Aby sme získali všeobecnú rovnicu roviny, analyzujeme rovinu prechádzajúcu daným bodom.

Nech sú nám vo vesmíre už známe tri súradnicové osi - Vôl, Oj A Oz. Držte list papiera tak, aby zostal rovný. Rovina bude samotný list a jeho pokračovanie vo všetkých smeroch.

Nechaj Pľubovoľná rovina vo vesmíre. Akýkoľvek vektor, ktorý je naň kolmý, sa nazýva normálny vektor do tejto roviny. Prirodzene, hovoríme o nenulovom vektore.

Ak je známy nejaký bod roviny P a nejaký vektor normály k nej, potom týmito dvoma podmienkami je rovina v priestore úplne určená(cez daný bod vedie len jedna rovina kolmá na daný vektor). Všeobecná rovnica roviny bude vyzerať takto:

Takže existujú podmienky, ktoré určujú rovnicu roviny. Aby som to získal sám rovinná rovnica, ktorý má vyššie uvedenú podobu, vezmeme do lietadla P svojvoľný bod M s variabilnými súradnicami X, r, z. Tento bod patrí do roviny iba vtedy, ak vektor kolmo na vektor(obr. 1). Na to je podľa podmienky kolmosti vektorov potrebné a postačujúce, aby sa skalárny súčin týchto vektorov rovnal nule, tzn.

Vektor je daný podmienkou. Súradnice vektora nájdeme podľa vzorca :

.

Teraz pomocou vzorca bodového súčinu vektorov , skalárny súčin vyjadrujeme v súradnicovom tvare:

Od veci M(x; y; z) je zvolená ľubovoľne na rovine, potom poslednej rovnici vyhovujú súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho v rovine P. Pre bod N, neležiac ​​na danej rovine, , t.j. je porušená rovnosť (1).

Príklad 1 Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom a kolmú na vektor.

Riešenie. Použijeme vzorec (1), pozrite sa na to znova:

V tomto vzorci sú čísla A , B A C vektorové súradnice a čísla X0 , r0 A z0 - súradnice bodu.

Výpočty sú veľmi jednoduché: tieto čísla dosadíme do vzorca a dostaneme

Vynásobíme všetko, čo treba vynásobiť a zrátame len čísla (ktoré sú bez písmen). výsledok:

.

Požadovaná rovnica roviny v tomto príklade sa ukázala byť vyjadrená všeobecnou rovnicou prvého stupňa vzhľadom na premenné súradnice x, y, zľubovoľný bod roviny.

Takže rovnica tvaru

volal všeobecná rovnica roviny .

Príklad 2 Zostrojte v pravouhlom kartézskom súradnicovom systéme rovinu danú rovnicou .

Riešenie. Na zostrojenie roviny je potrebné a postačujúce poznať akékoľvek tri jej body, ktoré neležia na jednej priamke, napríklad priesečníky roviny so súradnicovými osami.

Ako nájsť tieto body? Ak chcete nájsť priesečník s osou Oz, musíte nahradiť nuly namiesto x a y v rovnici uvedenej v probléme: X = r= 0. Preto dostávame z= 6. Daná rovina teda pretína os Oz v bode A(0; 0; 6) .

Rovnakým spôsobom nájdeme priesečník roviny s osou Oj. O X = z= 0 dostaneme r= −3 , teda bod B(0; −3; 0) .

A nakoniec nájdeme priesečník našej roviny s osou Vôl. O r = z= 0 dostaneme X= 2, teda bod C(2; 0; 0). Podľa troch bodov získaných v našom riešení A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) a C(2; 0; 0) postavíme danú rovinu.

Zvážte teraz špeciálne prípady všeobecnej rovnice roviny. Toto sú prípady, keď určité koeficienty rovnice (2) zmiznú.

1. Kedy D= 0 rovnica definuje rovinu prechádzajúcu počiatkom, pretože súradnice bodu 0 (0; 0; 0) spĺňajú túto rovnicu.

2. Kedy A= 0 rovnica definuje rovinu rovnobežnú s osou Vôl, keďže normálový vektor tejto roviny je kolmý na os Vôl(jeho priemet na os Vôl rovná sa nule). Podobne, keď B= 0 lietadlo os rovnobežná Oj, a kedy C= 0 lietadlo rovnobežne s osou Oz.

3. Kedy A=D= Rovnica 0 definuje rovinu prechádzajúcu osou Vôl pretože je rovnobežná s osou Vôl (A=D= 0). Podobne rovina prechádza osou Oj a rovinou cez os Oz.

4. Kedy A=B= Rovnica 0 definuje rovinu rovnobežnú s rovinou súradníc xOy pretože je rovnobežná s osami Vôl (A= 0) a Oj (B= 0). Rovnako je rovina rovnobežná s rovinou yOz, a lietadlo - lietadlo xOz.

