Si të përcaktohet periodiciteti i një funksioni. Funksionet periodike Funksioni periodik i kohës

Qëllimi: të përmbledhë dhe të sistemojë njohuritë e nxënësve për temën "Periodiciteti i funksioneve"; të zhvillojë aftësi në zbatimin e vetive të një funksioni periodik, gjetjen e periudhës më të vogël pozitive të një funksioni, ndërtimin e grafikëve të funksioneve periodike; nxisin interesin për studimin e matematikës; kultivojnë vëzhgimin dhe saktësinë.

Pajisjet: kompjuter, projektor multimedial, karta detyrash, rrëshqitje, orë, tabela stoli, elemente të zejeve popullore

"Matematika është ajo që njerëzit përdorin për të kontrolluar natyrën dhe veten."
A.N. Kolmogorov

Gjatë orëve të mësimit

I. Faza organizative.

Kontrollimi i gatishmërisë së nxënësve për mësimin. Raportoni temën dhe objektivat e mësimit.

II. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

Ne kontrollojmë detyrat e shtëpisë duke përdorur mostra dhe diskutojmë pikat më të vështira.

III. Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive.

1. Punë ballore gojore.

Çështjet e teorisë.

1) Formoni një përkufizim të periudhës së funksionit
2) Emërtoni periudhën më të vogël pozitive të funksioneve y=sin(x), y=cos(x)
3). Cila është periudha më e vogël pozitive e funksioneve y=tg(x), y=ctg(x)
4) Duke përdorur një rreth, provoni korrektësinë e marrëdhënieve:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Si të vizatoni një funksion periodik?

Ushtrime me gojë.

1) Provoni marrëdhëniet e mëposhtme

a) mëkat (740º) = mëkat (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin (-1000º) = mëkat (80º)

2. Vërtetoni se një kënd prej 540º është një nga periodat e funksionit y= cos(2x)

3. Vërtetoni se këndi 360º është një nga periodat e funksionit y=tg(x)

4. Shndërrojini këto shprehje në mënyrë që këndet e përfshira në to të mos kalojnë 90º në vlerë absolute.

a) tg375º
b) ctg530º
c) mëkat1268º
d) cos(-7363º)

5. Ku i keni hasur fjalët PERIUDHË, PERIODICITE?

Nxënësi përgjigjet: Një periudhë në muzikë është një strukturë në të cilën paraqitet një mendim muzikor pak a shumë i plotë. Një periudhë gjeologjike është pjesë e një epoke dhe ndahet në epoka me një periudhë nga 35 deri në 90 milionë vjet.

Gjysma e jetës së një lënde radioaktive. Thyesë periodike. Revista periodike janë botime të shtypura që shfaqen brenda afateve të përcaktuara rreptësisht. Sistemi periodik i Mendelejevit.

6. Në figura janë paraqitur pjesë të grafikëve të funksioneve periodike. Përcaktoni periudhën e funksionit. Përcaktoni periudhën e funksionit.

Përgjigju: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Ku e keni hasur në jetën tuaj ndërtimin e elementeve përsëritëse?

Përgjigja e nxënësit: Elemente stoli, art popullor.

IV. Zgjidhja kolektive e problemeve.

(Zgjidhja e problemeve në sllajde.)

Le të shqyrtojmë një nga mënyrat për të studiuar një funksion për periodicitet.

Kjo metodë shmang vështirësitë që lidhen me vërtetimin se një periudhë e caktuar është më e vogla, dhe gjithashtu eliminon nevojën për të prekur pyetje në lidhje me veprimet aritmetike mbi funksionet periodike dhe periodicitetin e një funksioni kompleks. Arsyetimi bazohet vetëm në përcaktimin e një funksioni periodik dhe në faktin vijues: nëse T është periudha e funksionit, atëherë nT(n?0) është periudha e tij.

Detyra 1. Gjeni periodën më të vogël pozitive të funksionit f(x)=1+3(x+q>5)

Zgjidhje: Supozojmë se periudha T e këtij funksioni. Atëherë f(x+T)=f(x) për të gjitha x € D(f), d.m.th.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Le të vendosim x=-0,25 marrim

(T)=0<=>T=n, n € Z

Ne kemi marrë se të gjitha periudhat e funksionit në fjalë (nëse ekzistojnë) janë ndër numrat e plotë. Le të zgjedhim numrin më të vogël pozitiv midis këtyre numrave. Kjo 1 . Le të kontrollojmë nëse do të jetë me të vërtetë një periudhë 1 .

f(x+1) =3(x+1+0.25)+1

Meqenëse (T+1)=(T) për çdo T, atëherë f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), d.m.th. 1 – periudha f. Meqenëse 1 është më i vogli nga të gjithë numrat e plotë pozitiv, atëherë T=1.

Detyra 2. Tregoni se funksioni f(x)=cos 2 (x) është periodik dhe gjeni periodën e tij kryesore.

Problemi 3. Gjeni periudhën kryesore të funksionit

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Le të supozojmë periudhën T të funksionit, pastaj për cilindo X raporti është i vlefshëm

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Nëse x=0, atëherë

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Nëse x=-T, atëherë

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin (1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

– sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Duke e shtuar atë, marrim:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Le të zgjedhim numrin më të vogël pozitiv nga të gjithë numrat "të dyshimtë" për periudhën dhe të kontrollojmë nëse është një pikë për f. Ky numër

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Kjo do të thotë se kjo është periudha kryesore e funksionit f.

Problemi 4. Le të kontrollojmë nëse funksioni f(x)=sin(x) është periodik

Le të jetë T periudha e funksionit f. Pastaj për çdo x

mëkat|x+Т|=mëkat|x|

Nëse x=0, atëherë mëkat|Т|=mëkat0, mëkat|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Le të supozojmë. Se për disa n numri π n është perioda

funksioni në shqyrtim π n>0. Pastaj sin|π n+x|=sin|x|

Kjo nënkupton që n duhet të jetë edhe një numër çift edhe një numër tek, por kjo është e pamundur. Prandaj, ky funksion nuk është periodik.

Detyra 5. Kontrolloni nëse funksioni është periodik

f(x)=

Le të jetë T periudha e f, atëherë

, pra sinT=0, Т=π n, n € Z. Le të supozojmë se për disa n numri π n është me të vërtetë periudha e këtij funksioni. Atëherë numri 2π n do të jetë periudha

Meqenëse numëruesit janë të barabartë, atëherë emëruesit e tyre janë të barabartë

Kjo do të thotë se funksioni f nuk është periodik.

Puna në grupe.

Detyrat për grupin 1.

Detyrat për grupin 2.

Kontrolloni nëse funksioni f është periodik dhe gjeni periudhën e tij themelore (nëse ekziston).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Detyrat për grupin 3.

Në fund të punës së tyre, grupet prezantojnë zgjidhjet e tyre.

VI. Duke përmbledhur mësimin.

Reflektimi.

Mësuesi u jep nxënësve karta me vizatime dhe u kërkon të ngjyrosin një pjesë të vizatimit të parë në përputhje me masën në të cilën ata mendojnë se i kanë zotëruar metodat e studimit të një funksioni për periodicitet, dhe në një pjesë të vizatimit të dytë - në përputhje me kontribut në punën në mësim.

VII. Detyre shtepie

1). Kontrolloni nëse funksioni f është periodik dhe gjeni periudhën e tij themelore (nëse ekziston)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg (3x+5)

2). Funksioni y=f(x) ka një periudhë T=2 dhe f(x)=x 2 +2x për x € [-2; 0]. Gjeni vlerën e shprehjes -2f(-3)-4f(3.5)

letërsi/

Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimet e analizës me studim të thelluar.
Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algjebra dhe fillimi i analizës për klasat 10-11.

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Algjebra dhe fillimet e analizës, klasa 10 (niveli i profilit) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Mësues Volkova S.E.

Përkufizimi 1 Një funksion y = f (x), x ∈ X thuhet se ka periodë T nëse për çdo x ∈ X vlen barazia f (x – T) = f (x) = f (x + T). Nëse një funksion me periodë T përcaktohet në pikën x, atëherë ai përcaktohet edhe në pikat x + T, x – T. Çdo funksion ka një periudhë të barabartë me zero në T = 0, marrim f(x – 0) = f (x) = f( x + 0) .

Përkufizimi 2 Një funksion që ka një periudhë T jo zero quhet periodik. Nëse një funksion y = f (x), x ∈ X ka një periudhë T, atëherë çdo numër që është shumëfish i T-së (d.m.th., një numër i formës kT, k ∈ Z) është gjithashtu perioda e tij.

Vërtetim Le të jetë 2T periudha e funksionit. Pastaj f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Po kështu vërtetohet se f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) etj. Pra f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Periudha më e vogël midis periudhave pozitive të një funksioni periodik quhet periudha kryesore e këtij funksioni.

Veçoritë e grafikut të një funksioni periodik Nëse T është periudha kryesore e funksionit y = f(x), atëherë mjafton që: të ndërtohet një degë e grafikut në një nga intervalet e gjatësisë T, të kryhet një përkthim paralel. të kësaj dege përgjatë boshtit x nga ±T, ±2T, ±3T, etj. Zakonisht zgjidhet një hendek me skajet në pika

Vetitë e funksioneve periodike 1. Nëse f(x) është një funksion periodik me periudhë T, atëherë funksioni g(x) = A f(kx + b), ku k > 0, është gjithashtu periodik me periodë T 1 = T/ k. 2. Le të jetë i përcaktuar funksioni f 1 (x) dhe f 2 (x) në të gjithë boshtin numerik dhe të jetë periodik me periudha T 1 > 0 dhe T 2 >0. Atëherë, për T 1 /T 2 ∈ Q, funksioni f(x) = f(x) + f 2 (x) është një funksion periodik me periodë T të barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave T 1 dhe T 2.

