การบรรยายในหัวข้อ: "รูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน" จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ จำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดในรูปแบบตรีโกณมิติ

ในส่วนนี้ เราจะพูดถึงรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนเพิ่มเติม รูปแบบสาธิตพบได้น้อยกว่ามากในงานภาคปฏิบัติ ฉันแนะนำให้ดาวน์โหลดและพิมพ์ถ้าเป็นไปได้ ตารางตรีโกณมิติสามารถดูเนื้อหาระเบียบวิธีได้ที่หน้าสูตรและตารางทางคณิตศาสตร์ คุณไม่สามารถไปได้ไกลโดยไม่มีโต๊ะ

จำนวนเชิงซ้อนใดๆ (ยกเว้นศูนย์) สามารถเขียนได้ในรูปแบบตรีโกณมิติ:

มันอยู่ที่ไหน โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน, เอ - อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อน.

ให้เราแสดงตัวเลขบนระนาบเชิงซ้อน เพื่อความแน่นอนและคำอธิบายที่เรียบง่าย เราจะวางไว้ในจตุภาคพิกัดแรกนั่นคือ เราเชื่อว่า:

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนคือระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงจุดที่สอดคล้องกันในระนาบเชิงซ้อน พูดง่ายๆ ก็คือ โมดูลคือความยาวเวกเตอร์รัศมี ซึ่งระบุด้วยสีแดงในรูปวาด

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนมักจะเขียนแทนด้วย: หรือ

การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสทำให้ง่ายต่อการหาสูตรในการค้นหาโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน: สูตรนี้ถูกต้อง เพื่อสิ่งใดๆความหมาย "a" และ "เป็น"

บันทึก : โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนเป็นลักษณะทั่วไปของแนวคิด โมดูลัสของจำนวนจริงเป็นระยะทางจากจุดหนึ่งถึงจุดกำเนิด

อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า มุมระหว่าง ครึ่งแกนบวกแกนจริงและเวกเตอร์รัศมีที่ดึงจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่สอดคล้องกัน อาร์กิวเมนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับเอกพจน์:

หลักการที่พิจารณาจริงๆ แล้วคล้ายคลึงกับพิกัดเชิงขั้ว โดยที่รัศมีเชิงขั้วและมุมเชิงขั้วกำหนดจุดหนึ่งโดยเฉพาะ

อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดให้เป็นมาตรฐาน: หรือ

จากการพิจารณาทางเรขาคณิต เราได้สูตรในการค้นหาอาร์กิวเมนต์ดังนี้

. ความสนใจ!สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะในครึ่งระนาบด้านขวาเท่านั้น! ถ้าจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้อยู่ในจตุภาคพิกัดที่ 1 หรือ 4 สูตรจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย เราจะวิเคราะห์กรณีเหล่านี้ด้วย

แต่ก่อนอื่น เรามาดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุดเมื่อจำนวนเชิงซ้อนอยู่บนแกนพิกัด

ตัวอย่างที่ 7

แทนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ: ,,, มาวาดรูปกันเถอะ:

อันที่จริงงานนั้นเป็นงานปากเปล่า เพื่อความชัดเจน ผมจะเขียนรูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนใหม่:

ให้เราจำไว้อย่างมั่นคงโมดูล – ความยาว(ซึ่งก็เป็นเช่นนั้นเสมอ. ไม่เป็นลบ), การโต้แย้ง - มุม

1) เรามาแทนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติกัน ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน เห็นได้ชัดว่า การคำนวณอย่างเป็นทางการโดยใช้สูตร:. เห็นได้ชัดว่า (ตัวเลขอยู่ตรงบนครึ่งแกนบวกจริง) ดังนั้น ตัวเลขที่อยู่ในรูปตรีโกณมิติ:.

การดำเนินการตรวจสอบย้อนกลับจะชัดเจนเท่ากับวัน:

2) ให้เราแสดงตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน เห็นได้ชัดว่า การคำนวณอย่างเป็นทางการโดยใช้สูตร:. แน่นอน (หรือ 90 องศา) ในภาพวาด มุมจะแสดงเป็นสีแดง ดังนั้น จำนวนที่อยู่ในรูปตรีโกณมิติคือ: .

โดยใช้ เป็นเรื่องง่ายที่จะคืนรูปแบบพีชคณิตของตัวเลข (ขณะเดียวกันก็ทำการตรวจสอบ):

3) ให้เราแสดงตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ มาหาโมดูลของมันกันดีกว่า

การโต้แย้ง. เห็นได้ชัดว่า. การคำนวณอย่างเป็นทางการโดยใช้สูตร:

แน่นอน (หรือ 180 องศา) ในภาพวาด มุมจะแสดงเป็นสีน้ำเงิน ดังนั้น ตัวเลขที่อยู่ในรูปตรีโกณมิติ:.

การตรวจสอบ:

4) และกรณีที่น่าสนใจประการที่สี่ เห็นได้ชัดว่า การคำนวณอย่างเป็นทางการโดยใช้สูตร:.

อาร์กิวเมนต์สามารถเขียนได้สองวิธี: วิธีแรก: (270 องศา) และตามลำดับ: . การตรวจสอบ:

อย่างไรก็ตาม กฎต่อไปนี้มีมาตรฐานมากกว่า: ถ้ามุมมากกว่า 180 องศาจากนั้นเขียนด้วยเครื่องหมายลบและทิศทางตรงกันข้าม (“การเลื่อน”) ของมุม: (ลบ 90 องศา) ในภาพวาดมุมจะถูกทำเครื่องหมายเป็นสีเขียว สังเกตได้ง่าย

ซึ่งเป็นมุมเดียวกัน

ดังนั้นรายการจะอยู่ในรูปแบบ:

ความสนใจ!ไม่ว่าในกรณีใด คุณไม่ควรใช้ความเท่าเทียมกันของโคไซน์ ความคี่ของไซน์ และทำให้สัญกรณ์ "ง่ายขึ้น":

อย่างไรก็ตามการจำลักษณะที่ปรากฏและคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจะเป็นประโยชน์ วัสดุอ้างอิงอยู่ในย่อหน้าสุดท้ายของหน้า กราฟ และคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน และจำนวนเชิงซ้อนจะเรียนรู้ได้ง่ายขึ้นมาก!

ในการออกแบบตัวอย่างที่ง่ายที่สุด คุณควรเขียนดังนี้: : "เห็นได้ชัดว่าโมดูลัสคือ... เห็นได้ชัดว่าข้อโต้แย้งคือ...". สิ่งนี้ชัดเจนมากและง่ายต่อการแก้ไขด้วยวาจา

มาดูกรณีทั่วไปเพิ่มเติมกันดีกว่า ไม่มีปัญหากับโมดูล คุณควรใช้สูตรเสมอ แต่สูตรในการค้นหาอาร์กิวเมนต์จะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับว่าหมายเลขนั้นอยู่ในพิกัดไตรมาสใด ในกรณีนี้ เป็นไปได้สามตัวเลือก (ควรเขียนใหม่):

1) ถ้า (พิกัดไตรมาสที่ 1 และ 4 หรือครึ่งระนาบขวา) จะต้องค้นหาอาร์กิวเมนต์โดยใช้สูตร

2) ถ้า (พิกัดไตรมาสที่ 2) จะต้องค้นหาอาร์กิวเมนต์โดยใช้สูตร .

3) ถ้า (พิกัดไตรมาสที่ 3) จะต้องค้นหาอาร์กิวเมนต์โดยใช้สูตร .

ตัวอย่างที่ 8

แทนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ: ,,,

เนื่องจากมีสูตรสำเร็จรูปจึงไม่จำเป็นต้องเขียนแบบให้เสร็จสิ้น แต่มีจุดหนึ่ง: เมื่อคุณถูกขอให้แสดงตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ ยังไงก็มาวาดรูปกันดีกว่า. ความจริงก็คือครูมักจะปฏิเสธวิธีแก้ปัญหาที่ไม่มีรูปวาดการไม่มีรูปวาดเป็นเหตุผลสำคัญสำหรับการลบและความล้มเหลว

เรานำเสนอตัวเลขในรูปแบบที่ซับซ้อน และตัวเลขตัวแรกและตัวที่สามจะเป็นค่าเฉลยอิสระ

เรามาแทนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติกัน ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน

เนื่องจาก (กรณีที่ 2) แล้ว

– นี่คือจุดที่คุณต้องใช้ประโยชน์จากความแปลกประหลาดของอาร์กแทนเจนต์ น่าเสียดายที่ตารางไม่มีค่า ดังนั้นในกรณีเช่นนี้ อาร์กิวเมนต์จะต้องอยู่ในรูปแบบที่ยุ่งยาก: – ตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ

เนื่องจาก (กรณีที่ 1) จากนั้น (ลบ 60 องศา)

ดังนั้น:

– ตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ

แต่ตามที่ระบุไว้แล้วนี่คือข้อเสีย อย่าแตะต้อง.

นอกเหนือจากวิธีการตรวจสอบแบบกราฟิกที่สนุกสนานแล้ว ยังมีการตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ซึ่งได้ดำเนินการไปแล้วในตัวอย่างที่ 7 อีกด้วย เราใช้ ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยคำนึงถึงว่ามุมนั้นตรงกับมุมตาราง (หรือ 300 องศา) – ตัวเลขในรูปแบบพีชคณิตดั้งเดิม

นำเสนอตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติด้วยตัวเอง คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ในตอนท้ายของส่วนนี้ จะเป็นเนื้อหาสั้นๆ เกี่ยวกับรูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนใดๆ (ยกเว้นศูนย์) สามารถเขียนได้ในรูปแบบเลขชี้กำลัง:

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนอยู่ที่ไหน และคืออาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

คุณต้องทำอะไรเพื่อแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบเลขชี้กำลัง เกือบจะเหมือนกัน: ดำเนินการวาดภาพ ค้นหาโมดูล และอาร์กิวเมนต์ และเขียนตัวเลขลงในแบบฟอร์ม

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลขในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราพบโมดูลและอาร์กิวเมนต์:, จากนั้นจำนวนนี้จะถูกเขียนในรูปแบบเลขชี้กำลังดังนี้:

ตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังจะมีลักษณะดังนี้:

ตัวเลข - ดังนั้น:

คำแนะนำเดียวคือ อย่าสัมผัสตัวบ่งชี้เลขชี้กำลัง ไม่จำเป็นต้องจัดเรียงตัวประกอบใหม่ วงเล็บเปิด ฯลฯ จำนวนเชิงซ้อนเขียนในรูปแบบเลขชี้กำลัง อย่างเคร่งครัดตามแบบฟอร์ม

การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนที่เขียนในรูปแบบพีชคณิต

รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน z =(ก,ข).เรียกว่านิพจน์พีชคณิตของรูปแบบ

z = ก + สอง.

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเชิงซ้อน z 1 =ก 1 +ข 1 ฉันและ z 2 =ก 2 +ข 2 ฉันเขียนในรูปพีชคณิตได้ดังนี้

1. ผลรวม (ผลต่าง) ของจำนวนเชิงซ้อน

z 1 ±z 2 = (ก 1 ±ก 2) + (ข 1 ±ข 2)∙ฉัน,

เหล่านั้น. การบวก (การลบ) ดำเนินการตามกฎสำหรับการบวกพหุนามด้วยการลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน

2. ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน

z 1 ∙z 2 = (ก 1 ∙ก 2 -ข 1 ∙ข 2) + (ก 1 ∙ข 2 + ก 2 ∙ข 1)∙ฉัน,

เหล่านั้น. การคูณจะดำเนินการตามกฎปกติสำหรับการคูณพหุนามโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนั้น ฉัน 2 = 1.

3. การหารจำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะดำเนินการตามกฎต่อไปนี้:

, (z 2 ≠ 0),

เหล่านั้น. การหารจะดำเนินการโดยการคูณเงินปันผลและตัวหารด้วยจำนวนคอนจูเกตของตัวหาร

การยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อนมีคำจำกัดความดังนี้:

มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น

ตัวอย่าง.

1. ค้นหาผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน z 1 = 2 – ฉันและ z 2 = – 4 + 3ฉัน.

z 1 + ซ 2 = (2 + (–1)∙ฉัน)+ (–4 + 3ฉัน) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) ฉัน = –2+2ฉัน.

2. ค้นหาผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน z 1 = 2 – 3ฉันและ z 2 = –4 + 5ฉัน.

= (2 – 3ฉัน) ∙ (–4 + 5ฉัน) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3ฉัน)+ 2∙5ฉัน– 3ฉัน∙ 5ฉัน = 7+22ฉัน.

3. ค้นหาผลหาร zจากการแบ่ง z 1 = 3 – 2นา z 2 = 3 – ฉัน.

ซี = .

4. แก้สมการ: , xและ ย Î ร.

(2x+y) + (x+y)ฉัน = 2 + 3ฉัน.

เนื่องจากความเท่าเทียมกันของจำนวนเชิงซ้อนที่เรามี:

ที่ไหน x=–1 , ย= 4.

5. คำนวณ: ฉัน 2 ,ฉัน 3 ,ฉัน 4 ,ฉัน 5 ,ฉัน 6 ,ฉัน -1 , ฉัน -2 .

6. คำนวณถ้า .

7. คำนวณส่วนกลับของตัวเลข z=3-ฉัน.

จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

เครื่องบินที่ซับซ้อนเรียกว่าระนาบที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน ( เอ็กซ์, ย) หากแต่ละจุดมีพิกัด ( ก, ข) สัมพันธ์กับจำนวนเชิงซ้อน z = ก + ไบ. ในกรณีนี้จะเรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนจริงและแกนพิกัดคือ จินตภาพ. แล้วจำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวน เอ+บีแสดงให้เห็นทางเรขาคณิตบนเครื่องบินเป็นจุด เอ (ก, ข) หรือเวกเตอร์

ดังนั้นตำแหน่งของจุด ก(และเป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย z) สามารถระบุได้ด้วยความยาวของเวกเตอร์ | | = รและมุม เจสร้างขึ้นโดยเวกเตอร์ | | โดยมีทิศทางบวกของแกนจริง เรียกว่าความยาวของเวกเตอร์ โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนและเขียนแทนด้วย | z |=รและมุม เจเรียกว่า อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนและถูกกำหนดไว้ เจ = หาเรื่อง z.

เป็นที่ชัดเจนแล้วว่า | z| ³ 0 และ | z | = 0 Û ซี = 0.

จากรูป 2 ชัดเจนว่า.

อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดอย่างคลุมเครือ แต่มีความแม่นยำเท่ากับ 2 พีเคเคÎ ซี.

จากรูป 2 ก็ชัดเจนว่าถ้า z=a+biและ เจ=หาเรื่อง z,ที่

เพราะ เจ =,บาป เจ =, ทีจี เจ = .

ถ้า zÎรและ z> 0แล้ว หาเรื่อง z = 0 +2พีเค;

ถ้า z โอรและ z< 0แล้ว หาเรื่อง z = p + 2พีเค;

ถ้า ซี = 0,หาเรื่อง zไม่ได้กำหนดไว้

ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ถูกกำหนดในช่วงเวลา 0 £ หาเรื่อง z 2 ปอนด์ พี

หรือ -พี£ หาเรื่อง z £ p.

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z 1 = 4 – 3ฉันและ z 2 = –2–2ฉัน.

2. กำหนดพื้นที่บนระนาบเชิงซ้อนที่กำหนดตามเงื่อนไข:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 ปอนด์; 3) | z – (2+ฉัน) | 3 ปอนด์; 4) 6 ปอนด์ | z – ฉัน| 7 ปอนด์

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

1) | z| = 5 Û Û - สมการของวงกลมที่มีรัศมี 5 และมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

2) วงกลมที่มีรัศมี 6 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

3) วงกลมด้วยรัศมี 3 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ซี 0 = 2 + ฉัน.

4) วงแหวนล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีรัศมี 6 และ 7 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด z 0 = ฉัน.

3. ค้นหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของตัวเลข: 1) ; 2) .

1) ; ก = 1, ข = Þ ,

Þ เจ 1 = .

2) z 2 = –2 – 2ฉัน; ก =–2, ข =-2 Þ ,

คำแนะนำ: เมื่อพิจารณาข้อโต้แย้งหลัก ให้ใช้ระนาบเชิงซ้อน

ดังนั้น: z 1 = .

2) , ร 2 = 1, เจ 2 = , .

3) , ร 3 = 1, เจ 3 = , .

4) , ร 4 = 1, เจ 4 = , .

จำนวนเชิงซ้อน XI

§ 256 รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

อนุญาตจำนวนเชิงซ้อน ก + ไบ สอดคล้องกับเวกเตอร์ โอเอ> พร้อมพิกัด ( ก, ข ) (ดูรูปที่ 332)

ให้เราแสดงความยาวของเวกเตอร์นี้ด้วย ร และมุมที่ทำกับแกน เอ็กซ์ , ผ่าน φ . ตามคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์:

ก / ร =คอส φ , ข / ร = บาป φ .

นั่นเป็นเหตุผล ก = ร เพราะ φ , ข = ร บาป φ . แต่ในกรณีนี้คือจำนวนเชิงซ้อน ก + ไบ สามารถเขียนเป็น:

ก + ไบ = ร เพราะ φ + ir บาป φ = ร (เพราะ φ + ฉัน บาป φ ).

ดังที่คุณทราบ กำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน นั่นเป็นเหตุผล ร 2 = ก 2 + ข 2 จากที่ไหน ร = √ก 2 + ข 2

ดังนั้น, จำนวนเชิงซ้อนใดๆ ก + ไบ สามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้ :

ก + ไบ = ร (เพราะ φ + ฉัน บาป φ ), (1)

ที่ไหนร = √ก 2 + ข 2 และมุม φ ถูกกำหนดจากเงื่อนไข:

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนรูปแบบนี้เรียกว่า ตรีโกณมิติ.

ตัวเลข ร ในสูตร (1) เรียกว่า โมดูลและมุม φ - การโต้แย้ง, จำนวนเชิงซ้อน ก + ไบ .

ถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ก + ไบ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นโมดูลัสของมันจะเป็นค่าบวก ถ้า ก + ไบ = 0 แล้ว ก = ข = 0 แล้ว ร = 0.

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน

ถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ก + ไบ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นอาร์กิวเมนต์จะถูกกำหนดโดยสูตร (2) อย่างแน่นอนแม่นยำถึงมุมที่หารด้วย 2 ลงตัว π . ถ้า ก + ไบ = 0 แล้ว ก = ข = 0 ในกรณีนี้ ร = 0 จากสูตร (1) จะเข้าใจได้ง่ายว่าเป็นอาร์กิวเมนต์ φ ในกรณีนี้คุณสามารถเลือกมุมใดก็ได้: ท้ายที่สุดแล้วสำหรับมุมใดก็ได้ φ

0 (คอส φ + ฉัน บาป φ ) = 0.

ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ null จึงไม่ได้ถูกกำหนดไว้

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน ร บางครั้งอาจแสดงด้วย | z | และอาร์กิวเมนต์หาเรื่อง z . เรามาดูตัวอย่างบางส่วนของการแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติกัน

ตัวอย่าง. 1. 1 + ฉัน .

เรามาค้นหาโมดูลกันดีกว่า ร และการโต้แย้ง φ หมายเลขนี้

ร = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

เพราะฉะนั้นบาป φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2 ดังนั้น φ = π / 4 + 2nπ .

ดังนั้น,

1 + ฉัน = √ 2 ,

ที่ไหน ป - จำนวนเต็มใดๆ โดยปกติแล้วจากชุดค่าอนันต์ของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนจะมีการเลือกค่าหนึ่งที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 2 π . ในกรณีนี้ค่านี้คือ π / 4. นั่นเป็นเหตุผล

1 + ฉัน = √ 2 (คอส π / 4 + ฉัน บาป π / 4)

ตัวอย่างที่ 2เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ √ 3 - ฉัน . เรามี:

ร = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, บาป φ = - 1 / 2

ดังนั้น จนถึงมุมหารด้วย 2 ลงตัว π , φ = 11 / 6 π ; เพราะฉะนั้น,

√ 3 - ฉัน = 2(คอส 11/6 π + ฉัน บาป 11/6 π ).

ตัวอย่างที่ 3เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ ฉัน.

จำนวนเชิงซ้อน ฉัน สอดคล้องกับเวกเตอร์ โอเอ> สิ้นสุดที่จุด A ของแกน ที่ ด้วยลำดับที่ 1 (รูปที่ 333) ความยาวของเวกเตอร์ดังกล่าวคือ 1 และมุมที่มันสร้างกับแกน x เท่ากับ π / 2. นั่นเป็นเหตุผล

ฉัน =คอส π / 2 + ฉัน บาป π / 2 .

ตัวอย่างที่ 4เขียนจำนวนเชิงซ้อน 3 ในรูปแบบตรีโกณมิติ

จำนวนเชิงซ้อน 3 สอดคล้องกับเวกเตอร์ โอเอ > เอ็กซ์ แอบซิสซา 3 (รูปที่ 334)

ความยาวของเวกเตอร์ดังกล่าวคือ 3 และมุมที่สร้างกับแกน x คือ 0 ดังนั้น

3 = 3 (คอส 0 + ฉัน บาป 0)

ตัวอย่างที่ 5เขียนจำนวนเชิงซ้อน -5 ในรูปแบบตรีโกณมิติ

จำนวนเชิงซ้อน -5 สอดคล้องกับเวกเตอร์ โอเอ> สิ้นสุดที่จุดแกน เอ็กซ์ ด้วย abscissa -5 (รูปที่ 335) ความยาวของเวกเตอร์ดังกล่าวคือ 5 และมุมที่สร้างด้วยแกน x เท่ากับ π . นั่นเป็นเหตุผล

5 = 5(คอส π + ฉัน บาป π ).

การออกกำลังกาย

2047 เขียนจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ โดยกำหนดโมดูลและอาร์กิวเมนต์:

1) 2 + 2√3 ฉัน , 4) 12ฉัน - 5; 7).3ฉัน ;

2) √3 + ฉัน ; 5) 25; 8) -2ฉัน ;

3) 6 - 6ฉัน ; 6) - 4; 9) 3ฉัน - 4.

2048. ระบุชุดของจุดที่แสดงถึงจำนวนเชิงซ้อนบนระนาบซึ่งมีโมดูลัส r และอาร์กิวเมนต์ φ ตรงตามเงื่อนไข:

1) ร = 1, φ = π / 4 ; 4) ร < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) ร =2; 5) 2 < ร <3; 8) 0 < φ < я;

3) ร < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < ร < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. ตัวเลขสามารถเป็นโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนพร้อมกันได้หรือไม่? ร และ - ร ?

2050. อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนสามารถเป็นมุมพร้อมกันได้หรือไม่? φ และ - φ ?

นำเสนอจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ โดยกำหนดโมดูลและอาร์กิวเมนต์:

2051*. 1 + คอส α + ฉัน บาป α . 2054*. 2(คอส 20° - ฉัน บาป 20°)

2052*. บาป φ + ฉัน เพราะ φ . 2055*. 3(- คอส 15° - ฉัน บาป 15°)

2.3. รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ระบุเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนด้วยตัวเลข

ให้เราแสดงด้วย φ มุมระหว่าง Ox ครึ่งแกนบวกและเวกเตอร์ (มุม φ จะถือว่าเป็นบวกหากวัดทวนเข็มนาฬิกาและเป็นลบ)

ให้เราแสดงความยาวของเวกเตอร์ด้วย r แล้ว . เรายังแสดงถึง

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ z ในรูปแบบ

เรียกว่ารูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน z จำนวน r เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z และจำนวน φ เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนนี้ และเขียนแทนด้วย Arg z

รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน - (สูตรของออยเลอร์) - รูปแบบเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน:

จำนวนเชิงซ้อน z มีจำนวนอาร์กิวเมนต์มากมายไม่สิ้นสุด: หาก φ0 เป็นอาร์กิวเมนต์ใดๆ ของจำนวน z ก็สามารถหาอาร์กิวเมนต์อื่นๆ ทั้งหมดได้โดยใช้สูตร

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ไม่มีการกำหนดอาร์กิวเมนต์และรูปแบบตรีโกณมิติ

ดังนั้น อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์จึงเป็นคำตอบใดๆ ของระบบสมการได้

(3)

ค่า φ ของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z ซึ่งเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันเรียกว่าค่าหลักและเขียนแทนด้วย arg z

อาร์กิวเมนต์ Arg z และ arg z เกี่ยวข้องกันโดย

, (4)

สูตร (5) เป็นผลมาจากระบบ (3) ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน (5) แต่ไม่ใช่ทุกคำตอบ φ ของสมการ (5) จะเป็นอาร์กิวเมนต์ของจำนวน z

ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์พบได้ตามสูตร:

สูตรการคูณและหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติมีดังนี้

. (7)

เมื่อเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นพลังธรรมชาติ จะใช้สูตร Moivre:

เมื่อแยกรากของจำนวนเชิงซ้อนจะใช้สูตร:

, (9)

โดยที่ k=0, 1, 2, …, n-1

ปัญหาที่ 54. คำนวณที่ไหน .

ให้เรานำเสนอวิธีแก้ปัญหาสำหรับนิพจน์นี้ในรูปแบบเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน: .

ถ้าอย่างนั้น.

แล้ว , . ดังนั้นแล้ว และ , ที่ไหน .

คำตอบ: , ที่ .

ปัญหาที่ 55. เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ:

ก) ; ข) ; วี) ; ช) ; ง) ; จ) ; และ) .

เนื่องจากรูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนคือ ดังนั้น:

ก) ในจำนวนเชิงซ้อน: .

นั่นเป็นเหตุผล

ข) , ที่ไหน ,

ช) , ที่ไหน ,

จ) .

และ) , ก , ที่ .

นั่นเป็นเหตุผล

คำตอบ: ; 4; ; ; ; ; .

ปัญหาที่ 56 ค้นหารูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

อนุญาต , .

แล้ว , , .

ตั้งแต่และ , , จากนั้น และ

ดังนั้น ดังนั้น

คำตอบ: , ที่ไหน .

ปัญหาที่ 57. การใช้รูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน ให้ดำเนินการต่อไปนี้: .

ลองจินตนาการถึงตัวเลขและ ในรูปแบบตรีโกณมิติ

1) ที่ไหน แล้ว

ค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์หลัก:

ลองแทนค่าและเข้าไปในนิพจน์เราจะได้

2) แล้วที่ไหนล่ะ

แล้ว

3) ลองหาผลหารกัน

สมมติว่า k=0, 1, 2 เราจะได้ค่ารูตที่ต้องการที่แตกต่างกันสามค่า:

ถ้าอย่างนั้น

ถ้าอย่างนั้น .

คำตอบ: :

: .

ปัญหาที่ 58. ให้ , , , เป็นจำนวนเชิงซ้อนต่างกัน และ . พิสูจน์ว่า

หมายเลข เป็นจำนวนบวกจำนวนจริง

b) ความเท่าเทียมกันถือ:

ก) ให้เราแสดงจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ:

เพราะ .

สมมุติว่า. แล้ว

นิพจน์สุดท้ายเป็นจำนวนบวก เนื่องจากสัญญาณไซน์ประกอบด้วยตัวเลขจากช่วงเวลา

ตั้งแต่จำนวน จริงและเป็นบวก โดยแท้แล้ว ถ้า a และ b เป็นจำนวนเชิงซ้อนและเป็นจำนวนจริงและมากกว่าศูนย์ แล้ว

นอกจาก,

ดังนั้นความเท่าเทียมกันที่ต้องการจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

โจทย์ที่ 59. เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต .

ลองแทนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติแล้วหารูปแบบพีชคณิตของมัน เรามี . สำหรับ เราได้รับระบบ:

นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกัน: .

การใช้สูตรของ Moivre: ,

เราได้รับ

พบรูปแบบตรีโกณมิติของตัวเลขที่กำหนด

ให้เราเขียนตัวเลขนี้ในรูปแบบพีชคณิต:

คำตอบ: .

โจทย์ข้อที่ 60. จงหาผลรวม , ,

ลองพิจารณาจำนวนเงินดู

เราพบการใช้สูตรของ Moivre

ผลรวมนี้คือผลรวมของเทอม n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน และสมาชิกคนแรก .

เรามีสูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าดังกล่าว

เราพบการแยกส่วนจินตภาพในนิพจน์สุดท้าย

เมื่อแยกส่วนจริงออก เรายังได้สูตรต่อไปนี้: , , .

โจทย์ที่ 61. ค้นหาผลรวม:

ก) ; ข) .

ตามสูตรการยกกำลังของนิวตัน เรามี

จากการใช้สูตรของ Moivre เราพบว่า:

เมื่อเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพของนิพจน์ผลลัพธ์สำหรับ เรามี:

และ .

สูตรเหล่านี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบกะทัดรัดดังนี้

โดยที่ส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข a อยู่ที่ไหน

ปัญหา 62. ค้นหาทั้งหมด ซึ่ง .

เพราะว่า แล้วจึงใช้สูตร

, เพื่อแยกรากเราได้ ,

เพราะฉะนั้น, , ,

, .

จุดที่สอดคล้องกับตัวเลขจะอยู่ที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมรัศมี 2 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0;0) (รูปที่ 30)

คำตอบ: , ,

, .

ปัญหาที่ 63 แก้สมการ , .

ตามเงื่อนไข ; ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีรากจึงเท่ากับสมการ

เพื่อให้ตัวเลข z เป็นรากของสมการนี้ ตัวเลขนั้นจะต้องเป็นรากที่ n ของหมายเลข 1

จากจุดนี้เราสรุปได้ว่าสมการดั้งเดิมมีรากมาจากความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น,

เช่น. ,

คำตอบ: .

โจทย์ที่ 64. แก้สมการในชุดจำนวนเชิงซ้อน

เนื่องจากตัวเลขไม่ใช่รากของสมการ ดังนั้นสมการนี้จึงเท่ากับสมการ

นั่นก็คือสมการ

รากทั้งหมดของสมการนี้ได้มาจากสูตร (ดูปัญหาที่ 62):

; ; ; ; .

ปัญหาที่ 65. วาดชุดของจุดที่ตรงกับอสมการบนระนาบเชิงซ้อน: . (วิธีที่ 2 วิธีแก้ปัญหา 45)

อนุญาต .

จำนวนเชิงซ้อนที่มีโมดูลเหมือนกันจะสัมพันธ์กับจุดในระนาบที่วางอยู่บนวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ดังนั้นจึงเป็นความไม่เท่าเทียมกัน ตอบสนองทุกจุดของวงแหวนเปิดที่ล้อมรอบด้วยวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางร่วมกันที่จุดกำเนิดและรัศมีและ (รูปที่ 31) ปล่อยให้จุดหนึ่งของระนาบเชิงซ้อนตรงกับตัวเลข w0 ตัวเลข มีโมดูลที่เล็กกว่าโมดูล w0 หลายเท่าและมีอาร์กิวเมนต์ที่ใหญ่กว่าอาร์กิวเมนต์ w0 จากมุมมองทางเรขาคณิต สามารถหาจุดที่สอดคล้องกับ w1 ได้โดยใช้โฮโมเทตีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและสัมประสิทธิ์ เช่นเดียวกับการหมุนที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิดด้วยมุมทวนเข็มนาฬิกา จากการใช้การแปลงทั้งสองนี้กับจุดของวงแหวน (รูปที่ 31) จุดหลังจะเปลี่ยนเป็นวงแหวนที่ล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมี 1 และ 2 เท่ากัน (รูปที่ 32)

การแปลง นำไปใช้โดยใช้การถ่ายโอนแบบขนานไปยังเวกเตอร์ โดยการถ่ายโอนวงแหวนโดยให้ศูนย์กลางอยู่ที่จุดไปยังเวกเตอร์ที่ระบุ เราจะได้วงแหวนที่มีขนาดเท่ากันโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น (รูปที่ 22)

วิธีการที่นำเสนอซึ่งใช้แนวคิดเรื่องการแปลงทางเรขาคณิตของเครื่องบินอาจอธิบายได้ไม่สะดวกนัก แต่มีความสง่างามและมีประสิทธิภาพมาก

ปัญหาที่ 66 ค้นหาว่า .

ให้ แล้ว และ . ความเท่าเทียมกันเริ่มต้นจะอยู่ในรูปแบบ . จากเงื่อนไขความเท่าเทียมกันของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่เราได้รับ , , จากที่ , . ดังนั้น, .

ลองเขียนเลข z ในรูปแบบตรีโกณมิติ:

, ที่ไหน , . ตามสูตรของ Moivre เราจะพบว่า

คำตอบ: – 64.

โจทย์ที่ 67 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ให้หาจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดในลักษณะนั้น และ .

เรามาแสดงตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ:

. จากที่นี่, . สำหรับจำนวนที่เราได้รับ สามารถเท่ากับ หรือ .

ในกรณีแรก ในครั้งที่สอง

คำตอบ: , .

โจทย์ที่ 68. จงหาผลรวมของตัวเลขดังกล่าวว่า . โปรดระบุหนึ่งในตัวเลขเหล่านี้

โปรดทราบว่าจากการกำหนดปัญหาเองสามารถเข้าใจได้ว่าผลรวมของรากของสมการสามารถหาได้โดยไม่ต้องคำนวณรากด้วยตนเอง แท้จริงแล้วผลรวมของรากของสมการ คือค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ นำมาด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม (ทฤษฎีบทของเวียตนามทั่วไป) เช่น

นักเรียน เอกสารของโรงเรียน สรุปเกี่ยวกับระดับความเชี่ยวชาญของแนวคิดนี้ สรุปการศึกษาคุณลักษณะของการคิดทางคณิตศาสตร์และกระบวนการสร้างแนวคิดเรื่องจำนวนเชิงซ้อน คำอธิบายของวิธีการ การวินิจฉัย: ระยะที่ 1 สนทนากับครูคณิตศาสตร์ที่สอนพีชคณิตและเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 บทสนทนาเกิดขึ้นหลังจากผ่านไประยะหนึ่งตั้งแต่เริ่มต้น...

เสียงสะท้อน" (!)) ซึ่งรวมถึงการประเมินพฤติกรรมของตนเองด้วย 4. การประเมินเชิงวิพากษ์ความเข้าใจในสถานการณ์ (ข้อสงสัย) 5. สุดท้ายการใช้คำแนะนำจากจิตวิทยากฎหมาย (ทนายความคำนึงถึงจิตวิทยา แง่มุมของการกระทำทางวิชาชีพที่ดำเนินการ - การเตรียมพร้อมทางจิตวิทยาอย่างมืออาชีพ) ให้เราพิจารณาการวิเคราะห์ทางจิตวิทยาของข้อเท็จจริงทางกฎหมาย...

คณิตศาสตร์ของการทดแทนตรีโกณมิติและการทดสอบประสิทธิผลของวิธีการสอนที่พัฒนาขึ้น ขั้นตอนการทำงาน: 1. การพัฒนาหลักสูตรเสริมในหัวข้อ: “การประยุกต์ใช้การทดแทนตรีโกณมิติเพื่อแก้ปัญหาพีชคณิต” กับนักเรียนในชั้นเรียนที่มีคณิตศาสตร์ขั้นสูง 2. ดำเนินรายวิชาเลือกที่พัฒนาแล้ว 3. ดำเนินการทดสอบวินิจฉัย...

งานด้านความรู้ความเข้าใจมีจุดมุ่งหมายเพื่อเสริมสื่อการสอนที่มีอยู่เท่านั้น และต้องผสมผสานอย่างเหมาะสมกับวิธีการและองค์ประกอบแบบดั้งเดิมของกระบวนการศึกษา ความแตกต่างระหว่างปัญหาการศึกษาในการสอนมนุษยศาสตร์กับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนคือเพียงว่าในปัญหาทางประวัติศาสตร์ไม่มีสูตร อัลกอริธึมที่เข้มงวด ฯลฯ ซึ่งทำให้การแก้ปัญหาซับซ้อนขึ้น ...