5. Kedy A=B=D= 0 rovnica (alebo z= 0) definuje súradnicovú rovinu xOy, pretože je rovnobežná s rovinou xOy (A=B= 0) a prechádza cez začiatok ( D= 0). Podobne aj rovnica y= 0 v priestore definuje súradnicovú rovinu xOz a rovnica x= 0 - rovina súradníc yOz.

Príklad 3 Zostavte rovnicu roviny P prechádzajúci cez os Oj a bod .

Riešenie. Takže rovina prechádza cez os Oj. Takže v jej rovnici r= 0 a táto rovnica má tvar . Na určenie koeficientov A A C využívame fakt, že bod patrí do roviny P .

Preto sú medzi jej súradnicami tie, ktoré sa dajú dosadiť do rovnice roviny, ktorú sme už odvodili (). Pozrime sa ešte raz na súradnice bodu:

M0 (2; −4; 3) .

Medzi nimi X = 2 , z= 3. Dosadíme ich do všeobecnej rovnice a dostaneme rovnicu pre náš konkrétny prípad:

2A + 3C = 0 .

odchádzame 2 A na ľavú stranu rovnice prenesieme 3 C na pravú stranu a dostať sa

A = −1,5C .

Nahradením zistenej hodnoty A do rovnice, dostaneme

alebo .

Toto je rovnica požadovaná v príklade podmienky.

Vyriešte úlohu na rovniciach roviny sami a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 4 Určte rovinu (alebo roviny, ak je viac ako jedna) vzhľadom na súradnicové osi alebo súradnicové roviny, ak sú roviny dané rovnicou .

Riešenia typických problémov, ktoré sa vyskytujú pri testoch - v príručke "Problémy na rovine: rovnobežnosť, kolmosť, priesečník troch rovín v jednom bode" .

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi

Ako už bolo spomenuté, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou na zostrojenie roviny sú okrem jedného bodu a normálového vektora aj tri body, ktoré neležia na jednej priamke.

Nech sú uvedené tri rôzne body , A , Neležiace na rovnakej priamke. Pretože tieto tri body neležia na jednej priamke, vektory a nie sú kolineárne, a preto akýkoľvek bod roviny leží v rovnakej rovine s bodmi , a vtedy a len vtedy, ak vektory , a koplanárny, t.j. ak a len vtedy zmiešaný produkt týchto vektorov rovná sa nule.

Pomocou vyjadrenia zmiešaného produktu v súradniciach získame rovinnú rovnicu

(3)

Po rozšírení determinantu sa táto rovnica stáva rovnicou tvaru (2), t.j. všeobecná rovnica roviny.

Príklad 5 Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu tromi danými bodmi, ktoré neležia na priamke:

a určiť konkrétny prípad všeobecnej rovnice priamky, ak existuje.

Riešenie. Podľa vzorca (3) máme:

Normálna rovnica roviny. Vzdialenosť od bodu k rovine

Normálna rovnica roviny je jej rovnica, zapísaná v tvare

Ak sú všetky čísla A, B, C a D nenulové, potom sa volá všeobecná rovnica roviny kompletný. V opačnom prípade sa nazýva všeobecná rovnica roviny neúplné.

Uvažujme všetky možné všeobecné neúplné rovnice roviny v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz v trojrozmernom priestore.

Nech D = 0, potom máme všeobecnú neúplnú rovnicu roviny tvaru . Táto rovina v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz prechádza počiatkom. Pri dosadení súradníc bodu do výslednej neúplnej rovnice roviny totiž dospejeme k identite .

Pre , alebo , alebo máme všeobecné neúplné rovnice rovín , alebo , resp. Tieto rovnice definujú roviny, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými rovinami Oxy , Oxz a Oyz (pozri článok Podmienka rovnobežnosti pre roviny) a prechádzajú bodmi a zodpovedajúcim spôsobom. O. Od veci patrí do roviny podľa podmienky, potom súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu roviny, to znamená, že rovnosť musí byť pravdivá. Odtiaľto nájdeme. Požadovaná rovnica má teda tvar .

Uvádzame druhý spôsob riešenia tohto problému.

Keďže rovina, ktorej všeobecnú rovnicu musíme zostaviť, je rovnobežná s rovinou Oyz , tak ako jej normálový vektor môžeme vziať normálový vektor roviny Oyz . Normálový vektor súradnicovej roviny Oyz je súradnicový vektor . Teraz poznáme normálny vektor roviny a bod roviny, preto si môžeme zapísať jeho všeobecnú rovnicu (podobný problém sme riešili v predchádzajúcom odseku tohto článku):
, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnicu roviny. Preto tá rovnosť kde nájdeme. Teraz môžeme napísať požadovanú všeobecnú rovnicu roviny, má tvar .

odpoveď:

Bibliografia.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Vyššia matematika. Prvý diel: Prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytická geometria.

Môže byť špecifikovaný rôznymi spôsobmi (jeden bod a vektor, dva body a vektor, tri body atď.). S ohľadom na to môže mať rovnica roviny rôzne formy. Taktiež za určitých podmienok môžu byť roviny rovnobežné, kolmé, pretínajúce sa atď. Budeme o tom hovoriť v tomto článku. Naučíme sa písať všeobecnú rovnicu roviny a nielen to.

Normálny tvar rovnice

Povedzme, že existuje priestor R 3, ktorý má pravouhlý súradnicový systém XYZ. Nastavíme vektor α, ktorý sa uvoľní z počiatočného bodu O. Cez koniec vektora α nakreslíme rovinu P, ktorá bude naň kolmá.

Označme P ľubovoľný bod Q=(x, y, z). Vektor polomeru bodu Q označíme písmenom p. Dĺžka vektora α je p=IαI a Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Toto je jednotkový vektor, ktorý ukazuje nabok, rovnako ako vektor α. α, β a γ sú uhly, ktoré zvierajú vektor Ʋ a kladné smery priestorových osí x, y, z. Priemet nejakého bodu QϵП na vektor Ʋ je konštantná hodnota rovnajúca sa р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Táto rovnica dáva zmysel, keď p=0. Jediná vec je, že rovina P bude v tomto prípade pretínať bod O (α=0), ktorý je počiatkom, a jednotkový vektor Ʋ uvoľnený z bodu O bude kolmý na P bez ohľadu na jeho smer, čo znamená že vektor Ʋ je určený zo znamienkovej presnosti. Predchádzajúca rovnica je rovnica našej roviny P, vyjadrená vo vektorovej forme. Ale v súradniciach to bude vyzerať takto:

P je tu väčšie alebo rovné 0. Našli sme rovnicu roviny v priestore v jej normálnom tvare.

Všeobecná rovnica

Ak rovnicu v súradniciach vynásobíme ľubovoľným číslom, ktoré sa nerovná nule, dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej, ktorá určuje tú istú rovinu. Bude to vyzerať takto:

Tu A, B, C sú čísla, ktoré sa súčasne líšia od nuly. Táto rovnica sa označuje ako všeobecná rovinná rovnica.

Rovinné rovnice. Špeciálne prípady

Rovnica vo všeobecnej forme môže byť modifikovaná za prítomnosti ďalších podmienok. Uvažujme o niektorých z nich.

Predpokladajme, že koeficient A je 0. To znamená, že daná rovina je rovnobežná s danou osou Ox. V tomto prípade sa tvar rovnice zmení: Ву+Cz+D=0.

Podobne sa tvar rovnice zmení za nasledujúcich podmienok:

• Po prvé, ak B = 0, potom sa rovnica zmení na Ax + Cz + D = 0, čo bude indikovať rovnobežnosť s osou Oy.
• Po druhé, ak С=0, potom sa rovnica transformuje na Ах+Ву+D=0, čo bude indikovať rovnobežnosť s danou osou Oz.
• Po tretie, ak D=0, rovnica bude vyzerať ako Ax+By+Cz=0, čo znamená, že rovina pretína O (počiatok).
• Po štvrté, ak A=B=0, potom sa rovnica zmení na Cz+D=0, čo bude paralelné s Oxy.
• Po piate, ak B=C=0, potom sa rovnica zmení na Ax+D=0, čo znamená, že rovina k Oyz je rovnobežná.
• Po šieste, ak A=C=0, potom rovnica bude mať tvar Ву+D=0, to znamená, že bude hlásiť rovnobežnosť s Oxz.

Typ rovnice v segmentoch

V prípade, že čísla A, B, C, D sú nenulové, tvar rovnice (0) môže byť nasledovný:

x/a + y/b + z/c = 1,

v ktorých a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Dostaneme ako výsledok Stojí za zmienku, že táto rovina bude pretínať os Ox v bode so súradnicami (a,0,0), Oy - (0,b,0) a Oz - (0,0,c) .

Ak vezmeme do úvahy rovnicu x/a + y/b + z/c = 1, je ľahké vizuálne znázorniť umiestnenie roviny vzhľadom na daný súradnicový systém.

Normálne vektorové súradnice

Normálny vektor n k rovine P má súradnice, ktoré sú koeficientmi všeobecnej rovnice danej roviny, teda n (A, B, C).

Na určenie súradníc normály n stačí poznať všeobecnú rovnicu danej roviny.

Pri použití rovnice v segmentoch, ktorá má tvar x/a + y/b + z/c = 1, ako aj pri použití všeobecnej rovnice, je možné zapísať súradnice ľubovoľného normálového vektora danej roviny: (1 /a + 1/b + 1/ s).

Treba poznamenať, že normálny vektor pomáha riešiť rôzne problémy. Najčastejšie ide o úlohy, ktoré spočívajú v dokazovaní kolmosti alebo rovnobežnosti rovín, problémy pri hľadaní uhlov medzi rovinami alebo uhlov medzi rovinami a priamkami.

Pohľad na rovnicu roviny podľa súradníc bodu a normálového vektora

Nenulový vektor n kolmý na danú rovinu sa nazýva normálny (normálny) pre danú rovinu.

Predpokladajme, že v súradnicovom priestore (pravouhlý súradnicový systém) sú Oxyz dané:

• bod Mₒ so súradnicami (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulový vektor n=A*i+B*j+C*k.

Je potrebné zostaviť rovnicu pre rovinu, ktorá bude prechádzať bodom Mₒ kolmým na normálu n.

V priestore si vyberieme ľubovoľný bod a označíme ho M (x y, z). Nech je vektor polomeru ľubovoľného bodu M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k a vektor polomeru bodu Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Bod M bude patriť do danej roviny, ak je vektor MₒM kolmý na vektor n. Podmienku ortogonality zapíšeme pomocou skalárneho súčinu:

[M2M, n] = 0.

Pretože MₒM \u003d r-rₒ, vektorová rovnica roviny bude vyzerať takto:

Táto rovnica môže mať inú podobu. Na tento účel sa používajú vlastnosti skalárneho súčinu a transformuje sa ľavá strana rovnice. = - . Ak je označené ako c, získame nasledujúcu rovnicu: - c \u003d 0 alebo \u003d c, ktorá vyjadruje stálosť projekcií na normálny vektor vektorov polomerov daných bodov, ktoré patria do roviny.

Teraz môžete získať súradnicový tvar zápisu vektorovej rovnice našej roviny = 0. Keďže r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, a n = A*i+B *j+C*k, máme:

Ukazuje sa, že máme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom kolmým na normálu n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Pohľad na rovinnú rovnicu podľa súradníc dvoch bodov a vektora kolineárne s rovinou

Definujeme dva ľubovoľné body M′ (x′,y′,z′) a M″ (x″,y″,z″), ako aj vektor a (a′,a″,a‴).

Teraz môžeme zostaviť rovnicu pre danú rovinu, ktorá bude prechádzať dostupnými bodmi M′ a M″, ako aj ľubovoľným bodom M so súradnicami (x, y, z) rovnobežnými s daným vektorom a.

V tomto prípade musia byť vektory M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) a M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) v jednej rovine s vektorom a=(a′,a″,a‴), čo znamená, že (M′M, M″M, a)=0.

Takže naša rovnica roviny vo vesmíre bude vyzerať takto:

Typ rovnice roviny pretínajúcej tri body

Predpokladajme, že máme tri body: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ktoré nepatria do tej istej priamky. Je potrebné napísať rovnicu roviny prechádzajúcej danými tromi bodmi. Teória geometrie tvrdí, že tento druh roviny skutočne existuje, len je jediný a nenapodobiteľný. Keďže táto rovina pretína bod (x′, y′, z′), tvar jej rovnice bude takýto:

Tu sú A, B, C odlišné od nuly súčasne. Daná rovina tiež pretína dva ďalšie body: (x″,y″,z″) a (x‴,y‴,z‴). V tejto súvislosti musia byť splnené tieto podmienky:

Teraz môžeme zostaviť homogénny systém s neznámymi u, v, w:

V našom prípade je x, y alebo z ľubovoľný bod, ktorý spĺňa rovnicu (1). Berúc do úvahy rovnicu (1) a sústavu rovníc (2) a (3), sústava rovníc naznačená na obrázku vyššie vyhovuje vektoru N (A, B, C), ktorý je netriviálny. Preto je determinant tohto systému rovný nule.

Rovnica (1), ktorú sme získali, je rovnica roviny. Prechádza presne cez 3 body a to sa dá ľahko skontrolovať. Aby sme to dosiahli, musíme rozšíriť náš determinant o prvky v prvom riadku. Z existujúcich vlastností determinantu vyplýva, že naša rovina súčasne pretína tri pôvodne dané body (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . To znamená, že sme vyriešili úlohu, ktorá je pred nami.

Dihedrálny uhol medzi rovinami

Dihedrálny uhol je priestorový geometrický útvar tvorený dvoma polrovinami, ktoré vychádzajú z jednej priamky. Inými slovami, toto je časť priestoru, ktorá je obmedzená týmito polrovinami.

Povedzme, že máme dve roviny s nasledujúcimi rovnicami:

Vieme, že vektory N=(A,B,C) a N¹=(A¹,B¹,C¹) sú kolmé podľa daných rovín. V tomto ohľade sa uhol φ medzi vektormi N a N¹ rovná uhlu (dihedrálnemu), ktorý je medzi týmito rovinami. Skalárny súčin má tvar:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

práve preto

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Stačí vziať do úvahy, že 0≤φ≤π.

V skutočnosti dve roviny, ktoré sa pretínajú, zvierajú dva (dihedrálne) uhly: φ 1 a φ 2 . Ich súčet sa rovná π (φ 1 + φ 2 = π). Pokiaľ ide o ich kosínusy, ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale líšia sa znamienkami, to znamená cos φ 1 =-cos φ 2. Ak v rovnici (0) nahradíme A, B a C číslami -A, -B a -C, potom rovnica, ktorú dostaneme, určí rovnakú rovinu, jediný uhol φ v rovnici cos φ= NN 1 /| N||N 1 | sa nahradí π-φ.

Rovnica kolmej roviny

Roviny sa nazývajú kolmé, ak je uhol medzi nimi 90 stupňov. Pomocou vyššie uvedeného materiálu môžeme nájsť rovnicu roviny kolmej na druhú. Povedzme, že máme dve roviny: Ax+By+Cz+D=0 a A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Môžeme konštatovať, že budú kolmé, ak cosφ=0. To znamená, že NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Rovnica rovnobežnej roviny

Rovnobežné sú dve roviny, ktoré neobsahujú spoločné body.

Podmienkou (ich rovnice sú rovnaké ako v predchádzajúcom odseku) je, že vektory N a N¹, ktoré sú na ne kolmé, sú kolineárne. To znamená, že sú splnené tieto podmienky proporcionality:

A/A1=B/B1=C/C1.

Ak sa rozšíria podmienky proporcionality – A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

to naznačuje, že tieto roviny sa zhodujú. To znamená, že rovnice Ax+By+Cz+D=0 a A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisujú jednu rovinu.

Vzdialenosť k rovine od bodu

Povedzme, že máme rovinu P, ktorá je daná rovnicou (0). Je potrebné nájsť vzdialenosť k nemu od bodu so súradnicami (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Aby ste to dosiahli, musíte uviesť rovnicu roviny P do normálneho tvaru:

(p,v)=p (p>0).

V tomto prípade je ρ(x,y,z) vektor polomeru nášho bodu Q umiestneného na P, p je dĺžka kolmice k P, ktorá sa uvoľnila z nulového bodu, v je jednotkový vektor, ktorý sa nachádza v smer a.

Rozdiel ρ-ρº vektora polomeru niektorého bodu Q \u003d (x, y, z) patriaceho k P, ako aj vektora polomeru daného bodu Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) je taký vektor, ktorého absolútna hodnota projekcie na v sa rovná vzdialenosti d, ktorú treba nájsť od Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) po P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ale

(ρ-ρo,v)= (ρ,v)-(ρo,v) =R-(ρo,v).

Tak sa ukazuje

d=|(ρ0,v)-p|.

Nájdeme teda absolútnu hodnotu výsledného výrazu, teda želané d.

Pomocou jazyka parametrov dostaneme zrejmé:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Ak je daný bod Q 0 na druhej strane roviny P, rovnako ako počiatok, potom medzi vektorom ρ-ρ 0 a v je teda:

d=-(ρ-ρo,v)=(ρo,v)-p>0.

V prípade, že sa bod Q 0 spolu s počiatkom nachádza na tej istej strane P, vytvorený uhol je ostrý, to znamená:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Výsledkom je, že v prvom prípade (ρ 0 ,v)> р, v druhom (ρ 0 ,v)<р.

Dotyková rovina a jej rovnica

Dotyková rovina k povrchu v bode dotyku Mº je rovina obsahujúca všetky možné dotyčnice ku krivkám nakresleným cez tento bod na povrchu.

S týmto tvarom povrchovej rovnice F (x, y, z) \u003d 0 bude rovnica dotykovej roviny v dotykovom bode Mº (xº, yº, zº) vyzerať takto:

Fx(xº, yº, zº)(x-xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y-yº)+ Fx(xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Ak zadáte povrch v explicitnom tvare z=f (x, y), dotyková rovina bude opísaná rovnicou:

z-z° = f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Priesečník dvoch rovín

V súradnicovom systéme (obdĺžnikovom) sa nachádza Oxyz, sú dané dve roviny П′ a П″, ktoré sa pretínajú a nezhodujú sa. Pretože každá rovina umiestnená v pravouhlom súradnicovom systéme je určená všeobecnou rovnicou, budeme predpokladať, že P′ a P″ sú dané rovnicami A′x+B′y+C′z+D′=0 a A″x +B″y+ С″z+D″=0. V tomto prípade máme normálu n′ (A′, B′, C′) roviny P′ a normálu n″ (A″, B″, C″) roviny P″. Keďže naše roviny nie sú rovnobežné a nezhodujú sa, tieto vektory nie sú kolineárne. Pomocou jazyka matematiky môžeme túto podmienku zapísať takto: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Čiara, ktorá leží v priesečníku P′ a P″, označme písmenom a, v tomto prípade a = P′ ∩ P″.

a je priamka pozostávajúca z množiny všetkých bodov (spoločných) rovín П′ a П″. To znamená, že súradnice ktoréhokoľvek bodu patriaceho do priamky a musia súčasne spĺňať rovnice A′x+B′y+C′z+D′=0 a A″x+B″y+C″z+D″= 0. To znamená, že súradnice bodu budú konkrétnym riešením nasledujúceho systému rovníc:

V dôsledku toho sa ukazuje, že (všeobecné) riešenie tohto systému rovníc určí súradnice každého z bodov priamky, ktoré budú pôsobiť ako priesečník П′ a П″, a určí priamku. priamka a v súradnicovom systéme Oxyz (obdĺžnikový) v priestore.

Aby mohla byť jedna rovina vedená cez ľubovoľné tri body v priestore, je potrebné, aby tieto body neležali na jednej priamke.

Uvažujme body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v spoločnej karteziánskej súradnicovej sústave.

Aby ľubovoľný bod M(x, y, z) ležal v rovnakej rovine ako body M 1 , M 2 , M 3 , musia byť vektory koplanárne.

(
) = 0

teda

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Rovnica roviny vzhľadom na dva body a vektor kolineárny s rovinou.

Nech body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) a vektor
.

Zostavme rovnicu roviny prechádzajúcej danými bodmi M 1 a M 2 a ľubovoľným bodom M (x, y, z) rovnobežným s vektorom .

vektory
a vektor
musia byť koplanárne, t.j.

(
) = 0

Rovinná rovnica:

Rovnica roviny vzhľadom na jeden bod a dva vektory,

kolineárna rovina.

Nech sú dané dva vektory
A
, kolineárne roviny. Potom pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine, vektory
musí byť koplanárna.

Rovinná rovnica:

Rovinná rovnica podľa bodu a normálového vektora .

Veta. Ak je bod M daný v priestore 0 (X 0 , r 0 , z 0 ), potom rovnica roviny prechádzajúcej bodom M 0 kolmo na normálny vektor (A, B, C) vyzerá ako:

A(X – X 0 ) + B(r – r 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dôkaz. Pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine zostavíme vektor . Pretože vektor - normálový vektor, potom je kolmý na rovinu, a teda kolmý na vektor
. Potom skalárny súčin

= 0

Tak dostaneme rovnicu roviny

Veta bola dokázaná.

Rovnica roviny v segmentoch.

Ak je vo všeobecnej rovnici Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, vydeľte obe časti (-D)

,

nahradenie
, dostaneme rovnicu roviny v segmentoch:

Čísla a, b, c sú priesečníky roviny s osami x, y, z.

Rovinná rovnica vo vektorovom tvare.

Kde

- vektor polomeru aktuálneho bodu M(x, y, z),

Jednotkový vektor, ktorý má smer kolmice klesnutý na rovinu z počiatku.

,  a  sú uhly, ktoré zviera tento vektor s osami x, y, z.

p je dĺžka tejto kolmice.

V súradniciach má táto rovnica tvar:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Vzdialenosť od bodu k rovine.

Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M 0 (x 0, y 0, z 0) k rovine Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 je:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P (4; -3; 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Takže A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, použite vzorec:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej dvoma bodmi P(2; 0; -1) a

Q(1; -1; 3) je kolmá na rovinu 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normálny vektor k rovine 3x + 2y - z + 5 = 0
rovnobežne s požadovanou rovinou.

Dostaneme:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi A(2, -1, 4) a

В(3, 2, -1) kolmo na rovinu X + pri + 2z – 3 = 0.

Požadovaná rovinná rovnica má tvar: A X+B r+C z+ D = 0, normálový vektor k tejto rovine (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) patrí do roviny. Rovina, ktorá je nám daná, kolmá na požadovanú, má normálny vektor (1, 1, 2). Pretože body A a B patria obom rovinám a roviny sú teda navzájom kolmé

Takže normálny vektor (11, -7, -2). Pretože bod A patrí do želanej roviny, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnicu tejto roviny, t.j. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Celkovo dostaneme rovnicu roviny: 11 X - 7r – 2z – 21 = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P(4, -3, 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Nájdenie súradníc normálového vektora
= (4, -3, 12). Požadovaná rovnica roviny má tvar: 4 X – 3r + 12z+ D = 0. Aby sme našli koeficient D, dosadíme súradnice bodu Р do rovnice:

16 + 9 + 144 + D = 0

Celkovo dostaneme požadovanú rovnicu: 4 X – 3r + 12z – 169 = 0

Príklad. Vzhľadom na súradnice vrcholov pyramídy A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Nájdite dĺžku hrany A 1 A 2 .

Nájdite uhol medzi hranami A 1 A 2 a A 1 A 4.

Nájdite uhol medzi hranou A 1 A 4 a plochou A 1 A 2 A 3 .

Najprv nájdite normálový vektor k ploche A 1 A 2 A 3 ako krížový produkt vektorov
A
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Nájdite uhol medzi normálovým vektorom a vektorom
.

-4 – 4 = -8.

Požadovaný uhol  medzi vektorom a rovinou bude rovný  = 90 0 - .

Nájdite oblasť tváre A 1 A 2 A 3 .

Nájdite objem pyramídy.

Nájdite rovnicu roviny А 1 А 2 А 3 .

Vzorec používame na rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

Pri použití PC verzie „ Kurz vyššej matematiky” môžete spustiť program, ktorý vyrieši vyššie uvedený príklad pre ľubovoľné súradnice vrcholov pyramídy.

Program spustíte dvojitým kliknutím na ikonu:

V okne programu, ktoré sa otvorí, zadajte súradnice vrcholov pyramídy a stlačte Enter. Všetky rozhodovacie body je teda možné získať jeden po druhom.

Poznámka: Na spustenie programu musíte mať na svojom počítači nainštalovaný Maple ( Waterloo Maple Inc.), akúkoľvek verziu začínajúcu MapleV Release 4.

Rovinná rovnica. Ako napísať rovnicu pre rovinu?
Vzájomné usporiadanie rovín. Úlohy

Priestorová geometria nie je oveľa komplikovanejšia ako „plochá“ geometria a naše lety do vesmíru začínajú týmto článkom. Aby človek porozumel téme, musí jej dobre rozumieť vektory Okrem toho je žiaduce poznať geometriu roviny - bude tam veľa podobností, veľa analógií, takže informácie budú oveľa lepšie strávené. V sérii mojich lekcií sa 2D svet otvára článkom Rovnica priamky na rovine. Teraz však Batman vystúpil z TV s plochou obrazovkou a štartuje z kozmodrómu Bajkonur.

Začnime s kresbami a symbolmi. Schematicky môže byť rovina nakreslená ako rovnobežník, ktorý vytvára dojem priestoru:

Rovina je nekonečná, no my máme možnosť znázorniť len jej kúsok. V praxi sa okrem rovnobežníka kreslí aj ovál či dokonca oblak. Z technických dôvodov je pre mňa pohodlnejšie znázorniť lietadlo takto a v tejto polohe. Skutočné roviny, ktoré budeme uvažovať v praktických príkladoch, je možné usporiadať tak, ako sa vám páči - mentálne vezmite kresbu do rúk a otočte ju v priestore, čím dáte rovine akýkoľvek sklon, akýkoľvek uhol.

Notový zápis: je zvykom označovať lietadlá malými gréckymi písmenami, zrejme preto, aby nedošlo k ich zámene rovno v lietadle alebo s priamo v priestore. Som zvyknutý používať písmeno . Na výkrese je to písmeno "sigma" a vôbec nie diera. Aj keď, dierované lietadlo, je to určite veľmi zábavné.

V niektorých prípadoch je vhodné použiť rovnaké grécke písmená s dolnými indexmi na označenie lietadiel, napríklad .

Je zrejmé, že rovina je jednoznačne určená tromi rôznymi bodmi, ktoré neležia na rovnakej priamke. Preto sú pomerne obľúbené trojpísmenové označenia lietadiel – podľa bodov k nim patriacich napr. Písmená sú často uzavreté v zátvorkách: , aby nedošlo k zámene roviny s iným geometrickým útvarom.

Pre skúsených čitateľov dám menu skratiek:

• Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a dvoch vektorov?
• Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a normálového vektora?

a nebudeme sa zdržiavať dlhým čakaním:

Všeobecná rovnica roviny

Všeobecná rovnica roviny má tvar , kde koeficienty sú súčasne nenulové.

Množstvo teoretických výpočtov a praktických problémov platí ako pre bežnú ortonormálnu, tak aj pre afinnú základňu priestoru (ak je ropa ropa, vráťte sa k lekcii Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ). Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že všetky udalosti sa vyskytujú na ortonormálnom základe a karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme.

A teraz si potrénujme trochu priestorovej predstavivosti. Nevadí, ak to máte zlé, teraz to trochu rozvinieme. Aj hranie na nervy si vyžaduje cvik.

V najvšeobecnejšom prípade, keď sa čísla nerovnajú nule, rovina pretína všetky tri súradnicové osi. Napríklad takto:

Ešte raz opakujem, že rovina pokračuje donekonečna všetkými smermi a my máme možnosť znázorniť len jej časť.

Zvážte najjednoduchšie rovnice rovín:

Ako rozumieť tejto rovnici? Premýšľajte o tom: „Z“ VŽDY, pre akékoľvek hodnoty „X“ a „Y“ sa rovná nule. Toto je rovnica "natívnej" súradnicovej roviny. Formálne možno rovnicu prepísať takto: , odkiaľ je jasne vidieť, že nám je jedno, aké hodnoty „x“ a „y“ naberajú, je dôležité, aby sa „z“ rovnalo nule.

Podobne:
je rovnica súradnicovej roviny ;
je rovnica súradnicovej roviny.

Skúsme si problém trochu skomplikovať, uvažujme rovinu (tu a ďalej v odseku predpokladáme, že číselné koeficienty sa nerovnajú nule). Prepíšme rovnicu v tvare: . Ako tomu rozumieť? "X" je VŽDY, pre akúkoľvek hodnotu "y" a "z" sa rovná určitému číslu. Táto rovina je rovnobežná s rovinou súradníc. Napríklad rovina je rovnobežná s rovinou a prechádza bodom.

Podobne:
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc;
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc.

Pridať členov: . Rovnicu možno prepísať takto: , to znamená, že „Z“ môže byť čokoľvek. Čo to znamená? "X" a "Y" sú spojené pomerom, ktorý nakreslí určitú priamku v rovine (samozrejme rovnica priamky v rovine?). Keďže Z môže byť čokoľvek, táto čiara sa „replikuje“ v akejkoľvek výške. Rovnica teda definuje rovinu rovnobežnú so súradnicovou osou

Podobne:
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou;
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou.

Ak sú voľné členy nula, potom budú roviny priamo prechádzať cez príslušné osi. Napríklad klasická „priama úmernosť“:. Nakreslite rovnú čiaru v rovine a mentálne ju vynásobte hore a dole (keďže „z“ je ľubovoľné). Záver: rovina daná rovnicou prechádza súradnicovou osou.

Uzatvárame prehľad: rovnica roviny prechádza cez pôvod. No tu je úplne zrejmé, že bod spĺňa danú rovnicu.

A nakoniec prípad, ktorý je znázornený na výkrese: - rovina je priateľská so všetkými súradnicovými osami, pričom vždy „odreže“ trojuholník, ktorý sa môže nachádzať v ktoromkoľvek z ôsmich oktantov.

Lineárne nerovnosti v priestore

Na pochopenie informácií je potrebné dobre študovať lineárne nerovnosti v rovine pretože veľa vecí bude podobných. Tento odsek bude obsahovať stručný prehľad s niekoľkými príkladmi, keďže tento materiál je v praxi pomerne zriedkavý.

Ak rovnica definuje rovinu, potom nerovnosti
opýtať sa polovičné medzery. Ak nerovnosť nie je striktná (posledné dve v zozname), tak riešenie nerovnosti okrem polpriestoru zahŕňa aj samotnú rovinu.

Príklad 5

Nájdite jednotkový normálový vektor roviny .

Riešenie: Jednotkový vektor je vektor, ktorého dĺžka je jedna. Označme tento vektor . Je celkom jasné, že vektory sú kolineárne:

Najprv odstránime normálový vektor z rovnice roviny: .

Ako nájsť jednotkový vektor? Ak chcete nájsť jednotkový vektor, potrebujete každý vektorová súradnica delená dĺžkou vektora.

Prepíšeme normálny vektor do formulára a zistíme jeho dĺžku:

Podľa vyššie uvedeného:

Odpoveď:

Check: , ktorý bol povinný skontrolovať.

Čitatelia, ktorí si pozorne preštudovali posledný odsek lekcie, si to pravdepodobne všimli súradnice jednotkového vektora sú presne smerové kosínusy vektora:

Odbočme od rozobraného problému: keď dostanete ľubovoľný nenulový vektor a podľa podmienky je potrebné nájsť jej smerové kosínusy (pozri posledné úlohy lekcie Bodový súčin vektorov), potom v skutočnosti nájdete aj jednotkový vektor kolineárny s daným. V skutočnosti dve úlohy v jednej fľaši.

Potreba nájsť jednotkový normálový vektor vzniká v niektorých problémoch matematickej analýzy.

Prišli sme na lov normálneho vektora, teraz odpovieme na opačnú otázku:

Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a normálového vektora?

Táto tuhá konštrukcia normálneho vektora a bodu je dobre známa terčom šípok. Natiahnite ruku dopredu a v duchu vyberte ľubovoľný bod v priestore, napríklad malú mačku v príborníku. Je zrejmé, že cez tento bod môžete nakresliť jednu rovinu kolmú na vašu ruku.

Rovnica roviny prechádzajúcej bodom kolmým na vektor je vyjadrená vzorcom: