เพื่อให้ได้สมการทั่วไปของระนาบ เราจะวิเคราะห์ระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด

ให้มีแกนพิกัดสามแกนที่เรารู้จักในอวกาศแล้ว - วัว, โอ๊ยและ ออนซ์. จับแผ่นกระดาษให้เรียบ ระนาบจะเป็นแผ่นกระดาษและความต่อเนื่องในทุกทิศทาง

อนุญาต พีระนาบโดยพลการในอวกาศ เรียกว่าเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับมัน เวกเตอร์ปกติ ไปยังเครื่องบินลำนี้ เรากำลังพูดถึงเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์

หากทราบจุดใดของระนาบ พีและเวกเตอร์บางตัวของปกติ จากนั้นด้วยเงื่อนไขทั้งสองนี้ ระนาบในอวกาศจะถูกกำหนดโดยสมบูรณ์(ผ่านจุดที่กำหนดให้ มีระนาบเดียวที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด) สมการทั่วไปของระนาบจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นจึงมีเงื่อนไขที่กำหนดสมการของระนาบ เพื่อรับมันเอง สมการระนาบซึ่งมีแบบข้างบนนี้เราขึ้นเครื่องบิน พีตามอำเภอใจ จุด ม ด้วยพิกัดตัวแปร x, ย, ซี. จุดนี้เป็นของเครื่องบินเท่านั้นหาก เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์(รูปที่ 1) สำหรับสิ่งนี้ตามเงื่อนไขการตั้งฉากของเวกเตอร์มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์นั่นคือ

เวกเตอร์ถูกกำหนดตามเงื่อนไข เราค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ตามสูตร :

.

ตอนนี้ใช้สูตรดอทโปรดัคของเวกเตอร์ เราแสดงผลิตภัณฑ์สเกลาร์ในรูปแบบพิกัด:

ตั้งแต่จุดที่ ม(x; y; z)ถูกเลือกโดยพลการบนระนาบ จากนั้นสมการสุดท้ายจะเป็นไปตามพิกัดของจุดใดๆ ที่อยู่บนระนาบ พี. สำหรับจุด เอ็น, ไม่นอนบนระนาบที่กำหนด , เช่น ความเท่าเทียมกัน (1) ถูกละเมิด

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดและตั้งฉากกับเวกเตอร์

สารละลาย. เราใช้สูตร (1) ดูอีกครั้ง:

ในสูตรนี้เป็นตัวเลข ก , ขและ คพิกัดเวกเตอร์และตัวเลข x0 , ย0 และ ซี0 - พิกัดจุด

การคำนวณนั้นง่ายมาก: เราแทนตัวเลขเหล่านี้ในสูตรและรับ

เราคูณทุกอย่างที่ต้องคูณและบวกเฉพาะตัวเลข (ซึ่งไม่มีตัวอักษร) ผลลัพธ์:

.

สมการที่ต้องการของระนาบในตัวอย่างนี้แสดงโดยสมการทั่วไปของระดับที่หนึ่งเทียบกับพิกัดตัวแปร x, y, zจุดโดยพลการของเครื่องบิน

ดังนั้นสมการของแบบฟอร์ม

เรียกว่า สมการทั่วไปของระนาบ .

ตัวอย่างที่ 2สร้างระนาบที่กำหนดโดยสมการในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม .

สารละลาย. ในการสร้างระนาบ จำเป็นและเพียงพอที่จะทราบจุดสามจุดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว ตัวอย่างเช่น จุดตัดของระนาบกับแกนพิกัด

จะหาจุดเหล่านี้ได้อย่างไร? เพื่อหาจุดตัดกับแกน ออนซ์คุณต้องแทนเลขศูนย์แทน x และ y ในสมการที่กำหนดในโจทย์ปัญหา: x = ย= 0 . ดังนั้นเราจึงได้รับ ซี= 6 . ดังนั้นระนาบที่กำหนดจึงตัดแกน ออนซ์ที่จุด ก(0; 0; 6) .

ในทำนองเดียวกันเราจะพบจุดตัดของระนาบกับแกน โอ๊ย. ที่ x = ซี= 0 เราได้ ย= −3 นั่นคือจุด ข(0; −3; 0) .

และในที่สุด เราก็พบจุดตัดของระนาบกับแกน วัว. ที่ ย = ซี= 0 เราได้ x= 2 นั่นคือจุด ค(2; 0; 0) . ตามสามจุดที่ได้รับในการแก้ปัญหาของเรา ก(0; 0; 6) , ข(0; −3; 0) และ ค(2; 0; 0) เราสร้างระนาบที่กำหนด

พิจารณาตอนนี้ กรณีพิเศษของสมการทั่วไปของระนาบ. นี่เป็นกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ (2) หายไป

1. เมื่อไหร่ D= 0 สมการ กำหนดระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดตั้งแต่พิกัดของจุด 0 (0; 0; 0) เป็นไปตามสมการนี้

2. เมื่อไหร่ เอ= 0 สมการ กำหนดระนาบที่ขนานกับแกน วัวเนื่องจากเวกเตอร์ปกติของระนาบนี้ตั้งฉากกับแกน วัว(เส้นโครงบนแกน วัวเท่ากับศูนย์) ในทำนองเดียวกัน เมื่อ ข= 0 เครื่องบิน ขนานแกน โอ๊ย, และเมื่อ ค= 0 เครื่องบิน ขนานกับแกน ออนซ์.

3. เมื่อไหร่ ก=ด=สมการ 0 กำหนดระนาบที่ผ่านแกน วัวเพราะมันขนานกับแกน วัว (เอ=D= 0). ในทำนองเดียวกันระนาบผ่านแกน โอ๊ยและระนาบผ่านแกน ออนซ์.

4. เมื่อไหร่ ก=ข=สมการ 0 กำหนดระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด xOyเพราะมันขนานกับแกน วัว (ก= 0) และ โอ๊ย (ข= 0). ในทำนองเดียวกันระนาบจะขนานกับระนาบ yOzและเครื่องบิน - เครื่องบิน xOz.

5. เมื่อไหร่ ก=ข=ง= 0 สมการ (หรือ z= 0) กำหนดระนาบพิกัด xOyเพราะมันขนานกับระนาบ xOy (ก=ข= 0) และผ่านจุดกำเนิด ( D= 0). ในทำนองเดียวกันสมการ y= 0 ในอวกาศกำหนดระนาบพิกัด xOzและสมการ x= 0 - ระนาบพิกัด yOz.

ตัวอย่างที่ 3เขียนสมการของระนาบ พีผ่านแกน โอ๊ยและชี้

สารละลาย. ดังนั้นระนาบจึงผ่านแกน โอ๊ย. ดังนั้นในสมการของเธอ ย= 0 และสมการนี้มีรูปแบบ เพื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ กและ คเราใช้ความจริงที่ว่าจุดนั้นเป็นของเครื่องบิน พี .

ดังนั้นในพิกัดของมันจึงมีพิกัดที่สามารถแทนที่ในสมการของระนาบซึ่งเราได้มาแล้ว () ลองดูพิกัดของจุดอีกครั้ง:

ม0 (2; −4; 3) .

ในหมู่พวกเขา x = 2 , ซี= 3 . เราแทนค่าลงในสมการทั่วไปและรับสมการสำหรับกรณีเฉพาะของเรา:

2ก + 3ค = 0 .

เราออกจาก 2 กทางด้านซ้ายของสมการ เราถ่ายโอน 3 คไปทางด้านขวาและรับ

ก = −1,5ค .

แทนค่าที่พบ กเข้าไปในสมการ เราจะได้

หรือ .

นี่คือสมการที่จำเป็นในเงื่อนไขตัวอย่าง

แก้ปัญหาสมการของระนาบด้วยตัวคุณเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4กำหนดระนาบ (หรือระนาบถ้ามีมากกว่าหนึ่ง) ที่เกี่ยวกับแกนพิกัดหรือระนาบพิกัด ถ้าระนาบถูกกำหนดโดยสมการ

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่เกิดขึ้นในการทดสอบ - ในคู่มือ "ปัญหาบนระนาบ: ความขนาน, การตั้งฉาก, จุดตัดของระนาบสามระนาบที่จุดเดียว" .

สมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุด

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการสร้างระนาบ นอกจากจุดหนึ่งจุดและเวกเตอร์ปกติแล้ว ยังเป็นจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวอีกด้วย

ให้มีจุดที่แตกต่างกันสามจุด และ ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เนื่องจากจุดทั้งสามนี้ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว เวกเตอร์ และ ไม่ได้เป็นเส้นตรง ดังนั้นจุดใดๆ ของระนาบจึงอยู่ในระนาบเดียวกันกับจุด และถ้าเฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์ และ ระนาบเดียวกันคือ ถ้าและถ้า ผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับศูนย์

การใช้การแสดงออกของผลิตภัณฑ์แบบผสมในพิกัด เราได้สมการระนาบ

(3)

หลังจากขยายดีเทอร์มีแนนต์ สมการนี้จะกลายเป็นสมการของรูปแบบ (2) นั่นคือ สมการทั่วไปของระนาบ

ตัวอย่างที่ 5เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุดซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรง:

และกำหนดกรณีเฉพาะของสมการทั่วไปของเส้นตรง ถ้ามี

สารละลาย. ตามสูตร (3) เรามี:

สมการปกติของระนาบ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกระนาบ

สมการปกติของระนาบคือสมการที่เขียนในรูป

ถ้าตัวเลข A, B, C และ D ทั้งหมดไม่เป็นศูนย์ จะเรียกสมการทั่วไปของระนาบ สมบูรณ์. มิฉะนั้นจะเรียกสมการทั่วไปของระนาบ ไม่สมบูรณ์.

ให้เราพิจารณาสมการที่ไม่สมบูรณ์ทั่วไปที่เป็นไปได้ทั้งหมดของระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ในปริภูมิสามมิติ

ให้ D = 0 แล้วเราได้สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบของแบบฟอร์ม . ระนาบนี้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ผ่านจุดกำเนิด อันที่จริง เมื่อแทนพิกัดของจุดลงในสมการที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบ เราก็มาถึงตัวตน .

สำหรับ , หรือ , หรือ เรามีสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบ , หรือ , หรือ ตามลำดับ สมการเหล่านี้กำหนดระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด Oxy , Oxz และ Oyz ตามลำดับ (ดูบทความ เงื่อนไขความขนานสำหรับระนาบ) และผ่านจุดต่างๆ และสอดคล้องกัน ที่. ตั้งแต่จุดที่ เป็นของระนาบตามเงื่อนไข ดังนั้นพิกัดของจุดนี้จะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบ นั่นคือ ความเท่ากันจะต้องเป็นจริง จากที่นี่เราพบ ดังนั้นสมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ

เรานำเสนอวิธีที่สองในการแก้ปัญหานี้

เนื่องจากระนาบซึ่งเป็นสมการทั่วไปที่เราต้องเขียนนั้นขนานกับระนาบ Oyz จากนั้นในฐานะเวกเตอร์ปกติเราสามารถใช้เวกเตอร์ปกติของระนาบ Oyz . เวกเตอร์ปกติของระนาบพิกัด Oyz เป็นเวกเตอร์พิกัด ตอนนี้เรารู้เวกเตอร์ปกติของระนาบและจุดของระนาบแล้ว ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการทั่วไปของมันลงไปได้ (เราแก้ปัญหาที่คล้ายกันในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความนี้):
พิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบ ดังนั้นความเท่าเทียมกัน ที่เราพบ ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการทั่วไปของระนาบที่ต้องการได้แล้ว มันมีรูปแบบ .

คำตอบ:

บรรณานุกรม.

• Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น เล่มที่ 1 องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์
• Ilyin V.A. , Poznyak E.G. เรขาคณิตวิเคราะห์.

สามารถระบุได้หลายวิธี (หนึ่งจุดและเวกเตอร์, สองจุดและเวกเตอร์, สามจุด ฯลฯ ) ด้วยเหตุนี้ สมการของระนาบจึงสามารถมีรูปแบบที่แตกต่างกันได้ นอกจากนี้ ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ระนาบสามารถขนาน ตั้งฉาก ตัดกัน ฯลฯ เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในบทความนี้ เราจะเรียนรู้วิธีการเขียนสมการทั่วไปของระนาบและไม่เพียงเท่านั้น

รูปแบบสมการปกติ

สมมติว่ามีช่องว่าง R 3 ที่มีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม XYZ เราตั้งค่าเวกเตอร์ α ซึ่งจะถูกปล่อยจากจุดเริ่มต้น O จนถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ α เราวาดระนาบ P ซึ่งจะตั้งฉากกับมัน

แสดงโดย P จุดใดก็ได้ Q=(x, y, z) เราจะลงชื่อเวกเตอร์รัศมีของจุด Q ด้วยตัวอักษร p ความยาวของเวกเตอร์ α คือ p=IαI และ Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ)

นี่คือเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปด้านข้าง เช่นเดียวกับเวกเตอร์ α α, β และ γ เป็นมุมที่เกิดขึ้นระหว่างเวกเตอร์ Ʋ และทิศทางบวกของแกนอวกาศ x, y, z ตามลำดับ เส้นโครงของจุด QϵП บนเวกเตอร์ Ʋ เป็นค่าคงที่เท่ากับ р: (р,Ʋ) = р(р≥0)

สมการนี้สมเหตุสมผลเมื่อ p=0 สิ่งเดียวคือระนาบ P ในกรณีนี้จะตัดกับจุด O (α=0) ซึ่งเป็นจุดกำเนิด และเวกเตอร์หน่วย Ʋ ที่ปล่อยจากจุด O จะตั้งฉากกับ P โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง ซึ่งหมายความว่า ว่าเวกเตอร์ Ʋ ถูกกำหนดจากความแม่นยำของเครื่องหมาย สมการก่อนหน้าคือสมการของระนาบ P ซึ่งแสดงในรูปเวกเตอร์ แต่ในพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

P ตรงนี้มากกว่าหรือเท่ากับ 0 เราพบสมการของระนาบในอวกาศในรูปแบบปกติ

สมการทั่วไป

ถ้าเราคูณสมการในพิกัดด้วยจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด ซึ่งกำหนดระนาบเดียวกันนั้น มันจะมีลักษณะดังนี้:

ที่นี่ A, B, C เป็นตัวเลขที่แตกต่างจากศูนย์พร้อมกัน สมการนี้เรียกว่าสมการระนาบทั่วไป

สมการระนาบ กรณีพิเศษ

สมการในรูปแบบทั่วไปสามารถแก้ไขได้เมื่อมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ลองพิจารณาบางส่วนของพวกเขา

สมมติว่าสัมประสิทธิ์ A เป็น 0 หมายความว่าระนาบที่กำหนดขนานกับแกนที่กำหนด Ox ในกรณีนี้ รูปแบบของสมการจะเปลี่ยนไป: Ву+Cz+D=0

ในทำนองเดียวกัน รูปแบบของสมการจะเปลี่ยนภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

• ประการแรก ถ้า B = 0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Ax + Cz + D = 0 ซึ่งจะระบุความขนานกับแกน Oy
• ประการที่สอง ถ้า С=0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Ах+Ву+D=0 ซึ่งจะระบุความขนานกับแกน Oz ที่กำหนด
• ประการที่สาม ถ้า D=0 สมการจะมีลักษณะดังนี้ Ax+By+Cz=0 ซึ่งหมายความว่าระนาบตัดกับ O (จุดกำเนิด)
• ประการที่สี่ ถ้า A=B=0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Cz+D=0 ซึ่งจะขนานกับ Oxy
• ประการที่ห้า ถ้า B=C=0 สมการจะกลายเป็น Ax+D=0 ซึ่งหมายความว่าระนาบไปยัง Oyz ขนานกัน
• ประการที่หก ถ้า A=C=0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ Ву+D=0 นั่นคือ สมการจะรายงานความขนานไปยัง Oxz

ประเภทของสมการในส่วน

ในกรณีที่ตัวเลข A, B, C, D ไม่เป็นศูนย์ รูปแบบของสมการ (0) จะเป็นได้ดังนี้

x/a + y/b + z/c = 1,

ซึ่ง a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C

เราได้ผลลัพธ์ เป็นที่น่าสังเกตว่าระนาบนี้จะตัดแกน Ox ที่จุดพิกัด (a,0,0), Oy - (0,b,0) และ Oz - (0,0,c) .

เมื่อคำนึงถึงสมการ x/a + y/b + z/c = 1 การแสดงตำแหน่งของระนาบเทียบกับระบบพิกัดที่กำหนดนั้นเป็นเรื่องง่าย

พิกัดเวกเตอร์ปกติ

เวกเตอร์ปกติ n ของระนาบ P มีพิกัดที่เป็นสัมประสิทธิ์ของสมการทั่วไปของระนาบที่กำหนด นั่นคือ n (A, B, C)

เพื่อกำหนดพิกัดของ n ปกติ ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบสมการทั่วไปของระนาบที่กำหนด

เมื่อใช้สมการในส่วนซึ่งมีรูปแบบ x/a + y/b + z/c = 1 เช่นเดียวกับเมื่อใช้สมการทั่วไป เราสามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ปกติใดๆ ของระนาบที่กำหนดได้: (1 /a + 1/b + 1/ กับ).

เป็นที่น่าสังเกตว่าเวกเตอร์ปกติช่วยแก้ปัญหาต่างๆ งานที่พบบ่อยที่สุดคืองานที่ประกอบด้วยการพิสูจน์การตั้งฉากหรือความขนานของระนาบ ปัญหาในการหามุมระหว่างระนาบหรือมุมระหว่างระนาบกับเส้น

มุมมองสมการของระนาบตามพิกัดของจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ n ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดเรียกว่าปกติ (ปกติ) สำหรับระนาบที่กำหนด

สมมติว่าในพื้นที่พิกัด (ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) Oxyz จะได้รับ:

• จุด Mₒ พร้อมพิกัด (xₒ,yₒ,zₒ);
• เวกเตอร์ศูนย์ n=A*i+B*j+C*k

จำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับระนาบที่จะผ่านจุด Mₒ ที่ตั้งฉากกับ n ปกติ

ในอวกาศ เราเลือกจุดใดก็ได้และเขียนแทนด้วย M (x y, z) ให้เวกเตอร์รัศมีของจุดใดๆ M (x, y, z) เป็น r=x*i+y*j+z*k และเวกเตอร์รัศมีของจุด Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* ฉัน+yₒ *j+zₒ*k จุด M จะเป็นของระนาบที่กำหนดถ้าเวกเตอร์ MₒM ตั้งฉากกับเวกเตอร์ n เราเขียนเงื่อนไขมุมฉากโดยใช้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์:

[MₒM, n] = 0

เนื่องจาก MₒM \u003d r-rₒ สมการเวกเตอร์ของระนาบจะมีลักษณะดังนี้:

สมการนี้สามารถอยู่ในรูปแบบอื่น ในการทำเช่นนี้ จะใช้คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ และด้านซ้ายของสมการจะถูกแปลง = - . หากแสดงเป็น c จะได้สมการต่อไปนี้: - c \u003d 0 หรือ \u003d c ซึ่งแสดงความคงที่ของเส้นโครงบนเวกเตอร์ปกติของเวกเตอร์รัศมีของจุดที่กำหนดซึ่งเป็นของระนาบ

ตอนนี้คุณจะได้รูปแบบพิกัดของการเขียนสมการเวกเตอร์ของระนาบของเรา = 0 เนื่องจาก r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k และ n = A*i+B *j+C*k เรามี:

ปรากฎว่าเรามีสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับ n ปกติ:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0

มุมมองของสมการระนาบตามพิกัดของจุดสองจุดและเวกเตอร์ที่อยู่ใกล้กับระนาบ

เรากำหนดจุดโดยพลการสองจุด M′ (x′,y′,z′) และ M″ (x″,y″,z″) เช่นเดียวกับเวกเตอร์ a (a′,a″,a‴)

ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการสำหรับระนาบที่กำหนดได้ ซึ่งจะผ่านจุด M′ และ M″ ที่มี รวมถึงจุด M ใดๆ ที่มีพิกัด (x, y, z) ขนานกับเวกเตอร์ a ที่กำหนด

ในกรณีนี้ เวกเตอร์ M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) และ M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ต้องเป็นระนาบเดียวกันกับเวกเตอร์ a=(a′,a″,a‴) ซึ่งหมายความว่า (M′M, M″M, a)=0

ดังนั้นสมการของระนาบในอวกาศของเราจะมีลักษณะดังนี้:

ประเภทของสมการระนาบที่ตัดกันสามจุด

สมมติว่าเรามีจุดสามจุด: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ซึ่งไม่ได้อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุดที่กำหนด ทฤษฎีเรขาคณิตอ้างว่าระนาบแบบนี้มีอยู่จริง มีเพียงระนาบเดียวและเลียนแบบไม่ได้ เนื่องจากระนาบนี้ตัดกับจุด (x′, y′, z′) รูปแบบของสมการจะเป็นดังนี้:

ที่นี่ A, B, C แตกต่างจากศูนย์ในเวลาเดียวกัน นอกจากนี้ ระนาบที่กำหนดยังตัดกันอีกสองจุด: (x″,y″,z″) และ (x‴,y‴,z‴) ในการนี้จะต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

ตอนนี้เราสามารถสร้างระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันด้วยสิ่งแปลกปลอม u, v, w:

ในกรณีของเรา x, y หรือ z เป็นจุดใดก็ได้ที่เป็นไปตามสมการ (1) คำนึงถึงสมการ (1) และระบบสมการ (2) และ (3) ระบบสมการที่ระบุในรูปด้านบนเป็นไปตามเวกเตอร์ N (A, B, C) ซึ่งไม่สำคัญ นั่นคือสาเหตุที่ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้มีค่าเท่ากับศูนย์

สมการ (1) ที่เราได้รับคือสมการของระนาบ มันผ่าน 3 จุดพอดีและง่ายต่อการตรวจสอบ ในการทำเช่นนี้ เราต้องขยายดีเทอร์มิแนนต์เหนือองค์ประกอบในแถวแรก ตามมาจากคุณสมบัติที่มีอยู่ของดีเทอร์มีแนนต์ที่ระนาบของเราตัดกันสามจุดที่ให้ไว้ในตอนแรกพร้อมกัน (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . นั่นคือเราได้แก้ไขงานที่ตั้งไว้ก่อนหน้าเราแล้ว

มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ

มุมไดฮีดรัลเป็นรูปทรงเรขาคณิตเชิงพื้นที่ที่เกิดจากระนาบครึ่งวงกลมสองระนาบที่ออกมาจากเส้นตรงเส้นเดียว นี่คือส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ถูกจำกัดโดยครึ่งระนาบเหล่านี้

สมมติว่าเรามีระนาบสองระนาบที่มีสมการต่อไปนี้:

เรารู้ว่าเวกเตอร์ N=(A,B,C) และ N¹=(A¹,B¹,C¹) ตั้งฉากตามระนาบที่กำหนด ในเรื่องนี้ มุม φ ระหว่างเวกเตอร์ N และ N¹ เท่ากับมุม (ไดฮีดรัล) ซึ่งอยู่ระหว่างระนาบเหล่านี้ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีรูปแบบ:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

เพราะ

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

ก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณาว่า 0≤φ≤π

ในความเป็นจริง ระนาบสองระนาบที่ตัดกันทำให้เกิดมุม (ไดฮีดรัล) สองมุม: φ 1 และ φ 2 ผลรวมเท่ากับ π (φ 1 + φ 2 = π) สำหรับโคไซน์ ค่าสัมบูรณ์ของพวกมันเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกัน นั่นคือ cos φ 1 =-cos φ 2 ถ้าในสมการ (0) เราแทนที่ A, B และ C ด้วยตัวเลข -A, -B และ -C ตามลำดับ สมการที่เราได้จะกำหนดระนาบเดียวกัน นั่นคือมุมเดียว φ ในสมการ cos φ= NN 1 /| น||น 1 | จะถูกแทนที่ด้วย π-φ

สมการระนาบตั้งฉาก

ระนาบเรียกว่าตั้งฉากหากมุมระหว่างพวกมันคือ 90 องศา เราสามารถหาสมการของระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบอื่นโดยใช้เนื้อหาที่ร่างไว้ด้านบน สมมติว่าเรามีระนาบสองระนาบ: Ax+By+Cz+D=0 และ A¹x+B¹y+C¹z+D=0 เราสามารถระบุได้ว่าพวกมันจะตั้งฉากหาก cosφ=0 ซึ่งหมายความว่า NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0

สมการระนาบขนาน

เส้นขนานคือระนาบสองระนาบที่ไม่มีจุดร่วม

เงื่อนไข (สมการของพวกมันเหมือนกับในย่อหน้าก่อนหน้า) คือเวกเตอร์ N และ N¹ ซึ่งตั้งฉากกับพวกมันจะเป็นแนวร่วม ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตามเงื่อนไขสัดส่วนต่อไปนี้:

A/A¹=B/B¹=C/C¹

หากขยายเงื่อนไขสัดส่วน - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹

สิ่งนี้บ่งชี้ว่าระนาบเหล่านี้ตรงกัน ซึ่งหมายความว่าสมการ Ax+By+Cz+D=0 และ A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 อธิบายระนาบเดียว

ระยะทางไปยังระนาบจากจุด

สมมติว่าเรามีระนาบ P ซึ่งกำหนดโดยสมการ (0) จำเป็นต้องค้นหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ ในการทำเช่นนี้คุณต้องนำสมการของระนาบ P มาในรูปแบบปกติ:

(ρ,v)=p (p≥0)

ในกรณีนี้ ρ(x,y,z) คือเวกเตอร์รัศมีของจุด Q ที่อยู่บน P, p คือความยาวของเส้นตั้งฉากกับ P ที่ปล่อยจากจุดศูนย์, v คือเวกเตอร์หน่วยที่อยู่ใน ทิศทาง

ความแตกต่าง ρ-ρº ของเวกเตอร์รัศมีของบางจุด Q \u003d (x, y, z) ที่เป็นของ P เช่นเดียวกับเวกเตอร์รัศมีของจุดที่กำหนด Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) คือ เวกเตอร์ ค่าสัมบูรณ์ของการฉายภาพบน v เท่ากับระยะทาง d ซึ่งต้องพบตั้งแต่ Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ถึง P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, และ

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

ปรากฎว่า

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

ดังนั้นเราจะพบค่าสัมบูรณ์ของนิพจน์ผลลัพธ์ นั่นคือ ค่า d ที่ต้องการ

เมื่อใช้ภาษาของพารามิเตอร์ เราจะได้สิ่งที่ชัดเจน:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²)

ถ้าจุดที่กำหนด Q 0 อยู่อีกด้านหนึ่งของระนาบ P เช่นเดียวกับจุดกำเนิด ดังนั้นระหว่างเวกเตอร์ ρ-ρ 0 และ v จึงเป็น:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0

ในกรณีที่จุด Q 0 พร้อมกับจุดกำเนิดอยู่ที่ด้านเดียวกันของ P ดังนั้นมุมที่สร้างขึ้นจะเป็นมุมแหลม นั่นคือ:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

เป็นผลให้ปรากฎว่าในกรณีแรก (ρ 0 ,v)> р ในวินาที (ρ 0 ,v)<р.

ระนาบสัมผัสและสมการของมัน

ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่จุดสัมผัส Mº คือระนาบที่มีเส้นสัมผัสที่เป็นไปได้ทั้งหมดกับเส้นโค้งที่ลากผ่านจุดนี้บนพื้นผิว

ด้วยสมการพื้นผิวรูปแบบนี้ F (x, y, z) \u003d 0 สมการของระนาบสัมผัสที่จุดสัมผัส Mº (xº, yº, zº) จะมีลักษณะดังนี้:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0

หากคุณระบุพื้นผิวในรูปแบบที่ชัดเจน z=f (x, y) จากนั้นสมการจะอธิบายระนาบสัมผัสกัน:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº)

การตัดกันของระนาบสองระนาบ

ในระบบพิกัด (สี่เหลี่ยม) Oxyz ตั้งอยู่จะได้รับระนาบสองระนาบ П' และ П″ ซึ่งตัดกันและไม่ตรงกัน เนื่องจากระนาบใด ๆ ที่อยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป เราจะถือว่า P′ และ P″ ถูกกำหนดโดยสมการ A′x+B′y+C′z+D′=0 และ A″x +B″y+ С″z+D″=0 ในกรณีนี้ เรามีระนาบปกติ n′ (A′, B′, C′) ของระนาบ P′ และระนาบปกติ n″ (A″, B″, C″) ของระนาบ P″ เนื่องจากระนาบของเราไม่ขนานกันและไม่ตรงกัน เวกเตอร์เหล่านี้จึงไม่เป็นแนวร่วม เมื่อใช้ภาษาคณิตศาสตร์ เราสามารถเขียนเงื่อนไขนี้ได้ดังนี้: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR ให้เส้นตรงที่ตัดกันของ P′ และ P″ เขียนแทนด้วยตัวอักษร a ในกรณีนี้ a = P′ ∩ P″

a คือเส้นตรงที่ประกอบด้วยเซตของจุดทั้งหมดของระนาบ (ทั่วไป) П′ และ П″ ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดใด ๆ ที่เป็นของเส้น a ต้องเป็นไปตามสมการ A′x+B′y+C′z+D′=0 และ A″x+B″y+C″z+D″= 0. ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดจะเป็นคำตอบเฉพาะของระบบสมการต่อไปนี้:

เป็นผลให้ปรากฎว่าคำตอบ (ทั่วไป) ของระบบสมการนี้จะกำหนดพิกัดของแต่ละจุดของเส้นตรงซึ่งจะทำหน้าที่เป็นจุดตัดของ П′ และ П″ และกำหนดเส้นตรง เส้น a ในระบบพิกัด Oxyz (สี่เหลี่ยม) ในอวกาศ

เพื่อให้ระนาบเดียวถูกวาดผ่านจุดสามจุดในอวกาศ จำเป็นที่จุดเหล่านี้ต้องไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

พิจารณาจุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป

เพื่อให้จุดโดยพลการ M(x, y, z) อยู่ในระนาบเดียวกับจุด M 1 , M 2 , M 3 , เวกเตอร์ต้องเป็นระนาบร่วม

(
) = 0

ดังนั้น,

สมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุด:

สมการของระนาบที่เกี่ยวกับสองจุดและเวกเตอร์ที่อยู่ใกล้กับระนาบ

ให้จุด M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) และเวกเตอร์
.

ให้เราเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด M 1 และ M 2 และจุดใดก็ได้ M (x, y, z) ขนานกับเวกเตอร์ .

เวกเตอร์
และเวกเตอร์
ต้องเป็นระนาบเดียวกันนั่นคือ

(
) = 0

สมการระนาบ:

สมการของระนาบเทียบกับหนึ่งจุดและสองเวกเตอร์

ระนาบเชิงเส้น

ให้เวกเตอร์สองตัวได้รับ
และ
, ระนาบเชิงเส้น จากนั้นสำหรับจุดโดยพลการ M(x, y, z) ที่เป็นของระนาบ, เวกเตอร์
ต้องเป็นระนาบเดียวกัน

สมการระนาบ:

สมการระนาบตามจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก .

ทฤษฎีบท. หากกำหนดจุด M ในอวกาศ 0 (X 0 , ย 0 , ซี 0 ) แล้วสมการของระนาบที่ผ่านจุด M 0 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งฉาก (ก, ข, ค) ดูเหมือน:

ก(x – x 0 ) + ข(ย – ย 0 ) + ค(ซี – ซี 0 ) = 0.

การพิสูจน์. สำหรับจุดโดยพลการ M(x, y, z) ที่เป็นของระนาบ เราสร้างเวกเตอร์ . เพราะ เวกเตอร์ - เวกเตอร์ปกตินั้นตั้งฉากกับระนาบและตั้งฉากกับเวกเตอร์
. จากนั้นผลิตภัณฑ์สเกลาร์

= 0

ดังนั้นเราจึงได้สมการของระนาบ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมการของระนาบในส่วน

หากอยู่ในสมการทั่วไป Ax + Wu + Cz + D \u003d 0 ให้หารทั้งสองส่วนด้วย (-D)

,

เปลี่ยน
เราได้สมการของระนาบในส่วน:

ตัวเลข a, b, c คือจุดตัดของระนาบตามลำดับด้วยแกน x, y, z

สมการระนาบในรูปแบบเวกเตอร์

ที่ไหน

- เวกเตอร์รัศมีของจุดปัจจุบัน M(x, y, z),

เวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางตั้งฉากกับระนาบจากจุดกำเนิด

,  และ  คือมุมที่เกิดจากเวกเตอร์นี้มีแกน x, y, z

p คือความยาวของเส้นตั้งฉากนี้

ในพิกัด สมการนี้มีรูปแบบ:

xcos + ycos + zcos - p = 0

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

ระยะทางจากจุดโดยพลการ M 0 (x 0, y 0, z 0) ไปยังระนาบ Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 คือ:

ตัวอย่าง.ค้นหาสมการของระนาบโดยทราบว่าจุด P (4; -3; 12) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดกำเนิดถึงระนาบนี้

ดังนั้น A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13 ใช้สูตร:

ก(x – x 0 ) + B(ย – ย 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ตัวอย่าง.ค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดสองจุด P(2; 0; -1) และ

Q(1; -1; 3) ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y - z + 5 = 0

เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ 3x + 2y - z + 5 = 0
ขนานกับระนาบที่ต้องการ

เราได้รับ:

ตัวอย่าง.ค้นหาสมการของระนาบที่ผ่านจุด A(2, -1, 4) และ

В(3, 2, -1) ตั้งฉากกับระนาบ เอ็กซ์ + ที่ + 2ซี – 3 = 0.

สมการระนาบที่ต้องการมีรูปแบบ: A x+ บี ย+ ค ซี+ D = 0 เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้ (ก, ข, ค). เวกเตอร์
(1, 3, -5) เป็นของเครื่องบิน ระนาบที่เราตั้งฉากกับระนาบที่ต้องการมีเวกเตอร์ปกติ (1, 1, 2). เพราะ จุด A และ B เป็นของระนาบทั้งสอง และระนาบนั้นตั้งฉากกัน

เวกเตอร์ตั้งฉาก (11, -7, -2). เพราะ จุด A เป็นของระนาบที่ต้องการ ดังนั้นพิกัดจะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบนี้ เช่น 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21

โดยรวมแล้วเราได้สมการของระนาบ: 11 x - 7ย – 2ซี – 21 = 0.

ตัวอย่าง.ค้นหาสมการของระนาบโดยรู้ว่าจุด P(4, -3, 12) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดกำเนิดถึงระนาบนี้

การหาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉาก
= (4, -3, 12). สมการที่ต้องการของระนาบมีรูปแบบ: 4 x – 3ย + 12ซี+ D = 0 ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ D ให้แทนพิกัดของจุด R ลงในสมการ:

16 + 9 + 144 + D = 0

โดยรวมแล้วเราได้สมการที่ต้องการ: 4 x – 3ย + 12ซี – 169 = 0

ตัวอย่าง.กำหนดพิกัดของจุดพีระมิด A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

ค้นหาความยาวของขอบ A 1 A 2 .

ค้นหามุมระหว่างขอบ A 1 A 2 และ A 1 A 4

ค้นหามุมระหว่างขอบ A 1 A 4 กับใบหน้า A 1 A 2 A 3 .

ขั้นแรก หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับหน้า A 1 A 2 A 3 เป็นผลคูณของเวกเตอร์
และ
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

หามุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์
.

-4 – 4 = -8.

มุมที่ต้องการ  ระหว่างเวกเตอร์กับระนาบจะเท่ากับ  = 90 0 - 

ค้นหาพื้นที่ใบหน้า A 1 A 2 A 3 .

หาปริมาตรของพีระมิด.

ค้นหาสมการของระนาบ А 1 А 2 А 3 .

เราใช้สูตรสำหรับสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุด

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

เมื่อใช้เวอร์ชั่น PC ของ “ หลักสูตรคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น” คุณสามารถเรียกใช้โปรแกรมที่จะแก้ปัญหาตัวอย่างข้างต้นสำหรับพิกัดใดๆ ของจุดพีระมิด

ดับเบิลคลิกที่ไอคอนเพื่อเปิดโปรแกรม:

ในหน้าต่างโปรแกรมที่เปิดขึ้น ให้ป้อนพิกัดของจุดพีระมิดแล้วกด Enter ดังนั้นจึงสามารถรับคะแนนการตัดสินใจทั้งหมดได้ทีละรายการ

หมายเหตุ: ในการรันโปรแกรม คุณต้องติดตั้ง Maple ( Waterloo Maple Inc.) ไว้ในคอมพิวเตอร์ของคุณ เวอร์ชันใดก็ได้ที่ขึ้นต้นด้วย MapleV Release 4

สมการระนาบ จะเขียนสมการสำหรับระนาบได้อย่างไร?
การจัดเรียงเครื่องบินร่วมกัน งาน

เรขาคณิตเชิงพื้นที่ไม่ซับซ้อนกว่าเรขาคณิต "แบน" มากนัก และเที่ยวบินของเราในอวกาศจะเริ่มต้นด้วยบทความนี้ เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนั้น ต้องมีความเข้าใจเป็นอย่างดี เวกเตอร์นอกจากนี้ เป็นที่พึงปรารถนาที่จะทำความคุ้นเคยกับรูปทรงเรขาคณิตของระนาบ - จะมีความคล้ายคลึงกันมากมาย มีการเปรียบเทียบมากมาย ดังนั้นข้อมูลจะถูกย่อยได้ดีขึ้นมาก ในชุดบทเรียนของฉัน โลก 2 มิติจะเปิดขึ้นพร้อมกับบทความ สมการเส้นตรงบนระนาบ. แต่ตอนนี้แบทแมนได้ก้าวออกจากทีวีจอแบนและกำลังเปิดตัวจาก Baikonur Cosmodrome

เริ่มจากภาพวาดและสัญลักษณ์กันก่อน แผนผังสามารถวาดระนาบเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งให้ความรู้สึกถึงพื้นที่:

ระนาบนั้นไม่มีที่สิ้นสุด แต่เรามีโอกาสที่จะพรรณนาเพียงบางส่วนเท่านั้น ในทางปฏิบัติ นอกจากสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว ยังมีการวาดรูปวงรีหรือเมฆด้วย ด้วยเหตุผลทางเทคนิค มันสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะพรรณนาเครื่องบินด้วยวิธีนี้และในตำแหน่งนี้ ระนาบจริงซึ่งเราจะพิจารณาในตัวอย่างที่ใช้งานได้จริงสามารถจัดเรียงได้ตามที่คุณต้องการ - ใช้รูปวาดในมือของคุณแล้วบิดในอวกาศโดยให้ระนาบมีความลาดเอียงและมุมใดก็ได้

สัญกรณ์: เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดระนาบด้วยตัวอักษรกรีกตัวเล็ก ๆ เพื่อไม่ให้สับสน ตรงไปบนเครื่องบินหรือกับ ตรงไปในอวกาศ. ฉันคุ้นเคยกับการใช้จดหมาย ในภาพวาดมันเป็นตัวอักษร "sigma" ไม่ใช่รูเลย แม้ว่าจะเป็นระนาบที่มีช่องโหว่ แต่แน่นอนว่ามันตลกมาก

ในบางกรณี การใช้ตัวอักษรกรีกตัวเดียวกันกับตัวห้อยเพื่อกำหนดระนาบจะสะดวก เช่น

เห็นได้ชัดว่าระนาบถูกกำหนดโดยจุดที่แตกต่างกันสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นการกำหนดเครื่องบินสามตัวอักษรจึงเป็นที่นิยมมาก - ตามจุดที่เป็นของพวกเขาเป็นต้น จดหมายมักจะอยู่ในวงเล็บ: เพื่อไม่ให้ระนาบสับสนกับรูปทรงเรขาคณิตอื่น

สำหรับผู้อ่านที่มีประสบการณ์ฉันจะให้ เมนูทางลัด:

• จะเขียนสมการสำหรับระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์สองตัวได้อย่างไร
• จะเขียนสมการสำหรับระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

และเราจะไม่รอนาน:

สมการทั่วไปของเครื่องบิน

สมการทั่วไปของระนาบมีรูปแบบ โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

การคำนวณเชิงทฤษฎีและปัญหาเชิงปฏิบัติจำนวนหนึ่งนั้นใช้ได้ทั้งกับพื้นฐานออร์โธนอร์มอลปกติและพื้นฐานที่ใกล้เคียงกันของปริภูมิ (ถ้าน้ำมันเป็นน้ำมัน ให้กลับไปที่บทเรียน การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์). เพื่อความง่าย เราจะถือว่าเหตุการณ์ทั้งหมดเกิดขึ้นบนพื้นฐานออร์โธนอร์มัลและระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน

และตอนนี้เรามาฝึกจินตนาการเชิงพื้นที่กัน ไม่เป็นไรถ้าคุณมีมันไม่ดี ตอนนี้เราจะพัฒนามันเล็กน้อย แม้แต่การเล่นโดยใช้ประสาทก็ต้องฝึกฝน

ในกรณีทั่วไปที่สุด เมื่อตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์ ระนาบจะตัดแกนพิกัดทั้งสาม ตัวอย่างเช่น:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเครื่องบินเคลื่อนที่ต่อไปอย่างไม่มีกำหนดในทุกทิศทาง และเรามีโอกาสที่จะพรรณนาเพียงบางส่วนเท่านั้น

พิจารณาสมการระนาบที่ง่ายที่สุด:

จะเข้าใจสมการนี้ได้อย่างไร? ลองคิดดู: “Z” เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ “X” และ “Y” เท่ากับศูนย์ นี่คือสมการของระนาบพิกัด "ดั้งเดิม" อันที่จริงสมการสามารถเขียนใหม่ได้อย่างเป็นทางการดังนี้: จากที่เห็นได้ชัดเจนว่าเราไม่สนใจค่าใดที่ "x" และ "y" ใช้เป็นสิ่งสำคัญที่ "z" มีค่าเท่ากับศูนย์

ในทำนองเดียวกัน:
คือสมการของระนาบพิกัด ;
คือสมการของระนาบพิกัด

มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยพิจารณาระนาบ (ที่นี่และต่อไปในย่อหน้าเราคิดว่าค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์) ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ: . จะเข้าใจได้อย่างไร? "X" คือ เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "y" และ "z" จะเท่ากับจำนวนหนึ่ง ระนาบนี้ขนานกับระนาบพิกัด ตัวอย่างเช่น ระนาบขนานกับระนาบและผ่านจุดหนึ่ง

ในทำนองเดียวกัน:
- สมการของระนาบซึ่งขนานกับระนาบพิกัด
- สมการของระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด

เพิ่มสมาชิก: . สมการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ นั่นคือ "Z" สามารถเป็นอะไรก็ได้ มันหมายความว่าอะไร? "X" และ "Y" เชื่อมต่อกันด้วยอัตราส่วนที่วาดเส้นตรงในระนาบ (คุณจะจำได้ สมการเส้นตรงในระนาบ?). เนื่องจาก Z สามารถเป็นอะไรก็ได้ บรรทัดนี้จึง "จำลอง" ที่ระดับความสูงใดก็ได้ ดังนั้น สมการจึงกำหนดระนาบที่ขนานกับแกนพิกัด

ในทำนองเดียวกัน:
- สมการของระนาบซึ่งขนานกับแกนพิกัด
- สมการของระนาบซึ่งขนานกับแกนพิกัด

หากเงื่อนไขอิสระเป็นศูนย์ ระนาบจะเคลื่อนผ่านแกนที่เกี่ยวข้องโดยตรง ตัวอย่างเช่น "สัดส่วนโดยตรง" แบบคลาสสิก: วาดเส้นตรงในระนาบแล้วคูณขึ้นและลงในใจ (เนื่องจาก "z" เป็นอะไรก็ได้) สรุป: ระนาบที่กำหนดโดยสมการผ่านแกนพิกัด

เราสรุปการทบทวน: สมการของระนาบ ผ่านจุดกำเนิด ตรงนี้ค่อนข้างชัดเจนว่าประเด็นเป็นไปตามสมการที่กำหนด

และสุดท้าย กรณีที่แสดงในภาพวาด: - ระนาบเป็นเพื่อนกับแกนพิกัดทั้งหมด ในขณะที่มัน "ตัด" สามเหลี่ยมที่สามารถอยู่ในแปดเหลี่ยมใดๆ เสมอ

อสมการเชิงเส้นในอวกาศ

การจะเข้าใจข้อมูลจำเป็นต้องศึกษาให้ดีเสียก่อน อสมการเชิงเส้นในระนาบเพราะหลายๆอย่างจะคล้ายๆกัน ย่อหน้านี้จะเป็นภาพรวมโดยย่อพร้อมตัวอย่างบางส่วน เนื่องจากเนื้อหาค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ

ถ้าสมการกำหนดระนาบ แสดงว่าอสมการ
ถาม ช่องว่างครึ่ง. หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด (สองรายการสุดท้ายในรายการ) ดังนั้นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันนอกเหนือจากครึ่งพื้นที่จะรวมถึงระนาบด้วย

ตัวอย่างที่ 5

หาหน่วยเวกเตอร์ปกติของระนาบ .

สารละลาย: เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่ง ลองแทนเวกเตอร์นี้ด้วย . ค่อนข้างชัดเจนว่าเวกเตอร์นั้นมีความสอดคล้องกัน:

ก่อนอื่น เราลบเวกเตอร์ปกติออกจากสมการของระนาบ: .

จะหาเวกเตอร์หน่วยได้อย่างไร? คุณต้องหาเวกเตอร์หน่วย ทั้งหมดพิกัดเวกเตอร์หารด้วยความยาวเวกเตอร์.

ลองเขียนเวกเตอร์ตั้งฉากใหม่ในรูปแบบแล้วหาความยาวของมัน:

ตามข้างต้น:

คำตอบ:

ตรวจสอบ: ซึ่งจำเป็นต้องตรวจสอบ

ผู้อ่านที่ศึกษาย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียนอย่างรอบคอบอาจสังเกตเห็นว่า พิกัดของเวกเตอร์หน่วยตรงกับทิศทางโคไซน์ของเวกเตอร์:

มาพูดนอกเรื่องจากปัญหาการถอดประกอบ: เมื่อคุณได้รับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตามอำเภอใจและตามเงื่อนไข จำเป็นต้องค้นหาโคไซน์ทิศทางของมัน (ดูงานสุดท้ายของบทเรียน ดอทโปรดัคของเวกเตอร์) ที่จริงแล้ว คุณยังหาเวกเตอร์หน่วยที่เรียงตัวกันกับเวกเตอร์ที่กำหนดได้ด้วย ในความเป็นจริงสองหน้าที่ในขวดเดียว

ความจำเป็นในการหาเวกเตอร์ปกติหนึ่งหน่วยเกิดขึ้นในปัญหาบางอย่างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

เราพบการตกปลาของเวกเตอร์ปกติแล้ว ตอนนี้เราจะตอบคำถามตรงกันข้าม:

จะเขียนสมการสำหรับระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร?

การสร้างเวกเตอร์ปกติและจุดที่เข้มงวดนี้เป็นที่รู้จักกันดีโดยเป้าหมายลูกดอก โปรดยืดมือของคุณไปข้างหน้าและเลือกจุดที่ต้องการในอวกาศ เช่น แมวตัวเล็กในไซด์บอร์ด เห็นได้ชัดว่า ณ จุดนี้ คุณสามารถวาดระนาบเดียวที่ตั้งฉากกับมือของคุณได้

สมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์แสดงโดยสูตร: