Kubi i diferencës dhe ndryshimi i kubeve: rregullat për aplikimin e formulave të shkurtuara të shumëzimit. Formulat e shkurtuara të shumëzimit Shembuj të problemeve duke përdorur formulat për diferencën e katrorëve dhe shumën dhe ndryshimin e kubeve

Formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Studimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit: katrori i shumës dhe katrori i ndryshimit të dy shprehjeve; dallimi i katrorëve të dy shprehjeve; kubi i shumës dhe kubi i ndryshimit të dy shprehjeve; shumat dhe dallimet e kubeve të dy shprehjeve.

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.

Për të thjeshtuar shprehjet, polinomet e faktorëve dhe për të reduktuar polinomet në formë standarde, përdoren formulat e shkurtuara të shumëzimit. Formulat e shkurtuara të shumëzimit duhet të njihen përmendësh.

Le të a, b R. Pastaj:

1. Katrori i shumës së dy shprehjeve është i barabartë me katrori i shprehjes së parë plus dyfishi i produktit të shprehjes së parë dhe i dyti plus katrori i shprehjes së dytë.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Katrori i diferencës së dy shprehjeve është i barabartë me katrorin e shprehjes së parë minus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Dallimi i katrorëve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre shprehjeve dhe shumën e tyre.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Kub i shumës dy shprehje është e barabartë me kubin e shprehjes së parë plus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e prodhimit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës plus kubin e shprehjes së dytë.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Kubi i diferencës dy shprehje është e barabartë me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës minus kubin e shprehjes së dytë.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Shuma e kubeve dy shprehje është e barabartë me prodhimin e shumës së shprehjeve të parë dhe të dytë dhe katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Dallimi i kubeve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të shprehjes së parë dhe të dytë me katrorin jo të plotë të shumës së këtyre shprehjeve.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.

Shembulli 1.

Llogaritni

a) Duke përdorur formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve, kemi

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Duke përdorur formulën për katrorin e diferencës së dy shprehjeve, marrim

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

Shembulli 2.

Llogaritni

Duke përdorur formulën për ndryshimin e katrorëve të dy shprehjeve, marrim

Shembulli 3.

Thjeshtoni një shprehje

(x - y) 2 + (x + y) 2

Le të përdorim formulat për katrorin e shumës dhe katrorin e diferencës së dy shprehjeve

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Formulat e shkurtuara të shumëzimit në një tabelë:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Formulat e shkurtuara të shumëzimit (FMF) përdoren për të shprehur dhe shumëzuar numra dhe shprehje. Shpesh këto formula ju lejojnë të bëni llogaritjet më kompakte dhe shpejt.

Në këtë artikull do të rendisim formulat bazë për shumëzimin e shkurtuar, do t'i grupojmë ato në një tabelë, do të shqyrtojmë shembuj të përdorimit të këtyre formulave dhe gjithashtu do të ndalemi në parimet e vërtetimit të formulave për shumëzimin e shkurtuar.

Për herë të parë, tema e FSU është konsideruar në kuadër të lëndës Algjebër për klasën e 7-të. Më poshtë janë 7 formula themelore.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit

formula për katrorin e shumës: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
formula e diferencës katrore: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
formula e kubit të shumës: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
formula e kubit të diferencës: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
formula e diferencës katrore: a 2 - b 2 = a - b a + b
formula për shumën e kubeve: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
formula për ndryshimin e kubeve: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Shkronjat a, b, c në këto shprehje mund të jenë çdo numër, ndryshore ose shprehje. Për lehtësinë e përdorimit, është më mirë të mësoni përmendësh shtatë formulat bazë. Le t'i vendosim në një tabelë dhe t'i paraqesim më poshtë, duke i rrethuar me një kornizë.

Katër formulat e para ju lejojnë të llogaritni, përkatësisht, katrorin ose kubin e shumës ose diferencës së dy shprehjeve.

Formula e pestë llogarit ndryshimin midis katrorëve të shprehjeve duke shumëzuar shumën dhe ndryshimin e tyre.

Formula e gjashtë dhe e shtatë, respektivisht, shumëzojnë shumën dhe ndryshimin e shprehjeve me katrorin jo të plotë të diferencës dhe katrorin jo të plotë të shumës.

Formula e shkurtuar e shumëzimit nganjëherë quhet edhe identitete të shkurtuara të shumëzimit. Kjo nuk është për t'u habitur, pasi çdo barazi është një identitet.

Gjatë zgjidhjes së shembujve praktikë, shpesh përdoren formula të shkurtuara të shumëzimit me anën e majtë dhe të djathtë të këmbyer. Kjo është veçanërisht e përshtatshme kur faktorizoni një polinom.

Formula shtesë të shkurtuara të shumëzimit

Le të mos kufizohemi në kursin e algjebrës së klasës së 7-të dhe të shtojmë disa formula të tjera në tabelën tonë të FSU.

Së pari, le të shohim formulën binomiale të Njutonit.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Këtu C n k janë koeficientët binomialë që shfaqen në rreshtin numër n në trekëndëshin e Paskalit. Koeficientët binomial llogariten duke përdorur formulën:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Siç mund ta shohim, FSF për katrorin dhe kubin e diferencës dhe shumës është një rast i veçantë i formulës binomiale të Njutonit për përkatësisht n=2 dhe n=3.

Por, çka nëse ka më shumë se dy terma në shumën që duhet të rritet në një fuqi? Formula për katrorin e shumës së tre, katër ose më shumë termave do të jetë e dobishme.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Një formulë tjetër që mund të jetë e dobishme është formula për ndryshimin midis fuqive të n-të të dy termave.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Kjo formulë zakonisht ndahet në dy formula - për fuqitë çift dhe tek, përkatësisht.

Edhe për treguesit 2 m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Për eksponentët tek 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Diferenca e formulave të katrorëve dhe diferencës së formulave të kubeve, siç e keni marrë me mend, janë raste të veçanta të kësaj formule për n = 2 dhe n = 3, përkatësisht. Për dallimin e kubeve, b zëvendësohet gjithashtu me - b.

Si të lexoni formulat e shkurtuara të shumëzimit?

Do të japim formulimet e duhura për secilën formulë, por fillimisht do të kuptojmë parimin e leximit të formulave. Mënyra më e përshtatshme për ta bërë këtë është me një shembull. Le të marrim formulën e parë për katrorin e shumës së dy numrave.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Thonë: katrori i shumës së dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e katrorit të shprehjes së parë, dyfishi i prodhimit të shprehjeve dhe katrori i shprehjes së dytë.

Të gjitha formulat e tjera lexohen në mënyrë të ngjashme. Për katrorin e diferencës a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 shkruajmë:

katrori i ndryshimit midis dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e katrorëve të këtyre shprehjeve minus dyfishin e produktit të shprehjeve të parë dhe të dytë.

Le të lexojmë formulën a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kubi i shumës së dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e kubeve të këtyre shprehjeve, trefishoni prodhimin e katrorit të shprehjes së parë me të dytën dhe trefishoni prodhimin e katrorit të shprehjes së dytë me shprehja e parë.

Le të kalojmë në leximin e formulës për ndryshimin e kubeve a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kubi i diferencës ndërmjet dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me kubin e shprehjes së parë minus produktin e trefishtë të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytë, plus produktin e trefishtë të katrorit të shprehjes së dytë dhe të shprehjes së parë , minus kubin e shprehjes së dytë.

Formula e pestë a 2 - b 2 = a - b a + b (diferenca e katrorëve) lexohet kështu: ndryshimi i katrorëve të dy shprehjeve është i barabartë me produktin e ndryshimit dhe shumën e dy shprehjeve.

Për lehtësi, shprehjet si a 2 + a b + b 2 dhe a 2 - a b + b 2 quhen, përkatësisht, katrori jo i plotë i shumës dhe katrori jo i plotë i diferencës.

Duke marrë parasysh këtë, formulat për shumën dhe ndryshimin e kubeve mund të lexohen si më poshtë:

Shuma e kubeve të dy shprehjeve është e barabartë me produktin e shumës së këtyre shprehjeve dhe katrorin e pjesshëm të ndryshimit të tyre.

Dallimi midis kubeve të dy shprehjeve është i barabartë me produktin e diferencës midis këtyre shprehjeve dhe katrorit të pjesshëm të shumës së tyre.

Dëshmi e FSU

Provimi i FSU është mjaft i thjeshtë. Në bazë të vetive të shumëzimit, do të shumëzojmë pjesët e formulave në kllapa.