Shembuj 1. Funksioni periodik y = f(x) është përcaktuar për të gjithë numrat realë. Periudha e saj është 3 dhe f(0) =4. Gjeni vlerën e shprehjes 2f(3) – f(-3). Zgjidhje. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Zëvendësimi i vlerave të marra në shprehjen 2f (3) - f(-3) , marrim 8 - 4 =4. Përgjigje: 4.

Shembujt 2. Funksioni periodik y = f(x) është përcaktuar për të gjithë numrat realë. Periudha e saj është 5, dhe f(-1) = 1. Gjeni f(-12) nëse 2f(3) – 5f(9) = 9. Zgjidhje T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Përgjigje:7.

Literatura e përdorur A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. Algjebra dhe fillimet e analizës (niveli i profilit), klasa 10 A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. Algjebra dhe fillimi i analizës (niveli i profilit), klasa e 10-të. Manual metodologjik për mësuesit

Me temën: zhvillime metodologjike, prezantime dhe shënime

Ligji periodik dhe sistemi periodik D.I. Mendelejevi.

Një mësim gjithëpërfshirës mbi këtë temë zhvillohet në formën e një loje, duke përdorur elementë të teknologjisë nga punëtoritë pedagogjike....

Ngjarja jashtëshkollore "Ligji periodik dhe sistemi periodik i elementeve kimike të D.I. Mendeleev"

Një aktivitet jashtëshkollor zbulon historinë e krijimit të ligjit periodik dhe sistemit periodik nga D.I. Mendelejevi. Informacioni paraqitet në formë poetike, e cila lehtëson memorizimin e shpejtë...

Shtojcë e veprimtarisë jashtëshkollore "Ligji periodik dhe sistemi periodik i elementeve kimike të D.I. Mendeleev"

Zbulimit të ligjit i parapriu një punë e gjatë dhe intensive shkencore nga D.I. Mendelejevit për 15 vjet, dhe thellimit të tij të mëtejshëm iu dhanë edhe 25 vite të tjera....

Pajisjet: kompjuter, projektor multimedial, karta detyrash, rrëshqitje, orë, tabela stoli, elemente të zejeve popullore

"Matematika është ajo që njerëzit përdorin për të kontrolluar natyrën dhe veten."
A.N. Kolmogorov

Gjatë orëve të mësimit

I. Faza organizative.

Kontrollimi i gatishmërisë së nxënësve për mësimin. Raportoni temën dhe objektivat e mësimit.

II. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

Ne kontrollojmë detyrat e shtëpisë duke përdorur mostra dhe diskutojmë pikat më të vështira.

III. Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive.

1. Punë ballore gojore.

Çështjet e teorisë.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Si të vizatoni një funksion periodik?

Ushtrime me gojë.

1) Provoni marrëdhëniet e mëposhtme

a) mëkat (740º) = mëkat (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin (-1000º) = mëkat (80º)

2. Vërtetoni se një kënd prej 540º është një nga periodat e funksionit y= cos(2x)

3. Vërtetoni se këndi 360º është një nga periodat e funksionit y=tg(x)

4. Shndërrojini këto shprehje në mënyrë që këndet e përfshira në to të mos kalojnë 90º në vlerë absolute.

a) tg375º
b) ctg530º
c) mëkat1268º
d) cos(-7363º)

5. Ku i keni hasur fjalët PERIUDHË, PERIODICITE?

Gjysma e jetës së një lënde radioaktive. Thyesë periodike. Revista periodike janë botime të shtypura që shfaqen brenda afateve të përcaktuara rreptësisht. Sistemi periodik i Mendelejevit.

6. Në figura janë paraqitur pjesë të grafikëve të funksioneve periodike. Përcaktoni periudhën e funksionit. Përcaktoni periudhën e funksionit.

Përgjigju: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Ku e keni hasur në jetën tuaj ndërtimin e elementeve përsëritëse?

Përgjigja e nxënësit: Elemente stoli, art popullor.

IV. Zgjidhja kolektive e problemeve.

(Zgjidhja e problemeve në sllajde.)

Le të shqyrtojmë një nga mënyrat për të studiuar një funksion për periodicitet.

Detyra 1. Gjeni periodën më të vogël pozitive të funksionit f(x)=1+3(x+q>5)

Zgjidhje: Supozojmë se periudha T e këtij funksioni. Atëherë f(x+T)=f(x) për të gjitha x € D(f), d.m.th.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

Le të vendosim x=-0,25 marrim

(T)=0<=>T=n, n € Z

f(x+1) =3(x+1+0.25)+1

Meqenëse (T+1)=(T) për çdo T, atëherë f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), d.m.th. 1 – periudha f. Meqenëse 1 është më i vogli nga të gjithë numrat e plotë pozitiv, atëherë T=1.

