Farq kubi va kublar farqi: qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash qoidalari. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari Kvadratlar ayirmasi va yig'indisi va kublar ayirmasi formulalari yordamida misollar.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganish: yig'indining kvadrati va ikki ifodaning ayirmasining kvadrati; ikki ifoda kvadratlarining farqi; ikki ifodaning yig‘indisining kubi va ayirmasining kubi; ikki ifoda kublarining yig‘indisi va ayirmalari.

Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.

Ifodalarni soddalashtirish, koʻpaytmali koʻphadlar va koʻphadlarni standart koʻrinishga keltirish uchun qisqartirilgan koʻpaytirish formulalari qoʻllaniladi. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini yoddan bilish kerak.

a, b R bo'lsin. Keyin:

1. Ikki ifoda yig‘indisining kvadrati ga teng birinchi ifodaning kvadratiga plyus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Ikki ifoda ayirmasining kvadrati ga teng birinchi ifodaning kvadratiga minus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Kvadratchalar farqi ikkita ifoda bu ifodalar ayirmasi va ularning yig‘indisi ko‘paytmasiga teng.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Jami kub ikkita ifoda birinchi ifodaning kubiga plyus birinchi ifoda kvadratining uch baravar ko‘paytmasiga, ikkinchisi esa birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratiga plyus ikkinchi ifoda kubining uch baravariga teng.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Farq kubi ikkita ifoda birinchi ifodaning kubini minus birinchi ifoda kvadratining uch karrasini va ikkinchi ortiqcha birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratini minus ikkinchi ifoda kubining uch baravariga teng.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kublar yig'indisi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar yig‘indisi va bu ifodalar ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratining ko‘paytmasiga teng.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Kublarning farqi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar ayirmasining shu ifodalar yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.

1-misol.

Hisoblash

a) Ikki ifoda yig‘indisining kvadrati formulasidan foydalanib, biz bor

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Ikki ifodaning ayirmasining kvadrati formulasidan foydalanib, olamiz

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

2-misol.

Hisoblash

Ikki ifoda kvadratlarining farqi uchun formuladan foydalanib, biz olamiz

3-misol.

Ifodani soddalashtiring

(x - y) 2 + (x + y) 2

Ikki ifodaning yig‘indisining kvadrati va ayirmasining kvadrati uchun formulalardan foydalanamiz

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Bitta jadvalda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari (FMF) sonlar va ifodalarni darajaga ko'tarish va ko'paytirish uchun ishlatiladi. Ko'pincha bu formulalar hisob-kitoblarni yanada ixcham va tez bajarishga imkon beradi.

Ushbu maqolada biz qisqartirilgan ko'paytirishning asosiy formulalarini sanab o'tamiz, ularni jadvalda guruhlaymiz, ushbu formulalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqamiz, shuningdek, qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni isbotlash tamoyillariga to'xtalamiz.

FDU mavzusi birinchi marta 7-sinf uchun Algebra kursi doirasida ko'rib chiqildi. Quyida 7 ta asosiy formulalar keltirilgan.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

yig'indi kvadratining formulasi: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
kvadrat farq formulasi: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
yig'indisi kub formulasi: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
farq kub formulasi: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
kvadrat farq formulasi: a 2 - b 2 = a - b a + b
kublar yig'indisi formulasi: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
kublar ayirmasi formulasi: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Bu ifodalardagi a, b, c harflari har qanday raqamlar, o'zgaruvchilar yoki ifodalar bo'lishi mumkin. Foydalanish qulayligi uchun ettita asosiy formulani yoddan o'rganish yaxshiroqdir. Keling, ularni jadvalga joylashtiramiz va ularni ramka bilan o'rab, quyida taqdim etamiz.

Birinchi to'rtta formula sizga mos ravishda ikki ifodaning yig'indisi yoki farqining kvadrati yoki kubini hisoblash imkonini beradi.

Beshinchi formula ifodalar kvadratlari orasidagi farqni ularning yig‘indisi va ayirmasini ko‘paytirish yo‘li bilan hisoblab chiqadi.

Oltinchi va ettinchi formulalar mos ravishda ifodalarning yig'indisi va ayirmasini ayirmaning to'liq bo'lmagan kvadratiga va yig'indining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytiradi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulasi ba'zan qisqartirilgan ko'paytirish identifikatorlari deb ham ataladi. Buning ajablanarli joyi yo'q, chunki har bir tenglik o'ziga xoslikdir.

Amaliy misollarni echishda ko'pincha chap va o'ng tomonlari almashtirilgan qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qo'llaniladi. Bu, ayniqsa, polinomni faktoringlashda qulaydir.

Qo'shimcha qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

Keling, 7-sinf algebra kursi bilan cheklanib qolmay, FSU jadvalimizga yana bir nechta formulalar kiritaylik.

Birinchidan, Nyutonning binomial formulasini ko'rib chiqaylik.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 +. . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Bu yerda C n k - Paskal uchburchagidagi n-qatorda ko'rinadigan binom koeffitsientlari. Binom koeffitsientlari quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

C n k = n! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Ko'rib turganimizdek, farq va yig'indining kvadrati va kubi uchun FSF mos ravishda n=2 va n=3 uchun Nyuton binomial formulasining maxsus holatidir.

Ammo agar kuchga ko'tarilishi kerak bo'lgan summada ikkitadan ortiq shartlar mavjud bo'lsa-chi? Uch, to'rt yoki undan ortiq shartlar yig'indisining kvadrati uchun formula foydali bo'ladi.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Foydali bo'lishi mumkin bo'lgan yana bir formula - bu ikki atamaning n-darajalari orasidagi farq formulasi.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ushbu formula odatda ikkita formulaga bo'linadi - mos ravishda juft va toq kuchlar uchun.

Hatto 2 m ko'rsatkichlar uchun:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

2m+1 toq darajalar uchun:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m

Kvadratlarning farqi va kublar formulalarining farqi, siz taxmin qilganingizdek, mos ravishda n = 2 va n = 3 uchun ushbu formulaning maxsus holatlaridir. Kublar farqi uchun b ham - b bilan almashtiriladi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qanday o'qish kerak?

Biz har bir formula uchun tegishli formulalarni beramiz, lekin birinchi navbatda formulalarni o'qish tamoyilini tushunamiz. Buning eng qulay usuli - bu misol. Keling, ikkita son yig'indisining kvadratining birinchi formulasini olaylik.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2.

Ular aytadilar: a va b ikkita ifoda yig'indisining kvadrati birinchi ifoda kvadratining yig'indisiga, ifodalar ko'paytmasining ikki barobari va ikkinchi ifoda kvadratiga teng.

Boshqa barcha formulalar xuddi shunday o'qiladi. a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 farqining kvadrati uchun biz yozamiz:

ikkita a va b ifodalar orasidagi ayirma kvadrati bu ifodalar kvadratlari yig’indisidan birinchi va ikkinchi ifodalarning ikki barobar ko’paytmasiga teng.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 formulasini o‘qib chiqamiz. Ikki a va b ifodalar yig‘indisining kubi bu ifodalarning kublari yig‘indisiga teng bo‘lib, birinchi ifoda kvadratining ko‘paytmasini ikkinchisiga uch marta, ikkinchi ifoda kvadratining ko‘paytmasini uch marta ko‘paytiring. birinchi ifoda.

Keling, a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 kublarning farqi formulasini o'qishga o'tamiz. Ikki a va b ifodalar orasidagi ayirma kubi birinchi ifodaning kubiga minus birinchi ifoda kvadratining uch karra ko‘paytmasi va ikkinchi ifoda kvadratining uch karra ko‘paytmasiga teng. , minus ikkinchi ifodaning kubi.

Beshinchi formula a 2 - b 2 = a - b a + b (kvadratlar farqi) quyidagicha o'qiladi: ikkita ifoda kvadratlarining farqi ayirma va ikki ifodaning yig'indisiga teng.

Qulaylik uchun a 2 + a b + b 2 va a 2 - a b + b 2 kabi iboralar mos ravishda yig'indining to'liqsiz kvadrati va ayirmaning to'liqsiz kvadrati deb ataladi.

Buni hisobga olib, kublarning yig'indisi va ayirmasining formulalarini quyidagicha o'qish mumkin:

Ikki ifoda kublarining yig'indisi bu ifodalar yig'indisi va ularning ayirmasining qisman kvadratining ko'paytmasiga teng.

Ikki ifodaning kublari orasidagi ayirma shu ifodalar orasidagi ayirma va ularning yig‘indisining qisman kvadratiga ko‘paytmasiga teng.

FSUning isboti

FSUni isbotlash juda oddiy. Ko'paytirishning xususiyatlariga asoslanib, biz qavs ichidagi formulalarning qismlarini ko'paytiramiz.

Masalan, kvadrat ayirma formulasini ko'rib chiqing.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Ifodani ikkinchi darajaga ko'tarish uchun bu ifodani o'zi bilan ko'paytirish kerak.

a - b 2 = a - b a - b.

Qavslarni kengaytiramiz:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Formula isbotlangan. Qolgan FSUlar xuddi shunday isbotlangan.

FSU dasturlariga misollar

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llashdan maqsad iboralarni tez va qisqacha ko'paytirish va darajalarga ko'tarishdir. Biroq, bu FSUni qo'llashning to'liq doirasi emas. Ular ifodalarni qisqartirish, kasrlarni qisqartirish va ko'phadlarni ko'paytirishda keng qo'llaniladi. Keling, misollar keltiraylik.

1-misol. FSU

9 y - (1 + 3 y) 2 ifodasini soddalashtiramiz.

Keling, kvadratlar yig'indisi formulasini qo'llaymiz va olamiz:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

2-misol. FSU

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 kasrni kamaytiramiz.

Numeratordagi ifoda kublar ayirmasi, maxrajda esa kvadratlar ayirmasi ekanligini ta'kidlaymiz.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Biz qisqartiramiz va olamiz:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU shuningdek, ifodalarning qiymatlarini hisoblashda yordam beradi. Asosiysi, formulani qaerga qo'llashni payqash mumkin. Buni misol bilan ko'rsatamiz.

Keling, 79 raqamini kvadratga aylantiramiz. Qiyin hisoblar o'rniga, keling, yozamiz:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Ko'rinishidan, murakkab hisob-kitoblar qisqartirilgan ko'paytirish formulalari va ko'paytirish jadvali yordamida tezda amalga oshiriladi.

Yana bir muhim nuqta - binomialning kvadratini tanlash. 4 x 2 + 4 x - 3 ifodasini 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 ga aylantirish mumkin. Bunday transformatsiyalar integratsiyada keng qo'llaniladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Oldingi darslarda biz ko'phadni ko'paytirishning ikkita usulini ko'rib chiqdik: umumiy omilni qavs ichidan chiqarish Va guruhlash usuli.

Ushbu darsda biz ko'phadni ko'paytiruvchining boshqa usulini ko'rib chiqamiz qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida.

Har bir formulani kamida 12 marta yozishingizni tavsiya qilamiz. Yaxshiroq yodlash uchun o'zingiz uchun barcha qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini kichik bilan yozing aldash varaqasi.

Keling, kublar formulasining farqi qanday ko'rinishini eslaylik.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Kublar formulasining farqini eslab qolish juda oson emas, shuning uchun biz foydalanishni tavsiya qilamiz maxsus yo'l uni eslash uchun.

Har qanday qisqartirilgan ko'paytirish formulasi ham ishlashini tushunish muhimdir teskari tomon.

(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Kublarning farqini hisobga olish kerak.

E'tibor bering, "27a 3" "(3a) 3", ya'ni kublar formulasi farqi uchun "a" o'rniga "3a" dan foydalanamiz.

Biz kublar farqi formulasidan foydalanamiz. "A 3" o'rnida bizda "27a 3", formulada bo'lgani kabi "b 3" o'rniga "b 3" mavjud.

Kublar farqini teskari yo'nalishda qo'llash

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, ko'phadlar mahsulotini kublar farqiga aylantirishingiz kerak.

E'tibor bering, "(x - 1)(x 2 + x + 1)" ko'paytmasi kublar farqining o'ng tomoniga "formula" o'xshaydi, faqat "a" o'rniga "x" mavjud va o'rnida “b” dan “1” mavjud.

"(x − 1)(x 2 + x + 1)" uchun biz kublar formulasini teskari yo'nalishda ishlatamiz.

Keling, yanada murakkab misolni ko'rib chiqaylik. Polinomlar mahsulotini soddalashtirish talab qilinadi.

Agar “(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” ni kublar formulasining o‘ng tomoni bilan solishtirsak
« a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)", keyin siz birinchi qavsdagi "a" o'rnida "y 2" va "b" o'rnida "1" borligini tushunishingiz mumkin.