Për shembull, merrni parasysh formulën për diferencën në katror.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Për të ngritur një shprehje në fuqinë e dytë, duhet ta shumëzoni këtë shprehje në vetvete.

a - b 2 = a - b a - b .

Le të zgjerojmë kllapat:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formula është e vërtetuar. FSU-të e mbetura janë vërtetuar në mënyrë të ngjashme.

Shembuj të aplikimit të FSU

Qëllimi i përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit është që të shumëzohen shpejt dhe në mënyrë koncize dhe të ngrihen shprehjet në fuqi. Sidoqoftë, kjo nuk është e gjithë fusha e zbatimit të FSU. Ato përdoren gjerësisht në reduktimin e shprehjeve, reduktimin e thyesave dhe faktorizimin e polinomeve. Le të japim shembuj.

Shembull 1. FSU

Le të thjeshtojmë shprehjen 9 y - (1 + 3 y) 2.

Le të zbatojmë formulën e shumës së katrorëve dhe të marrim:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Shembulli 2. FSU

Le të zvogëlojmë thyesën 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Vëmë re se shprehja në numërues është ndryshimi i kubeve, dhe në emërues është ndryshimi i katrorëve.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Ne zvogëlojmë dhe marrim:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU-të gjithashtu ndihmojnë në llogaritjen e vlerave të shprehjeve. Gjëja kryesore është të jeni në gjendje të vini re se ku të aplikoni formulën. Le ta tregojmë këtë me një shembull.

Le të vendosim në katror numrin 79. Në vend të llogaritjeve të rënda, le të shkruajmë:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Duket se një llogaritje komplekse kryhet shpejt vetëm duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit dhe një tabelë shumëzimi.

Një pikë tjetër e rëndësishme është zgjedhja e katrorit të binomit. Shprehja 4 x 2 + 4 x - 3 mund të shndërrohet në 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Transformime të tilla përdoren gjerësisht në integrim.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Në mësimet e mëparshme, ne shikuam dy mënyra për të faktorizuar një polinom: duke vënë faktorin e përbashkët jashtë kllapave Dhe metoda e grupimit.

Në këtë mësim do të shikojmë një mënyrë tjetër për të faktorizuar një polinom duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Ne ju rekomandojmë që të shkruani çdo formulë të paktën 12 herë. Për memorizimin më të mirë, shkruani të gjitha formulat e shkurtuara të shumëzimit për veten tuaj me një të vogël fletë mashtrimi.

Le të kujtojmë se si duket ndryshimi i formulës së kubeve.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Dallimi i formulës së kubeve nuk është shumë i lehtë për t'u mbajtur mend, prandaj ju rekomandojmë ta përdorni mënyrë të veçantë për ta kujtuar atë.

Është e rëndësishme të kuptohet se çdo formulë e shkurtuar shumëzimi funksionon gjithashtu ana e kundërt.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Le të shohim një shembull. Është e nevojshme të faktorizohet diferenca e kubeve.

Ju lutemi vini re se "27a 3" është "(3a) 3", që do të thotë se për ndryshimin e formulës së kubeve, në vend të "a" përdorim "3a".

Ne përdorim formulën e diferencës së kubeve. Në vend të "a 3" kemi "27a 3", dhe në vend të "b 3", si në formulë, është "b 3".

Zbatimi i diferencës së kubeve në drejtim të kundërt

Le të shohim një shembull tjetër. Ju duhet ta shndërroni produktin e polinomeve në diferencën e kubeve duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit.

Ju lutemi vini re se prodhimi i polinomeve "(x − 1) (x 2 + x + 1)" ngjan me anën e djathtë të diferencës së formulës së kubeve "", vetëm në vend të "a" ka "x" dhe në vend nga "b" ka "1" .

Për "(x − 1)(x 2 + x + 1)" përdorim ndryshimin e formulës së kubeve në drejtim të kundërt.

Le të shohim një shembull më të ndërlikuar. Kërkohet thjeshtimi i produktit të polinomeve.

Nëse krahasojmë "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" me anën e djathtë të formulës së diferencës së kubeve
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)", atëherë mund të kuptoni se në vend të "a" nga kllapa e parë është "y 2", dhe në vend të "b" është "1".