Detyra 2. Tregoni se funksioni f(x)=cos 2 (x) është periodik dhe gjeni periodën e tij kryesore.

Problemi 3. Gjeni periudhën kryesore të funksionit

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Le të supozojmë periudhën T të funksionit, pastaj për cilindo X raporti është i vlefshëm

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Nëse x=0, atëherë

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Nëse x=-T, atëherë

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin (1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

– sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Duke e shtuar atë, marrim:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Le të zgjedhim numrin më të vogël pozitiv nga të gjithë numrat "të dyshimtë" për periudhën dhe të kontrollojmë nëse është një pikë për f. Ky numër

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Kjo do të thotë se kjo është periudha kryesore e funksionit f.

Problemi 4. Le të kontrollojmë nëse funksioni f(x)=sin(x) është periodik

Le të jetë T periudha e funksionit f. Pastaj për çdo x

mëkat|x+Т|=mëkat|x|

Nëse x=0, atëherë mëkat|Т|=mëkat0, mëkat|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Le të supozojmë. Se për disa n numri π n është perioda

funksioni në shqyrtim π n>0. Pastaj sin|π n+x|=sin|x|

Kjo nënkupton që n duhet të jetë edhe një numër çift edhe një numër tek, por kjo është e pamundur. Prandaj, ky funksion nuk është periodik.

Detyra 5. Kontrolloni nëse funksioni është periodik

f(x)=

Le të jetë T periudha e f, atëherë

, pra sinT=0, Т=π n, n € Z. Le të supozojmë se për disa n numri π n është me të vërtetë periudha e këtij funksioni. Atëherë numri 2π n do të jetë periudha

Meqenëse numëruesit janë të barabartë, atëherë emëruesit e tyre janë të barabartë

Kjo do të thotë se funksioni f nuk është periodik.

Puna në grupe.

Detyrat për grupin 1.

Detyrat për grupin 2.

Kontrolloni nëse funksioni f është periodik dhe gjeni periudhën e tij themelore (nëse ekziston).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Detyrat për grupin 3.

Në fund të punës së tyre, grupet prezantojnë zgjidhjet e tyre.

VI. Duke përmbledhur mësimin.

Reflektimi.

VII. Detyre shtepie

1). Kontrolloni nëse funksioni f është periodik dhe gjeni periudhën e tij themelore (nëse ekziston)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg (3x+5)

2). Funksioni y=f(x) ka një periudhë T=2 dhe f(x)=x 2 +2x për x € [-2; 0]. Gjeni vlerën e shprehjes -2f(-3)-4f(3.5)

letërsi/

Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimet e analizës me studim të thelluar.
Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algjebra dhe fillimi i analizës për klasat 10-11.

Përsëritja e vlerave të tij në një interval të rregullt argumenti, domethënë, mos ndryshimi i vlerës së tij kur shtoni një numër fiks jo zero në argument ( periudhë funksionet) në të gjithë domenin e përkufizimit.

Duke folur më zyrtarisht, funksioni quhet periodik me pikë T ≠ 0 (\stil ekrani T\neq 0), nëse për çdo pikë x (\displaystyle x) nga fusha e tij e përkufizimit të pikës x + T (\displaystyle x+T) Dhe x − T (\displaystyle x-T) gjithashtu i përkasin fushës së tij të përkufizimit, dhe për ta vlen barazia f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\style ekrani f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Bazuar në përkufizimin, barazia është gjithashtu e vërtetë për një funksion periodik f (x) = f (x + n T) (\style ekrani f(x)=f(x+nT)), Ku n (\displaystyle n)- çdo numër i plotë.

Megjithatë, nëse një grup periodash ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle $T,T>0,T\në \mathbb (R) $) ka një vlerë më të vogël, atëherë quhet periudha kryesore (ose kryesore). funksione.

Shembuj

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x, cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \për të gjithë x\në \mathbb (R) .)

Funksioni Dirichlet është periodik; periudha e tij është çdo numër racional jozero. Ai gjithashtu nuk ka një periudhë kryesore.

Disa veçori të funksioneve periodike

Dhe T 2 (\displaystyle T_(2))(megjithatë, ky numër do të jetë thjesht një pikë). Për shembull, funksioni f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) periudha kryesore është 2 π (\displaystyle 2\pi), në funksion g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) periudha është e barabartë me 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), dhe shuma e tyre f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) periudha kryesore është padyshim e barabartë me π (\displaystyle \pi).

Shuma e dy funksioneve me periudha të pakrahasueshme nuk është gjithmonë një funksion jo periodik.

UDC 517.17+517.51

PERIUDHA E SHUMES SE DY FUNKSIONET PERIODIKE

A/O. Evnin

Puna zgjidh plotësisht pyetjen se cila mund të jetë periudha kryesore e një funksioni periodik, që është shuma e dy funksioneve periodike me periudha kryesore të njohura. Është studiuar edhe rasti i mungesës së një periudhe kryesore për një shumë periodike të funksioneve periodike.

Ne konsiderojmë funksionet me vlerë reale të një ndryshoreje reale. Në botimin enciklopedik, në artikullin "Funksionet periodike", mund të lexoni: "Shuma e funksioneve periodike me periudha të ndryshme është periodike vetëm nëse periudhat e tyre janë proporcionale." Ky pohim është i vërtetë për funksionet e vazhdueshme1, por nuk vlen në rastin e përgjithshëm. Një kundërshembull i një forme shumë të përgjithshme u ndërtua në. Në këtë artikull zbulojmë se cila mund të jetë periudha kryesore e një funksioni periodik, që është shuma e dy funksioneve periodike me periudha kryesore të njohura.

Informacion paraprak

Kujtojmë se një funksion / thuhet se është periodik nëse për një numër të caktuar T F O për çdo x nga fusha e përkufizimit D(f) numrat x + T dhe x - T i përkasin D(f) dhe barazitë f(x + T) = f( x) =f(x ~ T). Në këtë rast, numri Г quhet periudha e funksionit.

Ne do ta quajmë periudhën më të vogël pozitive të funksionit (nëse, sigurisht, ekziston) periudha kryesore. Dihet fakti i mëposhtëm.

Teorema 1. Nëse një funksion ka një periudhë kryesore To, atëherë çdo periudhë e funksionit ka formën nTo, ku n Ф 0 është një numër i plotë.

Numrat T\ dhe T2 thuhet se janë të krahasueshëm nëse ka një numër T0 që përshtatet si në T\ ashtu edhe në T2 një numër i plotë herë: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. Përndryshe, numrat T\ dhe T2 janë i quajtur i pakrahasueshëm. Krahasueshmëria (papërputhshmëria) e periudhave do të thotë, pra, që raporti i tyre është një numër racional (iracional).

Nga teorema 1 rrjedh se për një funksion që ka një periudhë themelore, çdo dy periudha janë proporcionale.

Një shembull klasik i një funksioni që nuk ka periodën më të vogël është funksioni Dirichlet, i cili është i barabartë me 1 në pikat racionale dhe zero në pikat irracionale. Çdo numër racional përveç zeros është perioda e funksionit Dirichlet, dhe çdo numër irracional nuk është perioda e tij. Siç e shohim, edhe këtu çdo dy periudha janë të krahasueshme.

Le të japim një shembull të një funksioni periodik jokonstant që ka periudha të pakrahasueshme.

Le të jetë funksioni /(x) i barabartë me 1 në pikat e formës /u + la/2, m, n e Z dhe i barabartë me

zero. Ndër periudhat e këtij funksioni dallohen 1 dhe l

Periudha e një shume funksionesh me periudha proporcionale

Teorema 2. Le të jenë Fug funksione periodike me perioda kryesore mT0 dhe “Ajo, ku lloji

Numrat reciprokisht të thjeshtë. Atëherë periudha kryesore e shumës së tyre (nëse ekziston) është e barabartë me -

ku k është një numër natyror koprim me numrin mn.

Dëshmi. Le të jetë h = / + g. Natyrisht, numri mnT0 është periudha e h. Në sajë të

të Teoremës 1, periudha kryesore h ka formën ku k është një numër natyror. Me sa duket

Le të supozojmë se k nuk është relativisht i thjeshtë me numrin m, pra k - dku m = dm\, ku d> 1 është më

1 Një provë e bukur që shuma e çdo numri të fundëm të funksioneve të vazhdueshme me perioda të pakrahasueshme në çift është jo periodike gjendet në artikull Shih gjithashtu.

pjesëtues më i madh i përbashkët i numrave m dhe k. Atëherë perioda e funksionit k është e barabartë me

dhe funksioni f=h-g

ka një periudhë mxnTo, e cila nuk është shumëfish i periudhës së saj kryesore mTQ. Përftohet një kundërthënie me teoremën 1. Kjo do të thotë se k është e dyfishtë me m. Në mënyrë të ngjashme, numrat k dhe n janë të dyfishtë. Pra, A: është koprim me m. □

Teorema 3. Le të jenë m, n dhe k numra të dyfishtë koprim, dhe T0 numër pozitiv. Pastaj ekzistojnë funksione periodike të tilla që periodat kryesore f, g dhe (f + g) janë

ne jemi përkatësisht tT$, nTQ dhe -

Dëshmi. Vërtetimi i teoremës do të jetë konstruktiv: thjesht do të ndërtojmë një shembull përkatës. Le të formulojmë fillimisht rezultatin e mëposhtëm. deklaratë. Le të jenë m numra relativisht të thjeshtë. Pastaj funksionet

fx - cos- + cos--- dhe f2= cos- m n m

cos- kanë një periudhë themelore prej 2ktp. P

Dëshmi e deklaratës. Natyrisht, numri 2ptn është periudha e të dy funksioneve. Mund të kontrolloni lehtësisht nëse kjo periudhë është kryesore për funksionin. Le të gjejmë pikët maksimale të tij.

x = 2lM, te Z.

Kemi = n!. Nga thjeshtësia reciproke e tipit del se 5 është shumëfish i /r, d.m.th. i = unë e b. Kjo do të thotë që /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2, dhe distanca ndërmjet pikave fqinje të maksimumit të funksionit /\ është e barabartë me 2ktp, dhe periudha pozitive /1 nuk mund të jetë më e vogël se numri 2 spp .

Për funksionin aplikojmë arsyetim të një lloji tjetër (i cili është gjithashtu i përshtatshëm për funksionin por

më pak elementare). Siç tregon teorema 1, periudha kryesore Г e funksionit/2 ka formën -,

ku k është një numër natyror i dyfishtë për të shtypur. Numri G do të jetë gjithashtu periudha e funksionit

(2 ^ 2 xn g t /2 + /2 = - -1 koz

të gjitha periudhat e të cilave kanë formën 2pp1. Kështu që,

2nnl, d.m.th. t = kl. Meqenëse t dhe k janë reciproke

sty, rrjedh se k = 1.

Tani, për të vërtetuar teoremën 3, mund të ndërtojmë shembullin e kërkuar. Shembull. Le të jenë m, n dhe k në çift numra relativisht të thjeshtë dhe të paktën njëri nga numrat n ose k është i ndryshëm nga 1. Pastaj pf k dhe në bazë të pohimit të provuar të funksionit

/ (x) = kosto--- + kosto- t për të

Dhe g(x) = cos-cos - p të

kanë perioda kryesore përkatësisht 2 ltk dhe 2 tk, dhe shumën e tyre

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

periudha kryesore është 2 ttp.

Nëse n = k = 1, atëherë do të funksionojë një çift funksionesh

f(x)-2 cos- + COS X dhe g(x) - COS X. m

Periudhat e tyre kryesore, si dhe periudha e funksionit k(x) - 2, janë përkatësisht të barabarta me 2lm, 2/gi 2tip.

sa e lehtë është të kontrollosh.

Matematika

Le të shënojmë T = 2lx. Për numrat arbitrarë me dyshe mn, n dhe k, funksionet f dhe £ tregohen të tilla që periudhat kryesore të funksioneve f, g dhe f + g të jenë të barabarta me mT, nT dhe

Kushtet e teoremës plotësohen nga funksionet / - n;

Periudha e një shume funksionesh me periudha të pakrahasueshme

Deklarata tjetër është pothuajse e qartë.

Teorema 4. Le të jetë fug funksione periodike me perioda kryesore të pakrahasueshme T) dhe T2, dhe shuma e këtyre funksioneve h = f + g është periodike dhe ka një periudhë kryesore T. Atëherë numri T nuk është i pamatshëm as me T] as me T2.

Dëshmi. Nga njëra anë, nëse numrat TnT) janë të krahasueshëm, atëherë funksioni g = h-f ka një periodë në përpjesëtim me Г]. Nga ana tjetër, në bazë të teoremës 1, çdo periudhë e funksionit g është shumëfish i numrit T2. Ne marrim një kontradiktë me papërputhshmërinë e numrave T\ dhe T2. Në mënyrë të ngjashme vërtetohet papërputhshmëria e numrave T dhe T2, d

Një fakt i jashtëzakonshëm, madje disi befasues, është se e kundërta e teoremës 4 është gjithashtu e vërtetë. Ekziston një keqkuptim i përhapur se shuma e dy funksioneve periodike me perioda të pakrahasueshme nuk mund të jetë një funksion periodik. Në fakt, kjo nuk është kështu. Për më tepër, periudha e shumës mund të jetë çdo numër pozitiv që plotëson deklaratën e teoremës 4.

Teorema 5. Le të jenë T\, T2 dhe T~ numra pozitivë të pakrahasueshëm në çift. Pastaj ekzistojnë funksione periodike fug të tilla që shuma e tyre h =/+ g është periodike, dhe periudhat kryesore të funksionit f guh janë të barabarta me Th T2 dhe T, përkatësisht.

Dëshmi. Prova do të jetë përsëri konstruktive. Ndërtimet tona do të varen ndjeshëm nga fakti nëse numri T është i përfaqësuar apo jo në formën e një kombinimi racional T = aT\ + pT2 (a dhe P janë numra racional) të periudhave T\ dhe T2.

I. T nuk është një kombinim racional i Tg dhe J2-

Le të jetë A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) bashkësia e kombinimeve lineare të numrave të plotë të numrave T1 T2 dhe T. Vërejmë menjëherë se nëse një numër është i përfaqësuar në formën mT\ + nT2 + kT, atëherë një paraqitje e tillë është unike. Në të vërtetë, nëse mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9 atëherë

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Тъ dhe për k\ * k2 marrim se T shprehet racionalisht përmes T] dhe T2. Kjo do të thotë k\ = k2. Tani, nga pabarazia e numrave T\ dhe T2, menjëherë fitohen barazitë m\ = m2 dhe u = n2.

Një fakt i rëndësishëm është se bashkësitë A dhe plotësuesi i tij A mbyllen nën mbledhjen e numrave nga A: nëse x e A dhe y e A, atëherë x + y e A; nëse x e A dhe y e A, atëherë x + y e A.

Le të supozojmë se në të gjitha pikat e bashkësisë A funksionet / dhe g janë të barabarta me zero, dhe në bashkësinë A i përcaktojmë këto funksione si më poshtë:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.

Meqenëse, siç është treguar, nga numri x e A, koeficientët m, maja e kombinimit linear të periudhave T1 T2 dhe T janë restauruar në mënyrë unike, caktimet e treguara të funksioneve / dhe g janë të sakta.

Funksioni h =/ + g në grupin A është i barabartë me zero, dhe në pikat e grupit A është i barabartë me

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Me zëvendësim të drejtpërdrejtë është e lehtë të verifikohet se numri T\ është periudha e funksionit f, numri T2 është periudha e g dhe T~ është periudha e h. Le të tregojmë se këto periudha janë ato kryesore.

Së pari, vërejmë se çdo periudhë e funksionit / i përket grupit A. Në të vërtetë,

nëse 0 fx në A,y e A, atëherë ox + y e A dhe f(x + y) = 0 *f(x). Kjo do të thotë që y e A nuk është periudha e funksionit /

Tani le të jenë x2 numra të pabarabartë dhe f(x 1) ~f(x2). Nga përkufizimi i funksionit /, marrim prej këtu se x\ - x2 = 1ТБ ku I është një numër i plotë jo zero. Prandaj, çdo periudhë e funksionit është shumëfish i T\. Kështu, Tx është me të vërtetë periudha kryesore/

Deklaratat në lidhje me T2 dhe T kontrollohen në të njëjtën mënyrë.

Koment. Në librin në f. 172-173 jepet një ndërtim tjetër i përgjithshëm për rastin I.

II. T është një kombinim racional i T\ dhe T2.

Le të paraqesim një kombinim racional të periudhave T\ dhe T2 në formën Г = - (кхТх + к2Т2), ku кх dhe

K2 ™ numrat e plotë coprime, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? dhe d janë numra natyrorë. Le të prezantojmë leZ>.

set reni B----

Le të supozojmë se në të gjitha pikat e grupit B funksionet f dhe g janë të barabarta me zero, dhe në grupin B ne i përcaktojmë këto funksione si më poshtë:

^ mT\ + nT2 L I

^ mTx + nT2 L

Këtu, si zakonisht, [x] dhe (x) tregojnë përkatësisht pjesët e plota dhe thyesore të numrave. Funksioni k =/+ d në grupin B është i barabartë me zero, dhe në pikat e grupit B është i barabartë me

fmTx +pT: l H

Me zëvendësim të drejtpërdrejtë është e lehtë të verifikohet se numri Tx është periudha e funksionit /, numri T2 është periudha g dhe T është periudha h. Le të tregojmë se këto periudha janë ato kryesore.

Çdo periudhë e funksionit / i përket grupit B. Në të vërtetë, nëse 0 * x e B, y e B, atëherë f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Prandaj, y e B _ Periudha jo funksionale/

Pra, çdo periudhë e funksionit / ka formën Тy =

Ku 5i dhe 52 janë numra të plotë. Le

x = -7] 4- -Г2, x e 5. Nëse i = 0, atëherë f(i) është një numër racional. Tani nga racionaliteti i numrit /(x + 7)) rrjedh barazia -I - I - 0. Kjo do të thotë se kemi barazinë 52 = Xp, ku X është një numër i plotë.

numri. Marrëdhënia /(x + 7)) = /(x) merr formën

^P + I + I w +

Kjo barazi duhet të jetë e vlefshme për të gjitha llojet e numrave të plotë. Në t-n~ 0, ana e djathtë e (1) është e barabartë me

në zero. Meqenëse pjesët thyesore janë jo negative, ne marrim nga kjo se -<0, а при

m = n = d - ] shuma e pjesëve thyesore në anën e djathtë të barazisë (1) nuk është më e vogël se shuma e pjesëve thyesore h-X

në të majtë. Kjo do të thotë - > 0. Kështu, X = 0 dhe 52 = 0. Prandaj, periudha e funksionit / ka formën

dhe barazia (1) bëhet

n\ | dhe 52 janë numra të plotë. Nga marrëdhëniet

th(0) = 0 = th(GA) =

gjejmë se numrat 51 dhe ^ duhet të jenë shumëfish të p, d.m.th. për disa numra të plotë Ax dhe A2 kemi 51 = A\p, E2 = A2p. Atëherë relacioni (3) mund të rishkruhet si

Nga barazia A2kx = k2A\ dhe thjeshtësia e ndërsjellë e numrave k\ dhe k2, del se A2 pjesëtohet me k2. Nga këtu

për disa numra t të plotë barazimet A2 = k2t dhe Ax ~ kxt janë të vlefshme, d.m.th. Th ~-(kxTx + k2T2).

Është treguar se çdo periudhë e funksionit h është shumëfish i periudhës T = - (k(Gx + k2T2)9 e cila, pra

zom, është kryesori. □

Nuk ka periudhë kryesore

Teorema 6. Le të jenë Tx dhe T2~ numra pozitivë arbitrarë. Pastaj ekzistojnë funksione periodike të tilla që periodat e tyre kryesore janë përkatësisht të barabarta me T\ dhe T2, dhe shuma e tyre h=f+g është periodike, por nuk ka periodë kryesore.

Dëshmi. Le të shqyrtojmë dy raste të mundshme.

I. Periudhat Tx dhe T2 janë të pakrahasueshme.

Le të A = + nT2 +kT\ . Si më sipër, është e lehtë të tregohet se nëse numri

mund të paraqitet në formën mTx + nT2 + kT, atëherë një paraqitje e tillë është unike.

Le të supozojmë se në të gjitha pikat e bashkësisë A funksionet / dhe g janë të barabarta me zero, dhe në bashkësinë A i përcaktojmë këto funksione si më poshtë:

/nga; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Është e lehtë të verifikohet se numri Tx është periudha kryesore e funksionit /, numri T2 është periudha kryesore g, dhe për çdo k racional, numri kT është periudha e funksionit h - f + g, i cili, prandaj nuk ka periudhën më të vogël.

II. Periudhat Tx dhe T2 janë të krahasueshme.

Le të themi Tx = mT0, T2 = nT0, ku T0 > O, m dhe n janë numra natyrorë. Le të marrim në konsideratë bashkësinë I = +.

Le të supozojmë se në të gjitha pikat e grupit B funksionet fug janë të barabarta me zero, dhe në grupin B ne i përcaktojmë këto funksione si më poshtë:

/((/ + ShT0) = Shch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.

Funksioni h ~ / + g në grupin B është i barabartë me zero, dhe në pikat e grupit B është i barabartë me

Është e lehtë të kontrollohet se numri 7j = mTQ është periudha kryesore e funksionit /, numri T2 ~ nT0 është periudha kryesore e g, ndërsa midis periudhave të funksionit h~ f + g janë të gjithë numrat e forma l/2kT0, ku k është një numër racional arbitrar. □

Ndërtimet që vërtetojnë teoremën 6 bazohen në papërputhshmërinë e periodave të funksionit h~ / + g me periodat e funksioneve / dhe g. Si përfundim, le të japim një shembull të funksioneve fug të tilla që të gjitha periudhat e funksioneve /, g dhe / + g janë në përpjesëtim me njëri-tjetrin, por / dhe g kanë perioda bazë, ndërsa f + g jo.

Le të jetë m një numër natyror fiks, M bashkësia e thyesave jo të plota të pakalueshme, numëruesit e të cilëve janë shumëfisha të m. Le të vendosim

1 nëse aiM; 1

nëse mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O në raste të tjera; 1 nëse xeMU

~, nëse është2 2

[Oh ndryshe.

Është e lehtë të shihet se periudhat kryesore të funksioneve fug janë respektivisht të barabarta me m dhe 1, ndërsa shuma / + g ka një periodë të çdo numri të formës m/n, ku n është një numër natyror arbitrar koprim me m.

Letërsia

1. Fjalor enciklopedik matematikor/Kr. ed. Yu.V. Prokhorov - M.: Sov. enciklopedi, 1988.

2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. Mbi periodicitetin e shumës së funksioneve periodike//Edukim matematikor. - 2000. - Nr.2(13). - fq 29-33.

3. Gerenshtein A.B., Evnin A.Yu. Mbi shumën e funksioneve periodike // Matematika në shkollë. -2002. - Nr. 1. - F. 68-72.

4. Ivlev B.M. dhe të tjera.Përmbledhje problemash mbi algjebër dhe parimet e analizës për klasat 9 dhe 10. - M.: Arsimi, 1978.