Fark küpü ve küplerin farkı: Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanmasına ilişkin kurallar. Kısaltılmış çarpma formülleri Kareler farkı ve küplerin toplamı ve farkı için formüller kullanan örnek problemler

Kısaltılmış çarpma formülleri.

Kısaltılmış çarpma formüllerinin incelenmesi: iki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi; iki ifadenin kareleri farkı; iki ifadenin toplamının küpü ve farkının küpü; iki ifadenin küplerinin toplamları ve farkları.

Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.

İfadeleri basitleştirmek, polinomları çarpanlara ayırmak ve polinomları standart forma indirgemek için kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin ezbere bilinmesi gerekir.

a, b R olsun. O zaman:

1. İki ifadenin toplamının karesi eşittir birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. İki ifadenin farkının karesi eşittir birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Karelerin farkı iki ifade, bu ifadelerin farkı ve toplamlarının çarpımına eşittir.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Toplamın küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü artı birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımı ve ikincinin karesi artı ikinci ifadenin küpünün üç katıdır.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Fark küpü iki ifade, birinci ifadenin küpü eksi birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci artı birinci ifadenin çarpımının üç katı ve ikincinin karesi eksi ikinci ifadenin küpüne eşittir.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Küplerin toplamı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin toplamı ile bu ifadelerin farkının eksik karesinin çarpımına eşittir.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Küplerin farkı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin farkının, bu ifadelerin toplamının eksik karesinin çarpımına eşittir.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.

Örnek 1.

Hesaplamak

a) İki ifadenin toplamının karesi formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) İki ifadenin farkının karesi formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Örnek 2.

Hesaplamak

İki ifadenin kareleri farkı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 3.

Bir ifadeyi basitleştirme

(x - y) 2 + (x + y) 2

İki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi formüllerini kullanalım

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Kısaltılmış çarpma formülleri tek tabloda:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Kısaltılmış çarpma formülleri (FMF), sayıları ve ifadeleri üstel almak ve çarpmak için kullanılır. Çoğu zaman bu formüller hesaplamaları daha kompakt ve hızlı yapmanızı sağlar.

Bu makalede kısaltılmış çarpma için temel formülleri listeleyeceğiz, bunları bir tabloda gruplandıracağız, bu formüllerin kullanım örneklerini ele alacağız ve ayrıca kısaltılmış çarpma için formüllerin ispatının ilkeleri üzerinde duracağız.

FSU konusu ilk kez 7. sınıf Cebir dersi kapsamında ele alınıyor. Aşağıda 7 temel formül bulunmaktadır.

Kısaltılmış çarpma formülleri

toplamın karesi formülü: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
kare fark formülü: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
toplam küp formülü: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
fark küp formülü: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
kare fark formülü: a 2 - b 2 = a - b a + b
küp toplamı formülü: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
küp farkı formülü: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Bu ifadelerdeki a, b, c harfleri herhangi bir sayı, değişken veya ifade olabilir. Kullanım kolaylığı açısından yedi temel formülü ezberlemek daha iyidir. Bunları bir tabloya yerleştirip, etrafını bir çerçeveyle çevreleyerek aşağıda sunalım.

İlk dört formül, iki ifadenin toplamının veya farkının sırasıyla karesini veya küpünü hesaplamanıza olanak tanır.

Beşinci formül, ifadelerin kareleri arasındaki farkı, bunların toplamını ve farkını çarparak hesaplar.

Altıncı ve yedinci formüller sırasıyla ifadelerin toplamını ve farkını farkın eksik karesi ve toplamın eksik karesi ile çarpmaktır.

Kısaltılmış çarpma formülüne bazen kısaltılmış çarpma özdeşlikleri de denir. Bu şaşırtıcı değil, çünkü her eşitlik bir kimliktir.

Pratik örnekleri çözerken, sol ve sağ tarafların yer değiştirdiği kısaltılmış çarpma formülleri sıklıkla kullanılır. Bu özellikle bir polinomu çarpanlarına ayırırken kullanışlıdır.

Ek kısaltılmış çarpma formülleri

Kendimizi 7. sınıf cebir dersiyle sınırlamayalım ve FSU tablomuza birkaç formül daha ekleyelim.

Öncelikle Newton'un binom formülüne bakalım.

a + b n = C n 0 · bir n + C n 1 · bir n - 1 · b + C n 2 · bir n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Burada C n k Pascal üçgenindeki n numaralı satırda görünen binom katsayılarıdır. Binom katsayıları aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n(n-1)(n-2) . . (n - (k - 1)) k !

Görebildiğimiz gibi, farkın ve toplamın karesi ve küpü için FSF, sırasıyla n=2 ve n=3 için Newton binom formülünün özel bir durumudur.

Peki ya toplamda bir kuvvete yükseltilmesi gereken ikiden fazla terim varsa? Üç, dört veya daha fazla terimin toplamının karesi formülü faydalı olacaktır.

bir 1 + bir 2 +. . + bir n 2 = bir 1 2 + bir 2 2 + . . + bir n 2 + 2 bir 1 bir 2 + 2 bir 1 bir 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 bir 2 bir n + 2 bir n - 1 bir n

Yararlı olabilecek başka bir formül de iki terimin n'inci kuvvetleri arasındaki fark formülüdür.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Bu formül genellikle sırasıyla çift ve tek kuvvetler için iki formüle ayrılır.

2 m'lik göstergeler için bile:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Tek üsler için 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Kareler farkı ve küpler farkı formülleri tahmin ettiğiniz gibi bu formülün sırasıyla n = 2 ve n = 3 için özel durumlarıdır. Küp farkı için b'nin yerini de - b alır.

Kısaltılmış çarpma formülleri nasıl okunur?

Her formüle uygun formülasyonları vereceğiz ancak önce formül okumanın prensibini anlayacağız. Bunu yapmanın en uygun yolu bir örnektir. İki sayının toplamının karesi için ilk formülü alalım.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Şöyle diyorlar: a ve b gibi iki ifadenin toplamının karesi, birinci ifadenin karesinin toplamına eşittir, ifadelerin çarpımı ile ikinci ifadenin karesinin iki katıdır.

Diğer tüm formüller benzer şekilde okunur. a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 farkının karesi için şunu yazıyoruz:

a ve b gibi iki ifade arasındaki farkın karesi, bu ifadelerin karelerinin toplamı eksi birinci ve ikinci ifadelerin çarpımının iki katıdır.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 formülünü okuyalım. a ve b gibi iki ifadenin toplamının küpü, bu ifadelerin küplerinin toplamına eşit olup, birinci ifadenin karesinin ikinci ile çarpımı üç katına, ikinci ifadenin karesinin çarpımı ile üç katına çıkar. ilk ifade.

Şimdi a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 küplerinin farkı formülünü okumaya devam edelim. A ve b gibi iki ifade arasındaki farkın küpü, birinci ifadenin küpünden birinci ifade ile ikincinin karesinin üçlü çarpımı artı ikinci ifade ile birinci ifadenin karesinin üçlü çarpımına eşittir. , eksi ikinci ifadenin küpü.

Beşinci formül a 2 - b 2 = a - b a + b (kareler farkı) şu şekildedir: iki ifadenin karelerinin farkı, farkın çarpımına ve iki ifadenin toplamına eşittir.

Kolaylık olması açısından a 2 + a b + b 2 ve a 2 - a b + b 2 gibi ifadelere sırasıyla toplamın tamamlanmamış karesi ve farkın tamamlanmamış karesi adı verilir.

Bunu dikkate alarak küplerin toplamı ve farkı formülleri şu şekilde okunabilir:

İki ifadenin küplerinin toplamı, bu ifadelerin toplamı ile farklarının kısmi karesinin çarpımına eşittir.

İki ifadenin küpleri arasındaki fark, bu ifadeler arasındaki fark ile toplamlarının kısmi karesinin çarpımına eşittir.

FSU'nun kanıtı

FSU'yu kanıtlamak oldukça basittir. Çarpma özelliklerine göre formüllerin parantez içindeki kısımlarını çarpacağız.

Örneğin farkın karesi formülünü düşünün.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Bir ifadenin ikinci kuvvetine ulaşmak için bu ifadeyi kendisiyle çarpmanız gerekir.

a - b 2 = a - b a - b .

Parantezleri genişletelim:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formül kanıtlanmıştır. Geri kalan FSU'lar da benzer şekilde kanıtlanmıştır.

FSU uygulaması örnekleri

Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılmasının amacı, ifadeleri hızlı ve net bir şekilde çarpmak ve kuvvetlere yükseltmektir. Ancak bu, FSU'nun tüm uygulama kapsamı değildir. İfadelerin azaltılmasında, kesirlerin azaltılmasında ve polinomların çarpanlara ayrılmasında yaygın olarak kullanılırlar. Örnekler verelim.

Örnek 1. FSU

9 y - (1 + 3 y) 2 ifadesini basitleştirelim.

Kareler toplamı formülünü uygulayalım ve şunu elde edelim:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Örnek 2. FSU

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 kesrini azaltalım.

Paydaki ifadenin küp farkı, paydadaki ifadenin ise kareler farkı olduğunu not ediyoruz.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Azaltıyoruz ve elde ediyoruz:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU'lar ayrıca ifadelerin değerlerinin hesaplanmasına da yardımcı olur. Önemli olan formülü nereye uygulayacağınızı fark edebilmektir. Bunu bir örnekle gösterelim.

79 sayısının karesini alalım. Zahmetli hesaplamalar yerine şunu yazalım:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Sadece kısaltılmış çarpım formülleri ve çarpım tablosu kullanılarak karmaşık bir hesaplamanın hızlı bir şekilde yapıldığı görülüyor.

Bir diğer önemli nokta ise binomun karesinin seçimidir. 4 x 2 + 4 x - 3 ifadesi, 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4'e dönüştürülebilir. Bu tür dönüşümler entegrasyonda yaygın olarak kullanılmaktadır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Önceki derslerde bir polinomu çarpanlara ayırmanın iki yoluna baktık: ortak çarpanı parantez dışına koymak Ve gruplama yöntemi.

Bu derste bir polinomu çarpanlara ayırmanın başka bir yoluna bakacağız kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma.

Her formülü en az 12 kez yazmanızı öneririz. Daha iyi ezberlemek için, tüm kısaltılmış çarpma formüllerini kendiniz için küçük bir notla yazın. kopya kağıdı.

Küp formülünün farkının neye benzediğini hatırlayalım.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Küp formülünün farkını hatırlamak çok kolay değildir, bu nedenle kullanmanızı öneririz. özel yol onu hatırlamak için.

Herhangi bir kısaltılmış çarpma formülünün aynı zamanda işe yaradığını anlamak önemlidir. ters taraf.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Bir örneğe bakalım. Küp farkını çarpanlara ayırmak gerekir.

Lütfen "27a 3"ün "(3a) 3" olduğunu unutmayın; bu, küp farkı formülü için "a" yerine "3a" kullandığımız anlamına gelir.

Küp farkı formülünü kullanıyoruz. "a 3" yerine "27a 3", "b 3" yerine ise formüldeki gibi "b 3" var.

Küp farkını ters yönde uygulamak

Başka bir örneğe bakalım. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak polinomların çarpımını küp farkına dönüştürmeniz gerekir.

Lütfen "(x − 1)(x 2 + x + 1)" polinomlarının çarpımının "" küp formülünün farkının sağ tarafına benzediğini, yalnızca "a" yerine "x" olduğunu ve yerinde olduğunu unutmayın. “b”nin “1”i var.

“(x − 1)(x 2 + x + 1)” için küp farkı formülünü ters yönde kullanırız.

Daha karmaşık bir örneğe bakalım. Polinomların çarpımını basitleştirmek gerekir.

“(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” ifadesini küpler farkı formülünün sağ tarafıyla karşılaştırırsak
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)“, o zaman ilk parantezdeki “a” yerine “y 2”, “b” yerine “1” olduğunu anlayabilirsiniz.