ลองดูตัวอย่างง่ายๆ:
15:5=3
ในตัวอย่างนี้ เราหารจำนวนธรรมชาติ 15 อย่างสมบูรณ์คูณ 3 โดยไม่มีเศษเหลือ

บางครั้งจำนวนธรรมชาติไม่สามารถหารได้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหา:
ในตู้เสื้อผ้ามีของเล่น 16 ชิ้น มีเด็กห้าคนในกลุ่ม เด็กแต่ละคนหยิบของเล่นจำนวนเท่ากัน เด็กแต่ละคนมีของเล่นกี่ชิ้น?

สารละลาย:
หารตัวเลข 16 ด้วย 5 โดยใช้คอลัมน์แล้วเราจะได้:

เรารู้ว่า 16 ไม่สามารถหารด้วย 5 ได้. จำนวนที่น้อยกว่าที่ใกล้ที่สุดซึ่งหารด้วย 5 ลงตัวคือ 15 โดยมีเศษเป็น 1 เราสามารถเขียนเลข 15 เป็น 5⋅3 ได้ เป็นผลให้ (16 – เงินปันผล, 5 – ตัวหาร, 3 – ผลหารไม่สมบูรณ์, 1 – เศษ) ได้รับ สูตร การหารด้วยเศษซึ่งสามารถทำได้ ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา.

ก= ข⋅ ค+ ง
ก – แบ่งได้,
ข - ตัวแบ่ง
ค – ผลหารที่ไม่สมบูรณ์
ง - ส่วนที่เหลือ

คำตอบ: เด็กแต่ละคนจะได้รับของเล่น 3 ชิ้นและของเล่นหนึ่งชิ้นจะยังคงอยู่

ส่วนที่เหลือของการแบ่ง

เศษต้องน้อยกว่าตัวหารเสมอ

หากในระหว่างการหารส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ แสดงว่าเงินปันผลจะถูกแบ่ง อย่างสมบูรณ์หรือไม่มีเศษเหลืออยู่บนตัวหาร.

ถ้าระหว่างหารส่วนที่เหลือมากกว่าตัวหาร แสดงว่าจำนวนที่พบไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด มีจำนวนมากกว่าที่จะหารเงินปันผลและส่วนที่เหลือจะน้อยกว่าตัวหาร

คำถามในหัวข้อ “การหารด้วยเศษ”:
เศษจะมากกว่าตัวหารได้ไหม?
คำตอบ: ไม่.

เศษจะเท่ากับตัวหารได้ไหม?
คำตอบ: ไม่.

จะหาเงินปันผลโดยใช้ผลหาร ตัวหาร และเศษที่ไม่สมบูรณ์ได้อย่างไร?
คำตอบ: เราแทนค่าผลหารย่อย ตัวหาร และเศษ ลงในสูตรแล้วหาเงินปันผล สูตร:
a=b⋅c+d

ตัวอย่าง #1:
ทำการหารด้วยเศษและตรวจสอบ: a) 258:7 b) 1873:8

สารละลาย:
ก) แบ่งตามคอลัมน์:

258 – เงินปันผล
7 – ตัวแบ่ง
36 – ผลหารที่ไม่สมบูรณ์
6 – ส่วนที่เหลือ. เศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) แบ่งตามคอลัมน์:

พ.ศ. 2416 (ค.ศ. 1873) – แบ่งแยกได้
8 – ตัวหาร,
234 – ผลหารที่ไม่สมบูรณ์
1 – ส่วนที่เหลือ. เศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร 1<8.

ลองแทนที่มันลงในสูตรและตรวจสอบว่าเราแก้ไขตัวอย่างได้ถูกต้องหรือไม่:
8⋅234+1=1872+1=1873

ตัวอย่าง #2:
จะได้ส่วนที่เหลือเมื่อหารจำนวนธรรมชาติ: ก) 3 ข)8?

คำตอบ:
ก) เศษน้อยกว่าตัวหาร จึงน้อยกว่า 3 ในกรณีของเรา เศษอาจเป็น 0, 1 หรือ 2
b) เศษน้อยกว่าตัวหาร จึงน้อยกว่า 8 ในกรณีของเรา เศษอาจเป็น 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 หรือ 7

ตัวอย่าง #3:
ส่วนที่เหลือที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถหาได้เมื่อหารจำนวนธรรมชาติคืออะไร: a) 9 b) 15?

คำตอบ:
ก) เศษน้อยกว่าตัวหาร จึงน้อยกว่า 9 แต่เราต้องระบุเศษที่ใหญ่ที่สุด นั่นคือจำนวนที่ใกล้กับตัวหารมากที่สุด นี่คือหมายเลข 8
b) เศษน้อยกว่าตัวหาร จึงน้อยกว่า 15 แต่เราต้องระบุเศษที่ใหญ่ที่สุด. นั่นคือจำนวนที่ใกล้กับตัวหารมากที่สุด หมายเลขนี้คือ 14

ตัวอย่าง #4:
ค้นหาเงินปันผล: a) a:6=3(rest.4) b) c:24=4(rest.11)

สารละลาย:
ก) แก้โดยใช้สูตร:
a=b⋅c+d
(a – เงินปันผล, b – ตัวหาร, c – ผลหารบางส่วน, d – เศษ)
ก:6=3(พัก.4)
(a – เงินปันผล, 6 – ตัวหาร, 3 – ผลหารบางส่วน, 4 – เศษ) ลองแทนตัวเลขลงในสูตร:
ก=6⋅3+4=22
คำตอบ: ก=22

b) แก้โดยใช้สูตร:
a=b⋅c+d
(a – เงินปันผล, b – ตัวหาร, c – ผลหารบางส่วน, d – เศษ)
ส:24=4(พักผ่อน.11)
(c – เงินปันผล, 24 – ตัวหาร, 4 – ผลหารบางส่วน, 11 – เศษ) ลองแทนตัวเลขลงในสูตร:
с=24⋅4+11=107
คำตอบ: ค=107

งาน:

ลวด 4ม. ต้องตัดเป็นชิ้นขนาด 13 ซม. จะมีกี่ชิ้นเช่นนี้?

สารละลาย:
ก่อนอื่นคุณต้องแปลงเมตรเป็นเซนติเมตร
4ม.=400ซม.
เราสามารถหารด้วยคอลัมน์หรือในใจเราได้:
400:13=30(เหลือ 10)
มาตรวจสอบกัน:
13⋅30+10=390+10=400

คำตอบ: คุณจะได้ 30 ชิ้นและลวดจะเหลือ 10 ซม.

ในบทความนี้เราจะดูที่ การหารจำนวนเต็มกับเศษ. เริ่มจากหลักการทั่วไปในการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องการหารจำนวนเต็มลงตัวด้วยเศษที่เหลือ และติดตามความเชื่อมโยงระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารไม่สมบูรณ์ และเศษที่เหลือ ต่อไป เราจะร่างกฎที่ใช้หารจำนวนเต็มด้วยเศษ และพิจารณาการใช้กฎเหล่านี้เมื่อแก้ตัวอย่าง หลังจากนี้ เราจะเรียนรู้วิธีตรวจสอบผลลัพธ์ของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ

การนำทางหน้า

ความเข้าใจทั่วไปเกี่ยวกับการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ

เราจะพิจารณาการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเป็นลักษณะทั่วไปของการหารด้วยเศษที่เหลือของจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติเป็นส่วนประกอบของจำนวนเต็ม

เริ่มต้นด้วยข้อกำหนดและการกำหนดที่ใช้ในคำอธิบาย

โดยการเปรียบเทียบกับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษ เราจะถือว่าผลลัพธ์ของการหารด้วยเศษของจำนวนเต็มสองตัว a และ b (b ไม่เท่ากับศูนย์) จะเป็นจำนวนเต็มสองตัว c และ d เรียกตัวเลข a และ b หารได้และ ตัวแบ่งดังนั้น ตัวเลข d – ส่วนที่เหลือจากการหาร a ด้วย b และเรียกจำนวนเต็ม c ส่วนตัวไม่สมบูรณ์(หรือเพียงแค่ ส่วนตัวถ้าเศษเป็นศูนย์)

ให้เราตกลงที่จะถือว่าส่วนที่เหลือเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และค่าของมันไม่เกิน b กล่าวคือ (เราพบความไม่เท่าเทียมกันต่อเนื่องกันเมื่อเราพูดถึงการเปรียบเทียบจำนวนเต็มสามตัวขึ้นไป)

หากจำนวน c เป็นผลหารที่ไม่สมบูรณ์ และจำนวน d คือเศษเหลือจากการหารจำนวนเต็ม a ด้วยจำนวนเต็ม b เราจะเขียนข้อเท็จจริงนี้สั้นๆ ว่าเป็นความเท่าเทียมกันในรูปแบบ a:b=c (เหลือ d)

โปรดทราบว่าเมื่อหารจำนวนเต็ม a ด้วยจำนวนเต็ม b เศษที่เหลืออาจเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ เราบอกว่า a หารด้วย b ลงตัว ไร้ร่องรอย(หรือ อย่างสมบูรณ์). ดังนั้นการหารจำนวนเต็มโดยไม่มีเศษจึงเป็นกรณีพิเศษของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ

นอกจากนี้ ยังควรบอกด้วยว่าเมื่อหารศูนย์ด้วยจำนวนเต็ม เราจะจัดการกับการหารโดยไม่มีเศษเสมอ เนื่องจากในกรณีนี้ ผลหารจะเท่ากับศูนย์ (ดูส่วนทฤษฎีของการหารศูนย์ด้วยจำนวนเต็ม) และส่วนที่เหลือ จะเท่ากับศูนย์ด้วย

เราได้ตัดสินใจเกี่ยวกับคำศัพท์และสัญกรณ์แล้ว ตอนนี้เรามาทำความเข้าใจความหมายของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือกันดีกว่า

การหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b ก็สามารถให้ความหมายได้เช่นกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาจำนวนเต็มลบว่าเป็นหนี้ ลองจินตนาการถึงสถานการณ์นี้ หนี้ที่ประกอบเป็นรายการจะต้องได้รับการชำระคืนโดยคน b โดยบริจาคเท่ากัน ค่าสัมบูรณ์ของผลหาร c ที่ไม่สมบูรณ์ในกรณีนี้จะเป็นตัวกำหนดจำนวนหนี้ของแต่ละคน และส่วนที่เหลือ d จะแสดงจำนวนรายการที่จะคงอยู่หลังจากชำระหนี้แล้ว ลองยกตัวอย่าง สมมติว่า 2 คนเป็นหนี้แอปเปิ้ล 7 ผล ถ้าเราสมมุติว่าแต่ละคนมีแอปเปิ้ล 4 ผล หลังจากชำระหนี้แล้วพวกเขาจะเหลือแอปเปิ้ล 1 ผล สถานการณ์นี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน (−7):2=−4 (เหลือ 1)

เราจะไม่ตีความความหมายใดๆ กับการหารด้วยเศษของจำนวนเต็มตามอำเภอใจ a ด้วยจำนวนเต็มลบ แต่เราจะสงวนสิทธิในการมีอยู่ของมัน

ทฤษฎีบทเรื่องการหารจำนวนเต็มกับเศษลงตัว

เมื่อเราพูดถึงการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษ เราพบว่าเงินปันผล a ตัวหาร b ผลหารย่อย c และเศษ d มีความสัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกัน a=b·c+d จำนวนเต็ม a, b, c และ d มีความสัมพันธ์เหมือนกัน การเชื่อมต่อนี้ได้รับการยืนยันดังนี้ ทฤษฎีบทการหารลงตัวกับเศษ.

ทฤษฎีบท.

จำนวนเต็มใดๆ a สามารถแสดงโดยไม่ซ้ำกันผ่านจำนวนเต็มและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ b ในรูปแบบ a=b·q+r โดยที่ q และ r เป็นจำนวนเต็ม และ

การพิสูจน์.

อันดับแรก เราพิสูจน์ความเป็นไปได้ในการแทน a=b·q+r

ถ้าจำนวนเต็ม a และ b มีค่า a หารด้วย b ลงตัว ดังนั้นตามนิยามแล้ว จะมีจำนวนเต็ม q โดยที่ a=b·q ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a=b·q+r ที่ r=0 ยังคงอยู่

ตอนนี้เราจะถือว่า b เป็นจำนวนเต็มบวก ให้เราเลือกจำนวนเต็ม q เพื่อให้ผลคูณ b·q ไม่เกินจำนวน a และผลิตภัณฑ์ b·(q+1) มากกว่า a อยู่แล้ว นั่นคือเราหา q โดยที่อสมการ b q

ยังคงต้องพิสูจน์ความเป็นไปได้ในการนำเสนอ a=b·q+r สำหรับค่าลบ b

เนื่องจากโมดูลัสของจำนวน b ในกรณีนี้คือจำนวนบวก ดังนั้น จึงมีการแทนค่าโดยที่ q 1 เป็นจำนวนเต็ม และ r คือจำนวนเต็มที่ตรงตามเงื่อนไข จากนั้น เมื่อรับ q=−q 1 เราจะได้ค่าที่เราต้องการ a=b·q+r สำหรับค่าลบ b

มาดูการพิสูจน์เอกลักษณ์กันดีกว่า

สมมติว่านอกเหนือจากการแสดง a=b·q+r แล้ว q และ r เป็นจำนวนเต็ม และ ยังมีการแสดงอีกรูปแบบหนึ่ง a=b·q 1 +r 1 โดยที่ q 1 และ r 1 เป็นจำนวนเต็ม และ q 1 ≠ คิว และ .

หลังจากลบด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันอันที่สองจากด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันอันแรก ตามลำดับ เราจะได้ 0=b·(q−q 1)+r−r 1 ซึ่งเทียบเท่ากับความเท่าเทียมกัน r− r 1 =b·(q 1 −q) แล้วความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม และเนื่องจากคุณสมบัติของโมดูลัสของตัวเลข ความเท่าเทียมกัน .

จากเงื่อนไขเราสามารถสรุปได้ว่า เนื่องจาก q และ q 1 เป็นจำนวนเต็มและ q≠q 1 เราจึงสรุปได้ว่า . จากความไม่เท่าเทียมกันที่ได้รับและ เป็นไปตามความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม เป็นไปไม่ได้ภายใต้สมมติฐานของเรา ดังนั้นจึงไม่มีการแสดงจำนวนอื่นใดนอกจาก a=b·q+r

ความสัมพันธ์ระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารย่อย และเศษ

ความเท่าเทียมกัน a=b·c+d ช่วยให้คุณค้นหาเงินปันผลที่ไม่ทราบค่า a หากทราบตัวหาร b ผลหารย่อย c และเศษ d ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

มูลค่าของเงินปันผลจะเป็นเท่าใด หากเมื่อหารด้วยจำนวนเต็ม −21 ผลลัพธ์ที่ได้คือผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของ 5 และส่วนที่เหลือของ 12

สารละลาย.

เราจำเป็นต้องคำนวณเงินปันผล a เมื่อทราบตัวหาร b=−21 ผลหารย่อย c=5 และเศษ d=12 เมื่อเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกัน a=b·c+d เราจะได้ a=(−21)·5+12 จากการสังเกต ขั้นแรกเราจะคูณจำนวนเต็ม −21 และ 5 ตามกฎสำหรับการคูณจำนวนเต็มด้วยเครื่องหมายต่างกัน หลังจากนั้นเราจะทำการบวกจำนวนเต็มด้วยเครื่องหมายต่างกัน: (−21)·5+12=−105+12=−93 .

คำตอบ:

−93 .

ความสัมพันธ์ระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารบางส่วน และเศษที่เหลือแสดงด้วยค่าความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b=(a−d):c, c=(a−d):b และ d=a−b·c ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทำให้คุณสามารถคำนวณตัวหาร ผลหารบางส่วน และเศษตามลำดับ เรามักจะต้องหาเศษเมื่อหารจำนวนเต็ม a ด้วยจำนวนเต็ม b เมื่อทราบค่าเงินปันผล ตัวหาร และผลหารบางส่วน โดยใช้สูตร d=a−b·c เพื่อหลีกเลี่ยงคำถามเพิ่มเติม มาดูตัวอย่างการคำนวณส่วนที่เหลือกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาเศษเมื่อหารจำนวนเต็ม −19 ด้วยจำนวนเต็ม 3 หากคุณรู้ว่าผลหารย่อยเท่ากับ −7

สารละลาย.

ในการคำนวณส่วนที่เหลือของการหาร เราใช้สูตรในรูปแบบ d=a−b·c จากเงื่อนไขเรามีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด a=−19, b=3, c=−7 เราได้ d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (เราคำนวณความแตกต่าง −19−(−21) โดยใช้กฎของ ลบจำนวนเต็มลบ )

คำตอบ:

ตัวอย่าง การหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือ

ดังที่เราได้สังเกตมาแล้วมากกว่าหนึ่งครั้ง จำนวนเต็มบวกคือตัวเลขธรรมชาติ ดังนั้น การหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือจึงดำเนินการตามกฎทั้งหมดสำหรับการหารด้วยจำนวนธรรมชาติที่เหลือ เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องสามารถทำการหารด้วยจำนวนธรรมชาติที่เหลือได้อย่างง่ายดาย เนื่องจากสิ่งนี้รองรับการหารไม่เพียงแต่จำนวนเต็มบวกเท่านั้น แต่ยังเป็นพื้นฐานของกฎทั้งหมดสำหรับการหารด้วยจำนวนที่เหลือตามใจชอบด้วย

จากมุมมองของเรา การหารคอลัมน์จะสะดวกที่สุด วิธีนี้ช่วยให้คุณได้รับทั้งผลหารที่ไม่สมบูรณ์ (หรือเพียงผลหาร) และส่วนที่เหลือ ลองดูตัวอย่างการหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือ

ตัวอย่าง.

หารด้วยเศษ 14,671 ด้วย 54

สารละลาย.

ลองหารจำนวนเต็มบวกเหล่านี้ด้วยคอลัมน์:

ผลหารย่อยกลายเป็น 271 และเศษเหลือเท่ากับ 37

คำตอบ:

14 671:54=271 (พัก 37) .

กฎสำหรับการหารจำนวนเต็มบวกด้วยเศษด้วยจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง

ขอให้เรากำหนดกฎที่ช่วยให้เราสามารถหารด้วยเศษของจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ

ผลหารย่อยของการหารจำนวนเต็มบวก a ด้วยจำนวนเต็มลบ b เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับผลหารย่อยของการหาร a ด้วยโมดูลัสของ b และค่าเศษของการหาร a ด้วย b เท่ากับค่าส่วนที่เหลือของการหารด้วย

จากกฎนี้ ผลหารย่อยของการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบจะเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก

มาแปลงกฎที่ระบุให้เป็นอัลกอริทึมสำหรับการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบด้วยเศษที่เหลือ:

• เราแบ่งโมดูลัสของการจ่ายเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหาร โดยได้ผลหารบางส่วนและส่วนที่เหลือ (หากเศษเหลือเท่ากับศูนย์ จำนวนเดิมจะถูกหารโดยไม่มีเศษ และตามกฎสำหรับการหารจำนวนเต็มด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม ผลหารที่ต้องการจะเท่ากับจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับผลหารจากการหารของโมดูล )
• เราเขียนตัวเลขตรงข้ามกับผลหารที่ไม่สมบูรณ์และเศษที่เหลือ ตัวเลขเหล่านี้คือผลหารที่ต้องการและส่วนที่เหลือของการหารจำนวนเต็มบวกเดิมด้วยจำนวนเต็มลบตามลำดับ

เรามายกตัวอย่างการใช้อัลกอริทึมในการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ

ตัวอย่าง.

หารด้วยเศษของจำนวนเต็มบวก 17 ด้วยจำนวนเต็มลบ −5

สารละลาย.

ลองใช้อัลกอริธึมในการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบ

โดยการแบ่ง

จำนวนตรงข้ามของ 3 คือ −3 ดังนั้น ผลหารย่อยที่ต้องการในการหาร 17 ด้วย −5 คือ −3 และส่วนที่เหลือคือ 2

คำตอบ:

17 :(−5)=−3 (เหลือ 2).

ตัวอย่าง.

แบ่ง 45 x −15

สารละลาย.

โมดูลของเงินปันผลและตัวหารคือ 45 และ 15 ตามลำดับ จำนวน 45 หารด้วย 15 ลงตัวโดยไม่มีเศษ และผลหารคือ 3 ดังนั้น จำนวนเต็มบวก 45 จึงหารด้วยจำนวนเต็มลบ −15 โดยไม่มีเศษ และผลหารจะเท่ากับจำนวนที่อยู่ตรงข้าม 3 นั่นคือ −3 แท้จริงแล้ว ตามกฎในการหารจำนวนเต็มด้วยเครื่องหมายต่างกัน เราจะได้

คำตอบ:

45:(−15)=−3 .

ตัวอย่าง การหารด้วยเศษของจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก

ขอให้เรากำหนดกฎสำหรับการหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวกด้วยเศษที่เหลือ

ในการรับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c จากการหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b คุณต้องนำตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับผลหารที่ไม่สมบูรณ์จากการหารโมดูลัสของตัวเลขเดิมและลบหนึ่งจากนั้นหลังจากนั้นจึงคำนวณส่วนที่เหลือ d โดยใช้สูตร d=a−b·c

จากกฎการหารด้วยเศษนี้ ผลหารย่อยของการหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวกจะเป็นจำนวนเต็มลบ

จากกฎที่ระบุไว้ดังต่อไปนี้อัลกอริทึมสำหรับการหารด้วยเศษจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b:

• การค้นหาโมดูลของเงินปันผลและตัวหาร
• เราแบ่งโมดูลัสของการจ่ายเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหาร โดยได้ผลหารบางส่วนและส่วนที่เหลือ (ถ้าเศษเหลือเป็นศูนย์ จำนวนเต็มเดิมจะถูกหารโดยไม่มีเศษ และผลหารที่ต้องการจะเท่ากับจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับผลหารของการหารโมดูลัส)
• เราเขียนตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับผลลัพธ์ที่ไม่สมบูรณ์และลบเลข 1 ออกไป จำนวนที่คำนวณได้คือผลหารบางส่วนที่ต้องการ c จากการหารจำนวนเต็มลบเดิมด้วยจำนวนเต็มบวก

มาวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างกัน โดยเราใช้อัลกอริทึมการหารที่เป็นลายลักษณ์อักษรพร้อมเศษที่เหลือ

ตัวอย่าง.

ค้นหาผลหารย่อยและเศษเมื่อหารจำนวนเต็มลบ −17 ด้วยจำนวนเต็มบวก 5

สารละลาย.

โมดูลัสของเงินปันผล −17 เท่ากับ 17 และโมดูลัสของตัวหาร 5 เท่ากับ 5

โดยการแบ่ง 17 คูณ 5 เราจะได้ผลหารย่อย 3 และเศษ 2

สิ่งที่ตรงกันข้ามของ 3 คือ −3 ลบหนึ่งออกจาก −3: −3−1=−4 ดังนั้น ผลหารบางส่วนที่ต้องการจะเท่ากับ −4

สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณส่วนที่เหลือ ในตัวอย่างของเรา a=−17 , b=5 , c=−4 แล้ว d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

ดังนั้น ผลหารย่อยของการหารจำนวนเต็มลบ −17 ด้วยจำนวนเต็มบวก 5 คือ −4 และส่วนที่เหลือคือ 3

คำตอบ:

(−17):5=−4 (เหลือ 3)

ตัวอย่าง.

หารจำนวนเต็มลบ −1,404 ด้วยจำนวนเต็มบวก 26

สารละลาย.

โมดูลการจ่ายเงินปันผลคือ 1404 โมดูลตัวหารคือ 26

หาร 1,404 ด้วย 26 โดยใช้คอลัมน์:

เนื่องจากโมดูลของการจ่ายเงินปันผลถูกหารด้วยโมดูลของตัวหารโดยไม่มีเศษ จำนวนเต็มเดิมจะถูกหารโดยไม่มีเศษ และผลหารที่ต้องการจะเท่ากับจำนวนที่อยู่ตรงข้าม 54 ซึ่งก็คือ −54

คำตอบ:

(−1 404):26=−54 .

ตัวอย่างกฎการหารด้วยเศษของจำนวนเต็มลบ

ให้เรากำหนดกฎสำหรับการหารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือ

ในการรับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c จากการหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มลบ b คุณต้องคำนวณผลหารที่ไม่สมบูรณ์จากการหารโมดูลของตัวเลขเดิมและเพิ่มหนึ่งเข้าไป หลังจากนั้นส่วนที่เหลือ d จะถูกคำนวณโดยใช้สูตร d =a−b·c.

จากกฎนี้ ผลหารย่อยของการหารจำนวนเต็มลบจะเป็นจำนวนเต็มบวก

มาเขียนกฎที่ระบุใหม่ในรูปแบบของอัลกอริทึมสำหรับการหารจำนวนเต็มลบ:

• การค้นหาโมดูลของเงินปันผลและตัวหาร
• เราแบ่งโมดูลัสของการจ่ายเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหาร โดยได้ผลหารบางส่วนและส่วนที่เหลือ (หากเศษเหลือเป็นศูนย์ จำนวนเต็มเดิมจะถูกหารโดยไม่มีเศษ และผลหารที่ต้องการจะเท่ากับผลหารของโมดูลัสของตัวหาร หารด้วยโมดูลัสของตัวหาร)
• เราบวกหนึ่งเข้ากับผลลัพธ์ที่เป็นผลหารที่ไม่สมบูรณ์ จำนวนนี้คือผลหารที่ไม่สมบูรณ์ที่ต้องการจากการหารของจำนวนเต็มลบเดิม
• เราคำนวณส่วนที่เหลือโดยใช้สูตร d=a−b·c

ลองพิจารณาการใช้อัลกอริทึมในการหารจำนวนเต็มลบเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาผลหารย่อยและเศษเมื่อหารจำนวนเต็มลบ −17 ด้วยจำนวนเต็มลบ −5

สารละลาย.

ลองใช้อัลกอริทึมการหารที่เหมาะสมกับเศษ

โมดูลการจ่ายเงินปันผลคือ 17 โมดูลตัวหารคือ 5

แผนก 17 ส่วน 5 ให้ผลหารย่อย 3 และส่วนที่เหลือ 2

บวกหนึ่งเข้ากับผลหาร 3 ที่ไม่สมบูรณ์: 3+1=4 ดังนั้น ผลหารย่อยที่ต้องการในการหาร −17 ด้วย −5 จะเท่ากับ 4

สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณส่วนที่เหลือ ในตัวอย่างนี้ a=−17 , b=−5 , c=4 แล้ว d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

ดังนั้น ผลหารย่อยของการหารจำนวนเต็มลบ −17 ด้วยจำนวนเต็มลบ −5 คือ 4 และส่วนที่เหลือคือ 3

คำตอบ:

(−17):(−5)=4 (เหลือ 3)

การตรวจสอบผลลัพธ์ของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ

หลังจากหารจำนวนเต็มด้วยเศษแล้ว จะมีประโยชน์ในการตรวจสอบผลลัพธ์ การตรวจสอบจะดำเนินการในสองขั้นตอน ในขั้นแรก จะมีการตรวจสอบว่าส่วนที่เหลือ d เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบหรือไม่ และยังตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ หากตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดของการตรวจสอบขั้นตอนแรก คุณสามารถดำเนินการตรวจสอบขั้นตอนที่สองได้ มิฉะนั้นอาจโต้แย้งได้ว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่งเมื่อหารด้วยเศษ ในขั้นที่สอง จะมีการตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน a=b·c+d หากความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริง การหารด้วยเศษจะดำเนินการอย่างถูกต้อง มิฉะนั้นจะเกิดข้อผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง

มาดูวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่มีการตรวจสอบผลลัพธ์ของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ

ตัวอย่าง.

เมื่อหารตัวเลข −521 ด้วย −12 ผลหารย่อยคือ 44 และส่วนที่เหลือคือ 7 ให้ตรวจสอบผลลัพธ์

สารละลาย. −2 สำหรับ b=−3, c=7, d=1 เรามี b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน a=b·c+d จึงไม่ถูกต้อง (ในตัวอย่างของเรา a=−19)

ดังนั้นจึงทำการหารด้วยเศษไม่ถูกต้อง

บทความนี้จะพิจารณาแนวคิดของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ มาพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องการหารจำนวนเต็มกับเศษลงตัวแล้วดูความสัมพันธ์ระหว่างเงินปันผลกับตัวหาร ผลหารกับเศษที่ไม่สมบูรณ์ มาดูกฎในการหารจำนวนเต็มด้วยเศษโดยดูรายละเอียดโดยใช้ตัวอย่าง ในตอนท้ายของการแก้ปัญหา เราจะทำการตรวจสอบ

ความเข้าใจทั่วไปเกี่ยวกับการหารจำนวนเต็มกับเศษ

การหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือถือเป็นการหารทั่วไปด้วยเศษที่เหลือของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งทำได้เนื่องจากจำนวนธรรมชาติเป็นส่วนประกอบของจำนวนเต็ม

การหารด้วยเศษที่เหลือของจำนวนใดๆ บอกว่าจำนวนเต็ม a ถูกหารด้วยตัวเลข b ที่ไม่ใช่ศูนย์ ถ้า b = 0 ก็อย่าหารด้วยเศษ

เช่นเดียวกับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษ จำนวนเต็ม a และ b จะถูกหาร โดยที่ b ไม่ใช่ศูนย์ ด้วย c และ d ในกรณีนี้ a และ b เรียกว่าเงินปันผลและตัวหาร และ d คือเศษที่เหลือของการหาร c คือจำนวนเต็มหรือผลหารที่ไม่สมบูรณ์

ถ้าเราสมมุติว่าเศษเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ค่าของมันจะไม่มากกว่าโมดูลัสของจำนวน b ลองเขียนมันแบบนี้: 0 ≤ d ≤ b สายโซ่ของอสมการนี้ใช้เมื่อเปรียบเทียบตัวเลข 3 ตัวขึ้นไป

ถ้า c เป็นผลหารที่ไม่สมบูรณ์ แล้ว d คือส่วนที่เหลือของการหารจำนวนเต็ม a ด้วย b ซึ่งสามารถระบุได้สั้นๆ ว่า a: b = c (ส่วนที่เหลือ d)

เศษเมื่อหารตัวเลข a ด้วย b อาจเป็นศูนย์ แล้วเขาบอกว่า a หารด้วย b ลงตัว กล่าวคือ ไม่มีเศษ การหารโดยไม่มีเศษถือเป็นกรณีพิเศษของการหาร

ถ้าเราหารศูนย์ด้วยจำนวนหนึ่ง ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ ส่วนที่เหลือของการหารจะเป็นศูนย์เช่นกัน ซึ่งสามารถสืบได้จากทฤษฎีการหารศูนย์ด้วยจำนวนเต็ม

ตอนนี้เรามาดูความหมายของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ

เป็นที่ทราบกันว่าจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนธรรมชาติ เมื่อหารด้วยเศษจะมีความหมายเช่นเดียวกับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษ

การหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b สมเหตุสมผลแล้ว ลองดูตัวอย่าง ลองนึกภาพสถานการณ์ที่เรามีหนี้เป็นจำนวนเท่ากับ a ที่บุคคล b ต้องชำระคืน เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ ทุกคนต้องมีส่วนร่วมอย่างเท่าเทียมกัน ในการกำหนดจำนวนหนี้ของแต่ละคนคุณต้องคำนึงถึงมูลค่าของหนี้ส่วนตัวด้วย ส่วนที่เหลือ d แสดงว่าทราบจำนวนรายการหลังจากชำระหนี้แล้ว

ลองดูตัวอย่างแอปเปิ้ลกัน ถ้า 2 คนเป็นหนี้แอปเปิ้ล 7 ผล ถ้าเราคำนวณว่าทุกคนต้องคืนแอปเปิ้ล 4 ผล หลังจากคำนวณครบแล้วพวกเขาจะเหลือแอปเปิ้ล 1 ผล ให้เราเขียนสิ่งนี้ด้วยความเท่าเทียมกัน: (− 7) : 2 = − 4 (จาก t. 1) .

การหารตัวเลข a ด้วยจำนวนเต็มนั้นไม่สมเหตุสมผล แต่เป็นทางเลือกหนึ่งที่เป็นไปได้

ทฤษฎีบทเรื่องการหารจำนวนเต็มกับเศษลงตัว

เราได้ระบุแล้วว่า a คือเงินปันผล แล้ว b คือตัวหาร c คือผลหารย่อย และ d คือเศษที่เหลือ พวกเขาเชื่อมต่อถึงกัน เราจะแสดงการเชื่อมต่อนี้โดยใช้ความเท่าเทียมกัน a = b · c + d ความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านี้มีลักษณะเฉพาะคือทฤษฎีบทการหารลงตัวกับเศษ

ทฤษฎีบท

จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงผ่านจำนวนเต็มและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ b ในลักษณะนี้เท่านั้น: a = b · q + r โดยที่ q และ r เป็นจำนวนเต็มบางตัว ตรงนี้เรามี 0 ≤ r ≤ b

ให้เราพิสูจน์ความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของ a = b · q + r

การพิสูจน์

หากมี a และ b อยู่สองตัว และ a หารด้วย b ลงตัวโดยไม่มีเศษ จากนั้นจึงตามมาจากคำจำกัดความว่ามีตัวเลข q และความเท่ากัน a = b · q จะเป็นจริง จากนั้นความเท่าเทียมกันก็ถือได้ว่าเป็นจริง: a = b · q + r สำหรับ r = 0

ถ้าอย่างนั้นก็จำเป็นต้องรับ q ที่ได้รับจากความไม่เท่าเทียมกัน b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

เราพบว่าค่าของนิพจน์ a − b · q มากกว่าศูนย์และไม่มากกว่าค่าของตัวเลข b ซึ่งจะตามมาด้วย r = a − b · q เราพบว่าจำนวน a สามารถแสดงได้ในรูปแบบ a = b · q + r

ตอนนี้เราต้องพิจารณาแสดง a = b · q + r สำหรับค่าลบของ b

โมดูลัสของตัวเลขกลายเป็นบวก จากนั้นเราจะได้ a = b · q 1 + r โดยที่ค่า q 1 คือจำนวนเต็ม r คือจำนวนเต็มที่ตรงตามเงื่อนไข 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

พิสูจน์เอกลักษณ์

สมมติว่า a = b q + r, q และ r เป็นจำนวนเต็มโดยมีเงื่อนไข 0 ≤ r เป็นจริง< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где คำถามที่ 1และ ร 1เป็นตัวเลขบางตัวอยู่ที่ไหน คิว 1 ≠ คิว, 0 ≤ รอบ 1< b .

เมื่อลบอสมการออกจากด้านซ้ายและด้านขวา เราจะได้ 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 ซึ่งเทียบเท่ากับ r - r 1 = b · q 1 - q เนื่องจากมีการใช้โมดูล เราจึงได้ความเท่าเทียมกัน r - r 1 = b · q 1 - q

เงื่อนไขที่กำหนดบอกว่า 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что ถามและ คำถามที่ 1- ทั้งหมดและ คิว ≠ คิว 1จากนั้น q 1 - q ≥ 1 จากตรงนี้ เราก็จะได้ b · q 1 - q ≥ b ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

ตามมาด้วยว่าไม่สามารถแทนจำนวน a ด้วยวิธีอื่นได้นอกจากเขียน a = b · q + r

ความสัมพันธ์ระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารย่อย และเศษ

เมื่อใช้ความเท่าเทียมกัน a = b · c + d คุณจะพบเงินปันผลที่ไม่ทราบค่า a เมื่อทราบตัวหาร b ซึ่งมีค่าหารที่ไม่สมบูรณ์ c และส่วนที่เหลือ d เป็นที่รู้จัก

ตัวอย่างที่ 1

พิจารณาเงินปันผลหากเมื่อหารแล้ว เราได้ - 21 ผลหารย่อยคือ 5 และส่วนที่เหลือคือ 12

สารละลาย

จำเป็นต้องคำนวณเงินปันผล a ด้วยตัวหารที่ทราบ b = − 21, ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c = 5 และส่วนที่เหลือ d = 12 เราต้องเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกัน a = b · c + d จากตรงนี้เราจะได้ a = (− 21) · 5 + 12 หากเราทำตามลำดับการกระทำ เราจะคูณ - 21 ด้วย 5 หลังจากนั้นเราจะได้ (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93

คำตอบ: - 93 .

การเชื่อมต่อระหว่างตัวหารกับผลหารบางส่วนและเศษสามารถแสดงได้โดยใช้ความเท่าเทียมกัน: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b และ d = a − b · c ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา เราสามารถคำนวณตัวหาร ผลหารบางส่วน และเศษได้ สิ่งนี้เกิดจากการหาเศษอยู่ตลอดเวลาเมื่อทำการหารจำนวนเต็มของจำนวนเต็ม a ด้วย b ด้วยเงินปันผล ตัวหาร และผลหารบางส่วน ใช้สูตร d = a − b · c พิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาเศษที่เหลือเมื่อหารจำนวนเต็ม - 19 ด้วยจำนวนเต็ม 3 โดยที่ทราบผลหารที่ไม่สมบูรณ์เท่ากับ - 7

สารละลาย

ในการคำนวณส่วนที่เหลือของการหาร เราใช้สูตรในรูปแบบ d = a − b · c ตามเงื่อนไข จะมีข้อมูลทั้งหมด: a = − 19, b = 3, c = − 7 จากตรงนี้ เราจะได้ d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (ผลต่าง − 19 − (− 21) ตัวอย่างนี้ถูกคำนวณ ใช้กฎการลบเป็นจำนวนเต็มลบ

คำตอบ: 2 .

จำนวนเต็มบวกทั้งหมดเป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นไปตามนั้น การหารจะดำเนินการตามกฎการหารทั้งหมดด้วยจำนวนที่เหลือของธรรมชาติ ความเร็วของการหารด้วยส่วนที่เหลือของจำนวนธรรมชาติเป็นสิ่งสำคัญ เนื่องจากไม่เพียงแต่การหารจำนวนบวกเท่านั้น แต่ยังอิงตามกฎสำหรับการหารจำนวนเต็มตามใจชอบด้วย

วิธีการหารที่สะดวกที่สุดคือคอลัมน์ เนื่องจากการหาค่าที่ไม่สมบูรณ์หรือผลหารพร้อมเศษจะง่ายกว่าและเร็วกว่า ลองดูวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

ตัวอย่างที่ 3

หาร 14671 ด้วย 54

สารละลาย

การแบ่งนี้ต้องทำในคอลัมน์:

นั่นคือ ผลหารย่อยเท่ากับ 271 และส่วนที่เหลือคือ 37

คำตอบ: 14,671: 54 = 271 (พัก 37)

กฎสำหรับการหารจำนวนเต็มบวกด้วยเศษด้วยจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง

ในการหารจำนวนบวกที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบ จำเป็นต้องสร้างกฎขึ้นมา

คำจำกัดความ 1

ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มบวก a ด้วยจำนวนเต็มลบ b ทำให้ได้ตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารโมดูลัสของตัวเลข a ด้วย b แล้วเศษจะเท่ากับเศษเมื่อ a หารด้วย b

ดังนั้นเราจึงพบว่าผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบนั้นถือเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก

เราได้รับอัลกอริทึม:

• หารโมดูลัสของเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหาร จากนั้นเราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์และ
• ส่วนที่เหลือ;
• ลองเขียนจำนวนตรงข้ามกับสิ่งที่เราได้มา.

ลองดูตัวอย่างอัลกอริทึมในการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ

ตัวอย่างที่ 4

หารด้วยเศษ 17 ด้วย - 5

สารละลาย

ลองใช้อัลกอริทึมในการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบด้วยเศษที่เหลือ จำเป็นต้องหาร 17 ด้วย - 5 แบบโมดูโล จากตรงนี้ เราจะได้ว่าผลหารย่อยเท่ากับ 3 และเศษเหลือเท่ากับ 2

เราได้จำนวนที่ต้องการจากการหาร 17 ด้วย - 5 = - 3 โดยมีเศษเหลือเท่ากับ 2

คำตอบ: 17: (− 5) = − 3 (เหลือ 2)

ตัวอย่างที่ 5

คุณต้องหาร 45 ด้วย - 15.

สารละลาย

จำเป็นต้องแบ่งตัวเลขแบบโมดูโล หาร 45 ด้วย 15 เราจะได้ผลหารของ 3 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 45 หารด้วย 15 ลงตัวโดยไม่มีเศษ คำตอบคือ - 3 เนื่องจากการแบ่งดำเนินการแบบโมดูโล

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

คำตอบ: 45: (− 15) = − 3 .

กฎการหารด้วยเศษมีดังต่อไปนี้

คำจำกัดความ 2

เพื่อให้ได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c เมื่อหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยบวก b คุณต้องใช้ค่าตรงข้ามของตัวเลขที่กำหนดและลบ 1 จากนั้นส่วนที่เหลือ d จะถูกคำนวณโดยสูตร: d = a - ข · ค.

ตามกฎแล้วเราสามารถสรุปได้ว่าเมื่อหารเราจะได้จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เพื่อให้มั่นใจในความถูกต้องของโซลูชัน ให้ใช้อัลกอริทึมในการหาร a ด้วย b ด้วยเศษ:

• ค้นหาโมดูลของการจ่ายเงินปันผลและตัวหาร
• แบ่งโมดูโล;
• เขียนสิ่งที่ตรงกันข้ามกับตัวเลขที่กำหนดแล้วลบ 1;
• ใช้สูตรหาเศษ d = a − b · c

ลองดูตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาที่ใช้อัลกอริทึมนี้

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาผลหารย่อยและเศษของการหาร - 17 คูณ 5

สารละลาย

เราหารตัวเลขที่กำหนดแบบโมดูโล เราพบว่าเมื่อหาร ผลหารคือ 3 และเศษเป็น 2 เนื่องจากเราได้ 3 สิ่งที่ตรงกันข้ามคือ 3 คุณต้องลบ 1.

− 3 − 1 = − 4 .

ค่าที่ต้องการคือ - 4

ในการคำนวณเศษที่เหลือ คุณต้อง a = − 17, b = 5, c = − 4 จากนั้น d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3.

ซึ่งหมายความว่าผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารคือตัวเลข - 4 โดยมีเศษเท่ากับ 3

คำตอบ:(− 17) : 5 = − 4 (เหลือ 3)

ตัวอย่างที่ 7

หารจำนวนเต็มลบ - 1404 ด้วยบวก 26

สารละลาย

จำเป็นต้องหารด้วยคอลัมน์และโมดูล

เราได้การหารโมดูลของตัวเลขโดยไม่มีเศษเหลือ ซึ่งหมายความว่าการหารจะดำเนินการโดยไม่มีเศษ และผลหารที่ต้องการ = - 54

คำตอบ: (− 1 404) : 26 = − 54 .

ตัวอย่างกฎการหารด้วยเศษของจำนวนเต็มลบ

มีความจำเป็นต้องกำหนดกฎสำหรับการหารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือ

คำจำกัดความ 3

เพื่อให้ได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c จากการหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มลบ b จำเป็นต้องคำนวณแบบโมดูโลแล้วบวก 1 จากนั้นเราจะคำนวณได้โดยใช้สูตร d = a − b · c

ตามมาว่าผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มลบจะเป็นจำนวนบวก

ให้เรากำหนดกฎนี้ในรูปแบบของอัลกอริทึม:

• ค้นหาโมดูลของการจ่ายเงินปันผลและตัวหาร
• หารโมดูลัสของเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหารเพื่อให้ได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ด้วย
• ส่วนที่เหลือ;
• บวก 1 เข้ากับผลหารที่ไม่สมบูรณ์
• การคำนวณส่วนที่เหลือตามสูตร d = a − b · c

ลองดูอัลกอริทึมนี้โดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาผลหารย่อยและเศษเมื่อหาร - 17 ด้วย - 5

สารละลาย

เพื่อความถูกต้องของการแก้ปัญหา เราใช้อัลกอริธึมในการหารด้วยเศษ ขั้นแรก หารตัวเลขแบบโมดูโล จากนี้ เราจะได้ว่าผลหารย่อย = 3 และส่วนที่เหลือคือ 2 ตามกฎแล้ว คุณต้องบวกผลหารที่ไม่สมบูรณ์และ 1 เราจะได้ว่า 3 + 1 = 4 จากตรงนี้ เราจะได้ว่าผลหารย่อยของการหารตัวเลขที่กำหนดนั้นเท่ากับ 4

ในการคำนวณส่วนที่เหลือเราจะใช้สูตร โดยเงื่อนไขเราจะได้ว่า a = − 17, b = − 5, c = 4 จากนั้นเมื่อใช้สูตร เราจะได้ d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . คำตอบที่ต้องการ ซึ่งก็คือ เศษเหลือเท่ากับ 3 และผลหารย่อยเท่ากับ 4

คำตอบ:(− 17) : (− 5) = 4 (เหลือ 3)

การตรวจสอบผลลัพธ์ของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ

หลังจากหารตัวเลขด้วยเศษแล้ว คุณต้องทำการตรวจสอบ การตรวจสอบนี้เกี่ยวข้องกับ 2 ขั้นตอน ขั้นแรก ตรวจสอบส่วนที่เหลือ d ว่าไม่เป็นลบ โดยเป็นไปตามเงื่อนไข 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 9

มีการหาร - 521 x - 12 ผลหารคือ 44 ส่วนที่เหลือคือ 7 ดำเนินการตรวจสอบ

สารละลาย

เนื่องจากเศษเป็นจำนวนบวก ค่าของมันจึงน้อยกว่าโมดูลัสของตัวหาร ตัวหารคือ - 12 ซึ่งหมายความว่าโมดูลัสของมันคือ 12 คุณสามารถไปยังจุดตรวจต่อไปได้

ตามเงื่อนไข เราจะได้ว่า a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7 จากตรงนี้ เราคำนวณ b · c + d โดยที่ b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 ตามมาว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริง การยืนยันผ่านแล้ว

ตัวอย่างที่ 10

ดำเนินการตรวจสอบการหาร (− 17): 5 = − 3 (เหลือ − 2) ความเท่าเทียมมีจริงหรือไม่?

สารละลาย

ประเด็นของขั้นแรกคือจำเป็นต้องตรวจสอบการหารจำนวนเต็มกับเศษ จากนี้เห็นได้ชัดว่าการกระทำนั้นดำเนินการไม่ถูกต้อง เนื่องจากให้ส่วนที่เหลือเท่ากับ - 2 เศษที่เหลือไม่ใช่จำนวนลบ

เราพบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขที่สอง แต่ไม่เพียงพอสำหรับกรณีนี้

คำตอบ:เลขที่

ตัวอย่างที่ 11

ตัวเลข - 19 หารด้วย - 3 ผลหารย่อยคือ 7 และส่วนที่เหลือคือ 1 ตรวจสอบว่าการคำนวณนี้ดำเนินการอย่างถูกต้องหรือไม่

สารละลาย

ให้เศษเหลือเท่ากับ 1 เขาเป็นคนคิดบวก ค่าน้อยกว่าโมดูลตัวแบ่ง ซึ่งหมายความว่าขั้นตอนแรกจะเสร็จสมบูรณ์ เรามาดูขั้นตอนที่สองกันดีกว่า

มาคำนวณค่าของนิพจน์ b · c + d กัน ตามเงื่อนไข เราจะได้ว่า b = − 3, c = 7, d = 1 ซึ่งหมายความว่า เมื่อแทนค่าตัวเลข เราจะได้ b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 ตามมาว่า a = b · c + d ไม่คงความเท่าเทียมกันเนื่องจากเงื่อนไขให้ a = - 19

จากนี้ไปจึงทำให้มีการแบ่งส่วนผิดพลาด

คำตอบ:เลขที่

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

สัญญาณของการหารตัวเลข- นี่เป็นกฎที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องหารว่าจำนวนนี้จะหารด้วยจำนวนที่กำหนดโดยไม่มีเศษหรือไม่
บางส่วนของ สัญญาณของการแบ่งแยกค่อนข้างง่าย บ้างก็ซับซ้อนกว่า ในหน้านี้ คุณจะพบทั้งสัญญาณการหารจำนวนเฉพาะลงตัว เช่น 2, 3, 5, 7, 11 และสัญญาณการหารจำนวนเฉพาะลงตัว เช่น 6 หรือ 12
ฉันหวังว่าข้อมูลนี้จะเป็นประโยชน์กับคุณ
มีความสุขในการเรียนรู้!

ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว

นี่เป็นหนึ่งในสัญญาณที่ง่ายที่สุดของการแบ่งแยก มีลักษณะดังนี้: ถ้าสัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยเลขคู่ ก็จะเป็นเลขคู่ (หารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ) และหากสัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยเลขคี่ แสดงว่าตัวเลขนี้เป็นเลขคี่ .
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเป็นเลขหลักสุดท้ายของตัวเลข 2 , 4 , 6 , 8 หรือ 0 - จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว ถ้าไม่หารก็หารไม่ลงตัว
ตัวอย่างเช่น ตัวเลข: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 หารด้วย 2 ลงตัวเพราะเป็นเลขคู่.
ตัวเลข: 23 5 , 137 , 2303
หารด้วย 2 ลงตัวไม่ได้เพราะเป็นเลขคี่.

ทดสอบการหารด้วย 3 ลงตัว

สัญลักษณ์ของการหารนี้มีกฎที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 3 ลงตัว ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ไม่ลงตัว แสดงว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 3 ไม่ลงตัว
ซึ่งหมายความว่าเพื่อที่จะเข้าใจว่าตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ คุณเพียงแค่ต้องบวกตัวเลขที่ประกอบเข้าด้วยกัน
ดูเหมือนว่า: 3987 และ 141 หารด้วย 3 ลงตัว เพราะในกรณีแรก 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - หารด้วย 3 ลงตัว) และในส่วนที่สอง 1+4+1= 6 (6:3=2 - หารด้วย 3 ลงตัวด้วย)
แต่ตัวเลข: 235 และ 566 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว เพราะ 2+3+5= 10 และ 5+6+6= 17 (และเรารู้ว่าทั้ง 10 และ 17 หารด้วย 3 ลงตัวไม่ลงตัว)

ทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว

สัญลักษณ์การแบ่งแยกนี้จะซับซ้อนมากขึ้น หากตัวเลข 2 หลักสุดท้ายของตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวหรือเป็น 00 ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 4 ลงตัว ไม่เช่นนั้นตัวเลขที่กำหนดจะหารด้วย 4 ลงตัวไม่ได้โดยไม่มีเศษ
ตัวอย่างเช่น: 1 00 และ 3 64 หารด้วย 4 ลงตัว เพราะในกรณีแรกจำนวนลงท้ายด้วย 00 และในครั้งที่สอง 64 ซึ่งหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษ (64:4=16)
หมายเลข 3 57 และ 8 86 หารด้วย 4 ลงตัวไม่ได้เพราะไม่มีเช่นกัน 57 ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง 86 หารด้วย 4 ลงตัวไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าไม่ตรงตามเกณฑ์การหารลงตัวนี้

การทดสอบการหารลงตัวด้วย 5

และขอย้ำอีกครั้งว่า เรามีเครื่องหมายของการหารลงตัวที่ค่อนข้างง่าย: หากสัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยเลข 0 หรือ 5 แล้วจำนวนนี้จะหารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษ หากสัญลักษณ์ของตัวเลขลงท้ายด้วยตัวเลขอีกหลักหนึ่ง แล้ว จำนวนหารด้วย 5 โดยไม่มีเศษไม่ลงตัว
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขใด ๆ ที่ลงท้ายด้วยตัวเลข 0 และ 5 เช่น 1235 5 และ 43 0 ตกอยู่ภายใต้กฎและหารด้วย 5 ลงตัว
และตัวอย่างเช่น 1549 3 และ 56 4 อย่าลงท้ายด้วยเลข 5 หรือ 0 ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถหารด้วย 5 โดยไม่มีเศษได้

ทดสอบการหารด้วย 6 ลงตัว

เรามีเลขประกอบ 6 ตรงหน้าเรา ซึ่งเป็นผลคูณของเลข 2 และ 3 ดังนั้น เครื่องหมายหารด้วย 6 ลงตัวจึงนำมาประกอบกันด้วย เพื่อให้ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัว จะต้องตรงกับเครื่องหมายสองตัวของ การหารในเวลาเดียวกัน: เครื่องหมายหารด้วย 2 และเครื่องหมายหารด้วย 3 ลงตัว โปรดทราบว่าจำนวนประกอบเช่น 4 มีเครื่องหมายของการหารลงตัวเฉพาะตัว เนื่องจากเป็นผลคูณของเลข 2 ในตัวมันเอง แต่ลองกลับไปทดสอบการหารด้วย 6 ลงตัว.
ตัวเลข 138 และ 474 เป็นเลขคู่และเข้าเกณฑ์การหารด้วย 3 ลงตัว (1+3+8=12, 12:3=4 และ 4+7+4=15, 15:3=5) ซึ่งหมายความว่าหารลงตัว ด้วย 6 แต่ 123 และ 447 แม้จะหารด้วย 3 ลงตัว (1+2+3=6, 6:3=2 และ 4+4+7=15, 15:3=5) แต่ก็เป็นเลขคี่ ซึ่ง หมายความว่าไม่ตรงกับเกณฑ์หารด้วย 2 ลงตัว จึงไม่ตรงกับเกณฑ์หารด้วย 6 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 7 ลงตัว

การทดสอบการหารลงตัวนี้ซับซ้อนกว่า: ตัวเลขจะหารด้วย 7 ลงตัวได้หากผลลัพธ์ของการลบสองเท่าของหลักสุดท้ายจากจำนวนหลักสิบของจำนวนนี้หารด้วย 7 ลงตัวหรือเท่ากับ 0
มันฟังดูค่อนข้างสับสน แต่ในทางปฏิบัติมันง่าย ดูด้วยตัวคุณเอง: หมายเลข 95 9 หารด้วย 7 เพราะ 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ) ยิ่งไปกว่านั้น หากเกิดปัญหากับจำนวนที่ได้รับระหว่างการแปลง (เนื่องจากขนาดของมันจึงเป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจว่าหารด้วย 7 หรือไม่ ดังนั้นขั้นตอนนี้สามารถดำเนินการต่อได้บ่อยเท่าที่คุณเห็นว่าจำเป็น)
ตัวอย่างเช่น, 45 5 และ 4580 1 มีคุณสมบัติของการหารด้วย 7 ลงตัว ในกรณีแรก ทุกอย่างค่อนข้างง่าย: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5 ในกรณีที่สอง เราจะทำสิ่งนี้: 4580 -2*1=4580-2=4578 มันยากสำหรับเราที่จะเข้าใจว่า 457 8 คูณ 7 ลองทำขั้นตอนนี้ซ้ำ: 457 -2*8=457-16=441. และอีกครั้ง เราจะใช้การทดสอบการหาร เนื่องจากเรายังมีเลขสามหลักอยู่ข้างหน้าเรา 44 1. ดังนั้น 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6 เช่น 42 หารด้วย 7 ลงตัวโดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 45801 หารด้วย 7 ลงตัว
นี่คือตัวเลข 11 1 และ 34 5 หารด้วย 7 ไม่ลงตัว เพราะ 11 -2*1=11-2=9 (9 หารด้วย 7 ไม่ลงตัว) และ 34 -2*5=34-10=24 (24 หารด้วย 7 ไม่ลงตัวโดยไม่มีเศษ)

การทดสอบการหารลงตัวด้วย 8

การทดสอบการหารด้วย 8 ลงตัวมีลักษณะดังนี้: หากตัวเลข 3 หลักสุดท้ายทำให้ตัวเลขหารด้วย 8 ลงตัว หรือเป็น 000 ตัวเลขที่กำหนดจะหารด้วย 8 ลงตัว
หมายเลข 1 000 หรือ 1 088 หารด้วย 8 ลงตัว: อันแรกลงท้ายด้วย 000 , ที่สอง 88 :8=11 (หารด้วย 8 โดยไม่มีเศษ)
และนี่คือหมายเลข 1 100 หรือ 4 757 หารด้วย 8 ไม่ลงตัว เพราะเป็นตัวเลข 100 และ 757 หารด้วย 8 ลงตัวไม่เหลือเศษ.

การทดสอบการหารด้วย 9 ลงตัว

เครื่องหมายหารลงตัวนี้คล้ายกับเครื่องหมายหารด้วย 3 ลงตัว: หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว แสดงว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 9 ลงตัว ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ไม่ลงตัว แสดงว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 9 ไม่ลงตัว
ตัวอย่างเช่น: 3987 และ 144 หารด้วย 9 ลงตัว เพราะในกรณีแรก 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - หารด้วย 9 ลงตัวโดยไม่มีเศษ) และในส่วนที่สอง 1+4+4= 9 (9:9=1 - หารด้วย 9 ลงตัวด้วย)
แต่ตัวเลข: 235 และ 141 หารด้วย 9 ไม่ลงตัว เพราะ 2+3+5= 10 และ 1+4+1= 6 (และเรารู้ว่าทั้ง 10 และ 6 หารด้วย 9 ลงตัวไม่ลงตัว)

สัญญาณของการหารด้วย 10, 100, 1,000 และหน่วยหลักอื่นๆ ลงตัว

ฉันรวมเครื่องหมายของการหารเหล่านี้เข้าด้วยกันเพราะสามารถอธิบายได้ในลักษณะเดียวกัน: ตัวเลขจะถูกหารด้วยหน่วยหลักหากจำนวนศูนย์ที่ท้ายตัวเลขมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนศูนย์ในหน่วยหลักที่กำหนด .
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรามีตัวเลขต่อไปนี้: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . ซึ่งทั้งหมดหารด้วย 1 ลงตัว 0 ; 46400 และ 867 000 ก็หารด้วย 1 ได้เช่นกัน 00 ; และมีเพียงหนึ่งในนั้นคือ 867 000 หารด้วย 1 000 .
จำนวนใดๆ ที่มีศูนย์ต่อท้ายน้อยกว่าหน่วยหลักจะหารด้วยหน่วยหลักนั้นไม่ได้ เช่น 600 30 และ 7 93 แบ่งไม่ได้ 1 00 .

การทดสอบการหารลงตัวด้วย 11

หากต้องการทราบว่าตัวเลขหารด้วย 11 ลงตัวหรือไม่ คุณต้องหาผลต่างระหว่างผลบวกของเลขคู่และเลขคี่ของตัวเลขนี้ หากผลต่างนี้เท่ากับ 0 หรือหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษ แสดงว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษ
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ฉันขอแนะนำให้ดูตัวอย่าง: 2 35 4 หารด้วย 11 เพราะ ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 ก็หารด้วย 11 ได้เช่นกัน เนื่องจาก ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
นี่คือ 1 1 1 หรือ 4 35 4 หารด้วย 11 ไม่ลงตัว เนื่องจากในกรณีแรกเราจะได้ (1+1)- 1 =1 และในวินาที ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

การทดสอบการหารลงตัวด้วย 12

หมายเลข 12 เป็นแบบประกอบ เครื่องหมายของการหารลงตัวคือการปฏิบัติตามเครื่องหมายการหารด้วย 3 และ 4 ในเวลาเดียวกัน
เช่น 300 และ 636 ตรงกับทั้งเครื่องหมายหารด้วย 4 ลงตัว (2 หลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือหารด้วย 4 ลงตัว) และเครื่องหมายหารด้วย 3 ลงตัว (ผลรวมของตัวเลขทั้งตัวแรกและตัวที่สามหารลงตัว) ด้วย 3) แต่สุดท้ายก็หารด้วย 12 ลงตัวโดยไม่มีเศษ
แต่ 200 หรือ 630 หารด้วย 12 ลงตัวไม่ได้ เพราะในกรณีแรก จำนวนจะตรงตามเกณฑ์การหารด้วย 4 ลงตัวเท่านั้น และในกรณีที่สอง จะมีเพียงเกณฑ์การหารด้วย 3 ลงตัวเท่านั้น แต่ไม่ใช่ทั้งสองเกณฑ์ในเวลาเดียวกัน

การทดสอบการหารลงตัวด้วย 13

สัญญาณของการหารด้วย 13 ลงตัวคือ หากจำนวนสิบของตัวเลขบวกกับหน่วยของจำนวนนี้คูณด้วย 4 เป็นผลคูณของ 13 หรือเท่ากับ 0 ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 13 ลงตัว
ลองมาเป็นตัวอย่าง 70 2. ดังนั้น 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 หารด้วย 13 ลงตัวโดยไม่มีเศษ) ซึ่งหมายความว่า 70 2 หารด้วย 13 ลงตัวโดยไม่มีเศษ. อีกตัวอย่างหนึ่งคือตัวเลข 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10 จำนวน 130 หารด้วย 13 ลงตัวโดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่าจำนวนที่กำหนดสอดคล้องกับเกณฑ์การหารด้วย 13 ลงตัว
ถ้าเราเอาตัวเลข 12 5 หรือ 21 2 แล้วเราจะได้ 12 +4*5=32 และ 21 +4*2=29 ตามลำดับ และ 32 และ 29 ไม่สามารถหารด้วย 13 ลงตัวโดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขที่กำหนดจะไม่หารด้วย 13 โดยไม่มีเศษ

การแบ่งแยกตัวเลข

ดังที่เห็นจากที่กล่าวมาข้างต้น สันนิษฐานได้ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ คุณสามารถเลือกเครื่องหมายการหารลงตัวเฉพาะตัวของคุณเองหรือเครื่องหมาย "ประกอบ" ได้ หากตัวเลขดังกล่าวเป็นผลคูณของตัวเลขต่างๆ กัน แต่ดังที่แสดงให้เห็นในทางปฏิบัติ ยิ่งตัวเลขมากขึ้น เครื่องหมายก็ยิ่งซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น เป็นไปได้ว่าเวลาที่ใช้ในการตรวจสอบเกณฑ์การหารอาจเท่ากับหรือมากกว่าการหารนั้นเอง นั่นเป็นเหตุผลที่เรามักจะใช้เครื่องหมายหารที่ง่ายที่สุด.