiat cu atenție ultimul paragraf al lecției probabil au observat asta coordonatele vectorului unitar sunt exact cosinusurile de direcție ale vectorului:

Să luăm o pauză de la problema în cauză: când vi se oferă un vector arbitrar diferit de zero, iar în funcție de condiție este necesar să se găsească cosinusurile de direcție (vezi ultimele probleme ale lecției Produsul punctual al vectorilor), atunci, de fapt, găsiți un vector unitar coliniar cu acesta. De fapt, două sarcini într-o sticlă.

Necesitatea găsirii vectorului normal unitar apare în unele probleme de analiză matematică.

Ne-am dat seama cum să descoperim un vector normal, acum să răspundem la întrebarea opusă:

Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și un vector normal?

Această construcție rigidă a unui vector normal și a unui punct este bine cunoscută de bordul de darts. Vă rugăm să întindeți mâna înainte și să selectați mental un punct arbitrar din spațiu, de exemplu, o pisică mică în bufet. Evident, prin acest punct poți desena un singur plan perpendicular pe mâna ta.

Ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector este exprimată prin formula: