Funksiyaning davriyligini qanday aniqlash mumkin. Davriy funksiyalar Vaqtning davriy funksiyasi

Maqsad: talabalarning "Funksiyalarning davriyligi" mavzusidagi bilimlarini umumlashtirish va tizimlashtirish; davriy funksiyaning xossalarini qo‘llash, funksiyaning eng kichik musbat davrini topish, davriy funksiyalarning grafiklarini tuzish ko‘nikmalarini shakllantirish; matematikani o'rganishga qiziqishni rivojlantirish; kuzatuvchanlik va aniqlikni tarbiyalash.

Uskunalar: kompyuter, multimedia proyektori, topshiriq kartalari, slaydlar, soatlar, bezaklar jadvallari, xalq hunarmandchiligi elementlari

"Matematika - bu odamlar tabiatni va o'zlarini boshqarish uchun foydalanadigan narsadir."
A.N. Kolmogorov

Darslar davomida

I. Tashkiliy bosqich.

Talabalarning darsga tayyorgarligini tekshirish. Dars mavzusi va maqsadlari haqida xabar bering.

II. Uy vazifasini tekshirish.

Biz uy vazifalarini namunalar yordamida tekshiramiz va eng qiyin nuqtalarni muhokama qilamiz.

III. Bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish.

1. Og'zaki frontal ish.

Nazariya masalalari.

1) Funksiya davrining ta’rifini tuzing
2) y=sin(x), y=cos(x) funksiyalarning eng kichik musbat davrini ayting.
3). y=tg(x), y=ctg(x) funksiyalarning eng kichik musbat davri qancha?
4) Doira yordamida munosabatlarning to'g'riligini isbotlang:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+p n)=tgx, n € Z
ctg(x+p n)=ctgx, n € Z

sin(x+2p n)=sinx, n € Z
cos(x+2p n)=cosx, n € Z

5) Davriy funksiya grafigi qanday tuziladi?

Og'zaki mashqlar.

1) Quyidagi munosabatlarni isbotlang

a) gunoh (740º) = gunoh (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) gunoh (-1000º) = gunoh (80º)

2. 540º burchak y= cos(2x) funksiyaning davrlaridan biri ekanligini isbotlang.

3. 360º burchak y=tg(x) funksiyaning davrlaridan biri ekanligini isbotlang.

4. Ushbu ifodalarni ularga kiritilgan burchaklar mutlaq qiymatda 90º dan oshmasligi uchun aylantiring.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. DAVRANI, DAVRILIK so‘zlarini qayerdan uchratdingiz?

Talabalarning javoblari: Musiqadagi davr - bu ozmi-koʻpmi toʻliq musiqiy fikr ifodalangan tuzilma. Geologik davr eraning bir qismi bo'lib, 35 dan 90 million yilgacha bo'lgan davrlarga bo'linadi.

Radioaktiv moddaning yarim yemirilish davri. Davriy kasr. Davriy nashrlar - qat'iy belgilangan muddatlarda chiqadigan bosma nashrlar. Mendeleyev davriy sistemasi.

6. Rasmlarda davriy funksiyalar grafiklarining qismlari ko'rsatilgan. Funktsiyaning davrini aniqlang. Funktsiyaning davrini aniqlang.

Javob: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Hayotingizda qayerda takrorlanuvchi elementlarning konstruktsiyasiga duch keldingiz?

Talaba javobi: Naqsh elementlari, xalq amaliy san’ati.

IV. Kollektiv muammolarni hal qilish.

(Slayddagi masalalarni yechish.)

Davriylik uchun funktsiyani o'rganish usullaridan birini ko'rib chiqamiz.

Bu usul ma'lum bir davrning eng kichik ekanligini isbotlash bilan bog'liq qiyinchiliklardan qochadi, shuningdek davriy funktsiyalar bo'yicha arifmetik amallar va murakkab funktsiyaning davriyligi haqidagi savollarga murojaat qilish zaruratini yo'q qiladi. Mulohaza faqat davriy funktsiyaning ta'rifiga va quyidagi faktga asoslanadi: agar T - funktsiya davri bo'lsa, nT(n?0) uning davri.

Masala 1. f(x)=1+3(x+q>5) funksiyaning eng kichik musbat davrini toping.

Yechish: Bu funksiyaning T davri deb faraz qilaylik. Keyin barcha x € D(f) uchun f(x+T)=f(x), ya'ni.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Keling, x=-0,25 ni qo'yamiz

(T)=0<=>T=n, n € Z

Biz ko'rib chiqilayotgan funktsiyaning barcha davrlari (agar ular mavjud bo'lsa) butun sonlar orasida ekanligini bilib oldik. Shu sonlar orasidan eng kichik musbat sonni tanlaylik. Bu 1 . Keling, bu haqiqatan ham davr bo'ladimi-yo'qligini tekshirib ko'raylik 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Har qanday T uchun (T+1)=(T) boʻlgani uchun f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), yaʼni. 1 – davr f. 1 barcha musbat sonlarning eng kichigi bo'lgani uchun T=1 bo'ladi.

Masala 2. f(x)=cos 2 (x) funksiya davriy ekanligini ko‘rsating va uning bosh davrini toping.

