Selisih kubus dan selisih kubus: aturan penerapan rumus perkalian yang disingkat. Rumus perkalian yang disingkat Contoh soal menggunakan rumus selisih kuadrat dan jumlah serta selisih kubus

Rumus perkalian yang disingkat.

Mempelajari rumus perkalian yang disingkat: kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dua ekspresi; perbedaan kuadrat dua ekspresi; pangkat tiga jumlah dan pangkat tiga selisih dua ekspresi; jumlah dan selisih pangkat tiga dari dua ekspresi.

Penerapan rumus perkalian yang disingkat saat menyelesaikan contoh.

Untuk menyederhanakan ekspresi, memfaktorkan polinomial, dan mereduksi polinomial ke bentuk standar, digunakan rumus perkalian yang disingkat. Rumus perkalian yang disingkat perlu dihafal.

Misalkan a, b R. Kemudian:

1. Kuadrat jumlah dua ekspresi sama dengan kuadrat ekspresi pertama ditambah dua kali hasil kali ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Kuadrat selisih dua ekspresi sama dengan kuadrat ekspresi pertama dikurangi dua kali hasil kali ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Perbedaan kuadrat dua ekspresi sama dengan hasil kali selisih ekspresi tersebut dan jumlah keduanya.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Kubus jumlah dua ekspresi sama dengan pangkat tiga ekspresi pertama ditambah tiga kali lipat hasil kali kuadrat ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah tiga kali lipat hasil kali ekspresi pertama dan kuadrat ekspresi kedua ditambah pangkat tiga ekspresi kedua.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Perbedaan kubus dua ekspresi sama dengan pangkat tiga ekspresi pertama dikurangi tiga kali lipat hasil kali kuadrat ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah tiga kali lipat hasil kali ekspresi pertama dan kuadrat ekspresi kedua dikurangi pangkat tiga ekspresi kedua.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Jumlah kubus dua ekspresi sama dengan hasil kali jumlah ekspresi pertama dan kedua dan kuadrat tak lengkap dari selisih ekspresi tersebut.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Perbedaan kubus dua ekspresi sama dengan hasil kali selisih ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah ekspresi tersebut.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Penerapan rumus perkalian yang disingkat saat menyelesaikan contoh.

Contoh 1.

Menghitung

a) Dengan menggunakan rumus kuadrat jumlah dua ekspresi, kita peroleh

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Dengan menggunakan rumus kuadrat selisih dua ekspresi, kita peroleh

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10.000 – 400 + 4 = 9604

Contoh 2.

Menghitung

Dengan menggunakan rumus selisih kuadrat dua ekspresi, kita peroleh

Contoh 3.

Sederhanakan sebuah ekspresi

(x - kamu) 2 + (x + kamu) 2

Mari kita gunakan rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dua ekspresi

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Rumus perkalian yang disingkat dalam satu tabel:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Rumus perkalian yang disingkat (FMF) digunakan untuk mengeksponenkan dan mengalikan bilangan dan ekspresi. Seringkali rumus ini memungkinkan Anda membuat perhitungan dengan lebih ringkas dan cepat.

Pada artikel kali ini kita akan mencantumkan rumus-rumus dasar perkalian yang disingkat, mengelompokkannya dalam sebuah tabel, memperhatikan contoh penggunaan rumus-rumus tersebut, dan juga membahas prinsip-prinsip pembuktian rumus perkalian yang disingkat.

Untuk pertama kalinya topik FSU dibahas dalam kerangka mata kuliah Aljabar untuk kelas 7. Di bawah ini adalah 7 rumus dasar.

Rumus perkalian yang disingkat

rumus kuadrat jumlah: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
rumus selisih kuadrat: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
rumus penjumlahan kubus: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
rumus kubus selisih: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
rumus selisih kuadrat: a 2 - b 2 = a - b a + b
rumus jumlah kubus: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
rumus selisih kubus: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Huruf a, b, c dalam ekspresi ini dapat berupa angka, variabel, atau ekspresi apa pun. Untuk kemudahan penggunaan, ada baiknya mempelajari ketujuh rumus dasar tersebut dengan hati-hati. Mari kita letakkan dalam tabel dan sajikan di bawah, lingkari dengan bingkai.

Empat rumus pertama memungkinkan Anda menghitung, masing-masing, kuadrat atau pangkat tiga dari jumlah atau selisih dua ekspresi.

Rumus kelima menghitung selisih kuadrat ekspresi dengan mengalikan jumlah dan selisihnya.

Rumus keenam dan ketujuh masing-masing adalah mengalikan jumlah dan selisih ekspresi dengan kuadrat selisih tidak lengkap dan kuadrat jumlah tidak lengkap.

Rumus perkalian yang disingkat kadang juga disebut dengan identitas perkalian yang disingkat. Hal ini tidak mengherankan, karena setiap kesetaraan adalah sebuah identitas.

Saat menyelesaikan contoh praktis, sering digunakan rumus perkalian yang disingkat dengan ruas kiri dan kanan yang ditukar. Hal ini sangat berguna ketika memfaktorkan suatu polinomial.

Rumus perkalian tambahan yang disingkat

Jangan membatasi diri pada kursus aljabar kelas 7 dan menambahkan beberapa rumus lagi ke tabel FSU kita.

Pertama, mari kita lihat rumus binomial Newton.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · an - 1 · b + C n 2 · an - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Di sini C n k adalah koefisien binomial yang muncul pada nomor baris n dalam segitiga Pascal. Koefisien binomial dihitung menggunakan rumus:

C n k = n ! oke! · (n-k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Seperti yang bisa kita lihat, FSF untuk kuadrat dan pangkat tiga dari selisih dan jumlah merupakan kasus khusus dari rumus binomial Newton untuk masing-masing n=2 dan n=3.

Namun bagaimana jika ada lebih dari dua suku dalam penjumlahan yang perlu dipangkatkan? Rumus kuadrat jumlah tiga, empat suku atau lebih akan berguna.

sebuah 1 + sebuah 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + an 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Rumus lain yang mungkin berguna adalah rumus selisih pangkat ke-n dua suku.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Rumus ini biasanya dibagi menjadi dua rumus - masing-masing untuk pangkat genap dan ganjil.

Untuk indikator genap 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Untuk eksponen ganjil 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Rumus selisih kuadrat dan selisih kubus, seperti yang Anda duga, merupakan kasus khusus dari rumus ini untuk n = 2 dan n = 3. Untuk selisih kubus, b juga diganti dengan - b.

Bagaimana cara membaca rumus perkalian yang disingkat?

Kami akan memberikan rumusan yang sesuai untuk setiap rumusnya, namun terlebih dahulu kita pahami prinsip membaca rumusnya. Cara paling mudah untuk melakukan ini adalah dengan sebuah contoh. Mari kita ambil rumus pertama untuk kuadrat jumlah dua bilangan.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Mereka mengatakan: kuadrat jumlah dua ekspresi a dan b sama dengan jumlah kuadrat ekspresi pertama, dua kali hasil kali ekspresi dan kuadrat ekspresi kedua.

Semua rumus lainnya dibaca dengan cara yang sama. Untuk kuadrat selisih a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 kita tulis:

kuadrat selisih antara dua ekspresi a dan b sama dengan jumlah kuadrat ekspresi tersebut dikurangi dua kali hasil kali ekspresi pertama dan kedua.

Mari kita baca rumus a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kubus jumlah dua ekspresi a dan b sama dengan jumlah pangkat tiga ekspresi tersebut, tiga kali lipat hasil kali kuadrat ekspresi pertama dengan ekspresi kedua, dan tiga kali lipat hasil kali kuadrat ekspresi kedua dengan ekspresi pertama.

Mari kita lanjutkan membaca rumus selisih kubus a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kubus selisih dua ekspresi a dan b sama dengan pangkat tiga ekspresi pertama dikurangi hasil kali rangkap tiga kuadrat ekspresi pertama dan ekspresi kedua, ditambah hasil kali rangkap tiga kuadrat ekspresi kedua dan ekspresi pertama , dikurangi pangkat tiga dari ekspresi kedua.

Rumus kelima a 2 - b 2 = a - b a + b (selisih kuadrat) berbunyi seperti ini: selisih kuadrat dua ekspresi sama dengan hasil kali selisih dan jumlah kedua ekspresi.

Untuk memudahkan, ekspresi seperti a 2 + a b + b 2 dan a 2 - a b + b 2 masing-masing disebut kuadrat jumlah yang tidak lengkap dan kuadrat selisih yang tidak lengkap.

Dengan memperhatikan hal tersebut maka rumus jumlah dan selisih kubus dapat dibaca sebagai berikut:

Jumlah pangkat tiga dari dua ekspresi sama dengan hasil kali jumlah ekspresi tersebut dan kuadrat parsial selisihnya.

Selisih antara pangkat tiga dari dua ekspresi sama dengan hasil kali selisih antara ekspresi tersebut dan kuadrat parsial dari jumlah keduanya.

Bukti FSU

Membuktikan FSU cukup sederhana. Berdasarkan sifat-sifat perkalian, kita akan mengalikan bagian-bagian rumus dalam tanda kurung.

Misalnya, perhatikan rumus selisih kuadrat.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Untuk menaikkan suatu ekspresi ke pangkat dua, Anda perlu mengalikan ekspresi ini dengan dirinya sendiri.

a - b 2 = a - b a - b .

Mari kita perluas tanda kurungnya:

a - b a - b = a 2 - a b - ba + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Rumusnya terbukti. FSU lainnya juga terbukti serupa.

Contoh penerapan FSU

Tujuan penggunaan rumus perkalian yang disingkat adalah untuk mengalikan dan menaikkan ekspresi ke pangkat dengan cepat dan ringkas. Namun, ini bukanlah cakupan keseluruhan penerapan FSU. Mereka banyak digunakan dalam mereduksi ekspresi, mereduksi pecahan, dan memfaktorkan polinomial. Mari kita beri contoh.

Contoh 1.FSU

Mari kita sederhanakan persamaan 9 y - (1 + 3 y) 2.

Mari terapkan rumus jumlah kuadrat dan dapatkan:

9 tahun - (1 + 3 tahun) 2 = 9 tahun - (1 + 6 tahun + 9 tahun 2) = 9 tahun - 1 - 6 tahun - 9 tahun 2 = 3 tahun - 1 - 9 tahun 2

Contoh 2.FSU

Mari kita kurangi pecahan 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Kita perhatikan bahwa ekspresi pada pembilangnya adalah selisih kubus, dan pada penyebutnya adalah selisih kuadrat.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Kami mengurangi dan mendapatkan:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU juga membantu menghitung nilai ekspresi. Hal utama adalah dapat memperhatikan di mana menerapkan rumus tersebut. Mari kita tunjukkan ini dengan sebuah contoh.

Mari kita kuadratkan angka 79. Daripada melakukan perhitungan yang rumit, mari kita tulis:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Tampaknya perhitungan yang rumit dapat dilakukan dengan cepat hanya dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat dan tabel perkalian.

Poin penting lainnya adalah pemilihan kuadrat binomial. Ekspresi 4 x 2 + 4 x - 3 dapat diubah menjadi 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Transformasi seperti ini banyak digunakan dalam integrasi.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Dalam pelajaran sebelumnya, kita telah mempelajari dua cara memfaktorkan polinomial: mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung Dan metode pengelompokan.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat cara lain untuk memfaktorkan polinomial menggunakan rumus perkalian yang disingkat.

Kami menyarankan Anda menulis setiap rumus setidaknya 12 kali. Untuk menghafal lebih baik, tuliskan sendiri semua rumus perkalian yang disingkat sedikit demi sedikit contekan.

Mari kita ingat seperti apa perbedaan rumus kubus.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Perbedaan rumus kubus tidak terlalu mudah diingat, jadi kami sarankan untuk menggunakannya cara spesial untuk mengingatnya.

Penting untuk dipahami bahwa rumus perkalian yang disingkat juga bisa digunakan sisi sebaliknya.

(Sebuah − b)(Sebuah 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Mari kita lihat sebuah contoh. Perbedaan kubus perlu difaktorkan.

Perlu diketahui bahwa “27a 3” adalah “(3a) 3”, artinya untuk rumus selisih kubus, kita menggunakan “3a” sebagai ganti “a”.

Kami menggunakan rumus selisih kubus. Sebagai pengganti “a 3” kita memiliki “27a 3”, dan sebagai pengganti “b 3”, seperti pada rumus, ada “b 3”.

Menerapkan perbedaan kubus dalam arah yang berlawanan

Mari kita lihat contoh lainnya. Anda perlu mengubah hasil kali polinomial menjadi selisih kubus menggunakan rumus perkalian yang disingkat.

Perlu diketahui bahwa hasil kali polinomial “(x − 1)(x 2 + x + 1)” menyerupai sisi kanan selisih rumus kubus “”, hanya saja alih-alih “a” ada “x”, dan sebagai gantinya dari "b" ada "1".

Untuk “(x − 1)(x 2 + x + 1)” kita menggunakan rumus selisih pangkat tiga dengan arah sebaliknya.

Mari kita lihat contoh yang lebih rumit. Diperlukan untuk menyederhanakan produk polinomial.

Jika kita bandingkan “(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” dengan rumus selisih kubus ruas kanan
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)“, maka anda dapat memahami bahwa sebagai ganti “a” dari tanda kurung pertama ada “y 2”, dan sebagai ganti “b” ada “1”.