Як визначити періодичність функції. Періодичні функції Періодичною функцією часу

Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів на тему “Періодичність функцій”; формувати навички застосування властивостей періодичної функції, знаходження найменшого позитивного періоду функції, побудови графіків періодичних функцій; сприяти підвищенню інтересу до вивчення математики; виховувати спостережливість, акуратність.

Обладнання: комп'ютер, мультимедійний проектор, картки із завданнями, слайди, годинники, таблиці орнаментів, елементи народного промислу

"Математика - це те, за допомогою чого люди керують природою і собою"
О.М. Колмогоров

Хід уроку

I. Організаційний етап.

Перевірка готовності учнів до уроку. Повідомлення теми та завдань уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Домашнє завдання перевіряємо за зразками, найскладніші моменти обговорюємо.

ІІІ. Узагальнення та систематизація знань.

1. Усна фронтальна робота.

Запитання теорії.

1) Сформуйте визначення періоду функції
2) Назвіть найменший позитивний період функцій y=sin(x), y=cos(x)
3). Назвіть найменший позитивний період функції y=tg(x), y=ctg(x)
4) Доведіть за допомогою кола вірність співвідношень:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18) 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Як побудувати графік періодичної функції?

Усні вправи.

1) Довести такі співвідношення

a) sin(740º ) = sin(20º )
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Довести, що кут 540º є одним з періодів функції y=cos(2x)

3. Довести, що кут 360º є одним із періодів функції y=tg(x)

4. Дані вирази перетворити так, щоб кути, що входять до них, по абсолютній величині не перевищували 90º .

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Де ви зустрічалися зі словами ПЕРІОД, ПЕРІОДІЧНІСТЬ?

Відповіді учнів: Період у музиці – побудова, у якому викладено більш менш завершена музична думка. Геологічний період – частина епохи і поділяється на епохи з періодом від 35 до 90 млн. років.

Період напіврозпаду радіоактивної речовини. Періодичний дріб. Періодична друк – друковані видання, що з'являються у певні терміни. Періодична система Менделєєва.

6. На малюнках зображено частини графіків періодичних функцій. Визначте період функції. Визначити період функції.

Відповідь: Т=2; Т=2; Т=4; Т = 8.

7. Де в житті ви зустрічалися з побудовою елементів, що повторюються?

Відповідь учнів: Елементи орнаментів, народна творчість.

IV. Колективне розв'язання задач.

(Розв'язання задач на слайдах.)

Розглянемо один із способів дослідження функції на періодичність.

При цьому способі обходяться труднощі, пов'язані з доказом того, що той чи інший період є найменшим, а також відпадає необхідність торкатися питань про арифметичні дії над періодичними функціями та про періодичність складної функції. Міркування спирається лише визначення періодичної функції і такий факт: якщо Т – період функції, те й nT(n?0) – її період.

Завдання 1. Знайдіть найменший позитивний період функції f(x)=1+3(x+q>5)

Рішення: Припустимо, що Т-період цієї функції. Тоді f(x+T)=f(x) всім x € D(f), тобто.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0.25)

Покладемо x=-0,25 отримаємо

(T) = 0<=>T = n, n € Z

Ми отримали, що всі періоди цієї функції (якщо вони існують) знаходяться серед цілих чисел. Виберемо серед цих чисел найменше додатне число. Це 1 . Перевіримо, чи не буде воно і справді періодом 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Оскільки (T+1)=(T) за будь-якого Т, то f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), тобто. 1 – період f. Оскільки 1 – найменше з усіх позитивних чисел, то T=1.

Завдання 2. Показати, що функція f(x)=cos 2 (x) періодична і визначити її основний період.

Завдання 3. Знайдіть основний період функції

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Допустимо Т-період функції, тоді для будь-якого хсправедливе співвідношення

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Якщо х = 0, то

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Якщо х=-Т, то

sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)

5 = - sin (1,5 Т) + 5 cos (0,75 Т)

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

- sin (1,5 Т) + 5 cos (0,75 Т) = 5

Склавши, отримаємо:

10cos (0,75 Т) = 10

2π n, n € Z

Виберемо зі всіх “підозрілих” на період чисел найменше позитивне і перевіримо, чи воно періодом для f. Це число

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Отже – основний період функції f.

Завдання 4. Перевіримо, чи є періодичною функція f(x)=sin(x)

Нехай Т – період функції f. Тоді для будь-якого х

sin|x+Т|=sin|x|

Якщо х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Припустимо. Що за деякого n число π n є періодом

розглянутої функції π n>0. Тоді sin|π n+x|=sin|x|

Звідси випливає, що n має бути одночасно і парним і непарним числом, а це неможливо. Тому ця функція не є періодичною.

Завдання 5. Перевірити, чи є періодичною функцією

f(x)=

Нехай Т – період f, тоді

, Звідси sinT = 0, Т = π n, n € Z. Припустимо, що при деякому n число π n дійсно є періодом цієї функції. Тоді і число 2π n буде періодом

Оскільки чисельники рівні, то рівні та його знаменники, тому

Отже, функція f не періодична.

Робота у групах.

Завдання групи 1.

Завдання групи 2.

Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо існує).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Завдання групи 3.

Після закінчення роботи гурту презентують свої рішення.

VI. Підбиття підсумків уроку.

Рефлексія.

Вчитель видає учням картки з малюнками і пропонує зафарбувати частину першого малюнка відповідно до того, в якому обсязі, як їм здається, вони оволоділи способами дослідження функції на періодичність, а в частині другого малюнка відповідно до свого внеску в роботу на уроці.

VII. Домашнє завдання

1). Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо вона існує)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функція y=f(x) має період Т=2 і f(x)=x 2 +2x при x [-2; 0]. Знайдіть значення виразу -2f(-3)-4f(3,5)

Література/

Мордковіч А.Г.Алгебра та початку аналізу з поглибленим вивченням.
Математика. Підготовка до ЄДІ. За ред. Лисенка Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
Шереметьєва Т.Г. , Тарасова Є.А.Алгебра та початку аналізу для 10-11 класів.

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Алгебра та початку аналізу, 10 клас (профільний рівень) А.Г.Мордкович, П.Є.Семенов Вчитель Волкова С.Є.

Визначення 1 Кажуть, що функція y = f(x), x ∈ X має період Т, якщо для будь-якого х ∈ Х виконується рівність f(x – T) = f(x) = f(x + T) . Якщо функцію з періодом Т визначено в точці х, то вона визначена і в точках х + Т, х – Т. Будь-яка функція має період, рівний нулю при Т = 0, отримаємо f(x – 0) = f(x) = f( x + 0).

Визначення 2 Функцію, що має відмінний від нуля період Т, називають періодичною. Якщо функція y = f (x), x ∈ X має період Т, то будь-яке число, кратне Т (тобто число виду кТ, ∈ Z), також є її періодом.

Нехай 2Т – період функції. Тоді f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x – 2T). Аналогічно доводять, що f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) тощо. Отже, f(x - кТ) = f(x) = f(x + T)

Найменший період серед позитивних періодів періодичної функції називається основним періодом цієї функції.

Особливості графіка періодичної функції Якщо Т – основний період функції y = f(x) , достатньо: побудувати гілка графіка на одному з проміжків довжини Т виконати паралельне перенесення цієї гілки вздовж осі х на ±Т, ±2Т, ±3Т і т.д . Зазвичай вибирають проміжок з кінцями у точках

Властивості періодичних функцій 1. Якщо f(x) – періодична функція з періодом Т, то функція g(x) = A f(kx + b), де > 0 , також є періодичною з періодом Т 1 = Т/к. 2.Нехай функцію f 1 (x) і f 2 (x) визначено на всій числовій осі і є періодичними з періодами Т 1 > 0 і Т 2 > 0 . Тоді за Т 1 /Т 2 ∈ Q функція f(x) = f(x) +f 2 (x) – періодична функція з періодом Т, що дорівнює найменшому загальному кратному чисел Т 1 і Т 2 .

Приклади 1. Періодична функція y = f(x) визначена всім дійсних чисел. Її період дорівнює 3 і f(0) = 4 . Знайти значення виразу 2f(3) – f(-3). Рішення. Т = 3 , f(3) =f(0+3) = 4 , f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Підставивши отримані значення у вираз 2f(3) – f(-3), отримаємо 8 - 4 =4. Відповідь: 4 .

Приклади 2. Періодична функція y = f(x) визначена всім дійсних чисел. Її період дорівнює 5, а f(-1) = 1. Знайти f(-12), якщо 2f(3) – 5f(9) = 9. Рішення Т = 5 F(-1) = 1 f(9) = f(-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f (3) = 7 Відповідь:7.

Використовувана література А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра та початку аналізу (профільний рівень), 10 клас А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. Алгебра та початки аналізу (профільний рівень), 10 клас. Методичний посібник для вчителя

За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

Періодичний закон та періодична система Д.І. Менделєєва.

Навчальний урок з цієї теми проводиться у вигляді гри, з використанням елементів технології педагогічних майстерень.

Позакласний захід "Періодичний закон та періодична система хімічних елементів Д.І. Менделєєва"

Позакласний захід розкриває історію створення періодичного закону та періодичної системи Д.І. Менделєєва. Інформація викладена у віршованій формі, яка сприяє швидкому запам'ятовуванню...

Додаток до позакласного заходу "Періодичний закон та періодична система хімічних елементів Д.І. Менделєєва"

Відкриття закону передувала тривала та напружена наукова робота Д.І. Менделєєва протягом 15 років, а подальшому його поглибленню було віддано ще 25 років.

"Математика - це те, за допомогою чого люди керують природою і собою"
О.М. Колмогоров

Хід уроку

I. Організаційний етап.

Перевірка готовності учнів до уроку. Повідомлення теми та завдань уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Домашнє завдання перевіряємо за зразками, найскладніші моменти обговорюємо.

ІІІ. Узагальнення та систематизація знань.

1. Усна фронтальна робота.

Запитання теорії.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18) 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Як побудувати графік періодичної функції?

Усні вправи.

1) Довести такі співвідношення

a) sin(740º ) = sin(20º )
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Довести, що кут 540º є одним з періодів функції y=cos(2x)

3. Довести, що кут 360º є одним із періодів функції y=tg(x)

4. Дані вирази перетворити так, щоб кути, що входять до них, по абсолютній величині не перевищували 90º .

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Де ви зустрічалися зі словами ПЕРІОД, ПЕРІОДІЧНІСТЬ?

Відповідь: Т=2; Т=2; Т=4; Т = 8.

7. Де в житті ви зустрічалися з побудовою елементів, що повторюються?

Відповідь учнів: Елементи орнаментів, народна творчість.

IV. Колективне розв'язання задач.

(Розв'язання задач на слайдах.)

Розглянемо один із способів дослідження функції на періодичність.

Завдання 1. Знайдіть найменший позитивний період функції f(x)=1+3(x+q>5)

Рішення: Припустимо, що Т-період цієї функції. Тоді f(x+T)=f(x) всім x € D(f), тобто.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0.25)

Покладемо x=-0,25 отримаємо

(T) = 0<=>T = n, n € Z

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Завдання 2. Показати, що функція f(x)=cos 2 (x) періодична і визначити її основний період.

Завдання 3. Знайдіть основний період функції

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Допустимо Т-період функції, тоді для будь-якого хсправедливе співвідношення

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Якщо х = 0, то

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Якщо х=-Т, то

sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)

5 = - sin (1,5 Т) + 5 cos (0,75 Т)

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

- sin (1,5 Т) + 5 cos (0,75 Т) = 5

Склавши, отримаємо:

10cos (0,75 Т) = 10

2π n, n € Z

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Отже – основний період функції f.

Завдання 4. Перевіримо, чи є періодичною функція f(x)=sin(x)

Нехай Т – період функції f. Тоді для будь-якого х

sin|x+Т|=sin|x|

Якщо х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Припустимо. Що за деякого n число π n є періодом

розглянутої функції π n>0. Тоді sin|π n+x|=sin|x|

Завдання 5. Перевірити, чи є періодичною функцією

f(x)=

Нехай Т – період f, тоді

Оскільки чисельники рівні, то рівні та його знаменники, тому

Отже, функція f не періодична.

Робота у групах.

Завдання групи 1.

Завдання групи 2.

Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо існує).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Завдання групи 3.

Після закінчення роботи гурту презентують свої рішення.

VI. Підбиття підсумків уроку.

Рефлексія.

VII. Домашнє завдання

1). Перевірте, чи є функція f періодичною і знайдіть її основний період (якщо вона існує)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функція y=f(x) має період Т=2 і f(x)=x 2 +2x при x [-2; 0]. Знайдіть значення виразу -2f(-3)-4f(3,5)

Література/

Мордковіч А.Г.Алгебра та початку аналізу з поглибленим вивченням.
Математика. Підготовка до ЄДІ. За ред. Лисенка Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
Шереметьєва Т.Г. , Тарасова Є.А.Алгебра та початку аналізу для 10-11 класів.

Повторює свої значення через деякий регулярний інтервал аргументу, тобто не змінює значення при додаванні до аргументу деякого фіксованого ненульового числа ( періодуфункції) по всій області визначення.

Говорячи більш формально, функція називається періодичною з періодом T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), якщо для кожної точки x (\displaystyle x)з її області визначення точки x + T (\displaystyle x+T)і x − T (\displaystyle x-T)також належать її області визначення, і для них виконується рівність f(x) = f(x+T) = f(x−T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Виходячи з визначення, для періодичної функції справедлива також рівність f(x) = f(x+nT) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), де n (\displaystyle n)- Будь-яке ціле число.

Однак якщо у багатьох періодів ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle $T,T>0,T\in \mathbb (R) $)є найменше значення, воно називається основним (або головним) періодомфункції.

Приклади

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x , cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x , ∀ x ∈ R . (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,quad \forall x\in \mathbb (R) .)

Функція Дирихле є періодичною, її періодом є будь-яке ненульове раціональне число. Основного періоду вона також немає.

Деякі особливості періодичних функцій

і T 2 (\displaystyle T_(2))(проте просто періодом це число буде). Наприклад, у функції f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x))основний період дорівнює 2 π (\displaystyle 2\pi ), у функції g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x))період дорівнює 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), а у них суми f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x))основний період, очевидно, дорівнює π (\displaystyle \pi ).

Сума двох функцій з несумірними періодами не завжди є неперіодичною функцією.

УДК 517.17+517,51

ПЕРІОД СУМИ ДВОХ ПЕРІОДИЧНИХ ФУНКЦІЙ

А/О. Евнін

У роботі повністю вирішено питання, яким може бути основний період періодичної функції, що є сумою двох періодичних функцій з відомими основними періодами. Вивчається також випадок відсутності основного періоду періодичної суми періодичних функцій.

Ми розглядаємо дійсно значні функції дійсного змінного. В енциклопедичному виданні у статті «Періодичні функції» можна прочитати: «Сума періодичних функцій з різними періодами є періодичною лише тоді, коли їх періоди можна порівняти». Це твердження справедливе для безперервних функций1, але немає місця у випадку. Контрприклад вельми загального вигляду був побудований в . У цій статті ми з'ясовуємо, яким може бути основний період періодичної функції, яка є сумою двох періодичних функцій з відомими основними періодами.

Попередні відомості

Нагадаємо, що функція / називається періодичною, якщо для деякого числа Т Ф О за будь-якого х з області визначення D(f) числа х + Т і х - Т належать D(f) і виконуються рівності f(x + T) =f( x) = f(x ~ Т). У цьому число Р називають періодом функції.

Найменший позитивний період функції (якщо, звичайно, він існує) називатимемо основним періодом. Відомий такий факт.

Теорема 1. Якщо функція має основний період То, то будь-який період функції має вигляд пТо, де п Ф 0 - ціле число.

Числа Т і Т2 називають сумірними, якщо існує таке число Т0, яке ціле число разів «укладається» і в Т, і в Т2: Т = Т2 = п2Т0, щ, п2е Z. В іншому випадку числа Т і Т2 називають несумірними. Сумірність (несумірність) періодів означає, таким чином, що їх відношення є числом раціональним (ірраціональним).

З теореми 1 випливає, що у функції, що має основний період, будь-які два періоди можна порівняти.

Класичним прикладом функції, що не має найменшого періоду, є функція Діріхле, що дорівнює 1 в раціональних точках, і нулю - в ірраціональних. Будь-яке раціональне число, відмінне від нуля, є періодом функції Діріхле, а будь-яке ірраціональне число не є її періодом. Як бачимо, і тут будь-які два періоди можна порівняти.

Наведемо приклад непостійної періодичної функції, що має несумірні періоди.

Нехай функція /(х) у точках виду /і + ла/2, m, п е Z, дорівнює 1, а в інших точках дорівнює

нулю. Серед періодів цієї функції є 1 і л

Період суми функцій із порівнянними періодами

Теорема 2. Нехай fug-періодичні функції з основними періодами тТ0 і «Те, де тип

Взаємно прості числа. Тоді основний період їхньої суми (якщо він існує), дорівнює -

де до - натуральне число, взаємно просте із числом тп.

Доведення. Нехай h = / + g. Вочевидь, що число тпТ0 є періодом h. В силу

теореми 1 основний період h має вигляд де до - деяке натуральне число. Предполо-

жим, що не є взаємно простим з числом m, тобто до - dku m = dm\, де d> 1 - най-

1 Гарний доказ того, що сума будь-якого кінцевого числа безперервних функцій з попарно несумірними періодами неперіодична, міститься в статті Див.

більший загальний дільник чисел т і к. Тоді період функції дорівнює

а функція f = h-g

має період mxnTо, який не є кратним її основного періоду mTQ. Отримано протиріччя з теоремою 1. Значить, взаємно просто з т. Аналогічно, взаємно простими є числа до і п. Таким чином, А: взаємно просто з тп. □

Теорема 3. Нехай т, п і к ~ попарно взаємно прості числа, а Т0 – позитивне число. Тоді існують такі періодичні функції fug, що основні періоди f, g і (f + g)

ни відповідно тТ$, nTQ і-

Доведення. Доказ теореми буде конструктивним: ми просто збудуємо відповідний приклад. Попередньо сформулюємо наступний результат. Твердження. Нехай т – взаємно прості числа. Тоді функції

fx - cos - + cos - і f2 = cos - m n m

cos-мають основним періодом число 2ктп. п

Доказ затвердження. Очевидно, що число 2пт є періодом обох функцій. Легко можна перевірити, що цей період є основним для функції Знайдемо її точки максимуму.

х = 2лМ, te Z.

Маємо = п! З взаємної простоти тип випливає, що 5 разів /г, тобто. я = I е Ъ. Отже, /х(х) = 2 про х = 2тстп1,1 е 2, а відстань між сусідніми точками максимуму функції /\ дорівнює 2ктп, і позитивний період/1 не може бути меншим від числа 2 шпп.

Для функції ^ застосуємо міркування іншого роду (які підходять і для функції

менш елементарні). Як показує теорема 1, основний період Р функції/2 має вигляд -,

де до- деяке натуральне число, взаємно просте з тип. Число Гбудет і періодом функції

(2 ^ 2 хп г т т /2 + /2 = - -1 cos

всі періоди якої мають вигляд 2пп1. Отже,

2nnl, тобто. т = kl. Так як т і до взаємно про-

сти, звідси випливає, що к = 1.

Тепер для доказу теореми 3 можна побудувати приклад, що шукається. приклад. Нехай т, п і к - попарно взаємно прості числа і хоча б одне з чисел п або до відмінно від 1. Тоді пф кив силу доведеного затвердження функції

/(х) = cos--- + cos- т до

І g(x) = cos-cos - п до

мають основні періоди 2 лтк і 2 тк відповідно, а в них суми

до(х) = f(x) + = cos- + cos-

основний період дорівнює 2 ТТП.

Якщо ж п=к=1, то підійде пара функцій

f(x)-2 cos- + COS X та g(x) - COS X. m

Їхні основні періоди, а також період функції до(х) - 2 рівні відповідно 2лм, 2/ги 2тип.

як легко перевірити

Математика

Позначимо Т = 2лк. Для довільних попарно взаємно простих чисел тп, п і к вказані функції/і £ такі, що основні періоди функцій/, g та/ + g рівні відповідно тТ, пТ і

Умови теореми задовольняють функції / - л;

Період суми функцій з несумірними періодами

Наступне твердження майже очевидне.

Теорема 4. Нехай fug-періодичні функції з несумірними основними періодами Т) і Т2, а сума цих функцій h = f + g періодична і має основний період Т. Тоді число Т несумірне ні з Т], ні з Т2.

Доведення. З одного боку, якщо числа ТнТ) можна порівняти, то функція g = h-f має період, який можна порівняти з Г]. З іншого боку, через теорему 1 будь-який період функції g кратний числу Т2. Отримуємо протиріччя з несумірністю чисел Т і Т2. Несумірність чисел Т і Т2 доводиться аналогічно, d

Чудовим, і навіть певною мірою дивним, є той факт, що справедливе і твердження, протилежне до теореми 4. Широко поширена помилка про те, що сума двох періодичних функцій з непорівнянними періодами не може бути періодичною функцією. Насправді це не так. Більше того, період суми може бути будь-яким позитивним числом, що задовольняє твердження теореми 4.

Теорема 5. Нехай Т\, Т2іТ~ попарно несумірні позитивні числа. Тоді існують такі періодичні функції fug, що їх сума h =/+ g періодична, а основні періоди функції f guh рівні відповідно Th Т2 і Т.

Доведення. Доказ знову буде конструктивним. Наші побудови будуть істотно залежати від того, чи представимо число Т у вигляді раціональної комбінації Т = аТ\ + рТ2 (а і Р - раціональні числа) періодів Т\ і Т2.

I. Т не є раціональною комбінацією Тг та J2-

Нехай А = (mT + пТ2 + kT \ m, n, k е Z) - безліч цілих лінійних комбінацій чисел Гь Т2 і Т. Відзначимо відразу, що якщо число представимо у вигляді пгТ + пТ2 + кТ, то таке уявлення єдине . Справді, якщо тхТ + п\Тг + к\Т- m2Tx + п2Т2 + к2Т9 то

(к) - к2)Т- (від2 - т\)Т] + (п2 - щ)Тъ і при к\ * к2 отримуємо, що Т раціонально виражається через Т] та Т2. Значить, к = к2. Тепер з несумірності чисел Т і Т2 безпосередньо виходять рівності т = т2 і щ = п2.

Важливим є той факт, що легко перевіряється, що множини А і доповнення до нього А замкнуті щодо додавання чисел з А: якщо х е А і у е А, то х + у е А; якщо х е А і у е А, тох + у е А.

Припустимо, що у всіх точках множини А функції/і g дорівнюють нулю, а на множині А поставимо ці функції наступним чином:

f(mTi + пТ2 + кТ) = пТ2 + кТ g(mT1 + пТ2 + кТ) - гпТ - кТ.

Оскільки, як було показано, за кількістю х е А коефіцієнти т, пік лінійної комбінації періодів Гь Т2 і Г відновлюються однозначно, зазначені завдання функцій/і g коректні.

Функція h =/ + g на множині А дорівнює нулю, а в точках множини А дорівнює

h(mT + пТ2 + кТ) - тТ + пТ2.

Безпосереднім підстановкою легко переконатися, що число Т - період функції f число Т2 - період g, а Т ~ період h. Покажемо, що ці періоди – основні.

Спочатку відзначимо, що будь-який період функції / належить множині А. Дійсно,

якщо 0 фх в А,у е А, тох + у е А і f(x + у) = 0 * f(x). Значить, у е А - не період функції /

Нехай тепер не рівні один одному числах, х2 належать і f(x 1) ~f(x2). З визначення функції / звідси отримуємо, що х - х2 = 1ть де I- деяке ненульове ціле число. Отже, будь-який період функції/кратний Т\. Таким чином, Тх - справді основний період/

Так само перевіряються твердження щодо Т2 і Т.

Зауваження. У книзі на с. 172-173 наводиться інша загальна конструкція випадку I.

ІІ. Т-раціональна комбінація Т і Т2.

Представимо раціональну комбінацію періодів Т і Т2 у вигляді Г = - (кхТх + к2Т2), де кх і

к2 ™ взаємно прості цілі числа, к(Г + к2Т2 > 0, а/? і д - натуральні числа. Введемо в розглянь, лeZ>.

риння безліч В----

Припустимо, що у всіх точках множини В функції fig дорівнюють нулю, а на множині Задамо ці функції наступним чином:

^ тТ\ + пТ2 Л Я

^ mTx + пТ2 Л

Тут, як завжди, [х] і (х) позначають відповідно цілу та дробову частину числах. Функція до =/+ д на множині дорівнює нулю, а в точках множини В дорівнює

fmTx +пТ: л Ч

Безпосередньою підстановкою неважко перевірити, що число Тх – період функції/, число Т2 – період g, а Т – період h. Покажемо, що ці періоди – основні.

Будь-який період функції / належить множині В. Справді, якщо 0 * х е В, у е В, то f(x) Ф 0, j(x + у) = 0 */(*)■ Значить, у е В _ Не період функції/

Отже, кожен період функції / має вигляд Ту =

Де 5i та 52 - цілі числа. Нехай

х = -7] 4 - -Г2, х е 5. Якщо я = 0, то / (я) - раціональне число. Тепер із раціональності числа /(х + 7)) випливає рівність -I - I - 0. Отже, маємо рівність 52 = Хр, де X - деяке ціле

число. Співвідношення/(х + 7)) = /(х) набуває вигляду

^ П + I + I ш +

Ця рівність повинна виконуватися за всіх типів. При т-п~ 0 права частина (1) рав-

на нуль. Оскільки дробові частини невід'ємні, отримуємо звідси, що -<0, а при

т = п = д - ] сума дробових частин у правій частині рівності (1) не менше суми дробових годин-X

ліворуч. Отже, - >0. Таким чином, X = 0 і 52 = 0. Тому період функції / має вигляд

а рівність (1) переходить у

п\ | та 52 - цілі числа. Зі співвідношень

й(0) = 0 = й(ГА) =

отримуємо, що числа 51 і ^ повинні бути кратні р, тобто. за деяких цілих Лх і Л2 маємо 51 = Л\р, Е2 = Л2р. Тоді співвідношення (3) можна переписати як

З рівності Л2кх = к2Л і взаємної простоти чисел к і к2, випливає, що Л2 ділиться на к2. Звідси

для деякого цілого числа t справедливі рівність Л2 = k2t і Лх ~ kxt, тобто. Th~-(кхТх + к2Т2).

Показано, що будь-який період функції h кратний періоду Т = - (к(Гх + к2Т2)9 який, таким чином

зом, є основним. □

Відсутність основного періоду

Теорема 6. Нехай Тх і Т2 - довільні позитивні числа. Тоді існують такі періодичні функції fug, що їх основні періоди рівні відповідно Т і Т2, а їх сума h = f + g періодична, але не має основного періоду.

Доведення. Розглянемо два можливі випадки.

I. Періоди Тх і Т2 непорівнянні.

Нехай A = + пТ2 + kT. Як і вище, легко показати, що якщо число

представимо у вигляді тТх + пТ2 + кТ, то таке уявлення єдине.

Припустимо, що у всіх точках множини А функції / і g дорівнюють нулю, а на множині А поставимо ці функції наступним чином:

/від; + пТ2 + кТ) = пТ2 + кТ, g(mTx + пТ2 + кТ) = тТх – кТ.

Нескладно переконатися в тому, що число Тх - основний період функції / , число Т2 - основний період g і при будь-якому раціональному до числа кТ - період функції h - f + g, у якої, таким чином, немає найменшого періоду.

ІІ. Періоди Тх і Т2 можна порівняти.

Нехай Тх = тТ0, Т2 = пТ0, де Т0 > О, m і п – натуральні числа. Введемо на розгляд безліч Я = +.

Припустимо, що у всіх точках множини В функції fug дорівнюють нулю, а на множині В поставимо ці функції так:

/((/ + ЩТ0) = Щ + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Щ - 42к.

Функція h ~ / + g на множині дорівнює нулю, а в точках множини В дорівнює

Неважко перевірити, що число 7j = mTQ - основний період функції /, число Т2 ~ пТ0 - основний період g, тоді як серед періодів функції h ~ f + g є всі числа виду л/2кТ0, де до - довільне раціональне число. □

В основі конструкцій, що доводять теорему 6, лежить несумірність періодів функції h~/+g з періодами функцій/і g. Наведемо на закінчення приклад таких функцій fug, що всі періоди функцій /, g і / + g можна порівняти між собою, але у / і g є основні періоди, а у f + g - ні.

Нехай m – деяке фіксоване натуральне число, М – безліч нескоротних нецілих дробів, чисельники яких кратні m. Покладемо

1, якщо хеМ; 1

колисі mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

Про в інших випадках; 1, якщо хеМU

~, якщо 2 2

[Про інакше.

Легко бачити, що основні періоди функцій fug рівні відповідно m і 1, в той час як сума / + g має період будь-яке число виду m/n, де п - довільне натуральне число, взаємно просте з m .

Література

1. Математичний енциклопедичний словник/Гол. ред. Ю.В. Прохоров - М.: Рад. енциклопедія, 1988.

2. Мікаелян Л.В., Седракян Н.М. Про періодичність суми періодичних функцій// Математичне освіту. – 2000. – № 2(13). – С. 29-33.

3. Геренштейн А.В., Евнін А.Ю. Про суму періодичних функцій// Математика у шкільництві. -2002. - №1. - С. 68-72.

4. Івлєв Б.М. та ін. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу для 9 та 10 кл. - М: Просвітництво, 1978.