Masala 3. Funksiyaning bosh davrini toping

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Funktsiyaning T-davrini faraz qilaylik, keyin har qanday uchun X nisbat amal qiladi

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Agar x = 0 bo'lsa, u holda

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Agar x=-T bo'lsa, u holda

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Uni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Davr uchun barcha "shubhali" raqamlardan eng kichik musbat sonni tanlaymiz va bu f uchun nuqta ekanligini tekshiramiz. Bu raqam

f(x+)=sin(1,5x+4p )+5cos(0,75x+2p )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Bu f funktsiyaning asosiy davri ekanligini bildiradi.

Masala 4. f(x)=sin(x) funksiya davriy ekanligini tekshiramiz

T f funktsiyaning davri bo'lsin. Keyin har qanday x uchun

sin|x+T|=sin|x|

Agar x=0 bo'lsa, sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=p n, n € Z.

Faraz qilaylik. Ya'ni, ba'zi bir n uchun p n soni davrdir

ko'rib chiqilayotgan funksiya p n>0. Keyin sin|p n+x|=sin|x|

Bu shuni anglatadiki, n ham juft, ham toq son bo'lishi kerak, lekin bu mumkin emas. Shuning uchun bu funktsiya davriy emas.

Vazifa 5. Funktsiyaning davriyligini tekshiring

f(x)=

U holda T f davri bo'lsin

, shuning uchun sinT=0, T=p n, n € Z. Faraz qilaylik, ba'zi n uchun p n soni haqiqatdan ham shu funktsiyaning davri hisoblanadi. Keyin 2p n soni davr bo'ladi

Numeratorlar teng bo'lgani uchun ularning maxrajlari teng bo'ladi

Bu f funksiyaning davriy emasligini bildiradi.

Guruhlarda ishlash.

1-guruh uchun vazifalar.

2-guruh uchun vazifalar.

f funktsiyasi davriy ekanligini tekshiring va uning asosiy davrini toping (agar u mavjud bo'lsa).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

3-guruh uchun vazifalar.

Ish yakunida guruhlar o‘z yechimlarini taqdim etadilar.

VI. Darsni yakunlash.

Reflektsiya.

O'qituvchi o'quvchilarga chizmalar tushirilgan kartochkalarni beradi va birinchi chizmaning bir qismini davriylik bo'yicha funktsiyani o'rganish usullarini qay darajada o'zlashtirganliklari darajasiga ko'ra, ikkinchi chizmada esa - o'zlariga ko'ra rang berishni so'raydi. darsdagi ishga qo'shgan hissasi.

VII. Uy vazifasi

1). f funktsiyasi davriy ekanligini tekshiring va uning asosiy davrini toping (agar u mavjud bo'lsa)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). y=f(x) funksiyasi T=2 davriga ega va x € [-2 uchun f(x)=x 2 +2x; 0]. -2f(-3)-4f(3.5) ifoda qiymatini toping.

Adabiyot/

Mordkovich A.G. Algebra va chuqur o'rganish bilan tahlilning boshlanishi.
Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik. Ed. Lisenko F.F., Kulabuxova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. 10-11-sinflar uchun algebra va boshlang‘ich tahlil.

Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Algebra va tahlilning boshlanishi, 10-sinf (profil darajasi) A.G.Mordkovich, P.E.Semenov Oʻqituvchi Volkova S.E.

Ta'rif 1 Har qanday x ∈ X uchun f (x – T) = f (x) = f (x + T) tenglik bajarilsa, y = f (x), x ∈ X funksiya T davriga ega deyiladi. Agar davri T bo‘lgan funksiya x nuqtada aniqlangan bo‘lsa, u x + T, x – T nuqtalarda ham aniqlanadi. Har qanday funksiya T = 0 da nolga teng davrga ega bo‘lsa, f(x – 0) = f ni olamiz. (x) = f( x + 0) .

Ta'rif 2 T nolga teng bo'lmagan davriga ega bo'lgan funksiya davriy deyiladi. Agar y = f (x), x ∈ X funksiya T davriga ega bo‘lsa, T ga karrali bo‘lgan har qanday son (ya’ni kT, k ∈ Z ko‘rinishdagi son) ham uning davri hisoblanadi.

Isbot 2T funksiyaning davri bo'lsin. Keyin f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Xuddi shunday, f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) va hokazo ekanligi isbotlangan. Shunday qilib, f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Davriy funktsiyaning musbat davrlari orasidagi eng kichik davr bu funksiyaning asosiy davri deyiladi.

Davriy funktsiya grafigining xususiyatlari Agar T y = f(x) funksiyaning asosiy davri bo'lsa, u holda quyidagilar kifoya qiladi: T uzunlikdagi intervallardan birida grafikning filialini qurish, parallel ko'chirishni amalga oshirish. bu filialning x o'qi bo'ylab ±T, ±2T, ±3T va hokazo. Odatda nuqtalarda uchlari bilan bo'shliq tanlanadi

Davriy funksiyalarning xossalari 1. Agar f(x) davriy funksiyasi T davri bo‘lsa, g(x) = A f(kx + b), bunda k > 0 funksiya ham davriy bo‘lib, T 1 = T/ davriga ega. k. 2. f 1 (x) va f 2 (x) funksiyalar butun son o‘qi bo‘yicha aniqlansin va T 1 > 0 va T 2 >0 davrlar bilan davriy bo‘lsin. U holda T 1 /T 2 ∈ Q uchun f(x) = f(x) + f 2 (x) funksiya T davri T 1 va T 2 sonlarning eng kichik umumiy karraliga teng davriy funksiyadir.

Misollar 1. y = f(x) davriy funksiya barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlangan. Uning davri 3 va f(0) =4 ga teng. 2f(3) – f(-3) ifoda qiymatini toping. Yechim. T = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4. Olingan qiymatlarni 2f ifodasiga almashtirish (3) - f(-3) , biz 8 - 4 =4 ni olamiz. Javob: 4.

Misollar 2. Barcha haqiqiy sonlar uchun y = f(x) davriy funksiya aniqlangan. Uning davri 5 ga teng, f(-1) = 1. Agar 2f(3) – 5f(9) = 9 bo‘lsa, f(-12) ni toping. Yechim T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Javob: 7.

Foydalanilgan adabiyotlar A.G.Mordkovich, P.V.Semenov. Algebra va tahlilning boshlanishi (profil darajasi), 10-sinf A.G.Mordkovich, P.V.Semenov. Algebra va tahlil boshlanishi (profil darajasi), 10-sinf. O'qituvchilar uchun uslubiy qo'llanma

Mavzu bo'yicha: uslubiy ishlanmalar, taqdimotlar va eslatmalar

Davriy qonun va davriy tizim D.I. Mendeleev.

Ushbu mavzu bo'yicha keng qamrovli dars o'yin shaklida, pedagogik ustaxonalardagi texnologiya elementlaridan foydalangan holda olib boriladi....

“D.I.Mendeleyev kimyoviy elementlarning davriy qonuni va davriy tizimi” sinfdan tashqari tadbir.

Sinfdan tashqari mashg'ulotda davriy qonun va davriy tizimning yaratilish tarixi D.I. Mendeleev. Ma'lumotlar she'riy shaklda taqdim etilgan bo'lib, bu tez yodlashni osonlashtiradi...

“D.I.Mendeleyev davriy qonuni va kimyoviy elementlarning davriy tizimi” sinfdan tashqari mashg‘ulotga ilova.

Qonunning kashf etilishidan oldin D.I.ning uzoq va qizg'in ilmiy ishlari olib borildi. Mendeleevga 15 yil, uni yanada chuqurlashtirishga esa yana 25 yil berildi....

Uskunalar: kompyuter, multimedia proyektori, topshiriq kartalari, slaydlar, soatlar, bezaklar jadvallari, xalq hunarmandchiligi elementlari

"Matematika - bu odamlar tabiatni va o'zlarini boshqarish uchun foydalanadigan narsadir."
A.N. Kolmogorov

Darslar davomida

I. Tashkiliy bosqich.

Talabalarning darsga tayyorgarligini tekshirish. Dars mavzusi va maqsadlari haqida xabar bering.

II. Uy vazifasini tekshirish.

Biz uy vazifalarini namunalar yordamida tekshiramiz va eng qiyin nuqtalarni muhokama qilamiz.

III. Bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish.

1. Og'zaki frontal ish.

Nazariya masalalari.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+p n)=tgx, n € Z
ctg(x+p n)=ctgx, n € Z

sin(x+2p n)=sinx, n € Z
cos(x+2p n)=cosx, n € Z

5) Davriy funksiya grafigi qanday tuziladi?

Og'zaki mashqlar.

1) Quyidagi munosabatlarni isbotlang

a) gunoh (740º) = gunoh (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) gunoh (-1000º) = gunoh (80º)

2. 540º burchak y= cos(2x) funksiyaning davrlaridan biri ekanligini isbotlang.

3. 360º burchak y=tg(x) funksiyaning davrlaridan biri ekanligini isbotlang.

4. Ushbu ifodalarni ularga kiritilgan burchaklar mutlaq qiymatda 90º dan oshmasligi uchun aylantiring.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. DAVRANI, DAVRILIK so‘zlarini qayerdan uchratdingiz?

Talabalarning javoblari: Musiqadagi davr - bu ozmi-koʻpmi toʻliq musiqiy fikr ifodalangan tuzilma. Geologik davr eraning bir qismi bo'lib, 35 dan 90 million yilgacha bo'lgan davrlarga bo'linadi.

Radioaktiv moddaning yarim yemirilish davri. Davriy kasr. Davriy nashrlar - qat'iy belgilangan muddatlarda chiqadigan bosma nashrlar. Mendeleyev davriy sistemasi.

6. Rasmlarda davriy funksiyalar grafiklarining qismlari ko'rsatilgan. Funktsiyaning davrini aniqlang. Funktsiyaning davrini aniqlang.

Javob: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Hayotingizda qayerda takrorlanuvchi elementlarning konstruktsiyasiga duch keldingiz?

Talaba javobi: Naqsh elementlari, xalq amaliy san’ati.

IV. Kollektiv muammolarni hal qilish.

(Slayddagi masalalarni yechish.)

Davriylik uchun funktsiyani o'rganish usullaridan birini ko'rib chiqamiz.

Masala 1. f(x)=1+3(x+q>5) funksiyaning eng kichik musbat davrini toping.

Yechish: Bu funksiyaning T davri deb faraz qilaylik. Keyin barcha x € D(f) uchun f(x+T)=f(x), ya'ni.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Keling, x=-0,25 ni qo'yamiz

(T)=0<=>T=n, n € Z

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Har qanday T uchun (T+1)=(T) boʻlgani uchun f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), yaʼni. 1 – davr f. 1 barcha musbat sonlarning eng kichigi bo'lgani uchun T=1 bo'ladi.

Masala 2. f(x)=cos 2 (x) funksiya davriy ekanligini ko‘rsating va uning bosh davrini toping.

Masala 3. Funksiyaning bosh davrini toping

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Funktsiyaning T-davrini faraz qilaylik, keyin har qanday uchun X nisbat amal qiladi

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Agar x = 0 bo'lsa, u holda

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Agar x=-T bo'lsa, u holda

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Uni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Davr uchun barcha "shubhali" raqamlardan eng kichik musbat sonni tanlaymiz va bu f uchun nuqta ekanligini tekshiramiz. Bu raqam

f(x+)=sin(1,5x+4p )+5cos(0,75x+2p )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Bu f funktsiyaning asosiy davri ekanligini bildiradi.

Masala 4. f(x)=sin(x) funksiya davriy ekanligini tekshiramiz

T f funktsiyaning davri bo'lsin. Keyin har qanday x uchun

sin|x+T|=sin|x|

Agar x=0 bo'lsa, sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=p n, n € Z.

Faraz qilaylik. Ya'ni, ba'zi bir n uchun p n soni davrdir

ko'rib chiqilayotgan funksiya p n>0. Keyin sin|p n+x|=sin|x|

Bu shuni anglatadiki, n ham juft, ham toq son bo'lishi kerak, lekin bu mumkin emas. Shuning uchun bu funktsiya davriy emas.

Vazifa 5. Funktsiyaning davriyligini tekshiring

f(x)=

U holda T f davri bo'lsin

, shuning uchun sinT=0, T=p n, n € Z. Faraz qilaylik, ba'zi n uchun p n soni haqiqatdan ham shu funktsiyaning davri hisoblanadi. Keyin 2p n soni davr bo'ladi

Numeratorlar teng bo'lgani uchun ularning maxrajlari teng bo'ladi

Bu f funksiyaning davriy emasligini bildiradi.

Guruhlarda ishlash.

1-guruh uchun vazifalar.

2-guruh uchun vazifalar.

f funktsiyasi davriy ekanligini tekshiring va uning asosiy davrini toping (agar u mavjud bo'lsa).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

3-guruh uchun vazifalar.

Ish yakunida guruhlar o‘z yechimlarini taqdim etadilar.

VI. Darsni yakunlash.

Reflektsiya.

VII. Uy vazifasi

1). f funktsiyasi davriy ekanligini tekshiring va uning asosiy davrini toping (agar u mavjud bo'lsa)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). y=f(x) funksiyasi T=2 davriga ega va x € [-2 uchun f(x)=x 2 +2x; 0]. -2f(-3)-4f(3.5) ifoda qiymatini toping.

Adabiyot/

Mordkovich A.G. Algebra va chuqur o'rganish bilan tahlilning boshlanishi.
Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik. Ed. Lisenko F.F., Kulabuxova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. 10-11-sinflar uchun algebra va boshlang‘ich tahlil.

Ba'zi bir muntazam argumentlar oralig'ida uning qiymatlarini takrorlash, ya'ni argumentga nolga teng bo'lmagan nolga teng son qo'shganda uning qiymatini o'zgartirmaslik ( davr funktsiyalari) ta'rifning butun maydoni bo'ylab.

Rasmiyroq aytganda, funktsiya davr bilan davriy deb ataladi T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), agar har bir nuqta uchun x (\displaystyle x) nuqtani aniqlash sohasidan x + T (\displaystyle x+T) Va x − T (\displaystyle x-T) ham uning ta'rif sohasiga tegishli va ular uchun tenglik amal qiladi f (x) = f (x + T) = f (x - T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Ta'rifga asoslanib, tenglik davriy funktsiya uchun ham to'g'ri keladi f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Qayerda n (\displaystyle n)- har qanday butun son.

Biroq, agar davrlar to'plami ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle $T,T>0,T\in \mathbb (R) $) eng kichik qiymat mavjud bo'lsa, u chaqiriladi asosiy (yoki asosiy) davr funktsiyalari.

Misollar

Sin ⁡ (x + 2 p) = sin ⁡ x, cos ⁡ (x + 2 p) = cos ⁡ x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

Dirixlet funktsiyasi davriy bo'lib, uning davri nolga teng bo'lmagan har qanday ratsional sondir. Bundan tashqari, uning asosiy davri yo'q.

Davriy funksiyalarning ayrim xususiyatlari

Va T 2 (\displaystyle T_(2))(ammo bu raqam oddiygina davr bo'ladi). Masalan, funktsiya f (x) = sin ⁡ (2 x) − gunoh ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) asosiy davr hisoblanadi 2 p (\displaystyle 2\pi ), funksiyada g (x) = gunoh ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) davriga teng 2 p / 3 (\displaystyle 2\pi /3), va ularning yig'indisi f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) asosiy davr aniq tengdir p (\displaystyle \pi).

Davrlari teng bo'lmagan ikkita funktsiya yig'indisi har doim ham davriy bo'lmagan funktsiya bo'lavermaydi.

UDC 517.17+517.51

IKKI DAVRIY FUNKSIYALAR YIG'INDASI DAVRI

A/O. Evnin

Asarda asosiy davrlari ma’lum bo‘lgan ikki davriy funksiya yig‘indisidan iborat bo‘lgan davriy funktsiyaning asosiy davri qanday bo‘lishi mumkinligi haqidagi savol to‘liq hal etilgan. Davriy funktsiyalarning davriy yig'indisi uchun asosiy davrning yo'qligi ham o'rganiladi.

Haqiqiy o'zgaruvchining real qiymatli funksiyalarini ko'rib chiqamiz. Ensiklopedik nashrda, "Davriy funktsiyalar" maqolasida siz o'qishingiz mumkin: "Turli davrlarga ega bo'lgan davriy funktsiyalar yig'indisi, agar ularning davrlari mutanosib bo'lsa, davriydir." Bu gap uzluksiz funksiyalar uchun to'g'ri, lekin umumiy holatda bajarilmaydi. Juda umumiy shaklga qarama-qarshi misol qurilgan. Ushbu maqolada biz davriy funktsiyaning asosiy davri nima bo'lishi mumkinligini bilib olamiz, bu ikki davriy funktsiyaning yig'indisi asosiy davrlari ma'lum.

Dastlabki ma'lumotlar

Eslatib o'tamiz, agar ma'lum bir T F O soni uchun D(f) ta'rif sohasidagi istalgan x uchun x + T va x - T raqamlari D(f) ga va f(x +) tengliklariga tegishli bo'lsa, / funktsiyasi davriy deyiladi. T) = f( x) =f(x ~ T). Bunda G soni funksiyaning davri deb ataladi.

Funksiyaning eng kichik ijobiy davrini (albatta, u mavjud bo'lsa) asosiy davr deb ataymiz. Quyidagi fakt ma'lum.

Teorema 1. Agar funktsiyaning asosiy davri To bo'lsa, u holda funksiyaning istalgan davri nTo ko'rinishga ega bo'ladi, bunda n F 0 butun sondir.

T\ va T2 raqamlari, agar T\ va T2 ga bir necha marta to'g'ri keladigan T0 soni bo'lsa, o'lchovli deyiladi: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. Aks holda, T\ va T2 raqamlari tengsiz deb ataladi. Davrlarning mutanosibligi (qiyoslanmasligi) demak, ularning nisbati ratsional (irratsional) son ekanligini bildiradi.

1-teoremadan kelib chiqadiki, fundamental davri bo'lgan funksiya uchun har qanday ikkita davr mutanosibdir.

Eng kichik davrga ega bo'lmagan funksiyaga klassik misol sifatida ratsional nuqtalarda 1 ga, irratsional nuqtalarda esa nolga teng bo'lgan Dirixlet funksiyasi keltirilgan. Noldan boshqa har qanday ratsional son Dirixle funksiyasining davri, har qanday irratsional son esa uning davri emas. Ko'rib turganimizdek, bu erda ham har qanday ikki davrni solishtirish mumkin.

O'lchovsiz davrlarga ega bo'lgan doimiy bo'lmagan davriy funktsiyaga misol keltiramiz.

/u + la/2, m, n e Z ko‘rinishdagi nuqtalarda /(x) funksiya 1 ga teng bo‘lsin va ga teng bo‘lsin.

nol. Bu funktsiyaning davrlari orasida 1 va l bor

Muvofiq davrlarga ega funktsiyalar yig'indisining davri

Teorema 2. Fug asosiy davrlari mT0 va “Bu, bu yerda turi bo'lgan davriy funksiyalar bo'lsin.

O'zaro tub sonlar. Keyin ularning yig'indisining asosiy davri (agar mavjud bo'lsa) -ga teng bo'ladi.

bu yerda k natural son mn soniga ko‘paytiriladi.

Isbot. h = / + g bo'lsin. Shubhasiz, mnT0 soni h davridir. tufayli

1-teoremaning asosiy davri h ko'rinishga ega bo'lib, bunda k qandaydir natural sondir. Taxminan

Faraz qilaylik, k m soni bilan nisbatan tub emas, ya'ni k - dku m = dm\, bu erda d>1 eng ko'p.

1 Har qanday chekli sonli uzluksiz funksiyalar yig'indisi juftlik bilan taqqoslanmaydigan davrlar davriy emasligining ajoyib isboti Shuningdek qarang.

m va k sonlarining katta umumiy bo'luvchisi.U holda k funksiyaning davri teng bo'ladi

va f=h-g funksiyasi

mxnTo davriga ega, bu esa uning asosiy davri mTQ ga karrali emas. 1-teoremaga qarama-qarshilik olinadi.Demak, k m bilan ko`paytiriladi.Shunga o`xshab, k va n sonlar ko`paytiriladi.Demak, A: m bilan ko`proq tubdir. □

Teorema 3. m, n va k juft tub sonlar, T0 esa musbat son bo‘lsin. Keyin f, g va (f + g) asosiy davrlar bo'ladigan davriy funksiyalar mavjud

biz mos ravishda tT$, nTQ va -

Isbot. Teoremaning isboti konstruktiv bo'ladi: biz shunchaki mos keladigan misolni tuzamiz. Avval quyidagi natijani shakllantiramiz. Bayonot. m nisbatan tub sonlar bo‘lsin. Keyin funktsiyalar

fx - cos- + cos--- va f2= cos- m n m

cos- 2ktp fundamental davriga ega. P

Bayonotning isboti. Shubhasiz, 2ptn soni ikkala funktsiyaning davridir. Bu davr funksiya uchun asosiy ekanligini osongina tekshirishingiz mumkin.Uning maksimal nuqtalarini topamiz.

x = 2lM, te Z.

Bizda = n!. Turning o'zaro soddaligidan kelib chiqadiki, 5 / r ning ko'paytmasi, ya'ni. i = I e b. Bu shuni anglatadiki, /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2 va /\ funksiyaning maksimal qo'shni nuqtalari orasidagi masofa 2ktp ga teng va /1 musbat davri 2 spp sonidan kam bo'lishi mumkin emas. .

Funktsiya uchun biz boshqa turdagi mulohazalarni qo'llaymiz (bu funktsiyaga ham mos keladi, lekin

kamroq boshlang'ich). 1-teoremadan ko'rinib turibdiki, funksiya/2 ning bosh davri G - ko'rinishga ega,

Bu yerda k - yoziladigan natural son. G soni ham funktsiyaning davri bo'ladi

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 cos

barcha davrlari 2pp1 ko'rinishga ega. Shunday qilib,

2nnl, ya'ni. t = kl. Chunki t va k o'zaro

sty, bundan k = 1 kelib chiqadi.

Endi 3-teoremani isbotlash uchun biz kerakli misolni qurishimiz mumkin. Misol. m, n va k juftlik nisbatan tub sonlar bo‘lsin va n yoki k sonlarning hech bo‘lmaganda bittasi 1 dan farqli bo‘lsin. Keyin pf k va funksiyaning tasdiqlangan bayonoti tufayli.

/ (x) = cos--- + cos- t to

Va g (x) = cos-cos - p to

mos ravishda 2 ltk va 2 tk asosiy davrlarga ega va ularning yig'indisi

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

asosiy davr - 2 ttp.

Agar n = k = 1 bo'lsa, u holda bir juft funktsiya bajariladi

f(x)-2 cos- + COS X va g(x) - COS X. m

Ularning asosiy davrlari, shuningdek, k(x) - 2 funksiyaning davri mos ravishda 2lm, 2/gi 2tipga teng.

tekshirish qanchalik oson.

Matematika

T = 2lx ni belgilaymiz. mn, n va k ixtiyoriy juft tub sonlar uchun f va £ funksiyalar shunday ko‘rsatilganki, f, g va f + g funksiyalarning asosiy davrlari mT, nT va ga teng bo‘ladi.

Teorema shartlari / - n funksiyalar bilan qanoatlantiriladi;

O'lchovsiz davrlarga ega funktsiyalar yig'indisining davri

Keyingi bayonot deyarli aniq.

Teorema 4. Fug bosh davrlari T) va T2 bilan taqqoslanmaydigan davriy funksiyalar bo'lsin va bu funksiyalarning yig'indisi h = f + g davriy bo'lib, T bosh davriga ega. U holda T soni na T] bilan, na T2 bilan taqqoslanmaydi.

Isbot. Bir tomondan, agar TnT) sonlari mutanosib bo'lsa, u holda g = h-f funksiyasi G] ga mutanosib davrga ega. Boshqa tomondan, 1-teoremaga ko'ra, g funktsiyaning istalgan davri T2 soniga karrali hisoblanadi. Biz T\ va T2 raqamlarining mos kelmasligi bilan ziddiyatga ega bo'lamiz. T va T2 sonlarining oʻzaro mos kelmasligi xuddi shunday tarzda isbotlangan, d

Ajablanarlisi va hatto biroz hayratlanarli tomoni shundaki, 4-teoremaning teskarisi ham to'g'ridir.O'lchovsiz davrlarga ega bo'lgan ikkita davriy funktsiyaning yig'indisi davriy funktsiya bo'la olmaydi, degan noto'g'ri tushuncha keng tarqalgan. Aslida, bu shunday emas. Bundan tashqari, yig'indi davri 4-teorema bayonotini qanoatlantiradigan har qanday ijobiy son bo'lishi mumkin.

5-teorema. T\, T2 va T~ juftlik bilan taqqoslanmaydigan musbat sonlar bo'lsin. Keyin fug davriy funktsiyalari mavjud bo'lib, ularning yig'indisi h =/+ g davriy bo'ladi va f guh funktsiyasining asosiy davrlari mos ravishda Th T2 va T ga teng.

Isbot. Dalil yana konstruktiv bo'ladi. Bizning konstruktsiyalarimiz sezilarli darajada T soni T\ va T2 davrlarining T = aT\ + pT2 (a va P ratsional sonlar) ratsional birikmasi shaklida ifodalanishi mumkinmi yoki yo'qligiga bog'liq bo'ladi.

I. T Tg va J2-ning oqilona birikmasi emas.

A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) T1 T2 va T sonlarining butun chiziqli birikmalari toʻplami boʻlsin. Darhol taʼkidlaymizki, agar raqam mT\ + nT2 koʻrinishida ifodalanishi mumkin boʻlsa. + kT, keyin bunday vakillik noyobdir . Haqiqatan ham, agar mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9 bo'lsa, u holda

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - p)T' va k\ * k2 uchun T ratsional ravishda T] va T2 orqali ifodalanganligini olamiz. Bu k\ = k2 degan ma'noni anglatadi. Endi T\ va T2 sonlarining o'zaro mos kelmasligidan darhol m\ = m2 va u = n2 tengliklari olinadi.

Muhim fakt shundan iboratki, A to'plamlari va uning to'ldiruvchisi A dan raqamlar qo'shilishi ostida yopiladi: agar x e A va y e A, u holda x + y e A; agar x e A va y e A bo'lsa, u holda x + y e A.

Faraz qilaylik, A to'plamning barcha nuqtalarida / va g funktsiyalari nolga teng va A to'plamda bu funktsiyalarni quyidagicha aniqlaymiz:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.

Ko'rsatilgandek, x e A sonidan T1 T2 va T davrlarining chiziqli birikmasining m, cho'qqisi koeffitsientlari noyob tarzda tiklanganligi sababli, / va g funktsiyalarining ko'rsatilgan topshiriqlari to'g'ri.

A to'plamdagi h =/ + g funktsiyasi nolga teng, A to'plam nuqtalarida esa u teng

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

To'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali T\ soni f funktsiyaning davri, T2 soni g davri, T~ - h davri ekanligini tekshirish oson. Keling, bu davrlar asosiy ekanligini ko'rsatamiz.

Birinchidan, funktsiyaning istalgan davri / A to'plamiga tegishli ekanligini ta'kidlaymiz. Haqiqatan ham,

agar A,y e A da 0 fx, u holda ox + y e A va f(x + y) = 0 *f(x). Bu y e A funksiyaning davri emasligini bildiradi /

Endi x2 teng bo'lmagan sonlar va f(x 1) ~f(x2) bo'lsin. Funktsiyaning ta'rifidan / biz bu erdan x\ - x2 = 1T ni olamiz, bu erda I nolga teng bo'lmagan butun sondir. Demak, funktsiyaning istalgan davri T\ ga karrali hisoblanadi. Shunday qilib, Tx haqiqatan ham asosiy davr /

T2 va T ga oid bayonotlar xuddi shu tarzda tekshiriladi.

Izoh. Kitobda p. 172-173 I holat uchun yana bir umumiy konstruktsiya berilgan.

II. T - T\ va T2 ning oqilona kombinatsiyasi.

T\ va T2 davrlarining ratsional birikmasini G = - (kxTx + k2T2) ko'rinishida keltiramiz, bunda kx va

k2 ™ umumiy sonlar, k(D\ + k2T2 > 0, a/? va d natural sonlar. leZ> ni kiritamiz.

reni to'plami B----

Faraz qilaylik, B to'plamning barcha nuqtalarida f va g funktsiyalari nolga teng va B to'plamda bu funksiyalarni quyidagicha aniqlaymiz:

^ mT\ + nT2 L I

^ mTx + nT2 L

Bu yerda odatdagidek [x] va (x) mos ravishda sonlarning butun va kasr qismlarini bildiradi. B to'plamdagi k =/+ d funksiyasi nolga teng, B to'plam nuqtalarida esa u teng

fmTx +pT: l H

To'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali Tx soni funktsiya davri ekanligini tekshirish oson /, T2 soni g davri, T esa h davri. Keling, bu davrlar asosiy ekanligini ko'rsatamiz.

Funktsiyaning istalgan davri / B to'plamga tegishlidir. Haqiqatan ham, agar 0 * x e B, y e B bo'lsa, f(x) F 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Demak, y e B _ Funktsiya davri emas/

Demak, funktsiyaning har bir davri / Ty = ko'rinishga ega

Bu erda 5i va 52 butun sonlar. Mayli

x = -7] 4- -G2, x e 5. Agar i = 0 bo'lsa, f(i) ratsional sondir. Endi /(x + 7)) sonining ratsionalligidan -I - I - 0 tengligi kelib chiqadi.Bu bizda 52 = Xp tengligiga ega ekanligini bildiradi, bu erda X qandaydir butun sondir.

raqam. /(x + 7)) = /(x) munosabati shaklni oladi

^P + I + I w +

Bu tenglik barcha tamsayılar turlari uchun amal qilishi kerak. t-n~ 0 da (1) ning o'ng tomoni teng

nolga. Kasr qismlar manfiy bo'lmaganligi sababli, biz bundan olamiz -<0, а при

m = n = d - ] tenglikning o'ng tomonidagi kasr qismlari yig'indisi (1) h-X kasr qismlari yig'indisidan kam emas.

chap tomonda. Bu - >0 degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, X = 0 va 52 = 0. Shuning uchun funktsiyaning davri / ko'rinishga ega

va tenglik (1) bo'ladi

n\ | 52 esa butun sonlardir. Munosabatlardan

th(0) = 0 = th(GA) =

biz 51 va ^ raqamlari p ga karrali bo'lishi kerakligini aniqlaymiz, ya'ni. ba'zi Ax va A2 butun sonlar uchun bizda 51 = A\p, E2 = A2p mavjud. Keyin munosabat (3) sifatida qayta yozilishi mumkin

A2kx = k2A\ tengligi va k\ va k2 sonlarining o'zaro tubligidan A2 k2 ga bo'linishi kelib chiqadi. Bu yerdan

ba'zi bir butun t uchun A2 = k2t va Ax ~ kxt tengliklari o'rinlidir, ya'ni. Th ~-(kxTx + k2T2).

H funktsiyaning istalgan davri T = - (k(Gx + k2T2)9) davriga karrali ekanligi ko'rsatilgan.

zom, asosiy hisoblanadi. □

Asosiy davr yo'q

Teorema 6. Tx va T2~ ixtiyoriy musbat sonlar bo'lsin. U holda fug davriy funktsiyalari mavjud bo'lib, ularning asosiy davrlari mos ravishda T\ va T2 ga teng, h=f+g yig'indisi davriy, lekin asosiy davri yo'q.

Isbot. Keling, ikkita mumkin bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik.

I. Tx va T2 davrlari tengsizdir.

A = + nT2 +kT\ bo'lsin. Yuqoridagidek, agar raqam bo'lsa, buni ko'rsatish oson

mTx + nT2 + kT ko'rinishida ifodalanishi mumkin, u holda bunday tasvir noyobdir.

Faraz qilaylik, A to'plamning barcha nuqtalarida / va g funktsiyalari nolga teng va A to'plamda bu funktsiyalarni quyidagicha aniqlaymiz:

/dan; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g (mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Tx soni funktsiyaning asosiy davri ekanligini tekshirish oson, T2 soni g asosiy davri, har qanday ratsional k uchun kT soni h - f + g funksiyaning davridir, bu esa, shuning uchun eng kichik davrga ega emas.

II. Tx va T2 davrlarini solishtirish mumkin.

Tx = mT0, T2 = nT0 bo'lsin, bu erda T0 > O, m va n natural sonlar. I = + to'plamini hisobga olamiz.

Faraz qilaylik, B to'plamning barcha nuqtalarida fug funktsiyalari nolga teng va B to'plamda bu funktsiyalarni quyidagicha aniqlaymiz:

/((/ + ShT0) = Shch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.

B to'plamdagi h ~ / + g funktsiyasi nolga teng, B to'plam nuqtalarida esa u teng

7j = mTQ soni funktsiyaning bosh davri / ekanligini tekshirish oson, T2 ~ nT0 soni g ning bosh davri, h~ f + g funksiya davrlari orasida esa barcha raqamlar mavjud. shakl l/2kT0, bu erda k - ixtiyoriy ratsional son. □

6-teoremani isbotlovchi konstruktsiyalar h~ / + g funksiya davrlarining / va g funksiya davrlari bilan mos kelmasligiga asoslanadi. Xulosa qilib aytganda, fug funksiyalariga shunday misol keltiramizki, /, g va /+ g funksiyalarning barcha davrlari bir-biriga mutanosib, lekin / va g ning asosiy davrlari bor, f + g esa bunday emas.

m qandaydir qo‘zg‘almas natural son, M hisoblagichlari m ga karrali bo‘lgan kamaytirilmaydigan butun bo‘lmagan kasrlar to‘plami bo‘lsin. Keling, qo'ying

1 agar heM; 1

agar mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O boshqa hollarda; 1 agar xeMU

~, agar2 2

[Aks holda.

fug funksiyalarining asosiy davrlari mos ravishda m va 1 ga teng ekanligini ko‘rish oson, yig‘indisi esa m/n ko‘rinishdagi istalgan son davriga ega bo‘ladi, bunda n ixtiyoriy natural songa ko‘paytiriladi. m.

Adabiyot

1. Matematik ensiklopedik lug'at/Ch. ed. Yu.V. Proxorov - M.: Sov. ensiklopediya, 1988 yil.

2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. Davriy funktsiyalar yig'indisining davriyligi haqida //Matematik ta'lim. - 2000. - No 2(13). - 29-33-betlar.

3. Gerenshtein A.B., Evnin A.Yu. Davriy funktsiyalar yig'indisi to'g'risida // Maktabda matematika. -2002 yil. - No 1. - B. 68-72.

4. Ivlev B.M. va boshqalar.9 va 10-sinflar uchun algebra va tahlil tamoyillari fanidan masalalar to‘plami. - M.: Ta'lim, 1978 yil.