Bir fonksiyonun periyodikliği nasıl belirlenir. Periyodik fonksiyonlar Zamanın periyodik fonksiyonu

Amaç: öğrencilerin "Fonksiyonların periyodikliği" konusundaki bilgilerini genelleştirmek ve sistematik hale getirmek; periyodik bir fonksiyonun özelliklerini uygulama, bir fonksiyonun en küçük pozitif periyodunu bulma, periyodik fonksiyonları çizme becerilerini oluşturmak; matematik çalışmasına ilgiyi teşvik etmek; gözlem, doğruluk geliştirmek.

Ekipman: bilgisayar, multimedya projektörü, görev kartları, slaytlar, saatler, süs masaları, halk sanatı öğeleri

“Matematik, insanların doğayı ve kendilerini kontrol etmek için kullandıkları şeydir”
BİR. Kolmogorov

dersler sırasında

I. Organizasyon aşaması.

Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol etmek. Konunun sunumu ve dersin hedefleri.

II. Ödev kontrolü.

Ödevleri örneklere göre kontrol ediyoruz, en zor noktaları tartışıyoruz.

III. Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi.

1. Sözlü ön çalışma.

Teori soruları.

1) Fonksiyonun periyodunun tanımını oluşturun
2) y=sin(x), y=cos(x) fonksiyonlarının en küçük pozitif periyodu nedir?
3). y=tg(x), y=ctg(x) fonksiyonlarının en küçük pozitif periyodu nedir?
4) İlişkilerin doğruluğunu kanıtlamak için daireyi kullanın:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Periyodik bir fonksiyon nasıl çizilir?

sözlü egzersizler

1) Aşağıdaki bağıntıları kanıtlayın

A) günah(740º) = günah(20º)
B) çünkü(54º ) = çünkü(-1026º)
C) sin(-1000º) = sin(80º )

2. 540º'lik açının y= cos(2x) fonksiyonunun periyotlarından biri olduğunu kanıtlayın.

3. 360º'lik açının y=tg(x) fonksiyonunun periyotlarından biri olduğunu kanıtlayın.

4. Bu ifadeleri, içerdikleri açılar mutlak değerde 90º'yi geçmeyecek şekilde dönüştürün.

A) tg375º
B) ctg530º
C) sin1268º
D) cos(-7363º)

5. DÖNEM, DÖNEM kelimeleri ile nerede tanıştınız?

Öğrencilerin cevapları: Müzikte bir dönem, az çok tam bir müzikal düşüncenin ifade edildiği bir yapıdır. Jeolojik dönem, bir dönemin parçasıdır ve 35 ila 90 milyon yıllık dönemlere bölünmüştür.

Radyoaktif bir maddenin yarı ömrü. Periyodik kesir. Süreli yayınlar, kesin olarak belirlenmiş tarihlerde çıkan basılı yayınlardır. Mendeleev'in periyodik sistemi.

6. Şekiller, periyodik fonksiyonların grafiklerinin bölümlerini göstermektedir. Fonksiyonun periyodunu tanımlayın. Fonksiyonun periyodunu belirleyin.

Cevap: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Tekrar eden elemanların inşası ile hayatınızın neresinde tanıştınız?

Öğrenciler cevap verir: Süsleme unsurları, halk sanatı.

IV. Kolektif problem çözme.

(Slaytlarda problem çözme.)

Periyodiklik için bir fonksiyonu incelemenin yollarından birini ele alalım.

Bu yöntem, belirli bir periyodun en küçük olduğunu kanıtlamayla ilgili zorlukları atlar ve ayrıca periyodik fonksiyonlar üzerindeki aritmetik işlemler ve karmaşık bir fonksiyonun periyodikliği hakkındaki sorulara değinmeye gerek yoktur. Akıl yürütme yalnızca periyodik bir fonksiyonun tanımına ve şu gerçeğe dayanmaktadır: T fonksiyonun periyodu ise, o zaman nT(n? 0) periyodudur.

Problem 1. f(x)=1+3(x+q>5) fonksiyonunun en küçük pozitif periyodunu bulun

Çözüm: Bu fonksiyonun T periyodu olduğunu varsayalım. O zaman tüm x ∈ D(f) için f(x+T)=f(x), yani

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

x=-0.25 olsun

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Ele alınan fonksiyonun tüm periyotlarının (eğer varsa) tamsayılar arasında olduğunu elde ettik. Bu sayılar arasından en küçük pozitif sayıyı seçin. Bu 1 . Gerçekten bir dönem olup olmadığını kontrol edelim 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Herhangi bir T için (T+1)=(T) olduğundan, f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), yani 1 - dönem f. 1, tüm pozitif tam sayıların en küçüğü olduğundan, o zaman T=1.

Görev 2. f(x)=cos 2 (x) fonksiyonunun periyodik olduğunu gösteriniz ve ana periyodunu bulunuz.

Görev 3. İşlevin ana dönemini bulun

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Fonksiyonun T periyodunu varsayın, ardından herhangi bir X oran

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

x=0 ise o zaman

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Eğer x=-T ise, o zaman

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

Ekleyerek şunu elde ederiz:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Tüm sayılardan periyot için "şüpheli" en küçük pozitif olanı seçelim ve bunun f için periyot olup olmadığını kontrol edelim. Bu numara

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Dolayısıyla, f fonksiyonunun ana periyodudur.

Görev 4. f(x)=sin(x) fonksiyonunun periyodik olup olmadığını kontrol edin

f fonksiyonunun periyodu T olsun. O zaman herhangi bir x için

sin|x+T|=sin|x|

x=0 ise, sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Sanmak. Bazı n'ler için π n sayısı bir periyottur.

dikkate alınan fonksiyon π n>0. O zaman sin|π n+x|=sin|x|

Bu, n'nin aynı anda hem çift hem de tek olması gerektiği anlamına gelir ki bu imkansızdır. Bu nedenle, bu fonksiyon periyodik değildir.

Görev 5. Fonksiyonun periyodik olup olmadığını kontrol edin

f(x)=

T periyodu f olsun, o zaman

, dolayısıyla sinT=0, T=π n, n € Z. Bazı n'ler için π n sayısının gerçekten de verilen fonksiyonun periyodu olduğunu varsayalım. O zaman 2π n sayısı da bir nokta olacaktır.

Paylar eşit olduğu için paydaları da eşittir.

Dolayısıyla f fonksiyonu periyodik değildir.

Grup çalışması.

Grup 1 için görevler.

2. grup için görevler.

f fonksiyonunun periyodik olup olmadığını kontrol edin ve ana periyodunu (varsa) bulun.

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Grup 3 için görevler.

Çalışma sonunda gruplar çözümlerini sunarlar.

VI. Dersi özetlemek.

Refleks.

Öğretmen öğrencilere çizimler içeren kartlar verir ve ilk çizimin bir kısmını, onlara göründüğü gibi, periyodiklik fonksiyonunu inceleme yöntemlerinde ve ikinci çizimin bir kısmında ustalaştıklarına göre boyamayı teklif eder. , dersteki çalışmalara katkıları doğrultusunda.

VII. Ev ödevi

1). f fonksiyonunun periyodik olup olmadığını kontrol edin ve ana periyodunu bulun (varsa)

B). f(x)=x 2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). y=f(x) fonksiyonunun x € [-2; için T=2 ve f(x)=x 2 +2x periyodu vardır; 0]. -2f(-3)-4f(3,5) ifadesinin değerini bulun

Edebiyat/

Mordkoviç A.G. Derinlemesine çalışma ile cebir ve analizin başlangıcı.
Matematik. Sınava hazırlık. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Şeremetyeva T.G. , Tarasova E.A. 10-11. sınıflar için cebir ve başlangıç analizi.

Sunuların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesabı) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com

Slayt altyazıları:

Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (profil seviyesi) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Öğretmen Volkova S.E.

Tanım 1 Herhangi bir x ∈ X için f (x - T) = f (x) = f (x + T) eşitliği doğruysa, bir y = f(x), x ∈ X fonksiyonunun T periyoduna sahip olduğu söylenir. T periyoduna sahip bir fonksiyon x noktasında tanımlanmışsa, x + T, x - T noktalarında da tanımlanmıştır. Herhangi bir fonksiyonun periyodu T = 0'da sıfıra eşittir, f (x - 0) elde ederiz ) = f (x) = f ( x + 0) .

Tanım 2 Sıfır olmayan bir T periyoduna sahip bir fonksiyona periyodik denir. Bir y = f(x), x ∈ X fonksiyonunun bir T periyodu varsa, o zaman T'nin herhangi bir katı (yani, kT, k ∈ Z formunun bir sayısı) da onun periyodudur.

Kanıt 2T fonksiyonun periyodu olsun. O zaman f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Benzer şekilde, f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T), vb. ispatlanır. Yani f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Periyodik bir fonksiyonun pozitif periyotları arasındaki en küçük periyoda bu fonksiyonun ana periyodu denir.

Periyodik bir fonksiyonun grafiğinin özellikleri T, y \u003d f (x) fonksiyonunun ana periyodu ise, o zaman yeterlidir: T uzunluğundaki aralıklardan birinde grafiğin bir dalını oluşturmak, paralel yapmak bu dalın x ekseni boyunca ±T, ±2T, ±3T, vb. ile ötelenmesi. Genellikle noktalarda uçları olan bir boşluk seçin

Periyodik fonksiyonların özellikleri 1. Eğer f(x), T periyoduna sahip periyodik bir fonksiyonsa, k > 0 olmak üzere g(x) = A f(kx + b) fonksiyonu da T 1 = T/ periyodu ile periyodiktir. k. 2. f 1(x) ve f 2(x) fonksiyonu gerçek eksenin tamamında tanımlansın ve T 1 > 0 ve T 2 >0 periyotlarıyla periyodik olsun. O halde, T 1 /T 2 ∈ Q için f(x) = f(x) + f 2(x) fonksiyonu, T periyodu T 1 ve T 2 sayılarının en küçük ortak katına eşit olan periyodik bir fonksiyondur.

Örnekler 1. Periyodik fonksiyon y = f(x) tüm gerçek sayılar için tanımlanmıştır. Periyodu 3 ve f(0) =4'tür. 2f(3) - f(-3) ifadesinin değerini bulun. Çözüm. T \u003d 3, f (3) \u003d f (0 + 3) \u003d 4, f (-3) \u003d f (0–3) \u003d 4, f (0) \u003d 4. Elde edilen değerlerin değiştirilmesi 2f (3) - f(-3) ifadesinde 8 - 4 =4 elde ederiz. Cevap: 4.

Örnekler 2. Periyodik fonksiyon y = f(x) tüm gerçek sayılar için tanımlanmıştır. Periyodu 5 ve f(-1) = 1'dir. 2f(3) - 5f(9) = 9 ise f(-12)'yi bulun. Çözüm T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Cevap: 7.

Referanslar A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Cebir ve analizin başlangıcı (profil seviyesi), 10. Sınıf A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Cebir ve analizin başlangıcı (profil seviyesi), 10. Sınıf. Öğretmen için metodolojik rehber

Konuyla ilgili: metodolojik gelişmeler, sunumlar ve notlar

Periyodik yasa ve periyodik sistem D.I. Mendeleev.

Bu konuyla ilgili genel bir ders, pedagojik atölye teknolojisinin unsurları kullanılarak bir oyun şeklinde gerçekleştirilir....

Ders dışı etkinlik "D.I. Mendeleev'in periyodik yasası ve periyodik kimyasal element sistemi"

Müfredat dışı bir etkinlik, D.I.'nin periyodik yasasının ve periyodik sisteminin yaratılış tarihini ortaya koyuyor. Mendeleev. Bilgiler, şiirsel bir biçimde sunulur ve bu, m'nin hızlı ezberlenmesine katkıda bulunur ...

"D.I. Mendeleev'in Periyodik Yasası ve Kimyasal Elementlerin Periyodik Tablosu" ders dışı etkinliğe başvuru

Yasanın keşfinden önce, D.I.'nin uzun ve yoğun bir bilimsel çalışması geldi. Mendeleev'e 15 yıl ve daha da derinleşmesi için 25 yıl daha verildi ....

Ekipman: bilgisayar, multimedya projektörü, görev kartları, slaytlar, saatler, süs masaları, halk sanatı öğeleri

“Matematik, insanların doğayı ve kendilerini kontrol etmek için kullandıkları şeydir”
BİR. Kolmogorov

dersler sırasında

I. Organizasyon aşaması.

Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol etmek. Konunun sunumu ve dersin hedefleri.

II. Ödev kontrolü.

Ödevleri örneklere göre kontrol ediyoruz, en zor noktaları tartışıyoruz.

III. Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi.

1. Sözlü ön çalışma.

Teori soruları.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Periyodik bir fonksiyon nasıl çizilir?

sözlü egzersizler

1) Aşağıdaki bağıntıları kanıtlayın

A) günah(740º) = günah(20º)
B) çünkü(54º ) = çünkü(-1026º)
C) sin(-1000º) = sin(80º )

2. 540º'lik açının y= cos(2x) fonksiyonunun periyotlarından biri olduğunu kanıtlayın.

3. 360º'lik açının y=tg(x) fonksiyonunun periyotlarından biri olduğunu kanıtlayın.

4. Bu ifadeleri, içerdikleri açılar mutlak değerde 90º'yi geçmeyecek şekilde dönüştürün.

A) tg375º
B) ctg530º
C) sin1268º
D) cos(-7363º)

5. DÖNEM, DÖNEM kelimeleri ile nerede tanıştınız?

Radyoaktif bir maddenin yarı ömrü. Periyodik kesir. Süreli yayınlar, kesin olarak belirlenmiş tarihlerde çıkan basılı yayınlardır. Mendeleev'in periyodik sistemi.

6. Şekiller, periyodik fonksiyonların grafiklerinin bölümlerini göstermektedir. Fonksiyonun periyodunu tanımlayın. Fonksiyonun periyodunu belirleyin.

Cevap: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Tekrar eden elemanların inşası ile hayatınızın neresinde tanıştınız?

Öğrenciler cevap verir: Süsleme unsurları, halk sanatı.

IV. Kolektif problem çözme.

(Slaytlarda problem çözme.)

Periyodiklik için bir fonksiyonu incelemenin yollarından birini ele alalım.

Problem 1. f(x)=1+3(x+q>5) fonksiyonunun en küçük pozitif periyodunu bulun

Çözüm: Bu fonksiyonun T periyodu olduğunu varsayalım. O zaman tüm x ∈ D(f) için f(x+T)=f(x), yani

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

x=-0.25 olsun

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Herhangi bir T için (T+1)=(T) olduğundan, f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), yani 1 - dönem f. 1, tüm pozitif tam sayıların en küçüğü olduğundan, o zaman T=1.

Görev 2. f(x)=cos 2 (x) fonksiyonunun periyodik olduğunu gösteriniz ve ana periyodunu bulunuz.

Görev 3. İşlevin ana dönemini bulun

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Fonksiyonun T periyodunu varsayın, ardından herhangi bir X oran

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

x=0 ise o zaman

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Eğer x=-T ise, o zaman

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

Ekleyerek şunu elde ederiz:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Tüm sayılardan periyot için "şüpheli" en küçük pozitif olanı seçelim ve bunun f için periyot olup olmadığını kontrol edelim. Bu numara

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Dolayısıyla, f fonksiyonunun ana periyodudur.

Görev 4. f(x)=sin(x) fonksiyonunun periyodik olup olmadığını kontrol edin

f fonksiyonunun periyodu T olsun. O zaman herhangi bir x için

sin|x+T|=sin|x|

x=0 ise, sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Sanmak. Bazı n'ler için π n sayısı bir periyottur.

dikkate alınan fonksiyon π n>0. O zaman sin|π n+x|=sin|x|

Bu, n'nin aynı anda hem çift hem de tek olması gerektiği anlamına gelir ki bu imkansızdır. Bu nedenle, bu fonksiyon periyodik değildir.

Görev 5. Fonksiyonun periyodik olup olmadığını kontrol edin

f(x)=

T periyodu f olsun, o zaman

, dolayısıyla sinT=0, T=π n, n € Z. Bazı n'ler için π n sayısının gerçekten de verilen fonksiyonun periyodu olduğunu varsayalım. O zaman 2π n sayısı da bir nokta olacaktır.

Paylar eşit olduğu için paydaları da eşittir.

Dolayısıyla f fonksiyonu periyodik değildir.

Grup çalışması.

Grup 1 için görevler.

2. grup için görevler.

f fonksiyonunun periyodik olup olmadığını kontrol edin ve ana periyodunu (varsa) bulun.

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Grup 3 için görevler.

Çalışma sonunda gruplar çözümlerini sunarlar.

VI. Dersi özetlemek.

Refleks.

VII. Ev ödevi

1). f fonksiyonunun periyodik olup olmadığını kontrol edin ve ana periyodunu bulun (varsa)

B). f(x)=x 2 -2x+4

C). f(x)=2tg(3x+5)

2). y=f(x) fonksiyonunun x € [-2; için T=2 ve f(x)=x 2 +2x periyodu vardır; 0]. -2f(-3)-4f(3,5) ifadesinin değerini bulun

Edebiyat/

Mordkoviç A.G. Derinlemesine çalışma ile cebir ve analizin başlangıcı.
Matematik. Sınava hazırlık. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Şeremetyeva T.G. , Tarasova E.A. 10-11. sınıflar için cebir ve başlangıç analizi.

Değerlerini bağımsız değişkenin belirli bir düzenli aralığında tekrarlamak, yani bağımsız değişkene sıfır olmayan sabit bir sayı eklendiğinde değerini değiştirmemek ( dönem fonksiyonlar) tüm tanım alanı üzerinde.

Daha resmi olarak, fonksiyonun nokta ile periyodik olduğu söylenir. T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), eğer her nokta için x (\görüntü stili x) nokta tanımlama alanından x + T (\displaystyle x+T) Ve x - T (\displaystyle x-T) aynı zamanda tanım alanına aittir ve onlar için eşitlik f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Tanıma bağlı olarak, eşitlik periyodik bir fonksiyon için de geçerlidir. f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Nerede n (\displaystylen)- herhangi bir tamsayı.

Ancak, eğer bir dizi dönem ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle $T,T>0,T\in \mathbb (R) $) en küçük bir değer vardır, buna denir ana (veya ana) dönem fonksiyonlar.

örnekler

Günah ⁡ (x + 2 π) = günah ⁡ x , çünkü ⁡ (x + 2 π) = çünkü ⁡ x , ∀ x ∈ R . (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

Dirichlet işlevi periyodiktir; periyodu sıfır olmayan herhangi bir rasyonel sayıdır. Ayrıca bir ana dönemi yoktur.

Periyodik fonksiyonların bazı özellikleri

Ve T 2 (\displaystyle T_(2))(Ancak, bu sayı sadece bir nokta olacaktır). Örneğin, işlev f (x) = günah ⁡ (2 x) - günah ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) ana dönem 2 π (\displaystyle 2\pi ), işlevde g (x) = günah ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) dönem 2 pi / 3 (\görüntü stili 2\pi /3) ve toplamları f (x) + g (x) = günah ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) ana dönem açıkça eşittir π (\displaystyle \pi ).

Kıyaslanamaz periyotlara sahip iki fonksiyonun toplamı her zaman periyodik olmayan bir fonksiyon değildir.

UDC 517.17+517.51

İKİ PERİYODİK FONKSİYONUN TOPLAMININ DÖNEMİ

A/O. evnin

Makale, ana periyotları bilinen iki periyodik fonksiyonun toplamı olan bir periyodik fonksiyonun ana periyodunun ne olabileceği sorusunu tamamen çözmektedir. Ayrıca, periyodik fonksiyonların periyodik toplamının ana periyodu olmadığı durumu da inceleyeceğiz.

Gerçek bir değişkenin gerçek değerli fonksiyonlarını ele alıyoruz. Ansiklopedik baskıda, "Periyodik Fonksiyonlar" makalesinde şu okunabilir: "Farklı dönemlere sahip periyodik fonksiyonların toplamı, yalnızca dönemleri ölçülebilir olduğunda periyodiktir." Bu iddia, sürekli işlevler1 için doğrudur, ancak genel durumda geçerli değildir. Çok genel bir formun karşı örneği . Bu yazıda, ana periyotları bilinen iki periyodik fonksiyonun toplamı olan bir periyodik fonksiyonun ana periyodunun ne olabileceğini öğreniyoruz.

ön bilgi

D(f) alanından herhangi bir x için bir T F O sayısı için x + T ve x - T sayıları D(f)'ye aitse ve f(x + T) eşitlikleri = ise, bir / fonksiyonunun periyodik olduğu söylendiğini hatırlayın. f( x) = f(x ~ T). Bu durumda Г sayısına fonksiyonun periyodu denir.

Bir fonksiyonun en küçük pozitif periyodu (tabii ki varsa) ana periyot olarak adlandırılacaktır. Aşağıdaki gerçek bilinmektedir.

Teorem 1. Bir fonksiyonun ana periyodu To varsa, fonksiyonun herhangi bir periyodu pTo biçimindedir, burada p Ф 0 bir tam sayıdır.

Hem T\ hem de T2'ye bir tam sayı kez "uyan" bir T0 sayısı varsa, T\ ve T2 sayılarının orantılı olduğu söylenir: T\ = T2 = n2T0, u, n2e Z. Aksi takdirde, T sayıları \ ve T2 ölçülemez olarak adlandırılır. Bu nedenle, dönemlerin ölçülebilirliği (ölçülemezliği), oranlarının rasyonel (irrasyonel) bir sayı olduğu anlamına gelir.

Teorem 1'den, bir ana periyodu olan bir fonksiyonun herhangi iki periyodunun ölçülebilir olduğu sonucu çıkar.

En küçük periyodu olmayan bir fonksiyonun klasik bir örneği, rasyonel noktalarda 1'e ve irrasyonel noktalarda sıfıra eşit olan Dirichlet fonksiyonudur. Sıfırdan farklı herhangi bir rasyonel sayı Dirichlet işlevinin periyodudur ve herhangi bir irrasyonel sayı onun periyodu değildir. Gördüğümüz gibi, burada herhangi iki dönem ölçülebilir.

Ölçülemeyen periyotları olan sabit olmayan bir periyodik fonksiyon örneği verelim.

/(x) fonksiyonu /u + la/2, m, n e Z şeklindeki noktalarda 1'e eşit olsun ve şuna eşit olsun:

sıfır. Bu fonksiyonun periyotları arasında 1 ve l vardır.

Karşılaştırılabilir dönemlere sahip fonksiyonların toplamının dönemi

Teorem 2. fug temel periyotları mT0 ve "To olan periyodik fonksiyonlar olsun, burada tip

asal sayılar. O zaman toplamlarının ana periyodu (varsa) -

burada k, m ile aralarında asal olan bir doğal sayıdır.

Kanıt. h = / + g olsun. Açıkçası, mnT0 sayısı h periyodudur. sayesinde

Teorem 1, ana periyot h, k'nin bir doğal sayı olduğu forma sahiptir. varsayıldı

k'nin m sayısıyla eş asal olmadığına, yani k - dku m \u003d dm\, d\u003e 1'in en çok olduğu yere basıyoruz

1 İkili ölçülemez periyotlara sahip sonlu sayıda sürekli fonksiyonların toplamının periyodik olmadığına dair güzel bir kanıt, ayrıca bkz.

m ve k sayılarının daha büyük ortak böleni, k fonksiyonunun periyodu şuna eşittir:

ve f=h-g işlevi

mTQ ana döneminin katı olmayan bir mxnTo dönemine sahiptir. Teorem 1 ile çelişki elde edilir.Dolayısıyla k, m ile ko-asaldır.Benzer şekilde, k ve n sayıları da ko-asaldır.Böylece, A: m ile ko-asaldır. □

Teorem 3. m, n ve k ikili asal sayılar olsun ve T0 pozitif bir sayı olsun. Daha sonra, f, g ve (f + g) ana periyotları olacak şekilde periyodik fonksiyonlar vardır.

sırasıyla mT$, nTQ ve

Kanıt. Teoremin ispatı yapıcı olacaktır: sadece karşılık gelen örneği oluşturacağız. Aşağıdaki sonucu önceden formüle edelim. İfade. m görece asal sayılar olsun. Daha sonra fonksiyonlar

fx - cos- + cos--- ve f2= cos- m n m

cos- ana periyot numarası 2ktp'ye sahiptir. P

İddianın kanıtı. Açıkçası, 2nm sayısı her iki işlevin de periyodudur. Maksimum noktalarını bulalım fonksiyonu için bu periyodun ana periyot olduğunu kontrol etmek kolaydır.

x = 21M, te Z.

= p'ye sahibiz! Tip eş asal olduğundan, 5'in /r'nin katı olduğu sonucu çıkar, yani. ben = ben e b. Bu, /x(x) = 2 o x = 2mmn1,1 e 2 ve /\ fonksiyonunun komşu maksimum noktaları arasındaki mesafenin 2kn olduğu ve /1'in pozitif periyodunun 2spn sayısından az olamayacağı anlamına gelir.

f işlevi için farklı türde argümanlar uyguluyoruz (bunlar f işlevi için de uygundur, ancak

daha az temel). Teorem 1'in gösterdiği gibi /2 fonksiyonunun Γ ana periyodu -,

burada k, yazılacak bazı asal sayılardır. G sayısı fonksiyonun periyodu olacaktır.

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 çünkü

tüm dönemleri 2pp1 biçimindedir. Bu yüzden,

2nnl, yani m = kl. t ve k karşılıklı olduğundan

dolayısıyla, k = 1 olduğunu takip eder.

Şimdi, Teorem 3'ü kanıtlamak için istenen örneği oluşturabiliriz. Örnek. m, n ve k çift asal sayılar olsun ve n veya k sayılarından en az biri 1'den farklı olsun. O zaman pf k ve fonksiyonun kanıtlanmış iddiası sayesinde

/ (x) \u003d çünkü--- + maliyet- t

ve g(x) = cos-cos - n to

sırasıyla 2 ltk ve 2 tk temel periyotları vardır ve bunların toplamları

k(x) = f(x) + = çünkü- + çünkü-

ana dönem 2 tp'dir.

n = k = 1 ise, o zaman bir çift fonksiyon yapacaktır

f(x)-2 cos- + COS X ve g(x) - COS X. m

Ana periyotları ve k(x) - 2 fonksiyonunun periyodu sırasıyla 2lm, 2/ri 2tipidir.

kontrol etmek ne kadar kolay.

Matematik

T = 2lx olarak gösterelim. İsteğe bağlı çift asal sayılar mn, n ve k için, / ve £ fonksiyonları, /, g ve / + g fonksiyonlarının ana periyotları sırasıyla mT, nT ve olacak şekilde belirtilir.

Teoremin koşulları / - l fonksiyonları tarafından karşılanır;

Kıyaslanamaz dönemlere sahip fonksiyonların toplamının dönemi

Bir sonraki iddia neredeyse açık.

Teorem 4. fug, ölçülemez temel periyotları T) ve T2 ile periyodik fonksiyonlar olsun ve bu fonksiyonların toplamı h = f + g periyodik olsun ve bir temel periyodu T olsun. O zaman T sayısı ne T] ne de T2 ile kıyaslanamaz. .

Kanıt. Bir yandan, eğer TnT) sayıları orantılıysa, o zaman g = h-f fonksiyonunun r] ile orantılı bir periyodu vardır. Öte yandan, Teorem 1 sayesinde g fonksiyonunun herhangi bir periyodu T2'nin katıdır. T\ ve T2 sayılarının ölçülemezliği ile bir çelişki elde ederiz. T ve T2 sayılarının ölçülemezliği benzer şekilde kanıtlanmıştır, d

Dikkate değer ve hatta biraz şaşırtıcı olan, Teorem 4'ün tersinin de doğru olmasıdır.Kıyaslanamaz periyotlara sahip iki periyodik fonksiyonun toplamının periyodik bir fonksiyon olamayacağına dair yaygın bir yanlış kanı vardır. Aslında bu böyle değil. Ayrıca, toplamın periyodu, Teorem 4'ün iddiasını karşılayan herhangi bir pozitif sayı olabilir.

Teorem 5. T\, T2 ve T~ ikili ölçülemeyen pozitif sayılar olsun. Sonra, toplamları h =/+ g periyodik olacak şekilde fug periyodik fonksiyonları vardır ve f guh fonksiyonunun ana periyotları sırasıyla Th T2 ve T'dir.

Kanıt. Kanıt yine yapıcı olacaktır. Yapılarımız temelde T sayısının T = aT1 + pT2 (a ve P rasyonel sayılardır) T1 ve T2 dönemlerinin rasyonel bir kombinasyonu olarak temsil edilip edilemeyeceğine bağlı olacaktır.

I. T, Tr ve J2-'nin rasyonel bir kombinasyonu değildir.

A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k e Z) r1, T2 ve T sayılarının tamsayı doğrusal kombinasyonları kümesi olsun. nT2 + kT, o zaman böyle bir temsil benzersizdir. Gerçekten, eğer mxT\ + n\Tr + k\T - m2Tx + n2T2 + k2T9 ise, o zaman

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - u)Tb ve k\ * k2 için T'nin rasyonel olarak T] ve T2 cinsinden ifade edilebileceğini buluruz. Dolayısıyla k\ = k2. Şimdi, T\ ve T2 sayılarının ölçülemezliğinden, m\ = m2 ve uu = n2 eşitlikleri doğrudan elde edilir.

Önemli bir gerçek, A kümeleri ve onun tamamlayıcısı A'nın A'dan gelen sayıların toplamına göre kapalı olduğu kolayca doğrulanabilir bir olgudur: eğer x e A ve y e A ise, o zaman x + y e A; x e A ve y e A ise, o zaman x + y e A.

A kümesinin tüm noktalarında / ve g fonksiyonlarının sıfıra eşit olduğunu varsayalım ve A kümesinde bu fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlayalım:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - mT1 - kT.

Gösterildiği gibi, m katsayıları, r, T2 ve r dönemlerinin doğrusal kombinasyonunun tepe noktası x e A sayısından benzersiz bir şekilde geri yüklenebildiğinden, f ve g fonksiyonlarının belirtilen atamaları doğrudur.

A kümesindeki h =/ + g işlevi sıfıra eşittir ve A kümesinin noktalarında eşittir

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Doğrudan ikame ile, T\ sayısının f fonksiyonunun periyodu, T2 sayısının g'nin periyodu ve T~'nin h'nin periyodu olduğunu doğrulamak kolaydır. Bu dönemlerin temel olduğunu gösterelim.

Öncelikle, / fonksiyonunun herhangi bir periyodunun A kümesine ait olduğuna dikkat edelim. Gerçekten de,

A, y e A'da 0 fx ise, o zaman x + y e A ve f(x + y) = 0 * f(x). Dolayısıyla, y e A / fonksiyonunun periyodu değildir.

Şimdi birbirine eşit olmayan \, x2 sayıları ^ ve f(x 1) ~ f(x2) sayılarına ait olsun. / fonksiyonunun tanımından x\ - x2 = 1T olduğunu elde ederiz, burada I sıfır olmayan bir tam sayıdır. Bu nedenle / fonksiyonunun herhangi bir periyodu, T\'nin katıdır. Bu nedenle, Tx gerçekten de ana dönemdir /

T2 ve T hakkındaki iddialar da aynı şekilde doğrulanmıştır.

Yorum. s. 172-173, durum I için başka bir genel yapı verir.

II. T, T\ ve T2'nin rasyonel bir kombinasyonudur.

T\ ve T2 periyotlarının rasyonel bir kombinasyonunu Γ = - (kxTx + k2T2) formunda gösterelim; burada kx ve

k2 ™ eş asal tamsayılardır, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? ve q doğal sayılardır. leZ>'yi ele alalım.

renyum seti B----

B kümesinin tüm noktalarında f ve g fonksiyonlarının sıfıra eşit olduğunu varsayıyoruz ve B kümesi üzerinde bu fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlıyoruz:

^ mT\ + nT2 A ben

^ mTx + nT2 L

Burada, her zaman olduğu gibi, [x] ve (x) sırasıyla sayıların tamsayı ve kesirli kısımlarını ifade etmektedir. B kümesindeki k = / + q işlevi sıfıra eşittir ve B kümesinin noktalarında eşittir

fmTx +nT: l H

Doğrudan ikame ile, Tx sayısının / fonksiyonunun periyodu, T2 sayısının g periyodu ve T'nin h periyodu olduğunu kontrol etmek kolaydır. Bu dönemlerin temel olduğunu gösterelim.

/ fonksiyonunun herhangi bir periyodu B kümesine aittir. Aslında, eğer 0 * x e B, y e B ise, o zaman f(x) Φ 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Dolayısıyla, y e B _ İşlevsiz dönem/

Böylece / fonksiyonunun herhangi bir periyodu Ty = şeklindedir.

5i ve 52 tam sayılardır. İzin vermek

x \u003d -7] 4 - Г2, x e 5. i \u003d 0 ise, / (i) bir rasyonel sayıdır. Şimdi / (x + 7)) sayısının rasyonalitesinden -I - I - 0 eşitliği gelir. Dolayısıyla, X'in bir tam sayı olduğu 52 = Xp eşitliğine sahibiz.

sayı. /(x + 7)) = /(x) ilişkisi şu şekli alır:

^ P + ben + ben w +

Bu eşitlik tüm tamsayı türleri için geçerli olmalıdır. m-p ~ 0 olduğunda, (1)'in sağ tarafı

sıfıra Kesirli kısımlar negatif olmadığından, buradan şunu elde ederiz -<0, а при

m \u003d n \u003d q - ] eşitliğin (1) sağ tarafındaki kesirli kısımların toplamı, h-X kesirli kısımlarının toplamından az değildir

soldaki Yani - >0. Böylece X = 0 ve 52 = 0 olur. Dolayısıyla fonksiyonun periyodu / şeklindedir.

ve eşitlik (1) olur

n\ | ve 52 tam sayılardır. ilişkilerden

d(0) = 0 = d(GA) =

51 ve ^ sayılarının p'nin katları olması gerektiğini, yani bazı Ax ve A2 tamsayıları için 51 = A\p, E2 = A2p'ye sahibiz. Daha sonra ilişki (3) şu şekilde yeniden yazılabilir:

A2kx = k2A\ eşitliğinden ve k\ ve k2 sayılarının eş asallığından, A2'nin k2 ile bölünebilir olduğu sonucu çıkar. Buradan

bazı t tamsayıları için A2 = k2t ve Ax ~ kxt eşitlikleri geçerlidir, yani Th ~-(kxTx + k2T2).

h fonksiyonunun herhangi bir periyodunun Т = - (к(Гх + к2Т2)9) periyodunun katı olduğu gösterilmiştir;

Zom, ana olandır. □

Ana dönem yok

Teorem 6. Tx ve T2~ rastgele pozitif sayılar olsun. Sonra, ana periyotları sırasıyla T\ ve T2 olan ve h=f+g toplamları periyodik olan ancak ana periyodu olmayan fug periyodik fonksiyonları vardır.

Kanıt. İki olası durumu ele alalım.

I. Tx ve T2 dönemleri kıyaslanamaz.

A = + nT2 +kT\ olsun. Yukarıdaki gibi, eğer sayının olduğunu göstermek kolaydır.

mTx + nT2 + kT biçiminde temsil edilebilirse, böyle bir temsil benzersizdir.

A kümesinin tüm noktalarında / ve g fonksiyonlarının sıfıra eşit olduğunu varsayalım ve A kümesinde bu fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlayalım:

/itibaren; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Tx sayısının / fonksiyonunun ana periyodu olduğunu, T2 sayısının g ana periyodunu ve herhangi bir kT rasyonel sayısı için h - f + g fonksiyonunun periyodu olduğunu doğrulamak kolaydır; en küçük periyodu yoktur.

II. Tx ve T2 dönemleri karşılaştırılabilir.

Tx = mT0, T2 = nT0 olsun, burada T0 > 0, m ve n doğal sayılardır. R = + kümesini ele alalım.

B kümesinin tüm noktalarında fug fonksiyonlarının sıfıra eşit olduğunu varsayıyoruz ve B kümesinde bu fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlıyoruz:

/((/ + WT0) = W + Jit, g((/ + 4lk)T0) - W - 42k.

B kümesindeki h ~ / + g işlevi sıfıra eşittir ve B kümesinin noktalarında eşittir

7j = mTQ sayısının / fonksiyonunun ana periyodu olduğunu, T2 ~ nT0 sayısının g ana periyodu olduğunu ve h ~ f + g fonksiyonunun periyotları arasında tüm sayıların olduğunu kontrol etmek kolaydır. l/2kT0, burada k keyfi bir rasyonel sayıdır. □

Teorem 6'yı ispatlayan yapılar, h~ / + g fonksiyonunun periyotlarının / ve g fonksiyonlarının periyotlarıyla karşılaştırılamazlığına dayanır. Sonuç olarak, /, g ve / + g fonksiyonlarının tüm periyotları birbiriyle orantılı olacak şekilde fug fonksiyonlarına bir örnek veriyoruz, ancak / ve g temel periyotlara sahipken f + g değil.

m sabit bir doğal sayı olsun, M payları m'nin katları olan indirgenemez tamsayı olmayan kesirler kümesi olsun. koyalım

1 xM ise; 1

ifx mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O diğer durumlarda; 1 xeMU ise

~,ifxe2 2

[Ah aksi halde.

fug fonksiyonlarının ana periyotlarının sırasıyla m ve 1'e eşit olduğunu görmek kolaydır, oysa / + g toplamı m/n formunda herhangi bir sayının periyoduna sahiptir, burada n keyfi bir doğal sayıdır. m'ye

Edebiyat

1. Matematiksel Ansiklopedik Sözlük / Bl. ed. Yu.V. Prokhorov - M .: Sov. ansiklopedi, 1988.

2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. Periyodik fonksiyonların toplamının periyodikliği üzerine// Matematik eğitimi. - 2000. - 2 numara (13). - S.29-33.

3. Gerenstein A.V., Evnin A.Yu. Periyodik fonksiyonların toplamı üzerine// Okulda matematik. -2002. - 1 numara. - S. 68-72.

4. Ivlev B.M. ve diğerleri Cebir problemlerinin toplanması ve 9 ve 10 hücre için analiz ilkeleri. - M.: Aydınlanma, 1978.